2. Premesse all’analisi infinitesimale

(II) Insiemi numerici limitati e illimitati

2.11. Insiemi numerici limitati e illimitati

Un insieme numerico A si dice superiormente (inferiormente) limitato quando esiste un numero k tale che ogni elemento dell’insieme è minore (maggiore) o al più eguale a k.Tale numero k si dice maggiorante (minorante) di A.

Altrimenti, l’insieme A si dice illimitato superiormente (inferiormente)

Se un insieme numerico A è limitato sia inferiormente sia superiormente, si dice semplicemente che è limitato.

Esempi 1, 2, 3, 4 pag. 29-30.

2.12 Massimo e minimo di un insieme numerico

■ Il massimo (minimo) di un insieme numerico A è l’elemento di A che è più grande (più piccolo) di tutti gli altri elementi di A.

■ Esempi. A = {1,2,3,4} min A = 1, Max A = 4

A = [0,3] min A = 0, Max A = 3

A = (0,3) 0A, 3A → non esistono min e Max

Però, tutti i numeri di A sono minori di 3 e, se consideriamo un numero inferiore, anche di pochissimo, a 3, vi sono numeri di A maggiori di tale numero: 3 si chiama estremo superiore di A.

2.13 Estremo superiore

Dato un insieme numerico A, si dice estremo superiore di A (Sup A) quel numero L, se esiste, tale che

1) ogni elemento di A è minore o uguale a L

2) comunque si scelga un numero ε>0, arbitrariamente piccolo, esiste almeno un elemento dell’insieme che sia maggiore di L-ε.

L’estremo superiore può appartenere oppure no ad A. Se Sup A A, allora Sup A = Max A

2.13 Estremo inferiore

■ Dato un insieme numerico A, si dice estremo inferiore di A (Inf A) quel numero l, se esiste, tale che

1) ogni elemento di A è maggiore o uguale a l2) comunque si scelga un numero ε>0, arbitrariamente piccolo, esiste

almeno un elemento dell’insieme che sia minore di l+ε.

■ L’estremo inferiore può appartenere oppure no ad A.■ Se Inf A A, allora Inf A = min A

2.14 Punti di accumulazione

D. Si dice che un numero c, appartenente o no all’insieme A, è di accumulazione per A, se in ogni intorno di c esiste almeno un elemento di A distinto da c.

■ Altrimenti, si parla di punti isolati

■ Esempi pag. 31-34: massimo e minimo, estremo superiore e inferiore, punti di accumulazione di un insieme.