18 26 23 14 21 28 25 14 18 21 23 25 26 28 9_2.pdf · Elaborazione di Immagini ... 9.5.2 Image...

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Elaborazione di Dati e Segnali Biomedici Elaborazione di Immagini

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Ad esempio consideriamo i 7 seguenti campioni:

18 26 23 14 21 28 25 la mediana si ottiene ordinando e prelevando il valore centrale (il 4°)

14 18 21 23 25 26 28 dunque la mediana di tali valori sarà 23. Ovviamente l'operatore mediana implicando una operazione di ordinamento è un operatore non-lineare. L'idea che sta dietro questa tecnica di image smooting è quella di sostituire il valore di ogni pixel dell'immagine con la mediana dei valori dei pixel che lo circondano (compreso il pixel stesso). Così, ad esempio, operando con una matrice 3x3 vengono ordinati i 9 valori della matrice in senso crescente (o decrescente), viene prelevato il 5° termine (il valore mediano) e tale valore viene assegnato al pixel sito al centro della matrice di partenza. La necessità di usare in questo processo un algoritmo di ordinamento può aumentare notevolmente il tempo computazionale. Tale tecnica risulta particolarmente efficace in presenza di particolari tipi di rumore, come ad esempio la presenza di outliers isolati cioè pixel isolati aventi valori di grigio totalmente differenti dai vicini (spesso assumendo valori estremi come il bianco ed il nero, da cui il nome di salt and pepper noise); tali valori estremi, se isolati, grazie all'ordinamento non verranno mai usati nell'immagine risultante ed al loro posto risulterà esserci uno dei valori dei pixel vicini. Qui di seguito riportiamo un semplice esempio atto ad mostrare l'effetto prodotto sul segnale in figura da un filtro a media mobile di lunghezza 3 MA_3 e da un filtro mediano anch'esso di lunghezza 3 Median_3. Il segnale contiene una leggera variazione all'inizio, una zona costante, uno step; negli spazi 20 e 28 sono stati introdotti dei valori di fondoscala (outliers).


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Figura 9.9 : A - segnale originario, B – filtrato con un filtro MA 1D di lunghezza 3, C - filtrato con un filtro a mediana con lunghezza 3

9.5.2 Image Sharpening Vanno sotto il nome di image sharpening quelle tecniche impiegate per ridurre lo sfuocamento (blurring) di una immagine dovuto alla Point Spread Function (PSF) del processo di formazione dell'immagine. Ricordiamo che il processo di degradazione di una immagine è descritto da:

y(n1 ,n2) = x(n1 ,n2) * h(n1 ,n2) + d(n1 ,n2) dove x(n1 ,n2) è l'immagine originale, y(n1 ,n2) è l'immagine degradata, h(n1 ,n2) è la risposta impulsiva o la PSF del sistema di formazione dell'immagine e d(n1 ,n2) è il rumore dell'immagine. Ricordiamo ancora che il risultato di questo sfocamento dell'immagine (image blurring) consiste nella perdita di dettaglio dell'immagine e della chiarezza dei contorni, dunque in una soppressione delle frequenze medio alte dell'immagine. E' ovvio che tecniche di image sharpening (o deblurring) compiano l'operazione di esaltare le alte frequenze, cioè si tratta di un filtraggio passa-alto. Comunque si deve esercitare cautela nello scegliere l'intensità di filtraggio passa-alto da applicare poiché il rumore dell'immagine risiede, particolarmente, nelle alte frequenze dello spettro dell'immagine; in questa zona l'ampiezza dello spettro di potenza del rumore può essere comparabile (se non superiore) a quello del segnale, dunque, un filtraggio


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passa-alto può avere l'effetto negativo di incrementare notevolmente il rumore. Così, usualmente, l'image sharpening può essere applicato dopo che sia stata effettuata una riduzione del rumore oppure in immagini dove il rapporto segnale-rumore sia alto. A seguito di queste configurazioni, in questo paragrafo assumeremo che il processo di degradazione dell'immagine sia descritto soltanto da:

y(nl,n2) = x(nl,n2) * h(nl,n2) dove si è assunto che il rumore dell'immagine è stato soppresso ed il suo contributo è trascurabile: d(nl,n2)≈0.

9.5.3.1 Filtri derivatori (Differencing Filters) Caso monodimensionale 1D. Nel caso monodimensionaIe l'equazione precedente equivarrà a:

y(n) = x(n) * h(n) Chiamando hf(n) la risposta impulsiva del filtro passa alto, l'immagine ottenuta dopo il filtraggio sarà descritta da:

y'(n) = y(n) * hf(n) o equivalentemente da:

y'(n) = [x(n) * h(n)] * hf(n) = x(n) * [h(n) * hf(n)] Ovviamente tenderemo a disegnare un filtro tale che:

h(n) * hf(n) = δ(n) dove per δ(n) si intende la funzione delta di Dirac (si otterrà così una equalizzazione dello spettro). Un'operazione di convoluzione con una delta lascia inalterato il segnale di partenza, per cui, il segnale di uscita y'(n) sarà proprio uguale al segnale di origine x(n). A titolo di esempio, poniamo, per semplicità, che la funzione h(n) sia data da:

h(n)= (l/M}{l l l, ..., l} (M termini)

si noti che tale funzione h(n) ha un carattere passa-basso. Per sintetizzare il filtro passa-alto useremo allora l'eguaglianza δ(n)=h(n)*hf(n) che nel nostro caso in particolare:

( ) ( ) ( )∑−

=

•−=δ1M

0k

khfknhn


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Nel caso semplice di M=2, si può calcolare banalmente la h(n). Infatti per M=2 si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]1hf1nh0hf0nhkhfknhn1

0k

•−+•−=•−=δ ∑=

Ricordando che la delta risulta diversa da zero solo in zero si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 20hf0hf2101h

210h1hf1h0hf0h10 =⇒=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+=•−+•==δ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) 21hf1hf21

211hf0hf01hf0h0hf1h01 −=⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ •+•=•+•==δ

Dunque il filtro hf(n) che soddisfa l'equazione δ(n)=h(n)*hf(n) risulta essere: hf{n) = 2. { l,-l}

Una espressione più generale di questa formula è: hf(n) = A.{ l,-I}

essendo A una costante generica. Risposta in frequenza del filtro derivatore. Per ottenere la risposta in frequenza del filtro derivatore monodìmensionale, senza usare la z-trasformata riscriviamo l’equazione del filtro:

y(n) = A.{x(n)-x(n-l)} Indicando con Y(k) la DFT di y(n) e con X(k) la DFT di x(n), e con w-k = e-j(2л/N) risulterà:

Y(k) = A{X(k) -W-k X(k)} = AX(k){ 1 -W-k } = A{ 1 -W-k } X(k) = HF(k) X(k) da cui si ottiene:

HF(k) = A{ l -W-k } da quest'ultima espressione ed usando le relazioni trigonometriche:

cos(ϕ) = cos2(ϕ/2) -sen2(ϕ/2) e sen(ϕ) = 2cos(ϕ/2)*sen(ϕ/2) si ottiene:

2j

e2

senA2)k(HFφ−π

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ φ•=

dove: kN2

•⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π

=φ

Calcolandone dunque modulo e fase si ottiene:

( ) ( ) ( )2

kHF e 2

Asen2khF ϕ−π=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ φ=

si noti il carattere passa-alto del filtro. Appare ora evidente che l'effetto di un tale filtro derivatore è quello di tagliare quasi completamente il contenuto frequenziale prossimo a zero. Questo provocherà una perdita del contenuto informativo a bassa frequenza, come ad esempio aree di tessuto uniforme o poco contrastato, mentre darà ampio risalto alle zone di discontinuità quali bordi e confini di regioni.


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Caso bidimensionale 2D. Filtri Laplaciani. Nel caso monodimensionale il filtro derivatore è descritto dall'equazione:

y(n) = [x(n+l) - x(n)] consideriamo ora la matrice:

4v1vx3v

2v

dove con v1, v2; v3, v4 sono stati indicati i vicini del punto x; considerando ora le differenze:

Al = v1 - x; A2 = v2 – x; A3 = v3 – x; A4 = v4 - x volendo ora noi calcolare la derivata bidimensionale, una sua semplice stima è data dalla somma delle 4 precedenti differenze. Cioè:

( ) ( ) ( ) ( ) x4vvvvxvxvxvxv4321y 43214321 −+++=−+−+−+−=∆+∆+∆+∆= Ordiniamo diversamente:

( ) ( ) ( ) ( ) VHvxxvvxxvy 222431 ∆+∆=−−−+−−−=

dove sono le derivate seconde orizzontali e verticali, ovvero, l' operatore Laplaciano nella direzione orizzontale e verticale. Questa è la ragione per cui il filtro descritto è usualmente denominato Filtro Laplaciano. Più formalmente tale filtro può essere descritto come:

V e H 22 ∆∆

( ) ( )∑∑−= −=

•−−=1

1l

1

1k2121 )k,l(hLkn,lnxn,ny

dove: ( )010141010

n,nhL 21 −=

Se coinvolgiamo più punti di una immagine possiamo disegnare più maschere Laplaciane. Le maschere popolari sono:

010141010

− LM1 111181111

− LM2

1212122121

− LM3 121

242121

−−−

−− LM4

Usando questi filtri possiamo imbatterci nel caso in cui vi siano risultati negativi normalmente, i livelli di grigio assumono valori tutti positivi, per cui non è possibile assegnare ad un pixel un valore negativo. In una tale evenienza si usa assegnare, per convenzione, a questo pixel il valore 0, ovvero il più piccolo valore possibile. In formule:


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( ) ( ) ( )( )⎩

⎨⎧

<≥

=0n,ny se 00n,ny se n,ny

n,ny21

212121

Notiamo ancora una volta che all'effetto di edge-enhancement ottenuto dal filtro si associa una perdita di informazione alle basse frequenze. Dunque questo tipo di filtraggio è usato per le descrizioni di contorni di figure e per il riconoscimento di bordi. Qui di seguito riportiamo alcune maschere (3X3) e le FFT bidimensionali ad esse associate. Si noti il carattere passa alto di tali filtri e le differenze tra le varie maschere.

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

2

4

6

8

FxFy

Mag

nitu

de

Figura 9.10 a : funzione di trasferimento per il filtro LM1 010141010

−


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-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

2

4

6

8

10

12

FxFy

Mag

nitu

de

Figura 9.10 b : funzione di trasferimento per il filtro LM2 111181111

−

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

5

10

15

20

FxFy

Mag

nitu

de

Figura 9.10 c : funzione di trasferimento per il filtro LM3 1212122121

−


Pag. 193

-1-0.5

00.5

1

-1-0.5

00.5

10

5

10

15

20

FxFy

Mag

nitu

de

Figura 9.10 d : funzione di trasferimento per il filtro LM4 121

242121

−−−

−−


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9.5.3.2 High Emphasis filtering Nel miglioramento di una immagine può essere molto importante conservare le informazioni contenute nelle basse frequenze dell'immagine e contemporaneamente aumentarne la nitidezza ed il dettaglio globale rendendo più nitidi i contorni. E' possibile realizzare ciò con l'uso dei cosiddetti filtri High Emphasis. Per capire il loro funzionamento partiamo con delle considerazioni per il caso monodimensionale. Caso monodimensionale 1D. Consideriamo il segnale x(n) consistente di una rampa e di un gradino successivi. Spazio n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Segnale x(n) 0 2 4 6 8 10 10 10 10 10 15 15 15 15 15 10 8 6 4 2Differenz. 2 2 2 2 2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 -5 -2 -2 -2 -2Laplac. 0 0 0 0 -2 0 0 0 5 -5 0 0 0 -5 3 0 High E. 0 2 4 6 8 12 10 10 10 5 20 15 15 15 20 7 8 6 In tabella sono stati riportati i segnali ottenuti applicando ad x(n) i seguenti filtri:

Differ. filtro differenza ∆x(n) = x(n+1) - x(n) Laplac. filtro Laplaciano 1D ∆2x(n) = x(n+1) -2x(n) + x(n-1) High E. filtro High Emphasis 1D y(n) = x(n) - ∆2x(n)


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Figura 9.11 : A – segnale originario, B - effetto del filtro differenziatore, C – effetto del filtro laplaciano, D- effetto del filtro High Emphasis Per prima cosa si noti che applicando il filtro differenza si ottengono variazioni repentine in corrispondenza di fronti ripidi del segnale (intervalli di spazio: [4,5], [9,10], [14,15]), mentre inforn1azioni quali la rampa (lenta variazione -> bassa frequenza) risultano perse. Anche applicando il filtro Laplaciano al segnale originale tutte le informazioni contenute nel segnale svaniscono (diventano = O) fatta eccezione per i fronti ripidi (edges), rivelando così il carattere di esaltazione dei fronti ripidi propri di questo filtro. Il bisogno di avere un filtro che preservi il contenuto informativo alle basse frequenze e che contemporaneamente esalti i bordi ed i contorni (fronti ripidi) è soddisfatto dal filtro High Emphasis, che è definito semplicemente dalla differenza tra il segnale originale ed il filtro laplaciano. L'esempio proposto mostra che il contenuto informativo alle basse frequenze è mantenuto (i tratti piani e la rampa) anche in presenza di una enfatizzazione dei tratti ripidi (edges: in [4,5] , [9,10] , [14,15] ).


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Caso bidimensionale 2D. In accordo con il caso monodimensionale nel caso M=3, l'operatore High Emphasis è formalmente descritto dalla formula:

( ) ( )∑∑−= −=

•−−=1

1l

1

1k2121 )k,l(hekn,lnxn,ny

dove: ( )010151

010n,nhe 21

−−−

−=

essendoci riferiti alla maschera Laplaciana LM1. Similmente altre maschere di High Emphasis sono descritte in corrispondenza delle altre Laplaciane. Le maschere High Emphasis più utilizzate sono:

010151

010

−−−

−HM1

111191111

−−−−−−−−

HM2

1212132121

−−−−−−−−

HM3 121252

121

−−−

− HM4

9.6 Tecniche di manipolazione della scala dei grigi Vanno sotto questo nome alcune tecniche per il miglioramento della qualità di immagine che, sebbene siano di semplice e facile implementazione, forniscono eccellenti risultati. Esse cercano di affrontare il problema che in molte immagini mediche i valori della scala dei grigi effettivamente usati sono ben lungi da essere tutti quelli disponibili; usando poi sul monitor tutto il range possibile si ottiene l'effetto finale di diminuire il contrasto visibile. Ci sono, fondamentalmente, due tipi di tecniche di manipolazione della scala dei grigi entrambe largamente usate in sistemi computerizzati di elaborazione di immagini mediche: a) Tecniche di Finestramento (Windowing Techniques) b) Tecniche di Modificazione dell’lstogramma (Histogram Modification)


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9.6.1 Tecniche di Finestramento (Windowing Techniques) Queste tecniche consistono nel mostrare solo una parte del range dei valori di grigio dell'immagine. Il termine finestra (Wmdow) si riferisce alla sezione del range dei valori di grigio dell'immagine che viene mosrtata volta per volta. Il principio del windowing è mostrato in figura 9.12. Poniamo ad esempio che i livelli di quantizzazione dell’immagine (scala dei grigi) siano 28=256, chiamiamoli V1... V256 , e supponiamo che i livelli di grigio disponibili sul display video siano 26=64 , diciamoli Gl ...G64 : essi sono rappresentati rispettivamente sull'asse orizzontale e verticale della figura 9.12.

Figura 9.12: Tecniche di Finestramento (Windowing Techniques)

o Un modo di mostrare l'immagine sul video può essere quello di assegnare l'intero range di valori dell’immagine ai 64 livelli disponibili (funzione e rappresentata dalla linea tratteggiata). Con questo metodo ognuno dei 16 livelli di grigio consecutivi facente parte di un sedicesimo dell’intero range, sarà rappresentato da un unico livello di grigio sul video. Questo procedimento risulterà in una perdita di informazione ed in una immagine a minor contrasto. o Un altro modo di mostrare l'immagine sul video è quello di scegliere un intervallo di valori [Va Vb], ad esempio costituito da 64 valori, e presentare su video solo questi valori utilizzando sempre i 16 livelli disponibili (funzione rappresentata dalla linea continua). In questo ultimo caso ci saranno solo 4 (invece di 16) valori consecutivi assegnati ad un unico valore di grigio disponibile su video. Il risultato sarà che la parte di immagine presa in considerazione risulterà visualizzata con un contrasto più alto di quello ottenuto precedentemente.


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L'algoritmo che calcola il livello di grigio del video (Gm) per ogni valore di grigio dell'immagine (Vm) del subrange selezionato [Va, Vb] può essere descritto:

( ) ( )[ ] ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

>≤≤+−−−

−=

bm16

bma1Amab116

am1

m

VV se GVVV se GVV*VV/GG

VV se GG

Figura 9.13 a: immagine originale e relativo istogramma

Figura 9.13 b: immagine modificata dopo espansione del contrasto e relativo istogramma

Note: 1) L'intervallo [Va, Vb] è detto finestra ed il valore Vb- Va larghezza della finestra. Usualmente la larghezza della finestra è il parametro iniziale scelto dall'operatore interattivamente con il sistema di visalizzazione delle immagini mediche. 2) Il valor medio (Vb+Va)/2 è denominato livello della finestra o semplicemente livello ed è il secondo parametro scelto dall'utilizzatore. Esso chiaramente evidenzia il punto centrale della finestra. 3) Seguendo ragionamenti simili a quelli esposti in questo paragrafo, in alcuni casi si può avere l'opportunità di usare due finestre a livelli differenti. Ciò è particolarmente utile nel caso in cui varie parti di una immagine, come ad esempio il tessuto polmonare ed il tessuto osseo in una fetta (slice) di TC, possono essere visualizzate allo stesso tempo con un buon contrasto. 4) La funzione che associa i livelli di grigio dell'immagine ai grigi disponibili sull'unità di visualizzazione non è detto che debba essere una legge lineare, ma può soddisfare altri criteri.


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9.6.2 Tecniche di Modifica dell'Istogramma (Histogram Modification) -Espansione del contrasto Si chiama istogramma il grafico che evidenzia, in una particolare immagine, il numero dei pixel che assumono un determinato livello di grigio in funzione dei livelli di grigio disponibili. Di ogni immagine si può generare l’istogramma che riporta in ascissa i livelli di grigio disponibili ed in ordinata il numero dei pixel dell’immagine che assumono un determinato livello di grigio. Accanto alle precedenti immagini (IMG.9.13a e IMG. 9.13b) sono riportati i rispettivi istogrammi. Le tecniche di modificazione dell'istogramma cercano di aumentare il contrasto dell'immagine alterandone l'istogramma. Il nuovo istogramma risultante da tale processo può essere quello di un immagine nota oppure un istogramma con un ugual numero di pixel per livello di grigio. Quest’ultima soluzione, molto diffusa in sistemi per le immagini mediche, è denominata Procedura di Equalizzazione dell’Istogramma. In questa trattazione esporremo solo tale tecnica di equalizzazione dell'istogramma. Fondamenti teorici: Teorema 4.1 Sia X una variabile aleatoria assolutamente continua di livelli di grigio a ≤ X ≤ b e sia FX(x) = Prob (X ≤ x) la sua funzione di distribuzione cumulativa di probabilità. La variabile aleatoria Y = FX(x) risulterà avere la distribuzione:

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤≤

>=

0 yse 01y0 se y

1 yse 1yFY

Y è dunque una variabile aleatoria UNIFORME. Si può usare la tecnica esposta in questo teorema per ottenere immagini migliori usando in maniera più uniforme il range di livelli di grigio disponibili. Applicata ad in immagini digitali il livello di grigio, X non è una variabile aleatoria assolutamente continua e dunque anche la FX(x) risulterà essere non assolutamente continua. In pratica non si otterrà un istogramma piatto ma uno ad esso approssimabile.


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Figura 9.14: A – immagine originale, B – suo istogramma, C – immagine equalizzata, D – suo istogramma

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