INFORME DE LABORATORIO DE FISICA II N°1

EXPERIMENTO:

PÉNDULO FÍSICO Y TEOREMA DE STEINER

PROFESOR:

Alex Caballero

AUTORES:

GÓMEZ-SÁNCHEZ CASTILLO, LUIS ENRIQUE

HOYOS QUISPE, JOSE CARLOS TORPOCO

LLACZA, PIERO DANIEL

FECHA DE REALIZACION:

10 DE ABRIL DEL 2012

[LABORATORIO DE FÍSICA II N°1] 10 de abril de

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1. OBJETIV OS DEL EXP ER IMEN TO :

Determinar experimentalmente los periodos de oscilación de un péndulo físico y a partir de éstos calcular el momento de inercia.

2. E QU IP O U TIL I Z A D O : Una barra metálica de longitud L con agujeros circulares. Un soporte de madera con cuchilla. Dos mordazas simples. Un cronómetro digital. Una regla milimetrada.

3. D I A G R A M A D E FLU J O D E L E X P E R IM E N TO R E A LI Z A D O :

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4. CÁ LCU LOS Y R ESU LTA D OS:

1.- La tabla con los datos de los periodos y las longitudes está en la hoja adjunta.

2.-

a) El gráfico de T vs l está en la hoja milimetrada adjunta en el presente informe.

b) Cálculo del valor de l para que el periodo sea mínimo:

√ ( )

( )

Remplazando ( ) en ( ) :√

( )Derivando la ecuación ( ) respecto a , considerando

constantes e igualando a cero para hallar el periodo tal que T esmínimo:

√ ( )

Luego:

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√ ( )

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Ahora para calcular el valor de la longitud debemos hallar el momento de inercia de la barra respecto a su centro de masa, vamos a calcular el momento de inercia de un paralelepípedo de masa M y de ladosa, b y c respecto a un eje perpendicular a una de sus caras.

Dividimos el paralelepípedo en placas rectangulares de lados a y b y de espesor dx.

El momento de inercia de cada una de las placas respecto de su eje de simetría es

Aplicando el Teorema de Steiner calculamos el momento de inercia de esta placa respecto de un eje paralelo situado a una distancia x es

( ) ( ) ( )El momento de inercia del sólido en forma de paralelepípedo es

∫ ( ) ( )Lo cual indica que es independiente del espesor y por lo tanto:

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√ ( )Remplazando datos y asumiendo

√ ( )c) El valor de la medida de la distancia para el cual el periodo se hace mínimo en la gráfica se observa que corresponde a 30.73cm| |Es decir se obtuvo un error pequeño de casi 3 por ciento respecto alvalor teórico. | |d) El periodo para esta distancia (periodo mínimo: ) es el que seobtiene al remplazar la ecuación (2) en (1):

√ √ ( )√ √ √Y remplazando el momento de inercia de la barra:

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√ √( )√

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Remplazando valores obtenemos que:

√ √( )√

e)

√ √( ) ( )

Resolviendo la ecuación para

( ) √( ) ( )( )( ) ( )( )

Para que sea diferente de :( ) ( )( )

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Es decir, que si escogemos una distancia arbitraria desde el punto donde haremos el soporte para que oscile hasta el centro de masa,¡siempre existirá otra distancia (con las mismas condiciones) tal que el periodo de oscilación es el mismo!

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E xp erimen talmen te:

Las parejas de valores que más se aproximan a tener igual periodo son: (1.64; 1.664), (1.612; 1.618), (1.596; 1.592)

Determinemos cual es el que tiene menor diferencia relativa:

| | | | | |

Con lo cual observamos que en la gráfica los puntos que tienen–aproximadamente- igual periodo son aquellos cuyos periodos son 1.596s y 1.592s a los cuales les corresponde una distancia desde el soporte hasta el centro de masa de 35.56cm y30.73cm respectivamente.

Aplicando la fórmula que acabamos de encontrar:

( )( ) ( )3.-

# de hueco

Eje de oscilación,(m)

(Periodo)2

T2(s2)Momento de inercia

I12 (cm2)

1 0.508 2.7822 0.813743 0.258064

2 0.4572 2.6896 0.707993 0.20903184

3 0.4064 2.5985 0.608011 0.16516096

4 0.3556 2.5472 0.521506 0.12645136

Mom

ento

de

iner

cia

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5 0.3073 2.5344 0.448407 0.0944332

6 0.2565 2.6179 0.386612 0.0657922

7 0.2083 2.7688 0.332059 0.0433888

8 0.1587 3.1435 0.287227 0.0251856

9 0.1079 4.1656 0.258782 0.0116424

10 0.0571 7.4365 0.244478 0.0032604

4.-Gráfico de I1 vs 2

1

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35𝓵2 (cm2)

y = 2.2555x + 0.2348

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5.- En el gráfico anterior se observa que os puntos tienen tendencia lineal, la ecuación de la recta es

y=2.2555x+0.2348

Y si comparamos esta ecuación con la ecuación obtenida por elTeorema de Steiner, entonces:

I1=IG+Ml2

Entonces IG = 0.2348kg.m2 y M=2.2555kg

6.- El valor de IG obtenido anteriormente por la fórmula analítica es0.2339 kg.m2 entonces el error es:| |Es decir se obtuvo un error pequeño de casi 0.3 por ciento respecto alvalor teórico. | |El valor de M obtenido al pesar la barra fue de 2.317 kg, entonces elerror es: | |Es decir se obtuvo un error pequeño de casi 2 por ciento respecto alvalor teórico. | |

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7.-Hallaremos la longitud del péndulo simple equivalente para el hueco número 1, primero calculamos el periodo del péndulo físico en dicho hueco:

Por el Teorema de Steiner tenemos:

I= IG + ML2 = 0.234 + 2.317(0.508)2=0.832

Entonces el periodo seria:

√ = 2π√( )( )( ) =1.6866

Igualando el resultado con el período de un péndulo simple:

T1=2π√1.6866=2π√

Entonces la longitud seria: =0.7068m

8.- El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:

El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:

Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:

El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:

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9.- Comentarios y conclusiones:

Vemos que de la fórmula para determinar el periodo de oscilación que éste es independiente de la amplitud si esta espequeña ( ), es decir, si al principio se le otorga al

péndulo físico una amplitud de por ejemplo tendrá elmismo periodo que si se le hubiese soltado desde un ángulo arbitrario en el intervalo de mostrando que el ángulo inicial no afecta en el cálculo del periodo.

Los márgenes de errores se deben fundamentalmente a ciertos factores que no podemos manejar como la resistencia del aire, las malas mediciones, incertidumbre…

Si el sólido presenta una “difícil” geometría, no conocemos su momento de inercia este experimento nos muestra una manera de hacerlo empíricamente con una buena aproximación pues bastaría considerar un cierto número de oscilaciones para determinar el periodo, el centro de gravedad -el cuál se puede encontrar como en la primera etapa del experimento- medir la distancia desde el eje hasta este centro encontrado y remplazar en la fórmula del periodo (para pequeñas oscilaciones) y tendríamos el momento de inercia del punto en que lo hagamos rotar y consecuentemente por el teorema de Steiner el momento de inercia respecto al centro de masa.

Observamos que el comportamiento del péndulo en cuestión es que a medida que la distancia entre el eje de rotación y el centro de gravedad desde casi cero comienza a aumentar el periodo empieza a disminuir hasta alcanzar un mínimo después de alcanzar ese periodo mínimo crece indefinidamente (la distancia del eje de rotación y el centro de masa se hace cada vez menor)

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Si se deseara calcular el momento de inercia de la barra con más rigor se necesitaría considerar los pequeños huecos de la

barra (cilindros) cuyos momentos de inercia son y con

respecto al centro de masa bastaría aplicar Steiner y asísumamos todos esos momentos de inercia individuales y losrestamos al de la barra pues el momento de inercia con respecto al centro de masa es la suma de algebraica de momentos de cada uno de los elementos que componen al sistema.

La Fórmula que determinamos nos dice que, en efecto,

existe un tal que si arbitrariamente escogemos un( ) ( ) donde lo que significa que tendrán igual

periodo, donde a representa la longitud de la barra (largo)

y efectuando operaciones algebraicas y

para que se encuentre dentro de la barra .

Además si consideramos el momento de Inercia como () (no tomando los huecos) para que este resultado tenga

sentido físico siendo b el ancho de la barra la√interpretación de que esa condición no se cumpla es que el soporte tendría que estar afuera de la barra lo cual es imposible.