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LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI MATEMATICA

Prof. Francesco Marchi1

Esercitazione per l’esame di saldo debito formativo

27 febbraio 2010

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Indice

1 Limiti che non presentano forme indeterminate 21.1 Limiti per semplice sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Algebra degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Funzioni algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Funzioni goniometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.3 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Limiti di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Limiti che presentano forme indeterminate 42.1 Forma ∞∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Per funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.1.2 Per funzioni irrazionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Forma 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Per funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Tramite limite notevole sin x

x → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.3 Tramite limite notevole ex−1x → 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Forma 1∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.1 Tramite limite notevole

(1 + 1

x )x → e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Dominio e segno di una funzione 63.1 Esercizi di teoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.4 Abbinamento grafici-funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.4.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Limiti, continuita, asintoti 74.1 Determinazione del grafico di funzioni che soddisfano date condizioni . . . . . . . . . . . . 7

4.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2 Abbinamento grafici-funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.2.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.3 Individuazione del grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.3.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

4.4 Esercizi vari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.1 Asintoti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.4.2 Asintoti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Derivate 125.1 Linearita dell’operatore derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.2 Derivata del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.3 Derivata di un rapporto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4 Derivata di funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5.4.1 Composizione di due funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125.4.2 Composizione di tre o piu funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1


1 Limiti che non presentano forme indeterminate

1.1 Limiti per semplice sostituzione

1.1.1 Funzioni algebriche

limx→0

22x2−1 =

1

2(1) lim

x→�3

x+ 4

3− x=� + 12

3− �(2)

1.1.2 Funzioni goniometriche

limx→�

3

2 sinx+ x2 =9√

3 + �2

9(3)

limx→�

tanx− 3

tanx+ 1= −3 (4)

limx→�

3

−2 cos(3x) + 1 = 3 (5)

limx→1

cos�x

3x− 1= 0 (6)

1.1.3 Funzioni esponenziali e logaritmiche

limx→e

lnx2 + 3 + x = 5 + e (7)

limx→1

( 2x

3x− 2

)x−1= 1 (8)

limx→4

log4 x+ 3 + sinx = 4 + sin 4 (9)

limx→0

ex + e−x

3=

2

3(10)

1.2 Algebra degli infiniti

1.2.1 Funzioni algebriche

limx→−∞

(x2 +

1

x

)= +∞ (11)

limx→+∞

√1 + 3

x2

2x+ 1= 0 (12)

limx→1−

x2 + x+ 1

x− 1= −∞ (13)

limx→0+

( 4

x+

�

x7

)= +∞ (14)

limx→5−

x

x− 5= −∞ (15)

limx→1+

3x√x

x2 − 3x+ 2= −∞ (16)

limx→2−

x− 3√2−√x

= −∞ (17)

limx→−∞

(4x2 − x+ 3) = +∞ (18)

1.2.2 Funzioni goniometriche

2


limx→�

4+

x2

tanx− 1= +∞ (19)

limx→�−

sin 2x

cosx+ 7= 0 (20)

limx→�+

cosx+ 2

sinx= −∞ (21)

limx→0+

3 + x3 + cosx

sinx= +∞ (22)

limx→�−

x2

cosx+ 1= +∞ (23)

limx→�

6+

tan +3√3− 2 cosx

= +∞ (24)

1.2.3 Funzioni esponenziali

limx→+∞

5

xex= 0 (25)

limx→+∞

x3(1− 2x

)= −∞ (26)

limx→+∞

1 + e−x

x2 + 1= 0 (27)

limx→+∞

ex − 1

1− e−x= +∞ (28)

1.3 Limiti di funzioni composte

limx→+∞

arctan lnx =�

2(29)

limx→3−

log1/2

(9− x2

)= +∞ (30)

limx→−∞

sin(ex) = 0 (31)

limx→�

2−etan x = +∞ (32)

limx→+∞

e−√x = 0 (33)

limx→+∞

ln3x

2 + x3= −∞ (34)

3


2 Limiti che presentano forme indeterminate

2.1 Forma ∞∞

2.1.1 Per funzioni razionali fratte

limx→+∞

1− 10x2

4x2 − 1= −5

2(35)

limx→+∞

(x+ 1)2

x+ 4= +∞ (36)

limx→−∞

x2 + 6x+ 5

x5 + 4= 0 (37)

limx→+∞

x2

x+ 1− x3 + 1

x2 − 1= −1 (38)

2.1.2 Per funzioni irrazionali fratte

limx→+∞

√x− 1− 1√x− 1 + 1

= 1 (39) limx→+∞

√x2 − 1− x√x2 − 1 + x

= 0 (40)

2.2 Forma 00

2.2.1 Per funzioni razionali fratte

limx→2

4x− x3

x− 2= −8 (41)

limx→−2−

2x2 + 4x

x2 + 4x+ 4= −∞ (42)

limx→5

x3 − 25x

x− 5= 50 (43)

limx→0−

x5 − x2x2 + 3x3

= +∞ (44)

2.2.2 Tramite limite notevole sin xx → 1

limx→0

sin 7x

x= 7 (45)

limx→0−

sinx2

x3= −∞ (46)

limx→0

sin2 x

x= 0 (47)

limx→0

4 sin 3x

5x=

12

5(48)

2.2.3 Tramite limite notevole ex−1x → 1

limx→0

e3x − 1

x= 3 (49)

limx→0

ex3� − 1

4x=

1

12�(50)

limx→0

e4x − 1

2x= 2 (51)

4


2.3 Forma 1∞

2.3.1 Tramite limite notevole(1 + 1

x )x → e

limx→+∞

(1 +

1

x

)2x

= e2 (52)

limx→−∞

(1− �

x

)3x

= e−3� (53)

limx→−∞

(1 +

1

7x

)x= 7√e (54)

limx→+∞

(1− 51

x

)x= e−51 (55)

5


3 Dominio e segno di una funzione

3.1 Esercizi di teoria

Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false:

1. Il dominio delle due funzioni seguenti e lo stesso

f(x) = 5 + 3√

6 + x− 2√x7 − 5 sinx; g(x) =

√x7 − 5 sinx+ 5

√4 + x

8

2. Si consideri la funzione ℎ(x) = 6+x2

5−x + log(x+ 3).

(a) Il punto x = −3 appartiene al dominio.

(b) Il punto x = 0 appartiene al dominio.

(c) La funzione non e definita per x = 0.13− �.

3.2 Impostazione dei calcoli relativi a dominio e segno

Impostare il sistema relativo alla determinazione del dominio delle seguenti funzioni, senza risolverlo.

1. f1(x) = 6√

cos(4 + x3) + 5log(x−4)

2. f2(x) = tan(√x+ 7)− x3 + 8

3.3 Determinazione del dominio e segno di funzioni date

Per le seguenti funzioni ℎ(x) e g(x):

ℎ(x) =cosx−

√2/2

x2 + 4x+ 4g(x) =

√x2 − 4

∙ Determinare il dominio e scriverlo sotto forma di intervallo.

∙ Studiare il segno e rappresentare sotto forma di intervallo i valori di x per cui le funzioni sonopositive.

3.4 Abbinamento grafici-funzioni

3.4.1 Esercizio 1

Con opportune considerazioni sul dominio, stabilire le corrispondenze fra le funzioni elencate qui di seguitoe i grafici riportati in figura 1.

1. a(x) =5√x3−5x2+3x+1

2x−1

2. b(x) = 4 tan(4x+ 3)

3. c(x) = ecos x +√

4− x2 + sinx

4. d(x) = 135e

x + 4√x2 − 4

5. e(x) = 15 log(7− x) + 4 cos ex

6. f(x) =(67

)x+ 3 log x+ 9

√x3 − 5

6


(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

Figura 1: Grafici relativi all’esercizio 3.4.1.

4 Limiti, continuita, asintoti

4.1 Determinazione del grafico di funzioni che soddisfano date condizioni

4.1.1 Esercizio 1

Di una certa funzione f(x) si sa che:

∙ limx→−3+ f(x) = +∞

∙ f(4) > 0

∙ limx→+∞ f(x) > limx→−∞ f(x)

Determinare quale fra i grafici proposti in figura 2 rappresenta la funzione f(x).

4.1.2 Esercizio 2

Di una certa funzione f(x) si sa che:

∙ f(−4) = −f(4)

7


(a) (b)

(c) (d)


8


(a) (b)

(c) (d)


∙ la retta di equazione y = 6 e un asintoto orizzontale

∙ la funzione ha nel punto x = 3 una discontinuita eliminabile

Determinare quale fra i grafici proposti in figura 3 rappresenta la funzione f(x).

4.2 Abbinamento grafici-funzioni

4.2.1 Esercizio 1

Mediante opportune considerazioni sugli asintoti, associare a ciascuna delle funzioni seguenti il graficocorrispondente, fra quelli proposti in figura 4:

f1(x) =1

4− x2; f2(x) =

x2

4− x2; f3(x) =

x

2− x; f4(x) =

x

4− x2;

4.3 Individuazione del grafico di una funzione

4.3.1 Esercizio 1

Determinare a quale delle funzioni elencate di seguito corrisponde il grafico rappresentato in figura 5.

9


(a) (b)

(c) (d)


10


Figura 5: Grafico relativo all’esercizio 4.3.1.

f(x) =x2 − 1

x2 − 4(56)

f(x) = ln

(x2 − 1

x2 − 4

)(57)

f(x) = ex2−1

x2−4 (58)

f(x) =

√x2 − 1

x2 − 4(59)

4.4 Esercizi vari

4.4.1 Asintoti verticali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto verticale?

f(x) =1

x2 − 1(60)

f(x) =1

x2 + 1(61)

f(x) =√x2 − 1 (62)

f(x) = ln(1 + x2) (63)

f(x) = lnx (64)

4.4.2 Asintoti orizzontali

Quali tra le funzioni elencate qui di seguito ha almeno un asintoto orizzontale?

f(x) =√

1− x2 (65)

f(x) =x

x2 + x+ 1(66)

f(x) =x2 + x+ 1

x(67)

f(x) = lnx (68)

11


5 Derivate

5.1 Linearita dell’operatore derivata

f(x) = x3 (69)

f(x) = 3x5 (70)

f(x) = 4x2 +1

3x4 − 1

x(71)

f(x) = 2 tanx− arctanx (72)

f(x) = lnx− 3 arctanx+√� (73)

f(x) = x1/7 + 5√x (74)

5.2 Derivata del prodotto

f(x) = x lnx− 2x+ 1 (75)

f(x) = ex(x4 − 6x2 + x+ 7) (76)

f(x) = x4ex (77)

f(x) = sinx cosx (78)

5.3 Derivata di un rapporto

f(x) =x+ 1

x− 2(79)

f(x) =1 + x2

ex+ 4e (80)

f(x) =3 lnx

2x2 − 3(81)

f(x) =1− cosx

1 + cosx(82)

f(x) =1

sinx− 1

5(83)

f(x) =6 sinx+ cosx

ex + sinx(84)

5.4 Derivata di funzioni composte

5.4.1 Composizione di due funzioni

f(x) = ln 2x (85)

f(x) = sin4 x (86)

f(x) = e3x + 7 (87)

f(x) = e3x+7x2

(88)

f(x) = x+ sin 2x− 4 cos 3x (89)

5.4.2 Composizione di tre o piu funzioni

12


f(x) = ln sin 2x (90)

f(x) =7√

ln sinx (91)

f(x) = cos arctan ex (92)

f(x) = 4√

sin(x3 + 2x− 4) (93)

13


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