1 Uno dei primi modelli del nucleo proposti Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una...
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1 • Uno dei primi modelli del nucleo proposti • Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro • Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili modello della goccia di liquido Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie Goccia di liquido Nucleo forze intermolecolari a forza nucleare corto range Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare Calore richiesto per B/A
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1
• Uno dei primi modelli del nucleo proposti
• Conseguenza naturale del pensare il nucleo come una collezione di “molecole” legate fra loro
• Queste molecole sono in moto costante e diversi tipi di moto sono possibili
Il modello della goccia di liquido
Consideriamo il nucleo come una sfera di densità uniforme interna, che va a zero in superficie
Goccia di liquido Nucleo
forze intermolecolari a forza nucleare corto range
Densità indip. dalla densità indip. dalla dalla dimensione goccia dimensione nucleare
Calore richiesto per B/A costante evaporare una massa fissa indipendente dalla goccia
2
Il termine di volume +avA
Termine dominante, proporzionale al volume BR3. Poichè AR3 B A, e B/A=cost. Ciascun nucleone contribuisce per circa 16 MeV.
Da questo deduciamo che la forza nucleare ha corto range, corrispondente approssimativamente alla distanza fra due nucleoni. Questo fenomeno è detto saturazione.
Infatti, se ciascun nucleone interagisse con tutti gli altri nucleoni, l’energia di legame totale sarebbe proporzionale ad A(A-1) o approssimativamente ad A2.
A causa della saturazione, la densità centrale dei nucleoni è la stessa per quasi tutti i nuclei: 0.17 nucleoni/fm3 o 3x1017 kg/m3.
La distanza media fra i nucleoni è circa 1.8 fm.
Il termine di superficie -asA2/3
I nucleoni in superficie sono circondati da meno nucleoni. Perciò l’energia di legame è minore rispetto ai nucleoni all’interno. Questo contributo è proporzionale all’area della superficie del nucleo (R2 o A2/3)
Singoli termini dell’energia di legame
3
Il termine coulombiano –acZ2/A1/3
La forza elettrica repulsiva agente fra i protoni nel nucleo riduce ulteriormente l’energia di legame. Questo termine vale
Poichè R A1/3 segue che questo termine è approssimativamente proporzionale a Z2/A1/3
Mettendo tutto assieme troviamo
R
eZZECoulomb
2)1(
5
3
3/123/2 /),( AZaAaAaAZB csv
La formula è ancora inadeguata:
per A fissato, predice che il nucleo con Z=0 ha la massima energia di legame (cioè tutti i protoni si convertono in neutroni!)
Inoltre l’energia di legame per nucleone presenta ancora una pendenza positiva al crescere del numero di massa. Questo non si osserva in natura
volume
superficie
Coulomb
simmetria
Numero di massa A
B/A
(M
eV
pe
r n
uc
leo
ne
)
4
Termine di asimmetria
Per passare da N-Z=0 a N>Z con A fissato è richiesta un’energia pari a (N-Z)2E/8
Nuclei con N=Z hanno energia di legame maggiore e sono perciò più fortemente legati di un nucleo con NZ.
La correzione viene scalata di 1/A poichè i livelli sono più ravvicinati al crescere di A
Un’importante considerazione per le particelle nella buca di potenziale è il principio di Pauli – questo influisce sullo stacking dei singoli protoni e neutroni e quindi sulle rispettive energie
ANZaa /)( 2
buca di protoni buca di neutroni
cambiamo 2 protoni in 2 neutroni
cambiamo 2 protoni in 2 neutroni
separazione fra i livelli E
Aumento di energia=2 E
Aumento di energia=4x2 E
neutrone protone
5
Contributi a B/A
Numero di massa A
Ene
rgia
di l
egam
e pe
r nu
cleo
ne (
MeV
)
6
Il termine di accoppiamento
Questo riflette l’osservazione sperimentale che due protoni o due neutroni sono sempre più fortemente legati di un protone e un neutrone.
Questa interazione di accoppiamento favorisce la formazione di coppie di nucleoni dello stesso tipo (pp, nn) con spin opposti e funzione spaziale d’onda simmetrica
Il termine viene aggiunto nel modo seguente:
Per nuclei A dispari
• Z pari, N dispari
• Z dispari, N pari
Per A pari
•Z dispari, N dispari -(Z,A)
•Z pari, N pari +(Z,A)
2/1),(
A
aAZ p
0),( AZ
7
La formula di massa semi-empirica (Weizsacher)
La formula finale è per l’energia di legame è
),()(
),(2
3/1
23/2 AZ
A
NZa
A
ZaAaAaAZB acsv
I valori esatti dei coefficienti dipendono dal range di masse per cui sono ottimizzati. Un possibile insieme di parametri è
av=15.67 MeV
as=17.23 MeV
ac=0.714 MeV
aa=23.285 MeV
= -11.2 MeV Z ed N pari
0 MeV A dispari
+11.2 MeV Z ed N dispari
Da cui si ottiene la formula di massa semi-empirica
21 /),(),( cAZBNmHZmAZM n
8
Confronto con l’esperimento
Energia di legame per nucleone dei nuclei con numero di massa A pari
La linea continua corrisponde alla formula di massa semi-empirica
Deviazioni relativamente grandi per A piccolo
Per A grande legame abbastanza più forte a certi Z ed N. Questi cosidetti “numeri magici” vengono spiegati dal modello a shell
9
Limiti della formula semi-empirica
Ulteriori studi della saturazione della forza e della repulsione a corto range indicano che il principio di esclusione di Pauli non è sufficiente.
Il momento angolare orbitale relativo e lo spin dei nucleoni sono richiesto per spiegare le caratteristiche della natura repulsiva della forza. Queste discussioni sono tuttavia qualitative. Non c’è posto nella formula di massa semi-empirica per gli effetti di spin.
L’ipotesi del nucleo sferico implica che il nucleo non ha un momento di quadrupolo elettrico – tuttavia si osservano diversi nuclei aventi momento di quadrupolo diverso da zero.
Se il nucleo può essere considerato come una goccia allora ci aspetteremmo fenomeni collettivi come stati rotazionali o vibrazionali. Il modello della goccia di liquido tuttavia ha un potere preditivo molto limitato in questo senso.
Il modello però si dimostra molto utile per considerare la linea della stabilità nel decadimento e la stabilità nucleare nella fissione e nel decadimento .
10
Applicazione 1: parabola di massaConsideriamo nuclei con lo stesso numero di massa A (isobari). La formula di Weizsacker può essere trasformata in
2/12
),(),(
A
aZZA
ZABZmZmNmZAM
p
epn
dove i coefficienti sono
prima come
)(
3/1
3/1
p
ca
epna
asvn
aA
a
A
a
mmma
aAaam
Un grafico delle masse nucleari in funzione di Z per A costante dà una parabola di massa per A dispari. Per A pari le masse dei nuclei pari-pari e dispari-dispari si trovano su due parabole spostate verticalmente (di 2ap/A1/2)
Il minimo delle parabole si trova per Z=/2. Il nucleo con la massa minore in uno spettro isobarico è stabile rispetto al decadimento .
11
Parabole di massa per A=101, A=106
Più dettagli sul decadimento nelle prossime trasparenze
12
Decadimento - nuclei di massa dispariI nuclei di numero di massa dispari sono situati su una singola parabola di massa, ad esempio quelli per A=101 nella trasparenza precedente.
ee
e
ee
eRuRheTcMo
mZAMZAMZAMZAM
enpepn
10144
10145
10143
10142esempio
2)1,(),()1,(),(condizione
reazione
M(A,Z) è la massa atomica, per cui la massa dell’elettrone creato viene presa in considerazione automaticamente. La massa del neutrino elettronico è così piccola (<< eV/c2) che può essere trascurata.
La reazione del decadimento + è possibile solo all’interno di un nucleo, perchè la massa a riposo del neutrone è maggiore di quella del protone.
13
Decadimento - nuclei di massa pariGli isobari di numero di massa pari formano due parabole separate, una per i nuclei pari-pari, l’altra per i nuclei dispari-dispari, che sono separate da due volte l’energia di accoppiamento.
Talvolta c’è più di un nucleo pari-pari stabile. Ad esempio, nel caso di A=106, ci sono 106
46Pd e 10648Cd.
Il primo è genuinamente stabile, poichè è nel minimo della parabola. L’isotopo Cd potrebbe invece decadere via doppio decadimento :
eePdCd 2210646
10648
Tuttavia, la probabilità di tale processo è così piccola che 106
48Cd può essere considerato stabile.
I nuclei dispari-dispari per A>14 non sono mai stabili, poichè essi hanno sempre un vicino pari-pari più fortemente legato. I nuclei leggeri 2
1H, 63Li, 10
5B, 147N
sono stabili, poichè l’aumento dell’energia di asimmetria supererebbe la diminuzione dell’energia di accoppiamento.
14
Esiste una probabilità finita di trovare un elettrone di una shell atomica all’interno del nucleo; in particolare per quelli della shell inferiore, la shell K.
Poichè una cattura elettronica lascia una vacanza nella shell K, gli elettroni eseguiranno una cascata per riempirla emettendo raggi X caratteristici.
La condizione per la cattura elettronica è
Intermezzo: cattura elettronicaUn diverso processo fisico in competizione col decadimento + è la cattura elettronica:
)1,(),( ZAMZAM
Dove è l’energia di eccitazione della shell atomica del nucleo figlio.
La cattura elettronica ha perciò più energia a disposizione del decadimento + (2mec2- )
enep
15
Esempio: decadimenti del 40K
16
Applicazione 2: fissione spontaneaPer nuclei più pesanti del ferro, l’energia di legame diminuisce al crescere della massa. Un nucleo con Z > 60 può perciò, in linea di principio, suddividersi in due nuclei più leggeri. Fortunatamente, la barriera di potenziale è generalmente così grande che tali reazioni sono molto improbabili.
I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è significativa sono certi isotopi dell’uranio.
L’altezza della barriera per fissione determina la probabilità di fissione spontanea
17
Stimiamo la massa a cui i nuclei diventano instabili a causa della fissione considerando una deformazione:
),(),(
),(),(
ZABZmZmNmZAM
ZABZmZmNmZAM
epn
epn
La massa in assenza e in presenza di deformazione è
Per cui
),(),(),(),( ZABZABZAMZAM
Se allora il nucleo è instabile rispetto alla deformazione e può suddividersi.
0),(),( ZABZABB
18
Il termine di volume della SEMF è invariato poichè
costante3
4
3
4volume 32 Rab
Variazione del termine di superficie
Se Z2/A > 2as/ac B>0 il nucleo è instabile per deformazioni
5
2),(),(
223/2
c
sc a
a
A
ZAaZABZABB
23/23/2
5
21 AaAa ss
Variazione del termine coulombiano
51
2
3/1
2
3/1
2 A
Za
A
Za cc
variazione dell’energia di legame
270 ,114 cioè 50/2 AZAZ
19
Il modello del gas di Fermi
Il potenziale a cui un singolo nucleone è soggetto è la sovrapposizione dei potenziali degli altri nucleoni. Questo potenziale ha la forma di una sfera di raggio R = R0 A1/3 fm, equivalente ad una buca di potenziale quadrata 3-D di raggio R.
I nucleoni si muovono liberamente (come un gas) all’interno del nucleo, cioè all’interno della sfera di raggio R.
I nucleoni riempiono i livelli nella buca fino all’energia di Fermi EF.
Le buche di potenziale di protoni e neutroni in generale possono essere diverse.
Se l’energia di Fermi fosse diversa per protoni e neutroni, il nucleo sarebbe soggetto a decadimento in uno stato energeticamente più favorevole
In generale i nuclei pesanti stabili hanno un surplus di neutroni
Perciò la buca del gas di neutroni deve essere più profonda di quella dei protoni
I protoni sono perciò in media meno legati dei neutroni (repulsione Coulombiana)
Possiamo avere 2 protoni/2 neutroni per livello di energia, in quanto gli spin possono essere
20
La differenza fra l’energia di Fermi e la cima della buca di potenziale è l’energia di legame B = 7-8 MeV/nucleone che abbiamo visto nella discussione del modello della goccia di liquido.
La profondità della buca V0 è in buona approssimazione indipendente dal numero di massa A
MeV400 BEV F
21
L’hamiltoniana del sistema è data dall’energia cinetica dei singoli nucleoni
A
ii
A
ii m
TH1
22
1 2
e abbiamo l’equazione di Schrodinger
),,,(),,,( 2121 AA rrrErrrH
Possiamo scrivere la funzione d’onda nucleare nella forma (separazione delle variabili)
)( )( )(),,,( 221121 AAA rrrrrr
Ciascuna delle funzioni d’onda di singolo nucleone soddisfa quindi
A
iiiiii EErEr
m 1
22
),( )(2
Possiamo operare un’ulteriore fattorizzazione in modo da arrivare a equazioni del tipo
)()()( ),,( zyxzyx iiii
2222
22
2
2 ),( )( iziyixiiixi kkk
mExkx
dx
d
22
Abbiamo la soluzione
xikxiki
ixix CeBex )(con le condizioni di frontiera
0
0
0)( )0(
LikLik
ii
ixix CeBe
CB
Lxx
quindi
0sin LkB
CB
ix
Questo implica che il vettore d’onda kix può assumere solo i valori
,3 ,2 ,1 , ixix
ix nL
nk
23
La costante di normalizzazione si trova imponendo
LB
LBxdxkBdxx
L L
ixi
2
2sin)(1 2
0 0
222
in questo modo arriviamo alla funzione d’onda di singolo nucleone
con
zkykxkL
zyxr
iziyix
iiii
sinsinsin2
)()()()(2/3
,3 ,2 ,1,, , , iziyixiz
iziy
iyix
ix nnnL
nk
L
nk
L
nk
A ciascuna terna di interi (nix,niy,niz) corrisponde un autovalore dell’energia di particella singola
)(2
)(2
),,( 22222
2222
iziyixiziyixiziyixi nnnmL
kkkm
nnnE
24
Nello stato fondamentale tutti gli stati sono riempiti con due protoni e due neutroni.
Nel k-spazio l’intervallo minimo fra due stati diversi è
Un singolo stato occupa un volume (/L)3. Il numero di stati fra k e k + d3k è
Otteniamo l’energia più bassa assumendo che N = Z = A / 2 e mettendo 4 particelle in ogni stato fino a kF
Il numero totale di stati permessi fino a un valore massimo kF di k è
Lnn
Lk zyxzyxzyx
)1( ,,,,,,
kdL
kdN
33)/(
1
8
1)(
333
0
,3
4
)2()()( LkkdNkN F
k
F
F
2
33
30 3
2
3
44
)2()(4
F
F
kk
kkdNAF
25
Poichè 0 = A / , il momento di Fermi dipende solo dalla densità nucleare
Praticamente per tutti i nuclei con A > 12 abbiamo 0 = 0.17 nucleoni / fm3, da cui
Un nucleone con momento di Fermi ha energia cinetica
L’energia cinetica di un nucleone di momento k è Tk = h2k2/2m. L’energia cinetica totale è
MeV 35.382
22
m
kFF
FFF
kk
k
Am
kk
dkkm
kkdNTT
FF
5
3
25
3
3
2
22)(4
22
2
3
0
222
20
2
3
0 3
2
Fk
Energia cinetica e raggio nucleare
-1fm 36.1Fk
26
I nucleoni nella buca hanno un’energia cinetica media
Se assumiamo che il nucleo sia una sfera di raggio R di densità uniforme 0, allora
Possiamo quindi ricavare il raggio R
Se kF = 1.36 fm-1, otteniamo
3/10
3/1
3/1
3
3/1
0 8
9
4
3ArA
k
AR
F
MeV 235
3 FA
T
fm 12.18
9 13/1
0
Fkr
300 3
4RA
27
Poichè T/A 23 MeV, bvol (energia di legame per nucleone) deve derivare dal bilanciamento di T/A e un’energia potenziale media per nucleone
Nella formula di massa semi-empirica il termine dominante è quello di volume
Per calcolare U assumiamo che fra i nucleoni agisca una forza centrale V(|ri-rj|) identica in tutti gli stati.
La funzione d’onda di una coppia di nucleoni è
L’energia potenziale media Uij è il valore di aspettazione di V rispetto a ij
)()()()()()()()(2
1),,,( jirrjirrssrr ijjiijjijjiijijiij
MeV40// vol ATbAU
MeV 16 ,BE volvolvol bAb
Parametri della formula semi-empirica
Eij
Dijjiijjiijij UUrdrdrrVU
33*
termine diretto
termine di scambio
28
Otteniamo l’energia potenziale dell’intero sistema sommando su tutte le coppie, che sono A(A – 1)/2 A2 / 2 Possiamo inoltre porre |(r)|2 = (r) / A
jijiji
jiij rdrdrrV
A
rrAUU
332
2 )()(
2
1
Consideriamo per semplicità soltanto il termine diretto
jijijjiiDijij rdrdrrVrrUU
3322 )()(
Nel gas di Fermi la densità è costante = 0 = A / . Introducendo le coordinate r = ri – rj, R = (ri + rj) / 2
VArdrVA
rdrVRdUUji
ij
ˆ)(2
1
)(2
1
03
0
3320
dove
rdrVV3)(
2
1ˆ
29
Non dipende da A o dal volume. Nel caso della buca di potenziale di lato a ad esempio
L’energia totale del sistema è approssimativamente
VAUTBEE F
ˆ5
30
V̂
Abbiamo quindi un’energia di legame proporzionale al volume, come nella formula semi-empirica.
Possiamo quindi scrivere
Vb
AbVABE
Fvol
volF
ˆ5
3
,ˆ5
3
0
0
30
2ˆ3
V a V
30
Abbiamo visto che
D’altra parte possiamo esprimere il momento di Fermi in termini della densità come
Equazione di stato del sistema nucleare
Per cui
0ˆUV
A
2 23 3
5 5 2F
F
T k
A m
1/ 3203
2Fk
2 / 32 20
0
3ˆ2 2
BEV
A m
Equazione di stato del sistema nucleare
31
Se V>0 (forza puramente attrattiva), allora per BE/A diventa infinitamente negativa! Il sistema collasserebbe.
Esiste una componente repulsiva della forza quando la distanza dei nucleoni è minore di 0.5-0.8 fm
32
Presenza di una superficie (S/0): nel conto degli stati fra k e k+d3k dobbiamo sottrarre gli stati per i quali kx (o ky o kz) = 0
Abbiamo quindi
23
2
26 ,
)2(
4
2)/(
2
4
13 LS
dkk
kS
L
kdk
Il termine di superficie
dkkk
SdN 2
34
21
)2(
Il numero di nucleoni è ora
F
F
k
k
Sk
dkkk
SA
F
4
31
3
2
42
1)2(
4
2
3
0
23
33
La presenza della superficie diminuisce la densità del sistema di un termine proporzionale a S/
Possiamo quindi calcolare l’energia cinetica totale
L’energia cinetica per nucleone è invece (assumendo S/<<1)
Fk
SA
4
310
FF
F
k
k
Sk
dkkm
k
k
ST
F
8
51
5
3
3
2
422
1)2(
4
2
3
0
22
3
F
F
F
FF k
S
kS
kS
A
T
81
5
3
43
1
85
1
5
3
Il termine di superficie aumenta <T>
34
Il termine dell’energia cinetica dovuto alla superficie è quindi
Assumendo che R = r0A1/3 e poichè kF=(9/8)1/3/r0, possiamo scrivere
3/23/2
sup 245
9
85
3AA
k
ST F
FF
3/13/13/1
03
0
3/220
243
9
8
83/4
4
8
A
r
Ar
Ar
k
S
F
18 MeV (vicino a bsup)
35
Consideriamo un nucleo con N = Z = A / 2 e supponiamo che degli Z protoni diventino neutroni
Nel caso del nucleo simmetrico
Possiamo analogamente definire nel gas asimmetrico
kF
FkdNA0
2
30
3
24
12
' ,12
'A
NA
Z
Energia di simmetria
pF
nF
k pF
k nF
kdN
AZ
kdN
AN
02
3
02
3
32)1(
2'
32)1(
2'
Abbiamo quindi
3/10
3/12
3/10
3/12
)1()1(2
3
)1()1(2
3
FpF
FnF
kA
k
kA
k
36
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
dove
pFF
nF
k
k
k
k
ZA
N
dNm
kdN
m
kT
F
pF
nF
F
5
3'
5
3
22
5
3'
22
22
0
22220
0
3/20
22
3/20
22
)1(2
)1(2
F
pFp
F
F
nFn
F
m
k
m
k
Per passare a questa nuova configurazione è necessaria una certa energia perchè l’energia dei protoni sotto il livello di Fermi è minore di quella dei neutroni posti sopra il livello di Fermi. La variazione di energia cinetica è
4/
4/)1(
4/)1(
4/
22A
A
A
A
dNdNT
37
Possiamo riscrivere la variazione di energia cinetica come
Poichè A = N’ – Z’
A
A
ZA
NT
F
F
20
3/23/20
)(
3
1
)1('2
2)1('5
3
MeV )''(
13)''(
3
1 220
A
ZN
A
ZNT F
bsim = 23.3 MeV circa il 50% dell’energia di simmetria dei nuclei deriva dal principio di Pauli
Il restante 50% dipende dall’energia potenziale che tende ad essere meno attrattivo per momenti grandi per cui i neutroni in eccesso sopra k0
F saranno meno legati
Inoltre è più attrattivo per coppie n-p (singoletto di isospin) che per coppie p-n, p-p, n-n in tripletto di isospin e il numero di coppie p-n è massimo quando N = Z
38
Altre applicazioni del gas di Fermi – nane bianche
Quando una stella esaurisce il suo combustibile comincia a contrarsi. E’ possibile raggiungere una nuova condizione di equilibrio in cui la pressione gravitazionale è bilanciata dalla pressione di degenerazione degli elettroni.
Supponiamo che elettroni e protoni formino un gas di Fermi all’interno della stella.
La densità di elettroni è
32
3 2
3
2
4 ,(2 ) 3
3
Fe
e Fe
V VkN k dk
N kn
V
Se assumiamo che ci sia un ugual numero di protoni ed elettroni, allora il momento di Fermi è identico e np = ne.
39
Calcoliamo la densità di energia. Per gli elettroni
Nel caso dei protoni invece
2 2 2 52
3 2
2 5
2
4 ,2 (2 ) 10
10
Fe
e e
e Fe
e
k V V kE k dk
m m
E k
V m
2 2 2 52
3 2
2 5
2
4 ,2 (2 ) 10
10
Fp
p p
p Fp
p
k V V kE k dk
m m
E k
V m
La densità di energia dei protoni è minore poichè la loro massa è circa 2000 volte me
40
Il gas di Fermi possiede una pressione dovuta al principio di esclusione di Pauli che impedisce di mettere più di una particella in un singolo stato. E’ questa pressione che può bilanciare la pressione gravitazionale.
In generale abbiamo la relazione fra pressione e densità di energia
Quindi nel nostro caso
Il contributo alla pressione da parte dei protoni è trascurabile rispetto a quello degli elettroni. Solo questi sono importanti nel contrastare la pressione gravitazionale.
D’altra parte, la densità di massa del sistema è
1
3P
2 5
2
1 1
3 3 30F
tot e p ee
kP
m
3
23p F
e e p p p p
m km n m n m n
Nel caso della densità di massa quindi il contributo degli elettroni è trascurabile. Solo i protoni sono importanti.
41
Dalla relazione densità – momento di Fermi ricaviamo
Sostituiamo questo nell’espressione della pressione
Possiamo riscrivere
Questa è l’equazione di stato della materia degenere all’interno della stella.
1/ 323
Fp
km
5/ 32 5 2 2
2 2
3
30 30F
tote e p
kP
m m m
2 2 / 3
2 2 5/ 3e p
P
c c m m
42
Introduciamo la densità critica
Nel denominatore compare la lunghezza d’onda Compton dell’elettrone
L’equazione di stato può essere riscritta nella forma
Cosa succede quando = C? In questo caso
3( / )p
Ce
m
m c
2400e
e e
cfm
m c m c
2 / 3
2e
p C
P m
c m
1/ 323 C e
Fp
m ck
m
Gli elettroni si muovono alla velocità della luce gli effetti relativistici sono importanti
43
L’energia di una particella può essere espressa come
Se vc, allora p2c2>>m2c4 e E pc. Quindi la densità di energia degli elettroni diventa
La pressione è
Arriviamo, con passaggi simili al caso precedente a
2 2 2 4E p c m c
42
3 2
4
2
4 ,(2 ) 4
4
Fe
e Fe
V V ckE kc k dk
E ck
V
4 / 32
2
1 3
3 12ep
cP
m
1/ 3
2e
p C
P m
c m
44
Riassumendo,
dove
/ 3
2
n
e
p C
P m
c m
2,
1,C
C
n
n
45
Abbiamo visto che il modello della goccia di liquido dà una descrizione abbastanza buona dell’energia di legame. Offre anche una spiegazione qualitativa della fissione spontanea.
Il modello del gas di Fermi, assumendo come potenziale una semplice buca quadra 3D (differente per protoni e neutroni) spiega i termini della formula di massa semi-empirica che non era possibile ricavare dal modello della goccia di liquido.
Esamineremo ora ulteriori fatti sperimentali che il modello del gas di Fermi non può spiegare e vedremo quindi come sia possibile migliorare il modello
Questo ci porterà al Modello a Shell.
Vedremo che i nucleoni possono muoversi liberamente all’interno del nucleo. Questo è in accordo con l’idea che essi sono soggetti a un potenziale efficace globale creato dalla somma degli altri nucleoni.
Modelli a shell
46
Struttura a shell nucleare
Nuclei con valori di “numeri magici”
Z e/o N = 2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
sono molto stabili e presentano deviazioni significative dal comportamento nucleare medio.
B/A e le energie di separazione sono grandi per i numeri magici
ener
gia
di
leg
ame
per
par
tice
lla
nu
clea
re (
nu
cleo
ne
) in
MeV
Numero di Massa A
La massa media dei frammenti di fissione è circa 118
Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione
Fe
Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati
Ni6228
Fe5826
Fe5626
hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone
energia dalla fissione nucleare
energia dalla fusione nucleare
235U
47
Z
Numero di neutroni N
Energia di separazione dell’ultimo neutrone a cui è sottratto il valore della SEMF
Ene
rgia
di l
egam
e de
ll’ul
timo
neut
rone
(M
eV)
48
Energia di particelle emesse da isotopi di Rn. Picco a N = 128, cioè il nucleo figlio con N = 126 è particolarmente legatoE
M
eV
Sez
ione
d’u
rto
(mb)
numero di neutroni N
I nuclei con numeri magici di neutroni hanno sezioni d’urto di assorbimento neutronico fino a 2 ordini di grandezza minori di altri nuclei di masse simili
numero di neutroni N
49
Abbondanze nucleari
56Fe è l’isotopo più abbondante e stabile. Non ha Z o N uguale a un numero magico!
Le abbondanze piccano per Z o N uguali a un numero magico Nucleo doppiamente
magico Z=82 N = 126 208Pb
Oscillazioni delle abbondanze a seconda che Z e N pari o dispari
N=50
Z=50N=82
Abb
onda
nza
rela
tiva
Numero di massa A
56Fe
50
Nuclei che hanno sia il numero di neutroni che quello di protoni uguale a uno dei numeri magici sono detti doppiamente magici e sono particolarmente stabili
Il calcio fornisce un buon esampio. L’esistenza di molti isotopi di calcio può essere dovuto al fatto che Z = 20 è un numero magico. I due isotopi mostrati hanno numero di neutroni 20 e 28, anch’essi numeri magici
Nuclei doppiamente magici
Ene
rgia
di l
egam
e so
pra
la
form
ula
di W
eizs
ache
r (M
eV)
Ca4020
Ca4820
51
Analogia col comportamento atomico man mano che gli elettroni riempiono le shell Modello del gas di Fermi ⇒
Atomo
Gli elettroni si muovono indipendentemente nel potenziale centrale V(r)~1/r (campo coulombiano del nucleo).
Le shell sono riempite in base al principio di esclusione di Pauli.
Le proprietà dell’atomo sono definite dagli elettroni di valenza
I livelli dell’energia sono ottenuti risolvendo l’equazione di Schrödinger col potenziale centrale (dovuto al nucleo)
Numero magico Z → atomi di gas nobili
2
1
nEn
52
I nucleoni si muovono in un potenziale nucleare che rappresenta l’effetto medio delle interazioni con gli altri nucleoni nel nucleo e occupano stati di definito momento angolare orbitale
Forza nucleare a corto range vicino al centro potenziale costante
Vicino alla superficie la densità diminuisce V(r) diminuisce
V(r) per i protoni è modificato dall’interazione di Coulomb (decadimento )
Modello a shell nucleare
1. Square Well
2. Harmonic Oscillation
3. Woods - Saxon Potential
Rr
V(r)
V0
a
sRre
VrV
/)(0
1)( MeV 500 V
220 2
1)( rMVrV
V(r) generato dai nucleoni forma funzionale analoga a quella della densità del nucleo (r) ma con maggiore estensione
1. Buca quadra
2. Potenziale armonico
3. Potenziale di Woods-Saxon
53
Nello stato fondamentale i nucleoni occupano livelli di energia del potenziale nucleare che minimizzano l’energia totale senza violare il principio di Pauli.
Il principio di esclusione di Pauli opera indipendentemente per i protoni e i neutroni
Postulato: i nucleoni sono in orbite ben definite con energie discrete
Obiezione: i nucleoni hanno dimensione simile a quella del nucleo. Ci aspettiamo molti urti. Come ci possono essere orbite ben definite (c.f. Elettroni negli atomi)?
Principio di Pauli: se l’energia è trasferita in un urto allora i nucleoni si devono muovere in nuovi stati.
Tuttavia tutti gli stati vicini sono occupati
∴ nessun urto, cioè quasi tutti i nucleoni in un nucleo si muovono liberamente se esso è nello stato fondamentale.
Tendenza a Z=N E minima
54
Giustificazione per un potenziale centrale:
I momenti di quadrupolo misurati dei nuclei sono relativamente piccoli, almeno vicino ai “numeri magici” che ci interessa spiegare;
A metà strada fra i numeri magici, ad esempio attorno a Z o N = 70, 100 le cose cambiano e dovremo usare un approccio diverso, ma almeno per i nuclei più leggeri questa ipotesi dovrebbe essere ragionevole
55
),()(),,( mnnlm YrRr
Ylm (armoniche sferiche) è la parte angolare ed è la stessa per tutti i potenziali centrali.
R(r) è la soluzione dell’equazione radiale
nnnn RER
rmrVR
dr
d
rdr
d
m
2
22
2
22 1
2)(
2
2
Trattiamo quindi ciascun nucleone indipendentemente e risolviamo l’equazione di Schrödinger col potenziale nucleare per ottenere i livelli di energia
La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma
Gli stati permessi sono specificati da n, l, m:
n numero quantico radiale (numero di nodi nella funzione d’onda radiale)
l momento angolare orbitale (qualunque per dato n) (in fisica atomica lmax=n-1)
m numero quantico magnetico (m = -l……+l)
56
Se scegliamo il corretto potenziale V(r) allora la funzione d’onda dell’intero nucleo può essere scritta come un prodotto di funzioni d’onda di singola particella corrispondenti agli A nucleoni
A
i inlm rr1nucleo )()(
Sovrasemplificazione ... In realtà deve essere scritta come un prodotto di funzioni d’onda antisimetrizzato poichè i nucleoni sono fermioni identici.
Il momento angolare totale è
)2/1( ,1
ssjjj iii
A
ii
La parità del nucleo è
A
ii
1)1(
Sempre pari per un numero pari di nucleoni
57
Soluzione della parte radiale prodotto di un esponenziale e polinomio. Oscillazione nella regione classicamente permessa e decadimento esponenziale in quella proibita.
I livelli dell’energia possono essere espressi come
)2)(1( NNd
Potenziale armonico
nNNEN 2 ,
2
3
Per N>0 sono tutti degeneri: più coppie (n,l) danno luogo alla stessa energia.
N pari L pari e può essere al più uguale a N N dispari L dispari e può essere al più uguale a N
Esempio per n = 5 i valori permessi di L sono 1, 3, 5.
Poichè E non dipende anche da mL, per ogni L abbiamo un’ulteriore degenerazione (2L + 1). Quindi N = 5 ha una degenerazione (2 x 1 + 1) + (2 x 3 + 1) + (2 x 5 + 1) = 21.
Abbiamo infine la degenerazione di spin pari a 2. La degenerazione è complessiva è quindi 42.
In generale la degenerazione è
58
Diagramma dei livelli di energia (la degenerazione va moltiplicata per 2):
34
22
10
ss
ss
ss
nL: Ridefiniamo il numero quantico n in modo tale da contare il numero di livelli col dato valore di l.
),( N
59
Shell chiusa numero magico
Occupazione Totale Enl
I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili shell chiuse (livelli completamente occupati)
Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi tre livelli del potenziale armonico. Le successive shell d’altra parte non coincidono
Riempiamo le shell sia per i protoni che che per i neutroni Degenerazione di un livello nL: (2s+1)(2l+1) = 2(2l+1) (s=1/2)
60
Una dipendenza radiale più realistica modifica un pò la successione dettagliata dei livelli parte della degenerazione L dell’oscillatore è rimossa.
Ma i numeri magici non sono molto diversi da quelli dell’oscillatore
Potenziale di Woods-Saxon
Shell chiusa numero magico
Occupazione Totale Enl
61
Poichè entrambi i potenziali sono sfericamente simmetrici, la sola differenza è nella dipendenza radiale delle funzioni d’onda
Incredibilmente, quando i parametri vengono aggiustati per rendere uguale il potenziale medio, la differenza delle densità di probabilità radiali è molto piccola per questi due potenziali!
Dato questo fatto, la semplicità del potenziale armonico fa si che sia preferito nella costruzione del modello
Woods-Saxon vs armonico
62
Misuriamo la densità di carica elettrica con lo scattering elettronico
Z
ii rer
1
2)()(
La differenza di densità di carica fra 205Tl e 206Pb è proporzionale al quadrato della funzione d’onda per il protone extra in 206Pb, cioè possiamo misurare il quadrato della funzione d’onda di un singolo protone in un nucleo complesso in questo modo!
Conferma della validità delle basi del modello a shell (descrizione a particelle indipendenti)
raggio (fm)
diffe
renz
a de
nsità
di c
aric
a (e
/fm3 )
quadrato della funzione d’onda dell’oscillatore armonico per l’ultimo protone di 206Pb, numeri quantici n = 3, L = 0 Funziona!!!
esperimento
Come possiamo essere sicuri che il concetto di nucleone con definite proprietà orbitali sia valido all’interno del nucleo?
63
Le shell principali osservate sperimentalmente si possono spiegare introducendo una interazione di spin-orbita relativamente forte
Interazione spin-orbita
SVVSO
1
Se definiamo il momento angolare di un nucleone abbiamo che j può assumere i due valori
sj
2/1j
Abbiamo quindi
222
2
1sjs
In assenza del potenziale VSO la base utilizzata per descrivere il moto orbitale e lo spin è |LmL,sms>, mentre con tale potenziale è meglio usare |j mj, L S> in cui è diagonale. Abbiamo quindi
4/3)1()1(2
12/1,,2/1,,
jjsjmssjm jj
j
s
64
Abbiamo dunque
Quindi il potenziale di spin-orbita introduce una separazione dei livelli di definito momento angolare orbitale in due livelli definiti da j
)12(2
)1(2
1
1
V
VVV
jSOjSOSO
Quindi se V1 > 0 il livello j = L + 1/2 viene spostato verso il basso, quello con j = L – 1/2 verso l’alto
jj
jjs
2/1 se 2/)1(
2/1 se 2/
In generale si ottiene un buon accordo con l’esperimento con MeV 20 3/21
AV
2/1j
2/1jCV SL
con
65
Consideriamo ad es. un livello come 1f (L = 3) che ha degenerazione 2(2L + 1) = 14. I valori possibili di j sono
2/7
2/52/1j
La degenerazione di ciascun livello è 2j + 1, che proviene dai valori di mj. La capacità dei livelli è dunque
1f5/2 capacità 6 nucleoni 1f7/2 capacità 8 nucleoni
Lo splitting di energia dipende dipende da L.
66
Shell principali: elevata separazione di energia
Shell minori: gruppo di livelli in cui la separazione di energia non è molto grande
splitting livello 1f: Il livello 1f7/2 ora appare nel gap fra la seconda e la terza shell. La sua capacità di 8 nucleoni produce il numero magico 28.
splitting livello 1g: 1g9/2 è spinto in basso verso la shell principale inferiore. I suoi 10 nucleoni si aggiungono ai 40 in modo da produrre il numero magico 50.
protoni neutroni
67
Numeri quantici dei nuclei nel modello a particelle indipendenti
Consideriamo prima una “shell chiusa” che corrisponde a un insieme di stati di singola particella completamente riempiti, ad es. 1s1/2, 1p3/2 ecc. contenente (2j + 1) protoni o neutroni.
Tutti i nucleoni sono dinamicamente accoppiati e non contribuiscono al momento angolare totale.
La parità totale è
1)1()1(12
j
Quindi la parità di una shell chiusa è sempre positiva.
2j + 1 è sempre pari
Nel modello a shell protoni e neutroni riempiono indipendentemente i livelli. In aggiunta si assume che coppie di nucleoni identici siano dinamicamente accoppiati in modo tale da essere in stati:
j,m e j,-m Jtot= 0 non contribuiscono al momento angolare totale del nucleo
68
N
i
nN
i ijj11
)1()1( ,
Per una shell chiusa + n nucleoni il momento angolare e la parità sono determinati dagli n nucleoni di “valenza” in quanto la shell chiusa dà un contributo J=0+
La parità è univocamente determinata, ma ci possono essere diversi valori di J consistenti con le regole di accoppiamento del momento angolare. .
nuclei pari-pari JP = 0+
nuclei pari-dispari: JP = dato dal nucleone o buca spaiati
nuclei dispari-dispari: p ed n spaiati accoppiamento jj
np
npnp
np
jjJjj
jjj
)1( )1( parità
||||
69
Buche: per uno stato quasi pieno, è più semplice considerare l’accoppiamento del momento angolare dei nucleoni mancanti piuttosto che di quello dei nucleoni presenti
12
110
j
ni i
n
i i jj
risultato per una shell chiusaI moduli delle due somme parziali devono essere uguali, con valori m opposti
Lo stato descrivente una buca può essere espresso in termini di uno stato di particella tramite
mjmj mj ,)1(,1
In alcuni casi in cui manca un nucleone per riempire una shell, le proprietà del nucleo sembrano riflettere quelle del nucleone mancante.
Esempio: 15N 7 protoni e 8 neutroni un protone in meno nel livello 1p1/2 rispetto alla shell chiusa
Stato di buca: 1p-11/2 lo spin del nucleo è 1/2
70
Momenti di dipolo magnetico
nucleare magnetone 2
,
NN
SN
m
e
SLJSgLg
Nuclei pari-pari: J = 0 = 0
A dispari: dovuto al nucleone o buca spaiati
Singolo nucleone
J
J
J
J
J
J zz
proietta su J ...
... quindi J su z
neutrone 826.3
protone 586.5
neutrone 0
protone 1
sg
g
Il momento di dipolo magnetico misurato è il valor medio nello stato |j,m=j> della componente z
jmjjmj z ,,
Misura fatta in uno stato in cui j è massimalmente allineato con z: assumiamo (classicamente) che z sia la proiezione di su
zJJ
J
71
Ora
Poichè abbiamo
Possiamo quindi scrivere = gJ N J dove
1)1(1
)1()1(1)1(2
jjssg
ssjjgjj
jm
S
JN
1)1(1
)1()1(1)1(2
1
jjssg
ssjjgjj
g
S
J
JSgJLgJ SN
SLJ
222222
2
1 ,
2
1LJSJSSJLJL
L2 e S2 sono diagonali rispetto a |j,m=j> per cui
72
Abbiamo due possibilità per il singolo nucleone (s = 1 / 2)
Le espressioni che abbiamo ricavato sono note come momenti di Schmidt o momenti di singola particella
Questo schema funziona bene solo per nuclei con una particella in più o meno (buca) rispetto a una shell chiusa.
12 2/1
12 2/1
ggggj
ggggj
sJ
sJ
73
62.208.4
37.165.0
64.059.0
91.159.1
12.039.0
79.472.4
91.189.1
64.072.0
26.028.0
91.113.2
79.298.2
//Nucleo
2/9209
12/5
207
12/1
2072/7
41
12/3
392/5
172/5
17
12/1
15
12/1
15
12/1
3
12/1
300
hBi
fPb
pPb
fCa
dK
dF
dO
pO
pN
sHe
sH
lj sposs
Il momento è in buon accordo soprattutto nei nuclei leggeri. Quando il numero di nucleoni aumenta, le discrepanze aumentano ...
sp = momento di singola particella calcolato col modello a shell)
74
Possiamo riportare in funzione di j in due diagrammi, uno per i protoni e uno per i neutroni.
Abbiamo quindi due linee per j=j+, j=j- note come linee di Schmidt
Tutti i momenti magnetici ricadono entro la fascia compresa fra le due linee
75
Cosa è sbagliato?
-Il modello a particelle indipendenti è troppo semplice – i nucleoni interagiscono fra loro
-Le configurazioni possono essere miscelate, cioè diverse combinazioni di diversi stati del modello a shell
- I momenti magnetici dei nucleoni legati possono differire da quelli dei nucleoni liberi ...
76
Stati eccitati dei nucleiPossiamo predire gli stati in cui è eccitato un singolo nucleone utilizzando il modello a shell. Funziona bene per piccole eccitazioni di nuclei A dispari vicino a shell chiuse.
Esempio: il nucleo 178O
Ci sono 8 protoni e 9 neutroni, per cui dobbiamo considerare solo gli stati bassi nello spettro per capire i livelli di energia
Stato fondamentale: pieno fin qui + 1 neutrone
neutrone di valenza
I numeri quantici dello stato fondamentale dovrebbero essere quelli del neutrone di valenza nello stato 1d5/2:
J= 5/2+ OK!
Predizione del momento magnetico: j = L + 1/2, neutrone dispari = neutrone = -1.91 N
valore misurato –1.89 N accordo eccellente!
77
Possiamo immaginare che negli stati eccitati il neutrone di valenza venga promosso in un livello più alto:
primo stato eccitato J= 1/2+
Stato fondamentale: pieno fin qui + 1 neutrone
stato 1/2+
78
Stato eccitato successivo: J= 1/2- Si spiega promuovendo un neutrone dal livello 1p1/2 riempito al livello 1d5/2
buca neutronica 1/2-
coppia 0+
Altro esempio: 20782Pb
Ci aspettiamo un neutrone dispari nella sottoshell 2f5/2 Interazione di accoppiamento: accoppiamento del neutrone 2f5/2 e un neutrone da 3p1/2
energeticamente favorevole lasciando una buca in 3p-11/2 Jp = 1/2-
79
In generale se ci sono due o più nucleoni al di fuori di un core pieno o quando l’energia di eccitazione è grande, il modello a particelle indipendenti non funziona bene.
Esempio: 90Zr - 50 neutroni (shell chiuse) - 40 protoni (38 in shell chiuse) + 2 in 2p1/2 o 1g9/2 (livelli praticamente degeneri)
Possibili configurazioni: - (2p1/2)2 j1=j2=1/2 solo J=0 - -- (1g9/2)2 j1=j2=9/2 solo J = 0, 2, 4, 6, 8 permessi - (2p1/2,1g9/2) j1=1/2, j2=9/2 J=4, 5
Spettro di eccitazione osservato: tutti gli stati elencati sopra, ma non sono degeneri!
Interazioni residue reciproche fra i nucleoni di valenza determinano quale dei J permessi ha l’energia minore – non possiamo predirlo a priori ma possiamo imparare dall’esperimento.
Non sono descritte da un potenziale sfericamente simmetrico o dall’interazione spin-orbita e aumenta con L dei nucleoni.
Interazione residua
80
Perchè gli stati J dispari non sono permessi?
Esprimiamo lo stato di momento angolare totale in termini degli stati relativi alle singole particelle
Consideriamo due nucleoni identici con momento angolare totale j, m1 e j, m2
212121 20 mmMjJjjJjj
21 ,
2121 )|(mm
jmjmJMjmjmJM
Coefficienti di Clebsch-Gordan
|JM> deve essere antisimmetrico rispetto allo scambio di particelle cioè scambio di m1 e m2
)|()1()|( 212
12 JMjmjmJMjmjm Jj JJj )1()1( 2
21211212 )|()1()|( jmjmJMjmjmjmjmJMjmjm J
antisimmetrico solo se J pari
81
A
iiji
A
iii rrrUTH )(
2
1)(
1
Hamiltoniana modello a shell V12 – interazione residua
V12 perturbazione rispetto a H0
Correzione al primo ordine dell’energia non perturbata degli stati degeneri: diagonalizziamo V12
V12 è diagonale automaticamente usando gli stati |JMj1j2> per cui
21122121 ),( jJMjVjJMjjjJME
82
Esempio di interazione residua: forza-
)()2,1( 21)3(
0 rrV
Elemento di matrice fra due funzioni d’onda
13
111*20
23
13
1121)3(
2*20
)()(
)()()()2,1(
rdrrV
rdrdrrrrV
Misura la sovrapposizione fra le funzioni d’onda.
Funzioni d’onda molto diverse (es. Una particella vicino al centro del nucleo, l’altra vicino alla superficie) contributo dell’interazione residuo piccolo
Misura la interazione forte prevalentemente attrattiva V0 negativo
Due particelle con funzioni d’onda simili portano a stati di energia più bassa
83
Lontano da shell chiuse, specie in nuclei pesanti, si osservano nuclei con un momento di quadrupolo Q grande nuclei non sfericamente simmetrici
V(r) non è più sfericamente simmetrico
Modello di Nilsson: potenziale armonico anisotropo
Nuclei deformati e ulteriori migliorie
)(12
1
)(2
1)(
2022
0
22222
YrM
zyxrV LTN
L
T
oscillazione nel piano x-y
oscillazione lungo z
L’accordo del modello con le osservazioni può poi essere ulteriormente migliorato introducendo nel potenziale anche un termine proporzionale a L2
2
01
022222
2
)(2
1
2
sV
Vzyxm
pH LTsp
= parametro di deformazione
84
Momenti di quadrupolo elettrico
Misura della deviazione dalla simmetria sferica. Abbiamo visto che
rdYrrrdrzrQ 3
202322 ),()(
5
16)3)((
Il momento di quadrupolo osservato è
JMJQJMJQoss ,,
Shell chiusa: J = 0 Q = 0. Consideriamo i nuclei con un protone esterno a shell chiuse in uno stato |jm>. Dobbiamo calcolare
jmjrjmjJMJQJMJ ,)1cos3(,,, 22
jmsmmsm
ns rmYmjjmm
jmjrjmj
,
220
2
22
),(5
16)|2/1(
,)1cos3(,
Esprimiamo lo stato |jm> in termini di |lml,sms>
85
Abbiamo
)12)(32(
3)1(
4
5),(
2
20
m
mYm
Coefficienti di Clebsch-Gordan
- ml = j – 1/2
)1(2
11
)|2/1(j
jjmjm j = L + 1/2
j = L - 1/2
)1(2
120
)|2/1(j
jjjmjm j = L + 1/2
j = L - 1/2
- ml = j + 1/2
In questo modo si trova
nr
j
jjmjQjmj 2
)1(2
12,,
86
Per calcolare il valore di aspettazione <r2>nl usiamo le funzioni d’onda dell’oscillatore armonico, che portano a
Cosicchè infine
Momento di quadrupolo con un protone esterno sempre negativo (a parte j=1/2 che dà Q=0)
Solo i protoni possono contribuire. Ma il moto di un neutrone produce un rinculo del resto del sistema che può dar luogo a un momento di quadrupolo (Z/A2 volte minore di Q di un protone)
2/320
2
n
mr
n
2
32
)1(2
12,,
0
nmj
jjmjQjmj
87
Momenti di quadrupolo e tipi di eccitazione attraverso la carta nucleare:
88
Connessione fra il potenziale medio del modello a shell e il potenziale microscopico nucleone-nucleone
Potenziale medio: media delle interazione di una singola particella con tutte le altre
E’ possibile determinare questo potenziale medio a partire dalle interazioni microscopiche in modo autoconsistente col metodo di Hartree-Fock.
Principio variazionale
Consideriamo l’equazione di Schrodinger per N nucleoni
),,(),,( 111 rrErrH N
La funzione d’onda rende stazionaria la quantità
HH
),,(),,(* 113
13
NNN rrHrrrdrdH
89
Calcoliamo <|H| > fattorizzando per semplicità la funzione d’onda in un prodotto di funzioni di singola particella
)()(),,( 111 NNN rrrr
L’hamiltoniana del sistema ha la forma
A
jiii
A
ii rrVTH )(
2
1
1
L’i-esimo termine cinetico dà
)()(2
)(),,( 22
111 NNiiiNi rrm
rrrT
E quindi
iiiiiiii
NNNiiiNi
rdrrm
rm
rdrdrrm
rrrT
322
*2
31
322
111*
1*1
)()(2
)(2
)()(2
)()()(
90
Quindi
D’altra parte
jijjiijijjii
NNNjiNji
rdrdrrrrVrr
rdrdrrrrVrrrrV
33**
31
3111
*1
*1
)()()()()(
)()()()()()(
A
jiji
jijjiijijjii
A
iiiiiii
A
jiji
ji
A
ii
rdrdrrrrVrr
rdrrm
rrVTH
,
33**
1
32*2
,1
)()()()()(2
1
)()(2
)(2
1
91
F è stazionario rispetto a variazioni di una soluzione dell’equazione di Schrodinger. le derivate funzionali rispetto a i sono uguali a zero:
Consideriamo il funzionale
i
iiii rdrrHF 3)()(*][
vincolo che le i siano normalizzate
i = “moltiplicatori” di Lagrange
0][
*
i
F
Derivata funzionale
1)()(
)()(
)( 3)3( iij
jij
i rdrr
rrr
r
92
Equazioni di Hartree
Quindi
Equazioni di particella singola. Ogni particella è soggetta al potenziale
)()()()()(2
3*22
* kkki
iiikiiikkkk
rrdrrrVrrm
H
)()()()()()(2
3*22
kkikkki
iiikiiikkk rrrdrrrVrrm
iiii
iiiiiiiH
rdrrVr
rdrrrVrrU
3
3*
)()(
)()()()(
Un nucleone interagisce col campo ottenuto mediando sulle posizioni dei restanti nucleoni. UH potenziale medio del modello a Shell
i = autovalori dell’energia
)()(2
iii rr
93
Le equazioni di Hartree devono essere risolte in modo autoconsistente perchè le soluzioni sono necessarie per costruire il potenziale:
- Partiamo da funzioni di prova ad esempio le autofunzioni dell’oscillatore armonico
- calcoliamo il potenziale e risolviamo le equazioni
- con le nuove soluzioni ricalcoliamo il potenziale e procediamo iterativamente fino a che il processo converge
94
Eccitazioni collettive nei nucleiCirca la metà dei nuclei noti hanno configurazioni (Z,N) pari, J= 0+
Ricordiamo che nella formula di massa semi-empirica è incluso un termine empirico di accoppiamento per tener conto della loro insolita stabilità
Il termine di accoppiamento non è descritto dal modello a shell, che ignora del tutto le interazioni fra le particelle!
Costa molta energia rompere una coppia di nucleoni e popolare stati più alti di singola particella.
La rottura porta a stati eccitati di alta energia osservati, ma (quasi) sistematicamente lo stato eccitato più basso ha J= 2+
E (
MeV
)
130Sn
95
J=2+ eccitazioni dei nuclei pari-pari tendono ad essere di natura collettiva
La distribuzione di materia nucleare come un tutt’unico presenta vibrazioni quantizzate in alcuni casi e rotazioni in altri, con frequenze caratteristiche
Gli spettri vibrazionali sono osservati in nuclei che hanno una forma sferica intrinseca
Le eccitazioni rotazionali tendono a verificarsi in nuclei con deformazioni di quadrupolo permanenti
E (
MeV
)
A
96
Stati vibrazionaliModello: oscillazioni quantizzate di una goccia di liquido a densità costante (perchè? comportamento repulsivo a piccole distante della forza N-N!)
Consideriamo le oscillazioni attorno a una forma sferica di equilibrio, con una superficie di frontiera dipendente dal tempo espressa come combinazione lineare di funzioni armoniche sferiche
),()(1),,( 0 YtaRtR
L’espansione descrive qualunque forma, dati gli appropriati coefficienti. Ciascun contributo può oscillare in linea di principio ad una diversa frequenza
Applicazione ai nuclei:
1. Le vibrazioni sono quantizzate, En = h
2. Quanti di vibrazione: fononi
I modi normali del sistema corrispondono a eccitazioni con un particolare valore di e , e questi si verificheranno a frequenze caratteristiche
97
Illustrazione: sequenza temporale delle forme nucleari oscillanti
OK
98
Le oscillazioni di quadrupolo si verificano all’energia più bassa: J= 2+
Tipicamente h 1 MeV in vari nuclei pari-pari
L’energia di eccitazione è bassa, per cui ci possiamo aspettare di osservare fino a diversi “fononi” di quadrupolo nello spettro
Eccitazioni bosoniche, per cui si richiede una funzione d’onda simmetrica rispetto allo scambio delle particelle (fononi) questo restringe il Jtotale
Ad esempio per due fononi:
solo 4 ,2 ,0
22 simmetrico
J
jj
spettro del modello
99
Esempio di eccitazioni vibrazionali: 12052Te68
stato 3-?
stati fononici = 2, idealmente degeneri
Al contrario aggiungendo un neutrone ...
100
Lo stato 3- è un fonone di ottupolo, = 3
J= 3- h3 h2 2 – 3 MeV
tipicamente si osserva un fonone di ottupolo per spettro
Riassunto:
Le eccitazioni di bassa energia nei nuclei sferici pari-pari hanno lo stesso andamento caratteristico dell’energia di eccitazione fino a qualche MeV:
0+ (stato fondamentale)
2+ (fonone di quadrupolo) (2 fononi: 0+, 2+, 4+) (3 fononi: 0+, 2+, 3+ 4+, 6+)
3- (ottupolo)
101
Stati rotazionaliUn moto rotazionale collettivo può essere osservato solo in nuclei con forme di equilibrio non sferiche (cioè lontano da shell chiuse, grande Q).
Un nucleo deformato rotante è una forma di equilibrio stabile determinata da nucleoni in rapido moto interno nel potenziale nucleare con l’intero nucleo rotante lentamente in modo da non influire sulla struttura nucleare.
dmrII
LE 2
2
,2
Sostituiamo L col momento angolare rotazionale J
)1( 2
)1(2
22 JJI
EJJJ J
Momento di inerzia fissa la scala dell’andamento dei livelli di energia
I J permessi determinano la separazione caratteristica dei livelli
dm
r
102
J è quantizzato; “bande rotazionali” sono spettri caratterizzati da un dato valore del momento di inerzia I e da una serie di livelli di energia:
nuclei pari-pari: J = 0, 2, 4, 6, 8, 10 (restrizione su J a causa del fatto che = +) nuclei deformati dispari-pari: J = semi-intero
Esempio: 176Yb (stati di energia quantizzata di un pallone da football!)
MeV 014.02
)1( 2
2
2
I
JJI
EJ
Rotazioni attorno all’asse di simmetria sono indistinguibili; il momento angolare rotazionale deve essere perpendicolare all’asse di simmetria
I maggiore significa minore separazione fra i livelli di energia
103
Il momento di inerzia dà una misura della forma nucleare:
Parametrizziamo la forma, il momento di quadrupolo e di inerzia assumendo la forma di di un ellissoide di rivoluzione la cui superficie è
))( 1()( 200 YRR
Un nucleo con una deformazione stabile ha un grande momento di quadrupolo elettrico
)16.01(5
3 20
ZRQzz
Poichè Y20 non dipende da , R() ha simmetria cilindrica.
Il parametro di deformazione è legato all’eccentricità
3/10av
avav
05.153
4
ARR
R
R
R
R
R=differenza fra semi-asse maggiore e minore
> 0 ellissoide prolato < 0 ellissoide oblato
Q(2
+)
(b)
A
104
Nucleo rotante come un solido (modello del corpo rigido)
)31.01(5
2 20 MRIR
Nucleo rotante come una goccia di liquido (modello del fluido rotante)
208
9MRIF
La realtà stà nel mezzo ... Analisi spettrale:
un plot di E vs J(J + 1) dovrebbe dare una linea retta di pendenza h2/2I
Confermato per 174Hf
ma per 158Er la pendenza decresce (il momento di inerzia cresce) al crescere di J ...
... come se fosse un fluido rotante: si verifica uno stretching centrifugo lungo l’asse di simmetria al crescere del momento angolare!
105
Stato fondamentale
Vibrazione : v di superficie normale all’asse di simmetria
Vibrazione : v di superficie lungo l’asse di simmetria
Bande rotazionali possono essere create da qualunque stato intrinseco, ad esempio uno stato vibrazionale in cui il nucleo vibra attorno a una forma di equilibrio deformata.
banda dello stato fondamentale
banda vibrazionale
banda vibrazionale
Abbiamo 3 bande rotazionali:
106
Momenti degli stati eccitati collettiviConsideriamo nuclei pari-pari.
Lo stato fondamentale è JP = 0+, = 0
Momenti di dipolo magnetico
I moti collettivi vibrazionali e rotazionali danno al nucleo un momento di dipolo magnetico.
Assumiamo che i protoni e i neutroni siano accoppiati ():
-Il momento magnetico di spin non contribuisce
-Il moto dei protoni crea una corrente elettrica. Ciascun protone avrà un momento magnetico = N L.
-Se i moti collettivi di protoni e neutroni sono uguali, allora il contributo al momento angolare nucleare totale da parte dei protoni è Z / A.
-Allora, se il moto collettivo dei neutroni non contribuisce al momento di dipolo magnetico
JA
ZN
107
Momenti magnetici del primo stato eccitato dei nuclei pari-pari
Basso A Z / A 0.5 1
Alto A Z / A 0.4 0.8 Ragionevole accordo
shell chiuse
(qui il modello collettivo non è valido)
108
109
La soluzione dell’equazione di Schrodinger ha la forma
0)( Rkj n
),()(),,( mn YrRr
Buca sferica infinita
dove Ylm sono le armoniche sferiche, mentre R(r) è soluzione dell’equazione radiale
nnnn RER
rmrVR
dr
d
rdr
d
m
2
22
2
22 1
2)(
2
2
Le soluzioni radiali possono essere espresse in termini delle funzioni di Bessel sferiche jl(knr). Troviamo gli autovalori dell’energia dalla condizione di frontiera (la funzione d’onda si deve annullare sul bordo della buca)
Consideriamo ad es. L = 0. Gli zeri di j0(x) si hanno per x = 3.14, 6.28, 9.42, ... Per L = 1 i primi zeri si hanno per x = 4.49, 7.73, 10.9, ...
Poichè E = h2k2/2m, possiamo quindi determinare E ripetendo il processo per ogni L e costruire così lo spettro di energia.
110
Notazione spettroscopica degli stati radiali:
n = 1, 2, 3, 4, ... L = s, p, d, f, g, h, ... = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...
I livelli nL sono 2 x (2L + 1) degeneri.
Occupazione Totale
Shell chiusa numero magico
Enl
I nuclei con Z(N) = 2, 8 , 20, ... sono particolarmente stabili shell chiuse (livelli completamente occupati)
Tali numeri magici coincidono col numero di protoni (neutroni) che si possono sistemare nei primi due livelli della buca. Il successivo riempimento d’altra parte non coincide
