1 Trasformazioni cicliche Trasformazione ciclica: una trasformazione in cui lo stato finale coincide...

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Trasformazioni cicliche

Trasformazione ciclica: una trasformazione in cui lo stato finale coincide con quello iniziale.

Se viene prodotto lavoro W < 0 assorbendo calore da sorgenti il ciclo è detto termico.

WQdU I principio: Consente di trasformare U e Q in lavoro W

L’espansione si arresta occorre riportare il sistema al punto iniziale, con una isoterma più bassa. La macchina termica deve operare su un ciclo.

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Ciclo di Carnot

macchina reversibile che opera tra due sorgenti

2 isoterme + 2 adiabatiche

può essere percorso da qualsiasi fluido motore: prendiamo il gas perfetto.

Motore termico è un dispositivo che scambia calore con l’ambiente e produce lavoro. Affinché il lavoro venga prodotto in modo continuativo deve operare in modo ciclico.

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Ciclo di Carnot

0lnln 11

11

a

bba

b

a

b

a

b

aab

V

VnRTVnRT

V

dVnRTdV

V

nRTPdVW

0U

Assorbito

AB: espansione isoterma

0WQ AB1

4

Ciclo di Carnot

Ubc nCV T2 T1

012 TTnCUW Vbcbc

0ln2 c

dcd V

VnRTW

BC: espansione adiabatica

0Q

Cd: compressione isoterma

0U

Ceduto0WQ CD2

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Ciclo di Carnot

Uda nCV T1 T2

021 bcVdada WTTnCUW

DA: compressione adiabatica

0Q

Rendimento del ciclo:

a

b

c

d

ass

ced

ass

cedass

ass

tot

VV

nRT

VV

nRT

Q

Q

Q

QQ

Q

W

ln

ln

1

1

1

2

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Ciclo di Carnot

ab isoterma PaVa PbVb

bc adiabatica PbVb PcVc

cd isoterma PcVc PdVd

da adiabatica PdVd PaVa

PaVaPbVbPcVcPdVd

PbVbPcVcPdVdPa Va

Moltiplicando tutti i primi membri e tutti i secondi membri tra loro

Vb

Va

1

Vc

Vd

1 Vb

Va

Vc

Vd

1T2

T11

T2

T1

a

b

d

c

VVVV

T

T

ln

ln

11

2

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Una macchina termica a combustione interna, il motore dell'automobile a benzina, può essere approssimata con il ciclo mostrato in figura. Si supponga che la miscela aria-benzina possa essere considerato un gas perfetto e che venga utilizzato un rapporto di compressione 4 a 1 (V 4 = 4V1). Si supponga inoltre che p2=3p1. Determinate la pressione e la temperatura in ognuno dei quattro vertici del diagramma p-V in funzione di p1 e T1, e del rapporto g dei calori specifici del gas. Esprimere il rendimento del ciclo in funzione del rapporto di compressione. Confrontare con il rendimento di una macchina di Carnot che lavora tra le temperature estreme.

4

3

2

1 Adiabatica

Adiabatica

V4V1

p1

3p1

Scoppio

V2 V1

P2 3P1

T2 P2V2

nR 3P1V1

RP1V1

RT1

3T1

V3 V4 4V1

P3 P2V2

V3 3P1

V1

4V1 34 P1

T3 P3V3

nR34 P1 4 V1

RP1V1

RT1

341 T1

Applicazione: il Ciclo Otto

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V4 4V1

P4 P1V1

V4 P1

V1

4V1 4 P1

T4 P4V4

nR

4 P1 4V1

RP1V1

RT1

41 T1

W

Qass

1Qced

Qass

1nCV T4 T3 nCV T2 T1

141 341 T1

3 1 T1

141 1 3

3 1 1

1

4 1

C 1T4

T2

141 T1

3T1

1 1

34 1

Applicazione: il Ciclo Otto

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Il frigorifero

Il ciclo di Carnot è un ciclo reversibile Quindi può essere percorso al contrario:

Si invertono i segni degli scambi energetici Cambia segno U - W e Q Quelle che erano le quantità assorbite

diventano cedute e viceversa quindi la macchina di Carnot al contrario

assorbe il lavoro W assorbe il calore Q2 dal serbatoio più freddo

cede la quantità di calore Q1 al serbatoio più caldo

Abbiamo realizzato un frigorifero Si definisce coefficiente di prestazione del

frigorifero

w

W

Qass

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Irreversibilità e II principio

le trasformazioni in natura sono irreversibili!!! Procedono in un’unica direzione.

per es. due corpi a temperatura differente: il calore può passare da quello più caldo a quello più freddo ma non il viceversa.

Pendolo messo in oscillazione: parte dell’energia meccanica viene ceduta sotto forma di energia interna dell’aria. Non può accadere il viceversa.

Perché?? Il II principio della termodinamica

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Esiste una funzione di stato l’ entropia, S: tale che l’integrale del calore scambiato reversibilmente diviso per la T a cui avviene lo scambio, tra lo stato i e lo stato f, è dato dalla differenza dei valori della funzione S nello stato finale meno quello dello stato iniziale.

La variazione di entropia non dipende dalla trasformazione, sia reversibile o irreversibile.

Attenzione: il calcolo di S deve essere fatto SOLO su una trasformazione REVESIBILE

L’entropia

SSST

Qif

R

f

i

R

L’entropia: funzione di stato

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f

i

V

f

i

f

i

V

V

T

dTnc

V

dVnR

T

dQ

T

dTnc

V

dVnR

T

dQ

dTncpdVdQ

dUdLdQ

i

fV

i

f

T

Tnc

V

VnRS lnln

Gas perfetto

Vale per qualunque trasformazione tra i ed f

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Applicazioni

Consideriamo due corpi a T1 e T2: il calore ceduto dal corpo 1 ed assorbito dal corpo 2, fino alla T di equilibrio.

La trasformazione è irreversibile. Il calore trasferito da un corpo all’altro può essere calcolato come se la

trasformazione fosse reversibile È a pressione costante

T1 T2T1>T2

Q1 Q2

11122212 0 TTcmTTcmQQ mm

Tm m1c1T1 m2c2T2

m1c1 m2c2

02222 TTcmQ m

01111 TTcmQ m

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Applicazioni

222

2

222 ln

T

Tcm

T

dTcm

T

QS m

mf

i

R

111

1

111 ln

T

Tcm

T

dTcm

T

QS m

mf

i

R

0lnln2

221

1121 T

Tcm

T

TcmSSS mm

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Applicazioni

L’espansione libera è una trasformazione irreversibile Per calcolo la variazione dell’entropia dobbiamo

utilizzare trasformazione isoterma reversibile

i

ff

i

f

i

f

i

f

i

R

f

i

Rsist

V

VnR

V

dV

T

nRT

T

pdV

T

W

T

Q

T

QS

ln

0 ambS Suniv Ssist Samb 0

QWdU QWdU 0

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Applicazioni

Cambiamento di fase:

S Sliq Ssol QR

Tfusione

la temperaturadi fusione è

costante

sol

liq

1

Tfusione

Q R m fusione

Tfusionesol

liq

0fusione

fusione

T

mS

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Applicazioni

i

fPer un trasformazione qualunque: poiché l’entropia è una funzione di stato, possiamo considerare una qualunque trasformazione reversibile.

f

c

c

i

Vf

c

Rc

i

R

f

i

R

V

dV

T

nRT

T

dTnC

T

Q

T

Q

T

QS

c

c

f

i

cV

f

c

c

i

V V

VnR

T

TnC

V

dVnR

T

dTnC ln ln SnCV ln

Tf

Ti

nR lnVf

Vi

SnCP lnTf

Ti

nR lnPf

Pi

SnCV lnPf

Pi

nCp lnVf

Vi

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Applicazioni

T

QdSsist

T

QdSserb

Serbatoio di calore

Sistema

Ambiente

0. T

Q

T

QdSdSdS SerbSistUniv

Trasformazione reversibileUniverso

X es. spansione isoterma reversibile...

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0 ambsistuniv SSS

0 ambuniv SS

L’Universo è un sistema isolato

0 ambuniv SS

Ciclo irreversibile Ciclo reversibile

L’irreversibilità è sempre accompagnata da un aumento di entropia.!!

Ogni processo naturale evolve sempre nella direzione verso cui aumenta l’entropia.

Enunciato I: se il sistema è isolato, l’entropia del sistema non può diminuire, aumenta se la trasformazione è irreversibile; resta costante se la trasformazione è reversibile.


II principio della Termodinamica:

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Il I principio:

Calore può essere trasformato in lavoro meccanico. Un espansione isoterma trasforma tutto il Q in W Le macchine termiche sono sistemi termodinamici che descrivono un

ciclo. Una parte del ciclo assorbe calore da uno o più serbatoi, un’altra parte cede calore a uno o più serbatoi.

Esempi di macchine termiche: il motore dell’automobile, le locomotive a vapore.

Il rendimento della macchina:

È possibile realizzare un processo il cui unico risultato

sia quello di assorbire calore da un serbatoio e di

convertirlo completamente in lavoro?? Q ceduto = 0

Macchina mono-terma

Le macchine termiche

0 WQWQU

ass

ced

ass

cedass

ass Q

Q

Q

QQ

Q

W

1

W(=Q1)

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Enunciati II del 2° principio della Termodinamica

Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme.

non esiste la macchina monoterma ossia la macchina perfetta!!!.

0macchinadS

0T

QdSserb

!!assurdo! 0 univS

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Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore. SERVE W non esiste il frigorifero perfetto!!

Enunciato III del II principio della Termodinamica

0macchinadS12 T

Q

T

QdSserb

021 serbdSTT!!assurdo! 0 univS

Riassumiamo II principio

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Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore.

Enunciato III (di Clausius): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato il trasferimento di una quantità di calore da un corpo ad un altro a temperatura maggiore.

Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme

Enunciato II (di Kelvin-Planck): è impossibile realizzare un processo che abbia come unico risultato la trasformazione in lavoro del calore fornito da una sorgente a temperatura uniforme



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Dimostriamo che la violazione di uno implichi la violazione dell’altro. Violato enunciato II

Supponiamo che esista una macchina termica 1 che trasformi tutto il calore il lavoro.

Prendiamo un’altra macchina di Carnot 2) che lavori come frigorifero.

Equivalenza degli enunciati II e III

Macchina complessiva:

1QW

W ,2,1 CC QQ

,2 CQAssorbe

CedeViola il I

II

CQ ,1

CQ ,2

CCC QQQQ ,2,11,1 W

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Il teorema di Carnot

Tutte le macchine che lavorano tra due termostati hanno un rendimento che è minore, o al massimo uguale, a quello di una macchina di Carnot che lavori tra gli stessi due termostati.

tutte le macchine reversibili (tutte le macchine di Carnot) che lavorano tra gli stessi termostati hanno, tutte, lo stesso rendimento.

XQ ,1

La dimostrazione per assurdo: Supponiamo che esista una macchina X che lavori tra i due

termostati T1 e T2 che abbia un rendimento > della macchina di Carnot operante come macchina frigorifera tra gli stessi termostati.

Sia W il lavoro delle due macchine in un ciclo uguale

X

totX

Q

W

,1

C

totC

Q

W

,1

CQ ,1

XQ ,2 CQ ,2

1T

2T


Combiniamo le due macchine in una sola macchina, non si compie lavoro esterno.


Assunto XC

C

tot

X

totCx QQ

Q

W

Q

W,1,1

,1,1

XXCCtot QQQQW ,2,1,2,1

0,2,2,1,1 QQQQQ XCXC

0

0

,2,2

,1,1

QQQ

QQQ

XC

XC

OSSIA

28

28

Il calore viene trasferito dal serbatoio T1 a temperatura più bassa a quello T2 a temperatura più alta senza che venga fatto lavoro: contraddice il II principio della termodinamica!!

Combiniamo le due macchine in una sola macchina, non si compie lavoro esterno.

0,1,1 QQQ XC


XQ ,1 CQ ,1

XQ ,2 CQ ,2

1T

2T0,2,2 QQQ XC

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