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Corso diELETTROTECNICA

I metodi delle correnti ciclichee dei potenziali ai nodi

Presentazione a cura delProf. Alvise Maschio

Dipartimento di Ingegneria ElettricaUniversità di Padova

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Metodi delle correnti

Metodo delle correnti di maglia Metodo delle correnti di anello

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Eliminazione delle tensioni - 1

Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di bipoli riconducibili a generatori affini di tensione. In particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di corrente.

Come esempio, si prenda la rete di figura.

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Eliminazione delle tensioni - 2

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Eliminazione delle tensioni - 3

La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri:

Si possono quindi scrivere n – 1 equazioni applicando la LKC ed m equazioni applicando la LKT.

l6

n 4

n 13

ml (n 1)3

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Eliminazione delle tensioni - 4

Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

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Eliminazione delle tensioni - 5

Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai lati di albero (rami) e le tensioni relative ai lati di coalbero (corde).

n 1 LKC

I3 I4 I10

I1 I5 I2 0

I2 I6 I30

m LKT

V1 V4 V5 0

V2 V6 V5 0

V3 V4 V6 0

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Eliminazione delle tensioni - 6

Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

V1E1 R1 I1

V2 E2 R2 I2

V3 E3 R3 I3

V4 E4 R4 I4

V5 E5 R5 I5

V6 E6 R6 I6

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Eliminazione delle tensioni - 7

Si possono ora eliminare le tensioni: ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l correnti.

I3 I4 I10

I1 I5 I2 0

I2 I6 I30

R1 I1 R5 I5 R4 I4 E1 E5 E4

R2 I2 R6 I6 R5 I5 E2 E6 E5

R3 I3 R4 I4 R6 I6 E3 E4 E6

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Eliminazione delle tensioni - 8

Vi sono m equazioni del tipo:

e n - 1 equazioni del tipo:

R I E

I 0

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Eliminazione delle correnti di albero - 1

Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero. Si eliminano le n -1 correnti nei rami Irh e ci si

riduce ad un sistema di m equazioni nelle correnti sulle corde Ick.

Si utilizzano quindi i vincoli sulle correnti degli insiemi di taglio fondamentali.

Irh k Ick h 1,....,n 1 ktaglio fond . rh

I4 I3 I1

I5 I1 I2

I6 I2 I3

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Eliminazione delle correnti di albero - 2

Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene:

cioè m equazioni del tipo:

(R1 R5 R4 ) I1 R5 I2 R4 I3 E1 E5 E4

(R5 R2 R6 )I2 R5 I1 R6 I3E2 E6 E5

(R4 R6 R3 ) I3 R6 I2 R4 I1 E3 E4 E6

(*)

R Ic E

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Metodi delle correnti

Metodo delle correnti di maglia

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Correnti di maglia - 1

Si consideri adesso un sistema di maglie fondamentali, basate sulle corde del grafo. Si scelga come verso di percorrenza della maglia quello individuato dalla corrente nella corda rispettiva.

Le correnti nelle corde non sono altro che le m correnti cicliche (di maglia) di un sistema di maglie fondamentali, IMk, dove:

k1,....,m

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Correnti di maglia - 2

Le correnti nei lati della rete sono in generale somma di più correnti di maglia.

Nel caso di figura si ha ad esempio:

I IMk

n 1

I4 IM3 IM1

I5 IM1 IM2

I6 IM2 IM3

m

I1IM1

I2 IM2

I3 IM3

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Correnti di maglia - 3

Le LKT per le maglie fondamentali possono essere riscritte in funzione delle m correnti di maglia. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti:

cioè m equazioni del tipo:

m

(R1 R5 R4 )IM1 R5 IM2 R4 IM3 EM1

(R5 R2 R6 ) IM2 R5 IM1 R6 IM3 EM2

(R4 R6 R3 )IM3 R6 IM2 R4 IM1 EM3

RMkk IMk RMkh IMhh EMk

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Correnti di maglia - 4

Il termine RMkk è la somma di tutte le

resistenze dei lati che formano la maglia k-

esima. RMkk è detto autoresistenza (o

resistenza totale) della maglia k.

Il termine RMkh è la somma di tutte le

resistenze dei lati in comune alle maglie h-

esima e k-esima. RMkh è detto mutua

resistenza (o resistenza comune) fra le maglie h e k.

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Correnti di maglia - 5

Il termine EMk è la somma algebrica di tutte

le f.e.m. dei lati che formano la maglia k-esima. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza della maglia, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso

opposto. EMk è detto f.e.m. (o tensione

impressa) totale della maglia k.

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Metodi delle correnti

Metodo delle correnti di anello

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Correnti di anello - 1

In alternativa, nel caso di rete piana, si considerano gli m anelli interni (vedi figura).

Si può dimostrare che questi m anelli costituiscono un sistema di maglie indipendenti.

Si definiscono pertanto m correnti cicliche di

anello (dette correnti di anello - Iak di figura),

scelte in modo che tutti gli anelli siano percorsi nello stesso verso (orario o antiorario).

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Correnti di anello - 2

Le correnti nei lati della rete sono costituite da una corrente di anello o dalla differenza tra due correnti di anello. Nel caso di figura si ha ad esempio:

Le correnti di anello sono per definizione solenoidali

n 1

I4 IA3 IA1

I5 IA1 IA2

I6 IA2 IA3

m

I1 IA1

I2 IA2

I3IA3

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Correnti di anello - 3

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Correnti di anello - 4

Le LKT per i vari anelli possono essere riscritte in funzione delle m correnti di anello. Si ottiene un sistema di m equazioni indipendenti:

cioè m equazioni del tipo:

m

(R1 R5 R4 )IA1 R5 IA2 R4 IA3 EA1

(R5 R2 R6 ) IA2 R5 IA1 R6 IA3 EA2

(R4 R6 R3 )IA3 R6 IA2 R4 IA1 EA3

RAkk IAk RAkh IAhh EAk

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Correnti di anello - 5

Il termine RAkk è la somma di tutte le

resistenze dei lati che formano l’anello k-

esimo. RAkk è detto autoresistenza (o

resistenza totale) dell’anello k.

Il termine RAkh è la somma di tutte le

resistenze dei lati in comune agli anelli h-

esimo e k-esimo. RAkh è detto mutua

resistenza (o resistenza comune) fra gli anelli h e k.

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Correnti di anello - 6

Il termine EAk è la somma algebrica di tutte

le f.e.m. dei lati che formano l’anello k-esimo. Le f.e.m. sono prese con segno positivo se, dato il verso di percorrenza dell’anello, si entra dal morsetto negativo del generatore, con segno negativo nel caso

opposto. EAk è detto f.e.m. (o tensione

impressa) totale dell’anello k.

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Metodo dei nodi

11/04/23 27/37

Eliminazione delle correnti - 1

Sia data una rete lineare, in cui tutti i lati sono sede di generatori affini di corrente e, in particolare, in nessun lato si trova un generatore ideale di tensione.

Come esempio, si prenda la rete di figura.

11/04/23 28/37

Eliminazione delle correnti - 2

11/04/23 29/37

Eliminazione delle correnti - 3

La rete di figura è caratterizzata dai seguenti parametri:

Si possono quindi scrivere n - 1 equazioni alla LKC ed m equazioni alla LKT

l6

n 4

n 13

ml (n 1)3

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Eliminazione delle correnti - 4

Le LKC ed LKT vengono scritte per gli insiemi di taglio e le maglie fondamentali individuabili, ad esempio, nel grafo di figura.

11/04/23 31/37

Eliminazione delle correnti - 5

Nelle equazioni sono sottolineate le correnti relative ai rami e le tensioni relative alle corde.

n 1 LKC

I3 I4 I1 0

I1 I5 I2 0

I2 I6 I30

m LKT

V1V5 V4 0

V2 V6 V5 0

V3 V4 V6 0

11/04/23 32/37

Eliminazione delle correnti - 6

Alle l equazioni precedenti vanno aggiunte le l equazioni tipologiche dei bipoli presenti nei vari lati.

I1 J1G1 V1

I2 J2 G2 V2

I3 J3G3 V3

I4 J4 G4 V4

I5 J5 G5 V5

I6 J6 G6 V6

11/04/23 33/37

Eliminazione delle correnti - 7

Si possono ora eliminare le correnti; ci si riduce ad un sistema di l equazioni nelle l tensioni.

V1V5 V4 0

V2 V6 V5 0

V3 V4 V6 0

G3 V3G4 V4 G1 V1 J3 J4 J1JN1

G1 V1G5 V5 G2 V2 J1 J5 J2 JN2

G2 V2 G6 V6 G3 V3J2 J6 J3JN3

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Eliminazione delle correnti - 8

Vi sono n - 1 equazioni del tipo:

e m equazioni del tipo:

GV J

V 0

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Eliminazione delle tensioni di coalbero - 1

Nel grafo corrispondente alla rete si individuino un albero ed il relativo coalbero.

Si eliminano le m tensioni nelle corde Vch,

riducendosi ad un sistema di n - 1 equazioni nelle tensioni sui rami Vrk.

Si utilizzano quindi i vincoli sulle tensioni delle maglie fondamentali.

Vch k Vrk h 1,....,m kmaglia fond . ch

V1V4 V5

V2 V5 V6

V3 V6 V4

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Eliminazione delle tensioni di coalbero - 2

Sostituendo nel sistema di l equazioni scritto in precedenza si ottiene:

cioè n - 1 equazioni del tipo:

(G3 G4 G1 )V4 G3 V6 G1 V5 J3 J4 J1

(G1G5 G2 )V5 G1 V4 G2 V6 J1 J5 J2

(G2 G6 G3 )V6 G2 V5 G3 V4 J2 J6 J3

(**)

G Vr J

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Metodo dei nodi

Metodo dei potenziali

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Potenziali ai nodi - 1

In alternativa (vedi figura) si sceglie un nodo comune (di massa) a cui si assegna potenziale nullo, e si esprimono tutte le tensioni in funzione degli n -1 potenziali degli altri nodi che sono tra loro indipendenti:

m

V1 VN1 VN2

V2 VN2 VN3

V3VN3 VN1

n 1

V4 VN1

V5 VN2

V6 VN3

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Potenziali ai nodi - 2

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Potenziali ai nodi - 3

Operando le opportune sostituzioni nel sistema (**), si ottiene un sistema di n - 1 equazioni indipendenti negli n - 1 potenziali di nodo:

cioè n - 1 equazioni del tipo:

n 1

(G3 G4 G1 )VN1 G3 VN3 G1 VN2 JN1

(G1G5 G2 )VN2 G1 VN1 G2 VN3JN2

(G2 G6 G3 )VN3 G2 VN2 G3 VN1 JN3

GNkkVNk GNkh VNhh JNk k1, ........,n 1

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Potenziali ai nodi - 4

Il termine GNkk è la somma di tutte le

conduttanze che si appoggiano al nodo k-esimo. Esso è detto autoconduttanza (o conduttanza totale) del nodo k.

Il termine GNkh è la conduttanza del lato che si

appoggia alla coppia di nodi h e k. Esso è detto mutua conduttanza (o conduttanza comune) fra i nodi h e k.

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Potenziali ai nodi - 5

Il termine JNk è la somma algebrica di tutte le

correnti impresse dei lati che si appoggiano al nodo k. Le correnti sono prese con segno positivo se il riferimento di corrente è diretto verso il nodo, con segno negativo nel caso opposto. Esso è detto corrente impressa totale del nodo k.