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Probabilità

una proposta didattica

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obiettivi

• dare all’alunno, a partire dalla valutazione qualitativa del grado di incertezza di un evento aleatorio, la consapevolezza che anche l’ambito del fortuito può essere analizzato razionalmente;

•  far valutare quantitativamente la probabilità di un evento secondo la definizione classica di probabilità come rapporto;

•  far acquisire la capacità di operare con semplici proposizioni di calcolo e risolvere problemi con eventi aleatori composti;

•  studiare, con strumenti probabilistici alcuni problemi delle scienze sperimentali (ereditarietà, fattore Rh);

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obiettivi

• avviare la comprensione della legge (debole) dei grandi numeri, facendo vedere in uno schema di prove ripetute, che eventi casuali, al crescere del numero delle prove, seguono una “ crescente regolarità”

• recuperare, nell’ambito della probabilità, altri concetti matematici: frazioni, percentuali, funzioni, disequazioni, calcolo letterale, logica.

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Contenuti

Probabilità di eventi semplici Probabilità di eventi composti Applicazione della Probabilità alla genetica 

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Metodo

Si è scelto di non presentare definizioni, assiomi e teoremi, ma di far ricavare le proprietà della probabilità attraverso situazioni problematiche e con un lavoro su schede.

 La presentazione propone varie situazioni legate a giochi di fortuna (sacchetti di biglie colorate, carte, dadi, monete):  

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si chiederà di congetturare il risultato,

di indovinare l’esito delle prove aleatorie

e poi si passerà al tentativo di spiegazione, mediante il ragionamento volto a chiarire perché certe cose accadono “più facilmente” di altre

Si è preferito occuparci di probabilità in giochi di fortuna

invece che in situazioni più legate alla vita reale,

le situazioni reali sono troppo complesse

metodo

7

metodo

Non si inizia parlando di eventi certi, impossibili, probabili, come in alcuni libri di testo Neppure considerando le frequenze di un evento su di un certo numero di prove  

ma il metodo seguito è quello di far scoprire dagli alunni le proprietà della probabilità a partire da esempi opportuni.

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Probabilità di eventi semplici

Si cerca di far comprendere che nel caso che gli eventi

elementari siano un numero finito N e tutti ugualmente possibili: 

ogni evento elementare ha probabilità 1/N

se un evento A è costituito da m eventi elementari la sua probabilità è m/N

 

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Nelle prime schede della nostra proposta didattica la soluzione delle diverse situazioni problematiche è intuitiva.

• Sono disegnate urne contenenti palline bianche o nere.

• Si fa presente che, sin dalle prime due schede, (a), si considerano solo gli elementi presenti in ciascuna urna e,

• (b), ciascuno elemento ha la stessa opportunità di essere pescato.

• Queste prime schede vengono di solito presentate in prima media.

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La rappresentazione Le rappresentazioni delle urne vengono progressivamente cambiate da • disegno di palline • a numeri con a fianco l’indicazione in parola• e poi numeri con l’indicazione in lettere

( Il passare dalla rappresentazione con disegni a numeri e quindi alle lettere è un percorso che si ripete nell’introduzione a diversi argomenti di matematica come, ad esempio, nell’introduzione all’algebra).

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URNEConsidera il seguente gioco: ci sono due urne contenenti delle palline perfettamente uguali tra loro, ma colorate diversamente, alcune bianche, altre nere. Nella 1°urna ci sono una pallina bianca e una nera, nella 2°urna una bianca e nove nere.

Prima urna Seconda urna

12

Vinci un premio

Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da una delle due urne.

Osserva che nessuna pallina è avvantaggiata nell’estrazione.• In quale urna ti conviene pescare?• E se le urne fossero così composte?In quale pescheresti?

Prima urna Seconda urna

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Scheda 1. Per rispondere alla prima domanda notiamo che:

•con nessuna delle due urne la vincita è sicura,

• con nessuna è impossibile,è tuttavia ovvio

scegliere la prima urna, perché entrambe le urne contengono 1 pallina bianca,

•ma la seconda contiene molte più nere della prima

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•cominciamo a dire che sebbene incerta in entrambi i casi, l’estrazione della bianca è più probabile dalla seconda urna che dalla prima.

•Non si è ancora introdotta una nozione quantitativa di probabilità.

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Scheda 2

1. Come nella scheda precedente vinci un premio se estrai una pallina bianca da una delle due urne;

Disponi alcune palline bianche e alcune nere nelle due urne disegnate, in modo che sia più conveniente pescare nella prima

Prima urna Seconda urna

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Scheda 22. … e in questa urna in quale pescheresti?

1 Bianca2 Nere

50 Bianche100 Nere

I urna II urna

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Scheda tre

Ti sarai accorto che nella seconda situazione della scheda precedente è indifferente scegliere la prima urna o la seconda:infatti, pur essendo diverso il numero delle palline nelle due urne, in entrambi i casi per ogni pallina bianca ce ne sono due nere, cioè per ogni possibilità di vincere due di perdere:Considera, ora, la seguente situazione

1B2N

2B5N

1°urna 2°urna1)In quale urna pescheresti?Scegli e completa una di queste risposte:• Pesco nella prima perché.........• Pesco nella seconda perché.........

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Problemi didattici

1° 2° 3° Scheda

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Nella seconda scheda alla risposta 2 e nella terza scheda, può capitare che qualche alunno faccia

il confronto tra l’evento favorevole e il suo contrario invece che tra i casi favorevoli e la totalità degli elementi.

I due confronti sono equivalenti:

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La relazione “… è maggiore di ..”

B su N > b su n B su (B + N)> b su (b + n) della seconda urna; dove B indica il numero delle palline bianche e N quello delle palline nere della prima urna, mentre b e n indicano rispettivamente il numero delle palline bianche e quello delle palline nere nella seconda urna. B + N è il totale delle palline della I urna e b + n il totale di quelle della II urna.

½ >2/5 1/3>2/7

0,5 >0,40,33>0,28

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le due scritture hanno pari comodità?

• E’ facile dimostrare che B su N > b su n è equivalente a Bn>bN.

• La disuguaglianza B su (B + N)>b su (b + n) si può scrivere, mediante il prodotto in croce, nella forma B(b+n) >b(B+N).

• Applicando la proprietà distributiva a entrambi i membri, si ottiene che Bb+Bn>bB+bN che evidentemente è equivalente a Bn>bN.

• ½>2/5(15)>(22)

• 1/(1+2)>2/(2+5)

• 1(2+5)>2(1+2)

• 1 2 + 1 5>2 1 +2 2

• 7>6

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Scheda 3

Nelle risposte alle domande della prima scheda l’intuizione suggerisce le corrette risposte, mentre nella scheda tre il confronto non è così immediato

• è richiesto il confronto tra due rapporti,

 

• non è più così intuitivo

 

• nella scheda tre deve essere calcolato il rapporto

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misuraSi giunge all’idea di misurare o meglio di esprimere quantitativamente la probabilità dell’estrazione mediante un rapporto tra le palline bianche e il totale delle biglie.

Si ha così un valore numerico che ci consentirà di paragonare facilmente la probabilità di eventi diversi non immediatamente confrontabili tra loro.

Questa misura è rappresentata,per ora, da un numero razionale.

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Definizione di probabilità di un evento

Il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili;  si richiede che: 

il numero dei casi possibili sia finito,

gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili.  

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definizioneIl rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili è la “misura” della possibilità che si verifichi un certo evento. La probabilità viene introdotta come misura definita in un insieme. I sottoinsiemi di questo insieme vengono detti eventi;  gli elementi dell’insieme vengono detti eventi elementari.

La definizione nasce in un ambiente teorico, anche se legato ad oggetti concreti (urne, palline). Non è sembrato opportuno ricorrere a situazioni sperimentali, anche se in molti testi di scuola media inferiore questo è un punto di partenza per lo studio della probabilità.  

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Perché è più conveniente B su T

• Riprendendo le situazioni precedenti delle schede 2 e 3,

si può concludere che il rapporto B su T (dato T come totale delle palline presenti nell’urna) o anche N su T è da preferire,

le frazioni che prendiamo in considerazione assumono un limitato intervallo di valori,compresi tra 0 e 1 estremi compresi.

Con la formula B su N o N su B le frazioni potrebbero raggiungere anche valori maggiori di 1, come nel caso si voglia calcolare la probabilità di estrarre una pallina bianca tra 8 palline bianche e 3 nere in ogni caso lo stesso B su N non sarebbe definito nel caso N=0.

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Se invece l’insegnante volesse evitare il presentarsi di questo problema in questo momento del programma può introdurre la

situazione con il seguente problema

Esempio

ci sono due insiemi di buste :

nel primo insieme ci sono 8 buste di cui 5 contenenti un premio,

nel secondo insieme ci sono 10 buste di cui 7 contenenti un premio.

Se dovessi pescare a caso una busta per trovare un premio in quale pescheresti?

(Oppure presentando esempi riguardanti la probabilità nel lancio di un dado).

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Quali sono gli sviluppi didattici che queste prime schede possono far nascere?

• La probabilità di un evento viene data come misura, cioè essa misura la facilità con la quale può presentarsi quel evento.

• La probabilità di un evento è un numero ottenuto dal rapporto o quoziente tra il numero dei casi favorevoli e quelli possibili.(Per ora numero razionale).

• Si può approfondire il confronto fra frazioni, la scrittura di numero razionale come coppia di due numeri interi [a,b] o in decimale, o riferito a 100 in scrittura percentuale. E’un’occasione per poter evidenziare l’uguaglianza di a:b = a/b 1:2=0,5 riferito a 100 scrivo 0,50 o 50%.

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approfondimenti

E’ difficile per uno studente delle medie comprendere a fondo il concetto di rapporto.

abbiamo utilizzato la costruzione di urne e il contesto probabilistico nel quadro concettuale della proporzionalità in quanto siamo convinti che sia opportuno, nell’acquisizione di concetti specifici, delineare domini piuttosto ampi di conoscenza che coprono una grande varietà di situazioni e facilitino la comprensione.

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Prima scheda

• Per vincere un premio devi estrarre una pallina bianca da un’urna che contiene 3 palline bianche e 5 nere.

• Fai l’esempio di almeno tre urne in modo che per avere il premio sia lo stesso pescare nell’urna assegnata o in qualsiasi delle tue. Spiega con quale criterio hai costruito le tue.

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Seconda scheda– COMPLETA la seguente tabella in modo che presenti la

composizione di otto urne, tutte “equivalenti”

B 15 6 21

N 25 10 45

T 24 88

urne 1°u 2°u 3°u 4°u 5°u 6°u 7°u 8°u

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Queste schede hanno lo scopo di:

• riprendere e rafforzare il concetto probabilistico,

• osservare come avviene la costruzione del ragionamento proporzionale.

La costruzione di urne permette di usare, in un contesto non banale, numeri interi.

In seguito si chiede: spiega come hai costruito le tue urne. …… Spiega a un tuo compagno un criterio generale per costruire urne che siano “equivalenti” a quelle date …

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esercizio

• In un urna ci sono 12 palline bianche e 8 palline nere,

• in una seconda urna ci sono 15 palline bianche.

Quante palline nere devo aggiungere come minimo nella seconda urna perché sia più conveniente pescare nero dalla seconda urna piuttosto che dalla prima?

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approfondimento• Le diverse strategie di soluzione evidenziano a quali conoscenze

matematiche ciascuno alunno faccia riferimento.

• Ad esempio, frazioni equivalenti 8/20 = 2/5=10/25. Se si mettono 10 nere nella seconda urna si ottiene 10/25 cioè una frazione equivalente a 2/5. Basta mettere 11 palline nere nella seconda urna per risolvere la situazione.

• Oppure il rapporto tra le palline bianche nelle due differenti urne

è: B/b=12/15=4/5 si trova lo stesso rapporto tra le palline nere N/n=(42)/(52)=8/10 quindi, aggiungendo nella seconda urna 11 palline invece che 10 come nell’uguaglianza data, si risolve la situazione.

• Può essere altrimenti risolto, utilizzando come strumento risolutivo, l’impostazione di un’equazione di primo grado:

2x +30=5x x=10.

• Le strategie di soluzione possono essere confrontate e discusse.

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In terza media si può ancora riprendere la probabilità

nel nell’ambito delle funzioni.• In un’urna si trova una pallina bianca insieme a due palline nere. Ne

estraggo una a caso; se la pallina estratta è bianca vinco un premio.• Qual è la probabilità di vincere un premio?• Tenendo fisso il numero delle palline bianche, pensa di far variare il

numero delle palline nere.• Come varia in corrispondenza, la probabilità di vincere il premio? Fai

qualche esempio per alcuni valori del numero di palline nere. Compila una tabella

• Disegna un grafico, mettendo in ascissa il numero delle palline nere e in ordinata la probabilità di vincere un premio.

• Disegna anche, a parte, il grafico della legge di proporzionalità inversa.

• Sai dire se ci sono somiglianze tra i due grafici?• Se il regolamento del gioco dice che il numero totale di palline

nell’urna deve essere primo, e che la pallina bianca deve essere una sola, quante palline nere preferiresti mettere nell’urna, se dipendesse da te?

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Anche questa situazione permette di approfondire alcuni argomenti • si abituano i ragazzi a lavorare e a “vedere”sia su tabelle che su

grafici o su scritture simboliche. • Il grafico che si ottiene in questo caso specifico in un riferimento

cartesiano oltre ad avere un punto sull’ordinata, è un insieme di punti (allineati) e non sarebbe comunque possibile interpretare nel modello di partenza tutti i punti “intermedi”.

• In alcuni casi invece (lato e perimetro del quadrato; lato del quadrato e sua diagonale,base di un rettangolo al variare dell’altezza con area costante …..) anche se il grafico che si ottiene con casi particolari è discreto, ha senso pensare di completarlo con i punti “intermedi” che si interpretano bene nel modello di partenza (questione “discreto- continuo”).

• In conclusione anche queste situazioni problematiche possono essere utili per concorrere in modo sostanziale alla costruzione dell’idea di funzione

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Scheda 5 esercizio

• Scrivi a fianco di ogni urna la Scrivi a fianco di ogni urna la probabilità (espressa in probabilità (espressa in frazione ed in percentualefrazione ed in percentuale) ) di estrarre una pallina di estrarre una pallina bianca:bianca:

1 B9 N

2B7N

3B1N

50B100N

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Scheda sei

Oggi un insegnante della tua classe vuole affidarsi al caso per interrogare un ragazzo.

Pesca da un sacchetto della tombola contenente solo i numeri corrispondenti sul registro di classe agli alunni presenti.

• Qual è la probabilità che tu sia interrogato?• Qual è la probabilità che venga interrogato un ragazzo il

cui cognome inizia con la lettera....? E con la lettera...?• E’ più facile che sia interrogato un maschio o una

femmina?• Supponi che in una delle prossime lezioni l’insegnante usi

ancora lo stesso modo di interrogare.Se quel giorno sei presente a scuola la probabilità che tu sia

interrogato sarà ancora uguale a quella di oggi o potrà cambiare? Giustifica la tua risposta.

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Scheda 6

•si vuole far scoprire P()=0.

•La domanda 4 si propone di far osservare che la probabilità di uno stesso evento può cambiare se si modifica l’esperimento.

•Con questa scheda e con gli esercizi si vuole arrivare a far comprendere che la probabilità di un evento è un numero tale che 0p1, e si cerca di chiarire il significato della parola “evento”. •Inoltre la scrittura dell’intervallo numerico: 0p1 permette di far riflettere sia sull’insieme dei numeri razionali sia sulla simbologia usata di uguale maggiore o uguale e minore. Difficoltà che si riscontreranno in terza media quando si affronteranno le disequazioni.

40

Esercizi

1) Supponi di avere un mazzo di carte da 40 . Calcola la probabilità di estrarre:

a) il fante di cuorib) un fantec) una figura

2) Lanciando un dado qual è la probabilità che esca:a) Il numero 6b) Un numero disparic) Un numero pari?

3) A una lotteria con 120 biglietti quanti ne devi comperare per avere probabilità 1/5 di vincere un premio in palio, nell’ipotesi che vengano venduti tutti?

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esercizi

4) Un tuo compagno risolvendo un esercizio ha ottenuto come probabilità di un evento il numero 4/3.

Ti sembra un risultato possibile?

5) In un’urna ci sono 5 palline nere. Quante palline bianche devi aggiungere perché la probabilità di estrarre una pallina bianca sia 2/7? E perché sia 2/3?

42

Le schematizzazioni aiutano a risolvere problemi

• Davanti a situazioni problematiche è più facile la soluzione se si ricorre a rappresentazioni grafiche chiarificatrici.

• Una di queste schematizzazioni è il grafo ad albero.

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Può essere usato nei problemi con frazioni come

operatori:

1) Un negoziante ha venduto a un cliente i 5/16 di una pezza di stoffa, ad un secondo cliente i 9/32 della stessa pezza,ad un terzo cliente il rimanente. Quale frazione della stessa pezza di stoffa ha venduto al terzo cliente?

5/16

1°

9/32

2°…3°

….

44

Altro esempio

Un commerciante ha acquistato una cassa di bicchieri. All’apertura della cassa trova che i 3/10 sono difettosi; che 1/3 dei difettosi sono rotti, gli altri sono incrinati.

a) Quale frazione rappresenta i bicchieri non difettosi?

b) Quale i bicchieri rotti ? c) Quale quelli incrinati?

45

Secondo esercizio

Df

3/10

Non dif

…

1/3

Rott.

…

Incr.

46

Quanti e quali sono i possibili numeri di tre cifre, diverse fra loro, che si possono ottenere utilizzando le cifre del

numero 452?

4

5 2

2 5

452 425

5

4 2

2

5 4

2 4

542 524

4 5

254 245

47

Scomposizione di un naturale in numeri primi

84

2 42

2 21

3 7

48

Grafo ad alberoIn un urna ci sono 4 palline bianche, 3 rosse, 2 nere e 1 verde.

Come puoi facilmente verificare la probabilità di estrarre una pallina bianca è 2/5. Rappresentiamo la situazione con il seguente schema che si chiama”grafo ad albero:

Bianca Rossa Nera Verde

2/5 …. …. ….

Completa il grafo mettendo al posto dei puntini le probabilità di ciascun evento

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Scheda 8

la situazione viene rappresentata con un grafo ad albero, dove alla fine di ciascun ramo è scritto l’evento considerato lungo ogni ramo si deve leggere la probabilità dell’evento corrispondente.

La somma di tutti i numeri scritti lungo i rami deve essere uguale a uno. Per la probabilità dell’unione di eventi viene presentata prima per eventi disgiunti, poi per eventi qualunque.  

50

Lancio di un dado

Un dado ha tre facce rosse, due blu e una bianca.

Lanciando il dado qual è la probabilità di ottenere blu?

Rappresenta la situazione con un grafo ad albero.

51

Scheda nove

A una lotteria si vendono 150 biglietti.Gianni ne ha comperati 10 e suo fratello Luigi 15. Nessun altro

nella loro famiglia ha acquistato biglietti.• Qual è la probabilità che Gianni vinca un premio? P(G)=• Qual è la probabilità che lo vinca Luigi? P(L)=• Qual è la probabilità che arrivi il primo premio nella loro

famiglia?(Scrivi il calcolo) P(F)=• Verifica la seguente uguaglianza, utilizzando i risultati

ottenuti rispondendo alle domande precedenti:

P(G) + P(L) = P(F)

52

scheda 9

fa scoprire “la regola della somma “ nel caso di eventi disgiunti. La probabilità di due eventi disgiunti gode della proprietà della somma.

P(AB) = P(A) + P(B) se AB =

E’ importante sottolineare il fatto che non sempre abbiamo situazioni che godano della proprietà della somma. Esempio se ad un litro d’acqua, che ha una temperatura di 50 C°, aggiungo un litro d’acqua a temperatura 100C° non ottengo 2 litri d’acqua che misurano 150C°.

53

Scheda dieci

In un sacchetto ci sono 3 caramelle alla ciliegia, 4 all’arancia, 5 al miele.

1) Qual è la probabilità di estrarre:a) Una caramella alla ciliegia;b) Una caramella alla arancia;c) Una caramella alla frutta ( alla ciliegia o all’arancia)?2) Rappresenta la situazione completando il seguente

grafo ad albero:

.... ... ...

C A M

Osserva che la somma delle probabilità dei primi due rami è uguale al numero ottenuto rispondendo alla domanda1c

54

3) Somma le probabilità di tutti i rami del grafo.

a) Quale numero ottieni?

b) Questo numero di quale evento rappresenta la probabilità?

c) Potevi prevedere il risultato ripensando alla definizione di probabilità? Perché?

55

scheda 10 Si arriva al concetto di eventi incompatibili e si vuole anche far riflettere sull’uso di “o” nel senso latino “vel” e dell’unione fra insiemi.

 Se indichiamo con C, l’evento “uscita di una caramella alla ciliegia”, con A, l’evento “uscita di una caramella alla arancia”,

 calcolare l’evento “uscita di una caramella alla frutta”, cioè alla ciliegia o alla arancia,  la probabilità è P( CA)= P(C) + P(A)= 7/12

Con il gruppo di domande al punto 3 si vuole far scoprire che la probabilità dell’evento certo è 1 (cioè P()=1).  

 

56

Riflettere su eventi compatibili o non

Si possono richiamare, con opportune domande e presentando esempi, le operazioni di unione e di intersezione tra insiemi e riprendere in considerazione i connettivi logici “o” e “e”.

57

Connettivo logico “e”

Due o più proposizioni semplici si possono comporre attraverso la congiunzione.

• L’operatore della congiunzione che ha come simbolo , si legge e

• Consideriamo due proposizioni:• p:”8 è un multiplo di 4”• q:” 8 è un multiplo di 2”• La congiunzione di queste due proposizioni semplici è: pq: “8 è un multiplo di 4 e di 2”• Una proposizione composta formata da due proposizioni

semplici unite dal connettivo “e” è vera solo se entrambe le proposizioni semplici sono vere.

58

p q pqVero Vero Vero

Vero Falso Falso

Falso Vero Falso

Falso Falso Falso

Tabella di verità

59

A = xxN e x 12B = xxN e x 8

e la loro intersezione

AB = xxN e 8 x 12 ossia 9,10,11

La proposizione indeterminata composta: x è un numero naturale maggiore di 8 e minore di 12 ha come insieme verità AB.

Il connettivo “e” corrisponde all’operazione di intersezione di insiemi.

60

La disgiunzione può essere esclusiva o inclusiva.

• L’operatore della disgiunzione ha come simbolo che si legge “o”

• 1°“io esco o sto a casa” • 2°“io mangio o ascolto la radio”• Nella prima proposizione si può verificare solo una

delle due situazioni • mentre nella seconda è possibile che si verificano

anche entrambe:• nel primo caso la disgiunzione è esclusiva (una

situazione esclude l’altra) • nel secondo è inclusiva (entrambe le situazioni

possono verificarsi).

61

Connettivo “o”

• Una proposizione composta

formata da due proposizioni semplici

unite dal connettivo “o”

è falsa

solo se

entrambe le proposizioni semplici sono false.

62

il connettivo “o”(vel) corrisponde all’operazione di unione tra insiemi

• Dati due insiemi A e B esiste un insieme che contiene tutti gli elementi di A e di B. Questo insieme si dice l’insieme unione di A e B ed è definito da

• A B = {x : (x A) (x B)} ∪ ∈ ∨ ∈• La congiunzione o usata in senso non esclusivo

definisce l’unione tra due insiemi Più semplicemente considero l’insieme A ={x è un numero naturale divisore di 12} ossia A ={1,12,2,3,4,6} e l’insieme B ={x è un numero naturale divisore di 14} ossia B = {1,14,2,7} L’insieme dei divisori di 12 o di 14 è l’insieme unione di A unione B definito da A B ∪={1,2,3,4,6,12,7,14}

63

p q pqIl quadrato ha 4 angoli uguali (vero)

Il quadrato ha 4 lati uguali (vero)

Il quadrato ha 4 angoli o 4 lati uguali

(vero)

9 è multiplo di 3 (vero)

9 è multiplo di 6 (falso)

9 è multiplo di 3 o di 6

(vero)

10 è divisibile per 3 (falso)

10 è multiplo di 7 (falso)

10 è divisibile per 3 o è multiplo di 7 (falso)

64

Tabella di verità

p q pq

vero vero vero

falso vero vero

vero falso vero

falso falso falso

65

Scheda undici

Considera il lancio di un dado e completa le seguenti tabelle

P3 =

Uscita di un n°<3 o >4

P2 =

Uscita di un n°>4

P1=2/6=1/32

Uscita del n°1

Uscita del n°2

Uscita di un n°<3

Probabilità

Numero

dei casi favorevoli

Elenco

dei casi favorevoli

EventoVerifica che:

P3 = P1+P2

66

Scheda 11

Si formula la regola della probabilità dell’unione di eventi sia nel caso in cui siano disgiunti, sia nel caso più generale.

A: uscita di un numero <3 Gli eventi elementari di A sono:uscita dell’1,uscita del 2,quindi si ha:

P(A)=2/6=1/3

B: uscita di un numero >4Gli eventi elementari di B sono: uscita del 5, uscita del 6, quindi:

 P(B)=2/6=1/3

  

67

P(AB)

Gli eventi elementari di AB sono: uscita del numero 1, uscita del 2, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha:

 P(AB)= 4/6=2/3=1/3+1/3

68

Verifica che P6 P4 +P5

P6=

Uscita di un numero primo

o >3

P5 =

Uscita di un n°>3

P4=3/6=1/23

Uscita del n°2

Uscita del n°3

Uscita del n°5

Uscita di un numero primo

Probabilità

Numero

dei casi favorevoli

Elenco

dei casi favorevoli

Evento

Sai spiegare perché non si

possono sommare P4 e P5 ?

69

P6P4+P5

A: uscita di un numero primo  B: uscita di un numero >3 AB: uscita di un numero primo o >3 Gli eventi elementari di A sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, quindi si ha: 

P(A)= 3/6=1/2

70

Gli eventi elementari di B sono: uscita del 4, uscita del 5, uscita del 6, quindi si ha: 

P(B)= 3/6=1/2

Gli eventi elementari di uscita AB sono: uscita del 2, uscita del 3, uscita del 5, uscita del 4, uscita del 6, quindi si ha:

P(AB)=5/61/2+1/2

l’evento “ uscita del numero 5” compare sia nei casi di A che nei casi di B  

71

P6P4+P5

• casi AB non possono essere la somma dei rispettivi casi,

• l’evento “uscita del numero 5” va contato solo una volta

72

Queste considerazioni hanno validità

generale: se A e B sono due eventi che si “intersecano” per uno o più eventi elementari, cioè sono eventi compatibili, nel conteggio dei casi di AB occorre fare attenzione a contare una volta sola gli eventi in comune.  Eventi elementari di AB = eventi elementari di A + eventi elementari di B meno eventi elementari AB.

In termini di Probabilità

P(AB)= P(A)+ P(B)P(AB).

         

73

Scheda dodici

1) Riprendi la situazione della scheda 9 in cui abbiamo trovato P(F) cioè la probabilità dell’evento”vincita della famiglia “ 1/60.

Calcola ora la probabilità che il premio non arrivi in quella famiglia cioè la probabilità dell’evento contrario.

Osserva che questo risultato si può ottenere calcolando la differenza

1P(F)2) In un’urna ci sono 20 palline, alcune sono bianche, altre rosse

e 4 nere. La probabilità di estrarre una pallina bianca è 0,35.a) Rappresenta la situazione con un grafo scrivendo accanto ad

ogni ramo la probabilità di ciascun eventob) Calcola la probabilità di estrarre una pallina bianca o nera.

74

Scheda 12

Si giunge al concetto della probabilità dell’evento complementare.   Se si prendono in considerazione due eventi che sono “uno il contrario dell’altro” cioè due eventi che sono uno complementare dell’altro,   

le loro probabilità hanno somma 1.  

75

Proprietà della probabilità:(si possono inquadrare nella assiomatica di Kolmogorov)

•P(AB)= P(A)+ P(B) se AB = •Se due eventi A, B sono incompatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità.

•P(AB)= P(A)+ P(B)P(AB)•Se due eventi A, B sono compatibili, la probabilità dell’evento unione è la somma della loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione.

•P()=0•Probabilità dell’evento impossibile.

76

Probabilità dell’evento certo

P()=1Probabilità dell’evento certo.

P(CA)=1 P(A)La probabilità dell’evento A e quello dell’evento contrario (non A) danno somma 1. Dove A, B indicano eventi, indica l’evento certo, l’evento impossibile e CA l’evento contrario di A.  

77

Probabilità dell’evento complementare

Se indichiamo con A un evento e con CA il suo complementare si scrive allora:    P(A)+ P(CA)=1 da cui P(CA)= 1P(A)

78

ESERCIZI

1)Abbiamo 5 gettoni rossi. Aggiungi dei gettoni bianchi e dei gettoni blu in modo che la probabilità di estrarre un gettone rosso sia il 20% e quella di estrarre un gettone bianco sia il 40%.

79

ESERCIZI

2)Supponi di avere un mazzo di carte da 40. Calcola la probabilità di estrarre:

• una carta di fiori;• una figura;• una carta di fiori o una figura;• una carta di fiori o di cuori.3) E’ stato accertato che in una confezione di 1.500 viti, 4 sono

difettose. Qual é la probabilità che prendendone una a caso questa non sia difettosa?

80

ESERCIZI

4) Si decide di giocare a Tombola (90 numeri in un sacchetto). Calcola la probabilità che alla prima estrazione venga estratto:

a) il n°12; b) un n°dispari; c ) un n° primo o un n° pari; d) un n°multiplo contemporaneamente di 2 e di 7

5) Una società impiega 100 persone,75 uomini e 25 donne. Il reparto contabilità dà lavoro al 12% degli uomini e al 20% delle donne; se si sceglie a caso un cognome del reparto contabilità, qual è la probabilità che sia un uomo? Che sia una donna?

81

ESERCIZI

6) Abbiamo un sacchetto con 24 palline bianche.

• Quante ne dobbiamo tingere in rosso affinché la probabilità di estrarre una pallina rossa sia 1/3?

• Quante delle rimanenti palline dobbiamo tingere in blu,

affinché la probabilità di estrarre una pallina blu sia ¼?

• Posso tingere in verde alcune palline, tra le bianche rimaste,in modo che la probabilità di estrarre una pallina

verde sia ½?

82

Soluzione:a) P(R)= 8/24=1/3. Ne tingo 8 in rosso

Le rimanenti sono 16 cioè 248

P(BLU)= 6/24=1/4

Ne tingo ancora 6 delle rimanenti perché la probabilità di

pescare blu su le 24 palline totali sia ¼.Le bianche rimaste sono a questo punto 24 (8+6)=10

Che non bastano per colorarle in verde per ottenere P(B)=1/2

83

Esercizi

7) Una ditta mette in commercio 500 sacchetti di patatine in uno dei quali è stato inserito un gettone d’argento. Due fratellini, Paolo e Luca, acquistano rispettivamente 5e 10 sacchetti di patatine.

Qual è la probabilità che:• Paolo trovi un gettone?• Luca trovi un gettone?• Nessuno dei due trovi un gettone?• Almeno uno dei due trovi un gettone?

84

ESERCIZI

8) Qual è la probabilità che, nell’estrazione del gioco del lotto (90 numeri) del prossimo sabato, il I° numero estratto sulla ruota di Milano sia:

a) il n° 9;

b) un n°divisore di 9

c) un n° divisibile per 18;

c) un multiplo di 12 o di 18.

85

Lancio di due dadi

Consideriamo il lancio di due dadi non truccati, le cui facce sono numerate, da 1 a 6 e chiediamoci quanti sono i casi possibili?

Utilizzando delle coppie ordinate, in cui il primo n°si riferisce all’esito del primo dado e il secondo n° si riferisce all’esito del secondo si possono elencare tutti i casi possibili (come nella tabella seguente a doppia entrata)

86

(6,1)(5,1)(4,1)(3,1)(2,1)(1,1)

(6,2)(5,2)(4,2)(3,2)(2,2)(1,2)

(6,3)(5,3)(4,3)(3,3)(2,3)(1,3)

(6,4)(5,4)(4,4)(3,4)(2,4) (1,4)

(6,5)(5,5)(4,5)(3,5)(2,5)(1,5)

(6,6)(5,6)(4,6)(3,6)(2,6)(1,6)

2°dado

1°dado

Casi possibili

87

Somme

gli esiti possibili nel gioco sono 36: la simmetria della situazione ci suggerisce che si tratta di eventi con la stessa possibilità di verificarsi, quindi ciascuno di essi ha la probabilità di 1/36.

 Supponiamo di sommare , ad ogni lancio, i punteggi dei due dadi;

utilizziamo una tabella a doppia entrata;

in ogni casella scriviamo la somma dei punteggi rispettivi:  

88

765432

876543

987654

1098765

11109876

121110987

2° dado

1° dado

Tabella

89

Commento

E’ chiaro che gli esiti non sono equiprobabiliQual è il risultato più probabile?Dalla tabella si nota la simmetria tra eventi ”equidistanti” dalla diagonale disegnata:

P(2) = P(12)=1/36

P(3) = P(11) =2/36=1/18

P(7) =6/36=1/6

90

Lancio di una moneta

1)Lanciando due volte la stessa moneta elenca ogni possibile risultato

(si tratta di coppie) e calcolane la probabilità.

T C

T TT TC

C CT CC

Nel lancio di una moneta i risultati possibili sono:Testa o Croce.

91

Possiamo illustrare la situazione con un grafo:

1/2

T

1/2

C1/2

T CT C

TT TC CT CC

Osserva che la probabilità TT è il prodotto delle probabilità dei due rami del grafo che portano a questo evento.

92

A B

Il disegno rappresenta un campo che Giovanni possedeva e che, alla sua morte, viene diviso in due parti uguali tra le due figlie Anna e Bice.

93

Perché il prodotto?

Avendo ciascuna tre figli, Anna e Bice dividono il loro campo in tre parti eguali.

• Come viene diviso la seconda volta il campo?

• Ciascun nipote quanto possiede del campo che apparteneva al nonno Giovanni?

94

95

Scheda sediciPrima estrazione

In un’urna ci sono 5 palline rosse e 3 nere. Si estrae a caso una pallina e poi, senza rimetterla dentro, se ne estrae una seconda.Rappresentiamo con un grafo la prima estrazione:

..... .......

R N

96

Seconda estrazione

Nella seconda estrazione bisogna distinguere due casi, a seconda che nella prima sia uscita una pallina rossa o nera, in quanto nell’urna c’è una pallina in meno.Possiamo proseguire il grafo nel seguente modo:

5/8 3/8 R N

4/7 3/7

R NRR RN

... ...R N NR NN 1)Completa il grafo 2)Calcola la probabilità di RN;NR;NN.

3) Calcola la probabilità che sia estratta almeno una pallina rossa

97

scheda 16

Prima estrazione 

Utilizzando il grafo ad albero si vede che per la prima estrazione si hanno due possibilità  uscita di una pallina rossa con probabilità 5/8 uscita di una pallina nera con probabilità 3/8.  

98

Seconda estrazione

Alla seconda estrazione occorre distinguere due casi  perché la situazione è diversa in relazione al fatto che si sia pescata una pallina rossa o nera (nella prima estrazione). I quattro eventi elementari possibili sono: RR, RN, NR, NN.  

99

Se si vuole calcolare la probabilità dell’evento elementare RR

si può ragionare così: se la prima pallina estratta è rossa con probabilità

5/8, cioè nei 5/8 dei casi, e si pesca una seconda pallina rossa con probabilità 4/7, quindi avere due palline rosse significa averle pescate in 4/7 dei 5/8 dei casi ,con probabilità:

4 5 — — = 7 8Si utilizza il concetto di frazione di frazione, che si

traduce nella moltiplicazione delle due frazioni. Si procede analogamente anche per calcolare la

probabilità degli altri eventi elementari P(RN),P(NR),P(N,N)

 

100

Reimbussolamento ?

Nell’esempio appena visto si parla di estrazione “senza reimbussolamento” perché la pallina una volta estratta non viene messa nell’urna.

Si può pensare di rimettere la pallina estratta nell’urna e in questo caso l’estrazione si dice “con reimbussolamento”.

101

La soluzione di un problema

viene eseguita utilizzando un grafo ad albero a diversi piani, le probabilità di ciascun evento sono scritte accanto a ciascun ramo del grafo:  si insiste particolarmente sul significato di ogni cammino sul grafo in termini di eventi, così che nelle varie situazioni, i ragazzi si rendono conto quale percorso o quali percorsi devono considerare per calcolare la probabilità di un evento richiesto.Con una rappresentazione precisa e completa si pensa che si possa meglio evidenziare che la probabilità che si ottiene alla fine di ogni percorso è il prodotto della probabilità degli eventi di ogni ramo.  

 

102

La strategia di soluzione

•La strategia di soluzione che si è individuata, che si può dire di moltiplicazione “lungo i rami”, è molto efficace perché consente di affrontare situazioni anche abbastanza complicate •è chiaro che il momento più importante della soluzione di un problema diventa la schematizzazione della situazione con un corretto grafo ad albero e questo non è sempre così immediato..

103

Probabilità eventi casuali composti

Eventi casuali sono composti da due o più eventi elementari che possono verificarsi contemporaneamente.   due eventi A e B si dicono indipendenti se

P(AB)= P(A)P(B) P(AB)P(A/B)=_______ = P(A) P(B)    

104

Esercizi

1) Sto giocando a tombola; nella mia cartella manca solo il numero 75 e i numeri ancora da estrarre sono 24. Con che probabilità faccio tombola entro le prossime due estrazioni?

2) Nel gioco della tombola ( 90 numeri) qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 15 e il secondo 43?

105

3) Come nel gioco del lotto da un’urna contenente 90 palline numerate da 1 a 90 se ne estraggono cinque

senza reimbussolamento.

a) Qual è la probabilità che i cinque numeri estratti siano tutti dispari?

b) Calcola ora la probabilità di ottenere 5 teste in 5 lanci successivi di una moneta

c) Senza svolgere i calcoli avresti potuto prevedere quale dei due eventi è più probabile?

106

4) Due ragazzi giocano a “pari o dispari” con le dita di una mano (nel gioco è escluso lo zero)

a) Conviene puntare sul “pari” o sul “dispari”?

5) In un sacchetto ci sono 7 penne biro uguali di cui 3 sono scariche.

a) Se prendo a caso una penna qual è la probabilità che scriva? E quale che non scriva?

b) Se la prima che scelgo è scarica qual è la probabilità che la seconda scriva?

107

6)In un gioco di fortuna un concorrente deve scegliere una casella da un tabellone di 12 caselle così composto:

1 casella copre il primo premio di un viaggio a Venezia, 4 caselle coprono il premio di un televisore, 7 caselle non coprono nessun premio.a) Con una sola possibilità di scelta calcola la

probabilità:• di vincere un viaggio a Venezia• di vincere un premio.b) Con due possibilità di scelta calcola la probabilità• di non vincere • di vincere sia il viaggio a Venezia sia il televisore• di vincere almeno il viaggio a Venezia

108

7) Due amici, Alfredo e Bruno, insieme ad altri 8 ragazzi decidono di giocare a “guardia e ladri”e per decidere chi sarà ”guardia”e chi sarà “ladro”si affidano alla sorte.

Sapendo che ci devono essere 3 “guardie” e 7 “ladri”qual è la probabilità che:

a)Alfredo sia una “guardia”

b)Alfredo e Bruno siano entrambi “guardie”

c)Alfredo e Bruno giochino insieme, cioè siano entrambi “guardie” o entrambi “ladri”

d)Almeno uno, tra Alfredo e Bruno, sia una “guardia”

109

La frequenza relativa come stima della probabilità

110

0,2 0,8

C

nC

• Sparando ad un bersaglio ho probabilità 20% di colpirlo.• Se sparo due volte qual è la probabilità di colpirlo almeno una volta? 

0,2 0,8

C

nC

C nC

CC CnC nCC nCnC

111

• Indichiamo con:

• C = colpito; nC= non colpito;

• P(“colpire almeno una volta”)= P(“colpire entrambe le volte” o “colpire la prima volta e non la seconda” o “colpire la seconda e non la prima”=

• P(CC)+P(CnC)+P(nCC) = 0,20,2+0,20,8+0,80,2=0,36 

112

Osservazioni

1)Osserviamo che l’evento” colpire almeno una volta” è complementare di “non colpire né la prima né la seconda volta”, quindi la sua probabilità si può più rapidamente trovare come segue:

P(colpire almeno una volta)=1-P(nCnC)=1-0,64=0,36

  

113

2) Un’altra osservazione:

nell’evento “Aver ottenuto successo al primo sparo” è compreso il risultato che si vuole ottenere con “avere successo in entrambe le volte ”oppure “ colpire la prima volta e non la seconda”.

114

Si può quindi limitare a disegnare solo una parte del grafo: 

0,2

C

0,8

nC0,2

C nC

0,8

P(colpire almeno una volta)= P(C)+ P(nCC)=0,2+0,20,8=0,36

115

Osservazioni

 3)Un’altra osservazione che si può fare è che, in questo esercizio e in altri in cui viene data la frequenza di un evento,  non è più applicabile la definizione di probabilità data come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e quello dei casi possibili,  ma la probabilità di tali eventi può essere valutata piuttosto in una visione soggettivista oppure frequentista.  Per i ragazzi potrebbe sorgere dunque il problema di una generalizzazione della definizione di probabilità: allora si può far notare che per probabilità si intende una qualunque funzione che soddisfi le proprietà che si sono viste all’inizio. 

116

Al ristorante

 In un ristorante la probabilità che un cuoco bruci l’arrosto è 0,02,

la probabilità che dimentichi di salare la pasta è 0,1e quella che sali troppo è anch’essa 0,1.

Qual è la probabilità che il pranzo preparato dal cuoco riesca bene ( supponendo che non possa fare altri errori)? 

117

Schematizzazione

La schematizzazione di tale problema può risultare più difficilein quanto mentre per l’arrosto ci sono solo due possibilità, cioè che bruci (B) oppure che riesca (R),  per l’acqua della pasta ci sono tre possibilità  e cioè che sia giusta (G), non salata (NS), e troppo salata (TS). La probabilità che l’acqua non sia salata è 0,1 e che sia troppo salata è 0,1, quindi che sia giusta è 0,8. Si può schematizzare la situazione con un grafo in cui sono disegnati solo i rami che interessano.

118

0,02

B

0,98

R0,1

0,10,80

TS NS G

119

Un giudiceUn giudice consegna a un condannato 2 palline bianche e 2 nere che egli dovrà collocare in due urne scegliendo tra queste quattro possibilità:    1) una bianca da sola e tutte le altre nell’altra urna;  2) una nera da sola e tutte le altre nell’altra urna; 3) le due bianche in un’urna e le due nere nell’altra;  4) una bianca e una nera in ciascun urna.  Il giudice sceglierà poi a caso una delle urne ed estrarrà da essa una pallina. Se questa risulterà bianca il condannato sarà graziato.Qual è la disposizione più favorevole per ottenere la grazia?

1/21/2

1°urna 2° urna

120

1)P(B)=11/2+1/21/3=2/3

2)P(B)=1/2 2/3=1/3

3)P(B)=1/2

4)P(B)=1/2 1/2+1/2 1/2=1/2

1/3<1/2<2/3

soluzione

121

Generalizzare (1)

Se le palline sono 50 bianche e 50 nere le disposizioni sono molte di più.Qual è la più favorevole per ottenere la grazia? Risolvendo il problema, si vede che la strategia più conveniente è:  mettere una biglia bianca in un’urna e tutte le nere con le rimanenti bianche nell’altra.   

122

Generalizzare (2)Questo problema può essere stimolante in quanto non è un problema di routine da incasellare in una regola e può essere considerato un problema “di strategia”. In casi di questo tipo davanti a una situazione problematica di incertezza si cerca un comportamento che almeno ottimizzi la probabilità di successo. Si possono, se è il caso, calcolare la probabilità dell’evento

favorevole al variare di n. Si ottiene per n=3, cioè 3 palline bianche e altrettante palline nere, la situazione più favorevole è salvezza con:

Probabilità = ½ +1/5 =7/10Per n=4 è: Salvezza con

Probabilità = ½+3/14=10/14=5/7   

123

Generalizzare ( 3)

 

Nel caso generale (n qualsiasi) questa strategia conduce alla probabilità di avere salva la vita:

½+1/2(n-1) / (2n-1)]=1/2 (3n-2) / (2n-1) ] Se si vogliono riportare i calcoli su una tabella si vede che al crescere

di n, la probabilità p tende al limite ¾=0,75 

124

tabella

0,7225

0,7144

0,73

0,66...2

0,51

PN

0,73710

0,7359

0,7338

0,7317

0,7276

PN

125

tabella

0,7491000

0,748100

0,74750

PN

126

Quadrato

Si consideri il quadrato di lato 1Qual è la probabilità che scegliendo un punto a caso, questo sia nella zona colorata ?

127

Considerazioni

Fin a questo momento ci si è di solito ( non nel caso dello sparo o del cuoco) riferiti alla definizione di probabilità come rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero dei casi possibili, la quale richiede che il numero di casi possibili sia finito e che gli eventi elementari siano tutti ugualmente possibili. In questo esempio gli eventi possibili sono rappresentati da tutti i punti del quadrato; quelli favorevoli da tutti i punti della zona colorata:  si tratta in entrambi i casi di un numero infinito di punti e venendo a mancare la prima richiesta non è più possibile utilizzare la stessa definizione.   

.

128

Definizione

• Si può rimediare ricorrendo in questo caso ad un rapporto tra aree,quella della zona “favorevole” e quella della zona

“possibile”. • L’area del quadrato è 1

• L’area del quarto di cerchio =/4

• La probabilità richiesta = /4/1 cioè /4Inoltre in questo esempio si fa osservare che mentre sino ad ora

la probabilità di un evento era un numero dell’insieme dei numeri razionali, nell’esempio presentato si ottiene /4, un numero irrazionale.

•  

129

Definizione generale

Questo esempio permette di dedurre che in generale  la probabilità di un evento è un numero reale compreso fra zero e uno. 

130

esercizi

1) Un’urna contiene delle palline rosse, 24 palline bianche e 15 verdi. Trovare il n° delle palline rosse sapendo che la probabilità di estrarre una pallina bianca o rossa è 7/10.

2) Un sacchetto contiene palline che portano ciascuna numeri da 1 a 7. Se ne estraggono successivamente due con reimbussolamento.

a) Qual è la probabilità che la somma sia pari?

b) Che sia pari il prodotto?

3)Il sacchetto A contiene tombolini con numeri da 5 a 8,il sacchetto B con numeri da 1 a 4. Si estrae un n° da ogni sacchetto.

a)Qual è la probabilità di ottenere 10?

b)Su quale punteggio conviene scommettere?

131

esercizi

1)Lanciando un dado stabilisci qual è la probabilità che esca:

a) Un n°disparib) Un n°divisibile per 3c) Un n° pari e divisibile per 3d) Un n° primo o parie) Un n° divisibile per 5 o pari Lanciando due dadi qual è la probabilità che la

somma dei due numeri uscenti sia minore di 4?

132

Applicazione della Probabilità alla Genetica

133

Ogni carattere ereditario è determinato da una coppia di geni trasmessi da ciascun genitore.

Nei casi più comuni ciascun gene può presentarsi in due forme diverse che si indicano con una stessa lettera maiuscola e minuscola, ad esempio, A, a.

Per esempio prendiamo il carattere”colore degli occhi” e indichiamo con “A” il gene responsabile del colore scuro e con “a” il gene responsabile del colore chiaro.

134

Ciascun genitore trasmette un gene con probabilità 1/2.

Essendo frequente il fenomeno per cui il gene recessivo “a” non manifesti il proprio carattere

in presenza di “A”,coloro che possiedono i due geni AA e Aa hanno occhi scuri,quelli con la coppia aa hanno occhi chiari.

 

135

Tabelle

aaAaa

aaAaa

aA

Aa

aa a

A

aA

Aa

Aa

Completa le due tabelle e indica i caratteri che possono avere i figli

a

a

AA

aa

AA

136

padre

A a

½ 1/2

a a a a

madre

Aa Aa aa aa

Il grafo si riferisce al primo esempio della scheda precedente: la trasmissione “colore degli occhi” può essere rappresentata anche così. Gli eventi elementari possibili sono: Aa, Aa, aa, aa,la probabilità per ciascun evento elementare di 1/21/2=1/4

la probabilità 1/2 che un figlio abbia occhi scuri (Aa)

la probabilità 1/2 occhi chiari(aa).

Grafo ad albero

137

Domanda

Riferendoti al terzo esempio della scheda precedente ( genitori : Aa, Aa), in una famiglia di 4 figli, 3 saranno sicuramente con occhi scuri e 1 con occhi chiari?

L’ultima domanda della scheda ha l’obbiettivo di far riflettere ancora sul fatto, che il verificarsi di ciascun evento è incerto, ma è possibile

misurarne l’incertezza.

138

Scheda 22In una popolazione si conosce la frequenza del gene A che è dell’80% e del gene a, che è del 20%.Gli individui AA, Aa, aa si presentano in percentuali diverse, che possono essere rappresentate con il seguente grafo:

0.8 0,2 padre

A a

A a A a

AA Aa Aa aa

Quali sono le percentuali dei tre diversi tipi nella popolazione?

0,8 0,2 0,8 0,2 madre

139

Percentuali dei tre diversi tipi

. gli eventi elementari possibili sono: AA, Aa, Aa, aa  probabilità di ciascuno degli eventi elementari:

P(AA)= P(A) P(A)=0,80,8=0,64=64%  P(Aa) =P(aA)= 0,20,8=0,16 =16%

P(aa)= 0,20,2=0,04=4%.

 

140

Rappresentazione in tabella

La situazione presentata con il grafo può essere illustrata anche nel seguente modo: 0,8 0,2

AaAA

aaAa0,2

0,8

0,8 0,2

0,2

0,8

Che cosa rappresentano le aree delle quattro regioni in cui è suddiviso il quadrato?

141

 Riflessioni

Le frequenze dei geni si possono interpretare come misure di superfici di opportune regioni di un quadrato di lato 0,8+0,2 suddiviso in cinque parti:

ciascuna superficie rappresenta ciascun evento elementare possibile:

q la frequenza del gene A

p quella del gene “a”

AA=q2 Aa=2pq aa=p2

(q+p)2= q2 + 2pq + p2=1 (q+p)2=1

142

L’assenza del fattore Rh nel sangue è dovuta ad un gene recessivo a, la cui frequenza, nella nostra popolazione, è circa del 40%.Gli individui con i due geni recessivi aa si dicono Rh, gli altri Rh+.1) Calcola la percentuale degli individui Rh+e Rh aiutandoti con un grafo.2) Supponiamo che in una particolare popolazione la percentuale degli individui Rh(aa) sia del 9%.Calcola la frequenza del gene recessivo a utilizzando il seguente disegno:

0,09aa3) Aiutandoti con il quadrato

calcola la frequenza del gene A e le percentuali degli individui AA e Aa

scheda23

143

Riflessioni

la frequenza degli individui (aa) è del 9%.

quale è la frequenza del gene “a” (recessivo) ?  Se 0,09 è area di un quadrato,0,09 è la misura del suo lato e corrisponde alla frequenza del gene “a”.  la frequenza di A=1a

144

Esercizi

1) Alcuni individui non sentono l’amaro di una sostanza chimica che si chiama feniltiocarbammide. Questo è dovuto ad un gene recessivo la cui frequenza, nelle nostra popolazione, è 0,6.

Calcola la percentuale di individui che hanno questo carattere e di individui che ne sono portatori.

2) Supponiamo che un carattere sia dovuto a un gene dominante A. Sapendo che in una popolazione gli individui che non hanno questa caratteristica sono il 49%, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a, del gene A e degli individui Aa, AA.

145

Scheda 24

Nella scheda 23 hai trovato che gli individui Rh+ sono l’84% della nostra popolazione e gli individui AA sono il 36%.

1) Tra gli Rh+ qual è la percentuale degli individui AA?

Il risultato ottenuto è la probabilità che scegliendo a caso un individuo, tra gli Rh+ della nostra popolazione, questi risulti AA.

2) Trova la probabilità che scegliendo a caso un individuo tra gli Rh+ questo risulti Aa.

146

Padre Rh+ madre Rh

Consideriamo il caso che da un padre Rh+ e da una madre Rh nasca un figlio. Dato che il gene trasmesso dalla madre, la quale è Rh , è sicuramente a, la situazione del figlio è determinata solo dal gene del padre, ed è diversa a seconda che il padre sia AA oppure Aa.

Il padre è AA il padre è Aa

trasmette A trasmette A trasmette a

Calcola la probabilità che il figlio sia Rh+ completando il grafo

147

Esercizi

3) L’albinismo è dovuto a un gene recessivo aa. Sapendo che in una popolazione gli individui albini sono 1 su 10.000, calcola, per quella popolazione, la frequenza del gene a e degli individui portatori di albinismo.

4) Consideriamo il caso che da un padre albino e da una madre non albina nasca un figlio. Utilizzando i risultati dell’esercizio 3 e procedendo come suggerito dalla scheda precedente, calcola la probabilità che il figlio sia albino.

148

Esercizi

5) In una popolazione la frequenza del gene recessivo a è del 30%. Calcola:

a) la frequenza del gene dominante Ab) la percentuale degli omozigoti AAc) la percentuale degli omozigoti aa

d) la percentuale degli eterozigoti Aa

149

6) Un gene recessivo a responsabile di una malattia ha, in una determinata popolazione, la frequenza del 30%.

i)Calcola aiutandoti con un grafo, la percentuale degli individui sani e quella degli individui malati.

ii) Supponiamo che in un’altra popolazione la percentuale degli individui malati, e quindi omozigoti per il carattere aa, sia del 4%. Calcola :

a)la frequenza del gene recessivo a b)la frequenza del gene dominante A c)la percentuale degli omozigoti AA d)la percentuale degli eterozigoti.

150

7)L’anemia mediterranea è una malattia ereditaria portata da un gene recessivo a, che non si manifesta quando il gene recessivo a è accompagnato dal gene dominante A ( si parla in questo caso di portatore sano).

a) Nella popolazione di un paese, costituita da 5.000 persone, il 4% è ammalato: quante sono le persone ammalate?

b) Da due genitori di tipo (A;A),(A;a) può nascere un figlio ammalato? Perché?

c) Con quale probabilità può nascere un portatore sano?

d) Scrivi le varie combinazioni genetiche derivate da due genitori (A;a), e calcola la probabilità che nasca:

I) Un figlio ammalato II) Un figlio portatore sano III) Un figlio sano

151

8) Considera le famiglie che hanno due figli, dì se è più probabile che i due figli siano entrambi femmine, oppure che siano di sessi diversi.9) Immagina che in una certa popolazione, la probabilità di avere un figlio maschio sia più piccola di quella di avere una figlia femmina, e cioè che esse siano 0,40 per il maschio e 0,60 per la femmina.Calcola ora, con questi dati, la probabilità che una famiglia con due figli li abbia di sesso diverso.a) Pensa di far variare la probabilità di avere un figlio maschio, e disegna un grafico riportando sull’asse x alcuni valori di questa probabilità, e sull’asse y i corrispondenti valori della probabilità di avere due figli di sesso diverso.

152

Commento

b) Prova a scoprire per quale valore di x si ottiene il massimo valore di y, e rifletti sul valore trovato.E’ questa la situazione che si verifica in natura?c) Osserva, che per un dato valore di x, il corrispondente valore di y è uguale al doppio dell’area di un rettangolo di lati x e (1-x).In base alle considerazioni che hai svolto prima, sai dire quale, fra i rettangoli che hanno un perimetro fissato ha area massima?

153

Legge dei grandi numeri

154

Prove ripetute

Se ripetiamo il lancio di una moneta equilibrata molte volte, ad esempio,10.000 volte, quante volte ci aspettiamo di avere testa?

L’intuizione ci suggerisce di aspettarci che la frequenza relativa dell’evento considerato (cioè il rapporto tra il numero di uscita testa e il numero dei lanci) si avvicini alla probabilità, cioè un mezzo.

E’ corretto attendersi questo? E’ corretto attendersi che la frequenza, dopo un numero elevato di prove sia esattamente un mezzo? Cosa significa dire che la frequenza “si avvicina” ad un mezzo?

155

Scheda 26

Un amico ti propone di lanciare 100 volte una moneta e di scommettere su uno dei due seguenti eventi:

A: Escono 50 Teste e 50 CrociB: Il numero di Teste è diverso dal numero di Croci.

Su quale scommetteresti?

Questa domanda è stata posta per avviare il lavoro che segue:arriveremo ad enunciare uno dei risultati fondamentali del

calcolo della probabilità, noto col nome “legge dei grandi numeri”.

156

Scheda 27

1)Disegna il grafo relativo a 2 lanci di una moneta e calcola la probabilità di ottenere:

• a) nessuna Testa• b) una volta Testa• c) due volte Testa

2) In ciascuna casella scrivi, in forma decimale, le probabilità calcolate in precedenza:

Nessuna 1 Testa 2 TestaTesta

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Scheda 28

1) Considera ora 3 lanci di una moneta e traccia il grafico relativo.

2) Calcola la probabilità che escaa) TTTb) TCTc) 2 volte T3) Come hai fatto precedentemente scrivi la probabilità in

forma decimale

0 T 1 T 2 T 3 T

158

Scheda 29

In quattro lanci... 1)Traccia il grafo relativo e otterrai nel completamento delle caselle:

0,06250,250,3750,250,0625

0 T 1 T 2 T 3 T 4 T

2) Per calcolare la probabilità di ottenere 4 T quanti percorsi del grafo hai considerato?

3) Sai spiegare perché le probabilità scritte nelle diverse caselle aumentano dagli estremi verso il centro?

159

0,5 0,5

0T 1T

0,25 0,5 0,25

0T 1T 2T

0,125 0,375 0,375 0,125

0T 1T 2T 3T

0,0625 0,25 0,375 0,25 0,0625

0T 1T 2T 3T 4T

1) Completa la tabella. Se si continua per n=5,6…. 12 si ottiene la tabella riportata a pag.88 (L’ insegnamento della matematica e delle scienze integrate )

160

Una volta completata la tabella consideriamo le caselle attraversate dall’asse di simmetria per le quali la frequenza di Testa è un mezzo cioè:

Numero di teste = 1

Numero di lanci 2

Inoltre la tabella è suddivisa in 3 parti separate da un bordo in neretto:

•In quella a sinistra il rapporto tra il n° di uscite di testa e il n° dei lanci effettuati è minore di 1/3,

•in quella centrale gli eventi in cui tale frequenza è compresa tra 1/3 e 2/3

•in quella di destra quelli in cui è maggiore di 2/3

1/3 n°testa/n°lanci 2/3

161

N=1 0,5 0 0,5

N=2 0,25 0,5 0,25

N=3 0,125 0,75 0,125

N=4 0,3125 0,375 0,3125

N=6 0,10938 0,78126 0,10938

N=8 0,14454 0,71094 0,14454

N=9 0,08984 0,8203 0,08984

N=10 0,17189 0,65825 0,17189

N=12 0,07299 0,85401 0,07299

Sommando, riga per riga, le probabilità scritte nelle caselle di ognuna delle tre zone si ottiene la tabella

P(fr(T)<1/3 P(1/3fr(T) 2/3 P(fr(T)>2/3

Osserva,che al crescere di n, la probabilità che la frequenza di T sia compresa tra 1/3 e 2/3 aumenta, mentre la probabilità che la frequenza di T sia minore di 1/3 o maggiore di 2/3, diminuisce.

162

Grafico

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1 2 3 4 5 6

n° lanci

P(1/3fr(T)2/3)

163

n=50 0,007673

da 0 a 16 T

0,984653

da 17 a 33 T

0,007673

da 34 a 50 T

n=100 0,000437

da 0 a 33 T

0,999126

da 34 a 66 T

0,000437

da 67 a 100 T

P(fr(T)<1/3 P(1/3fr(T) 2/3 P(fr(T)>2/3

1)Quando n diventa “molto grande”casa ti aspetti della probabilità che la frequenza dell’uscita testa sia compresa tra 1/3 e 2/3?

2)E della probabilità che escano un ugual numero di Testa e di Croce?

164

Lanciando molte volte una moneta......

Gli eventi centrali sono quelli in cui la frequenza dell’uscita di testa è “abbastanza vicina” alla probabilità un mezzo, perciò possiamo (per il caso particolare del lancio di una moneta),formulare la cosiddetta “legge debole dei grandi numeri” :

Lanciando molte volte una moneta diventa sempre più grande e si avvicina a 1 la probabilità che la frequenza

dell’uscita di Testa differisca dalla sua probabilità ½ meno di un qualunque numero positivo scelto da noi (nei nostri esempi 1/6,1/12......)

165

Commento

Osservando le caselle attraversate dall’asse di simmetria della tabella dobbiamo notare che la probabilità che la frequenza

dell’uscita di Testa sia esattamente ½ diventa sempre più piccola, anzi, per n molto grande si avvicina a zero

• Se lanci 10.000 volte una moneta e devi scommettere su uno dei seguenti risultati, quale sceglieresti?

a) 5.000 T e 5.000 C b) 4825 T e 5175 C c) un numero di T compreso tra 4.500 e 5.500 d) un numero di T compreso tra 4.250 e 5.750

166

Scheda 38

Abbiamo enunciato la “legge dei grandi numeri” a proposito dell’uscita di Testa nel lancio ripetuto di una moneta.La stessa legge vale in una qualsiasi altra situazione di prove ripetute.Considerando ad esempio il lancio di un dado la legge dei grandi numeri ci dice che in un gran numero di lanci sarà molto probabile che la frequenza dell’uscita di un numero prefissato (ad esempio il 2) sia “vicina” a 1/6.Anche qui possiamo osservare che sarà assai poco probabile che la frequenza dell’uscita del 2 sia esattamente 1/6.

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Esercizi

1)Un urna contiene 5 palline, 4 bianche e 1 nera. Supponi di estrarre 5.000 volte una pallina

(rimettendola ogni volta nell’urna):Quale dei seguenti risultatiti sembra più probabile? a)La pallina nera esce 1.000 volte b)La pallina nera esce un numero di volte

compreso tra 950 e 1.050 c)La pallina nera esce un numero di volte

compreso tra 800 e 1.200

2)Supponi di lanciare un dado molte volte (1.000, 10.000 o anche di più) che cosa puoi dire della frequenza dell’uscita del numero 2?