1. NUMERI ED OPERAZIONI SUI NUMERI

/m

m nn

x x x

1 0 1 2

1

2

3

4

5

4

a b a b a b a b

1

2

Operazioni sui numeri

3

Nota: operazione impossibile

non esiste!

1

0 0

aa

4

1 2

volte

0 , , n

n

n a a a a a a a a a a 310 1000

00 1n a

volte

1 10, : 0 n j

j

j

n j n a aa a a aa

33

110 0,001

10

Proprietà delle potenze:

5

Scomposizione di un numero secondo (le potenze di) numeri primi

𝑛 è un numero primo se è divisibile solamente per l’unità e se stesso: numeri primi: 2,3,5,7,11,13,17,⋯

6

Come riconoscere l’equivalenza (o non) tra frazioni?

Frazioni equivalenti (non equivalenti) hanno la stessa (diversa) forma irriducibile

Sì, è irreducibile

7

Prodotto di numeri razionali:

Somma di numeri razionali: 1) via minimo comune multiplo

2) via diretta

Risultati delle operazioni non necessariamente irreducibili!

8

Rappresentazione decimale dei numeri

Numero razionale: cifre decimali finite o periodiche

Numero irrazionale: numero infinito di cifre decimali

Troncamento con numero di cifre crescenti: restringimento dell’intervallo in cui si colloca il numero esatto

9

Troncamento nella rappresentazione decimale di un parametro chimico-fisico: stesso significato ma diversa origine!

Esempio: distanza 𝑑 misurata con un regolo avente suddivisioni (tacche) in millimetri: 𝑑 = 12,1 cm

nel significato di: 12,05 cm< 𝑑 ≤ 12,15 cm

In questo caso il troncamento non è scelto a priori, ma è determinato dall’incertezza (errore) della misura

Stima dell’errore (incertezza) 𝑒𝑑 della misura del parametro 𝑑: 𝑒𝑑 = 0,05 cm

Cifre significative di un parametro: cifre decimali riportate e non affette da errore

𝑑 = 12,1 cm: 3 cifre significative

Normalmente si suppone che tutte le cifre riportate siano significative

Esempio: come si dovrebbe riportare in metri una distanza 𝑑 = 3,5 km?

3,45km< 𝑑 ≤ 3,55km 𝑒𝑑 = 50m

𝑑 = 3500m ⇒ 3499,5m< 𝑑 ≤ 3500,5m, 𝑒𝑑 = 0,5m : sbagliato!

𝑑 = 35 ∙ 102m ⇒ 34,5 ∙ 102m< 𝑑 ≤ 35,5 ∙ 102m, 𝑒𝑑 = 50m : corretto!

10

Stesso significato per i parametri chimico-fisici tabulati, ad esempio costante dei gas: 𝑅 = 8,314 J/mol K

Implicito: 𝑅 di per sé è un numero con infinite cifre decimali (numero irrazionale) e se ne riporta la forma troncata con 4 cifre significative, cioè: 8,3135 J/mol K < 𝑅 ≤ 8,3145 J/mol K

𝑝

11

Quali cifre riportare nella somma di parametri?

Esempio: dati due parametri 𝑝1 = 12,1 e 𝑝2 = 0,512 , quale valore riportare per la loro somma 𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2?

Riportando la soma algebrica, 𝑝 = 12,1 + 0,512 = 12,612 , si attribuirebbe a 𝑝 una incertezza 𝑒𝑝 = 0,0005. E’ corretto?

Estremo inferiore/superiore di 𝑝 = somma degli estremi inferiori/superiori degli addendi

𝑝1

𝑝1 − 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝1

𝑝2

𝑝2 − 𝑒𝑝2 𝑝2 + 𝑒𝑝2

𝑝

𝑝 − 𝑒𝑝 𝑝 + 𝑒𝑝

𝑝 + 𝑒𝑝 = 𝑝1 + 𝑒𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1 + 𝑝2 + 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1+𝑒𝑝2 = 0,05 + 0,0005 ≅ 0,05

Nella somma prevale la maggiore delle incertezze degli addendi!

Risultato corretto: 𝑝 = 12,6 12.55 < 𝑝 ≤ 12,65

Somma degli errori assoluti nell’addizione!

12

E se i due parametri nella somma hanno la stessa incertezza?

Ad esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,5 𝑒𝑝1 = 𝑒𝑝2 = 0,05 𝑒𝑝 = 𝑒𝑝1 + 𝑒𝑝2 = 0,1 ?

Una analisi più accurata prederebbe un addensamento dei valori più probabili verso il centro dell’intervallo ⇒ Sovrastima dell’incertezza con 𝑒𝑝 = 0,1

In pratica si tronca alla stessa cifra decimale:

𝑝 = 𝑝1 + 𝑝2 = 12,6 12,55 < 𝑝 ≤ 12,65 𝑒𝑝 = 0,05

E nell’operazione di sottrazione?

𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 = 𝑝1 + (−𝑝2)

Equivalenza con la somma attraverso l’opposto ⇒ stesse regole della somma per l’individuazione dell’incertezza

13

Quali cifre riportare nel prodotto di parametri?

Un esempio: 𝑝1 = 12,1 𝑝2 = 0,15 𝑝 = 𝑝1𝑝2?

Estremi inferiore/superiore di 𝑝 = prodotti degli estremi inferiori/superiori dei fattori

𝑝1

12,05 12,15

12,1 𝑝2

0,145 0,155

0,15

𝑝

12,05 ∙ 0,145 12,15 ∙ 0,155

12,1 ∙ 0,15 𝑝

1,74725 1,88325

1,815

Ragionevole intervallo di incertezza: 𝑝

1,75 1,85

1,8 Risultato: 𝑝 = 1,8

14

C’è una strada più diretta: confronto tra gli errori (incertezze) relativi

Errori relativi sui fattori: 𝑒𝑝1 𝑝1 = 0,05 12,1 ≅ 0,004 𝑒𝑝2 𝑝2 = 0,005 0,15 ≅ 0,03

Incertezza sul prodotto dall’estremo superiore:

𝑝 1 + 𝑒𝑝 𝑝 = 𝑝 + 𝑒𝑝 = (𝑝1 + 𝑒𝑝1) 𝑝2 + 𝑒𝑝2 = 𝑝1𝑝2(1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2)

1 + 𝑒𝑝 𝑝 = (1 + 𝑒𝑝1 𝑝1 )(1 + 𝑒𝑝2 𝑝2)

𝑒𝑝 𝑝 = 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2 +(𝑒𝑝1 𝑝1) (𝑒𝑝2 𝑝2 ) ≅ 𝑒𝑝1 𝑝1 + 𝑒𝑝2 𝑝2

Trascurabile!

Gli errori relativi si sommano nel prodotto 𝑒𝑝 𝑝 ≅ 0,004 + 0,03 ≅ 0,03 = 𝑒𝑝2 𝑝2

Nel prodotto prevale la maggiore delle incertezze relative

𝑒𝑝 ≅ 0,03 ∙ 𝑝 ≅ 0,06 ⇒ 𝑝 = 1,8

Regola pratica: numero cifre significative nel prodotto = minimo del numero di cifre significative dei fattori ⇒ 12,1 ∙ 0,15 = 1,8

3 2 2

15

Nella precedente trattazione era implicito che tutti i parametri fossero positivi

Generalizzazione a parametri generici: errore relativo (sempre positivo): 𝑒𝑝 |𝑝|

errore relativo nel prodotto 𝑝 = 𝑝1 ∙ 𝑝2: 1 2

1 2| | | | | |

p pp e ee

p p p

E nella divisione 𝑝 = 𝑎 𝑏 = 𝑎 ∙ 1 𝑏 ?

E’ sufficiente valutare l’errore 𝑒1 𝑏 del reciproco 1 𝑏 , noto l’errore 𝑒𝑏 sul

parametro 𝑏

𝑏 − 𝑒𝑏 𝑏 + 𝑒𝑏

𝑏

1 𝑏 − 𝑒1 𝑏

1 𝑏

1 𝑏 + 𝑒1 𝑏

1/ 1/1 1 1 1 b

b bb b b

ee e

b b e b e b b b e

1/

1 /b b b

b

e e e

b b e b

Errore relativo sul reciproco = errore relativo sul parametro