1 IL QUESTIONARIO e le considerazioni dei commissari di Matematica a cura della Prof.ssa Serenella...
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1
IL QUESTIONARIO
e le considerazioni dei commissari di Matematica
a cura della
Prof.ssa Serenella IacinoProf.ssa Serenella Iacino
Roma, 13 Novembre 2013Roma, 13 Novembre 2013
2
sui risultati della prova scritta di Matematica nei licei
scientifici ordinamento e sperimentali ha interessato
L’ Indagine Nazionale del 2013
assegnati a 2˙916 Commissioni su un totale di 3˙360.
72˙436 studenti
119˙822 candidati
su un totale di
3
La partecipazione delle Commissioni alla
QUESTIONARIO
ha riscosso quest’anno una elevata adesione che, in
alcune regioni, ha sfiorato il
Indagine Nazionale
attraverso la compilazione di un
90%.
4
che si sono svolte in tutte le regioni nell’anno
scolastico 2012 – 2013 organizzate dai rispettivi
Questo risultato è stato ottenuto grazie all’impegno dei
REFERENTI REGIONALI
oltre che al successo delle
GIORNATE MATEMATICHE
UFFICI SCOLASTICI REGIONALI
5
compilati dai Commissari nel 2013 sono stati
I Questionari
3˙438
e ogni questionario ha riguardato 1 o 2 classi.
6
Numero dei questionari delle Commissioni per regione
Abruzzo
Basilicata
Calabria
Campania
Friuli
Lazio
Liguria
Lombardia
Marche
Molise
Piemonte
Puglia
Sardegna
Sicilia
Toscana
Trentino
Umbria
Val d’Aosta
Veneto
Emilia Romagna
90
48
180
543
212
56
280
68
447
90
32
229
355
115
244
147
22
57
5
218
7
Le percentuali per regione
8
Nel Questionario sono stati coinvolti più di
1) modalità di articolazione della prova scritta in
che hanno espresso un parere sulle seguenti tematiche
600 docenti
2) contenuti della traccia, in particolare sulla
3) difficoltà palesate dai candidati;
4) valutazioni attribuite agli elaborati d’esame;
5) modifiche ed integrazioni al Syllabus 2009.
problemi e quesiti;
insegnamento effettivamente svolti;
rispondenza della stessa ai programmi di
9
IL SYLLABUS
formulazione delle tracce di esame proposte
realizzato nell’anno 2009, ha rappresentato
• un elenco preciso e dettagliato di quanto
deve essere accertato in sede di prova
scritta;
• il riferimento per la definizione e la
in questi anni.
10
un Nuovo Syllabus
delle conoscenze, delle abilità e delle competenze da
accertare nel
Nuovo Esame di Stato
che sarà, nel 2015, in linea con le
Indicazioni Nazionali
Si vuole ora preparare
11
sono stati inoltre invitati ad adottare criteri comuni per
I docenti delle Commissioni
la valutazione della prova scritta di matematica
utilizzando
una griglia di valutazione
con dei
ciascuna parte della traccia
pesi prefissati, a livello nazionale, per
12
Una griglia così articolata
• consente una maggiore uniformità di giudizio
• rende comparabili i risultati di apprendimento.
13
che è suddiviso in
questionario 2013.doc
Tutto questo è presente nel
5 tabelle
14
Le 5 tabelle nel dettaglio
15
riguarda la scelta, da parte dei candidati, del
La tabella A
problema e dei 5 quesiti tra quelli proposti,
nonché il punteggio relativo ottenuto
16
Griglia Nazionale di valutazione
La tabella B
parte dei Commissari di Matematica della
riguarda la scelta o meno dell’ utilizzo da
del problema e dei quesiti
17
rileva se i commissari di matematica ritengano di
La tabella C
problemi e quesiti.
mantenere o meno l’articolazione della traccia in
18
1) rispondenza della traccia proposta con i
La tabella D
si occupa degli aspetti didattici
2) livello di complessità dei calcoli da utilizzare
ovvero:
programmi effettivamente svolti;
per svolgere la prova;
19
4) complessità nella risoluzione della traccia;
5) difficoltà incontrate dai candidati:
3) chiarezza del testo della traccia proposta;
5.1 - se dipendenti da argomenti non trattati in classe.
5.2 - se dipendenti dalla novità della formulazione
20
e infine
coerenti con
La tabella E
e se, in caso contrario, quali siano gli
il Syllabus 2009 e con le Indicazioni Nazionali
in cui si chiede se i problemi ed i quesiti siano
argomenti da non riproporre e quali da
introdurre a partire dalla
sessione 2015
21
LA TRACCIA ORDINAMENTO 2013
22
23
facilmente calcolabile mediante semplice integrazione:
Il soggetto principale del problema è la funzione
integrale:
f(x) = ∫0
x
t2
[cos( ) + ] dt12
2sen( ) + x f(x) = x2
12
24
La prima domanda chiede di determinare f’(x)
mediante l’applicazione del Teorema fondamentale
del calcolo:
e di determinare il grafico di f’(x) mediante una
x2
f’(x) = cos( ) + 12
12
di vettore v (0, );
procedura sintetica e cioè partendo dal grafico di x2
y = cos( ) e applicando a questo una traslazione
25
La seconda domanda chiede di determinare il
grafico di f(x) deducendolo da quello di f’(x).
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2 0
-1
1
2
3
4
5
f’(x)
f(x)
26
La terza domanda chiede il valor medio di f’(x)
sull’ intervallo [0,2Π] mediante l’applicazione del
teorema del valor medio:
Valor medio = ∫0
2Π1
2Πx2
[cos( ) + ] dx =12
12
27
La quarta domanda chiede il volume di un solido
a fettine:
Volume = ∫0
4
Πx 4
3sen( ) dx = 24 Π
Area(x) dx = ∫0
4
28
Il problema è interamente basato sui concetti
dell’Analisi del 5° anno e cioè:
1) Il Teorema fondamentale del Calcolo
2) Il valor medio di una funzione su un intervallo
3) Il calcolo dei volumi
4) Lo studio del grafico di una funzione
29
30
Il soggetto principale del 2° problema è la funzione
chiamata
“ Versiera di Agnesi “
8f(x)=
4 + x 2
31
Nella prima domanda si chiede di studiare la
funzione e determinarne il grafico:
0
-0,5
0,5
1
1,5
2
5
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5
f(x)
32
Inoltre si chiede di determinare:
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5
P Q
M
O
e di considerare il rombo individuato dalle due tangenti
con le rette OP e OQ e di calcolare i suoi angoli:
le equazioni delle rette tangenti alla curva in due
suoi punti P e Q
33
Nella seconda domandasi chiede di riconoscere in f(x) l’equazione del luogo
geometrico di un punto,
costruito con un procedimento che considera una
circonferenza di raggio unitario e centro C (0,1) e due
rette di cui una per l’origine e l’altra y = 2 parallela
all’asse x.
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5
B
A
O
C
y = 2
y = m
x
34
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O
Nella terza domanda
si chiede di calcolare l’area della zona R compresa tra
il grafico di f(x) e l’asse x nell’intervallo [0,2]
R
∫8
4 + x 2
2
0
dx = Π
35
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O
e l’area della zona
compresa tra f(x) e
tutto l’asse x :
∫8
4 + x 2-∞
dx = 4Π
+∞
36
Nella quarta domanda
si chiede di calcolare il volume del solido ottenuto
ruotando la regione R intorno all’asse y:
-0,5
0,5
1
1,5
2
-1 -0,5 0,5 1 1,5 2-2 2,5-1,5-2,5 O
R
= 8Π∙ln2
2 - y
yVol = 4∙Π∙1 + Π∫
1
2
2g (y) dy = 4∙Π∙1 + 4 Π
∫1
2
dy =
37
Il problema è basato sui seguenti concetti
dell’Analisi, della Geometria e Trigonometria:
1) Studio del grafico di una funzione
3) Angolo tra due rette
2) Equazione di un retta tangente ad una curva
4) Equazione di un luogo geometrico
5) Calcolo di un’area mediante un integrale
6) Calcolo del volume di un solido di rotazione
definito e un integrale improprio di 1° specie
38
Il questionario è basato sui seguenti concetti
dell’Analisi, della Geometria e
Trigonometria:
1) Area di un triangolo in funzione di due lati e
3) Distanza punto - retta
2) Dominio di una funzione
4) Similitudine fra triangoli e volume di un tronco
dell’angolo compreso
di cono
39
7) Rapporto di similitudine tra aree e lati di figure
9) Calcolo di un limite
8) La funzione integrale
10) Crescenza e decrescenza di una funzione
6) Calcolo combinatorio
5) Percentuale
piane simili
40
Quindi, dall’esame della Traccia dell’ordinamento,
in quanto propone quasi tutti gli argomenti presenti
nell’area denominata
le Indicazioni Nazionali
“ Relazioni e funzioni “
si può stabilire che la stessa è in sintonia con
41
1) Concetto di limite
5) Il calcolo combinatorio
3) Calcolo di aree e volumi
2) Continuità, derivabilità, integrabilità
4) La geometria solida
6) Il calcolo approssimato
impartita al 5° anno , ed esattamente:
nonché al 2° biennio, e cioè:
42
Come pure
Il compito richiede anche allo studente di aver fatto
propri alcuni concetti fondamentali dell’analisi, come
ad esempio dedurre il grafico di f(x) dal grafico di f’(x)
concetto che è presente sia nel 1° problema che nel
quesito n°10.
43
LA TRACCIA PNI 2013
44
45
-4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
2
4
6
-2
f(x)
f’(x)
f’’(x)
La prima parte del problema chiede di determinare
il grafico di f’(x) a partire da quello di f(x) e f’’(x)
F
46
La seconda parte del problema chiede di
considerare la x come variabile tempo ed f(x) come la
numerosità di una popolazione al tempo x
• la numerosità è crescente dal valore 1 raggiunto al
tempo 0 al valore 8 al tendere del tempo all’infinito
• Il flesso al tempo x=2 ci dice che il tasso di crescita
della popolazione è crescente nel periodo 0 ≤ x ≤ 2 e
decrescente nel periodo successivo
si vuol sapere quali sono le informazioni che ne
possiamo dedurre dal suo grafico
47
La terza parte del problema chiede di determinare a
e b sapendo che la funzione è la seguente:
poiché f(x) passa per il flesso (2,4) si ha: a
= 41 + eb - 2
= 8lim x ∞
a
1 + eb - x
Inoltre se la retta y=8 è un asintoto orizzontale:
da qui ne segue che a=8 e b=2
af(x)=
1 + eb - x
48
La quarta parte del problema chiede di calcolare
l’area della parte di piano compresa tra il grafico di f’’(x)
e l’asse x nell’ intervallo [0,2]:
Area = ∫ f’’(x) dx = f’(2) – f’(0) = 2 - 0
2
1 + e2 (
8 ∙e 2
)2
-2 0 2 4 6 8 10
f’’(x)
8f(x)=
1 + e2 - xf’(x)=
1 + e2 - x(
8 ∙e 2 - x
)2
49
50
Il soggetto principale del 2° problema è la funzione
f(x) = x ∙ ln(x)3
Lo stile standard di questo problema lo ha reso
più accessibile ad ogni studente mediamente
preparato, per cui è stato il più scelto tra i due
proposti
51
0 0,5 1 1,5 2-0,5-1-1,5-2
0,5
-0,5
f(x)P
La prima domanda chiede di disegnare f(x) e di
calcolare i valori approssimati delle ascisse del punto di
minimo e di flesso
52
La seconda domanda chiede di determinare la
parabola con asse verticale, passante per l’origine e
tangente a f(x) in P(1,0)
Si tratta di una parabola del tipo y = a∙x + b∙x + c2
passante per O (0,0): c = 0
passante per P (1,0): a + b = 0
avente la stessa tangente di f(x) in P: y = x - 1
y = x - x2
53
La terza domanda chiede di calcolare l’area della
parte di piano compresa tra l’asse x, f(x) nell’intervallo
(0,1];
in pratica si chiede di risolvere l’integrale improprio di
2° specie:
1,5-0,5-1-1,5
0,5
-0,5
f(x)
0 1
P
∫ dxx ∙ ln(x)31
0
=1
16
54
La quarta domanda chiede di scrivere l’equazione
della curva simmetrica di f(x) rispetto all’asse y:
e rispetto alla retta di equazione y=-1:
y = - x ∙ ln(- x )3
y = - x ∙ ln( x )3
- 2
55
Il secondo problema è basato sui concetti
dell’Analisi del 5° anno e della geometria
del 2° biennio cioè:
1) Studio del grafico di una funzione
2) Equazione di una parabola date 3 condizioni
3) Il calcolo dell’area mediante un integrale
4) Le simmetrie
improprio di seconda specie
56
Per quanto riguarda il questionario, i quesiti
n. 1-3-4-6 sono in comune con la traccia ordinamento;
quelli non in comune – i numeri 2-5-7-8-9-10 - sono
basati sui concetti dell’Analisi, della Probabilità e
dell’Algebra del biennio:
2) Derivata di una funzione
7) Calcolo delle probabilità
5) Percentuale
8) Calcolo di un limite
10) Calcolo delle radici di una equazione
57
Deve, inoltre, rilevarsi che sono stati scelti anche argomenti attinenti
alla realtà (quesito 5 e quesito 7) sia
ordinamento che PNI
58
I commenti dei Commissari
59
Nella tabella E il Questionario ha proposto ai
Commissari la domanda
“ Dalla sessione 2015, quando saranno pienamente operative le Indicazioni Nazionali, quali argomenti, presenti nelle tracce di questi anni, non saranno più da proporre, quali invece quelli da introdurre ? “ (max. 400 caratteri)
60
Le risposte sono state 584
ripartite secondo gli indirizzi di provenienza.
I commenti dell’ordinamento sono stati 359
Tuttavia ne sono stati elaborati 278
in quanto 81 commissari, anziché rispondere alla
domanda, hanno preferito utilizzare lo spazio a
disposizione per esprimere un giudizio sulla traccia
assegnata
61
1) Alcuni studenti hanno confuso il Teorema di
2) I contenuti presenti nelle tracce risultano
3) Il testo è ben formulato e chiaro e di media
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi:
Lagrange con il Teorema del valor medio.
coerenti con i programmi svolti.
difficoltà.
62
5) E’ importante che i docenti svolgano davvero il
di esercizi che si riferiscono agli anni precedenti
per poter valutare meglio la preparazione degli
studenti.
programma che fanno firmare agli alunni.
4) Apprezzo la griglia di valutazione e la presenza
63
6) Sarebbe necessario ridurre il tempo di
passano il restante tempo nel tentativo di
svolgimento della prova e portarlo da 6 ore a 3
ore, in quanto gli studenti dopo 3 ore hanno già
terminato la parte principale del compito e
collaborare.
64
Altri Commissari hanno dato risposte del tipo:
queste risposte sono state considerate come:
“Nessuna” “No comment”o
“Va bene, nulla da segnalare o da modificare”
65
Altri Commissari hanno scritto un elenco di argomenti
senza alcuna indicazione del tipo
questi argomenti sono stati considerati tutti
“da introdurre”
“da non proporre”
“da introdurre”
66
Invece le risposte del tipo:
• Vedi quanto già indicato per la sezione B
• Si veda quanto già scritto per la classe 5° sez.E
non sono state elaborate
• Vedi giudizio espresso per la classe 5°C
della stessa Commissione
67
63 Commissari (circa il 23%) affermano
• non vanno aggiunti altri argomenti in quanto è
• che la traccia assegnata va bene così;
Molti Commissari auspicano di poter dedicare l’ora
in più settimanale per un approfondimento di
quanto viene attualmente insegnato.
• è da mantenere l’attuale struttura degli argomenti
proposti;
difficile completare i programmi con solo 3 ore
settimanali di lezione.
68
Per altri
• gli argomenti proposti vanno bene ma occorrerebbe
viene dato eccessivo peso al calcolo integrale e al
modificare l’impostazione della prova in quanto
programma svolto negli anni precedenti al 5°.
69
• E’ necessaria una prova che richieda meno calcoli e
Per altri ancora
che sia più chiara nel testo.
70
• propongono l’introduzione nella traccia d’esame del
47 Commissari (circa il 17%)
calcolo delle probabilità e di elementi di statistica
71
Emerge anche che
Tali argomenti dovrebbero essere svolti durante il 1°
biennio mentre sono di fatto oggetto di studio nel 2°
poichè i docenti delle classi inferiori incontrano
difficoltà nello svolgere tutti gli argomenti presenti
nelle Indicazioni Nazionali.
• non si vorrebbero presenti nella traccia argomenti
di trigonometria e goniometria
72
• eliminerebbero il calcolo combinatorio, la
Taluni commissari
spazio alla geometria analitica e all’analisi.
probabilità e statistica, le equazioni differenziali
e la geometria solida e piana per lasciar maggior
73
• sono da proporre argomenti relativi al 5° anno come
Per altri
differenziali collegate a fenomeni fisici e le
le successioni numeriche, le equazioni
coordinate cartesiane nello spazio.
74
Inoltre é proposto da diversi esaminatori
• L’inserimento di argomenti relativi al 2° biennio
• l’ introduzione di argomenti come l’analisi
logaritmiche, l’algebra vettoriale
come: i numeri complessi, le sezioni coniche,
i luoghi geometrici, le funzioni esponenziali e
così come
geometria analitica nello spazio.
numerica, le trasformazioni geometriche e la
75
L’esame delle risposte fornite ha evidenziato
anche che è auspicato
proposizione di quesiti sulla storia della matematica.
• il potenziamento dello studio di una funzione e
della sua continuità e derivabilità nonché della
geometria solida e piana.
• Mentre una qualche contrarietà emerge riguardo alla
76
I commenti del PNI
sono stati suddivisi in cinque gruppi di tipologia
• Tipo A
• Tipo B
• Tipo C
• Tipo D
• Tipo E
omogenea:
77
• Gli argomenti formulati nel Syllabus 2009 vanno
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo A i quali hanno in comune l’assenza di rilievi di
novità:
bene.
• Nessun argomento nuovo da introdurre, vista la
riduzione del monte ore.
• Vanno riproposti tutti gli argomenti presenti
nelle tracce del 2013.
78
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo B i quali si sono caratterizzati per la stringatezza
delle risposte:
• Nessuna
• Quesiti 5,6,9
• Probabilità
• Calcolo integrale e approssimazione radici
Queste sembrano risposte ad una domanda del tipo:“Quali quesiti e quali argomenti proposti non hanno
rispondenza con ciò che è specificato nel Syllabus
2009 ?”
79
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo C i quali sono contraddistinti da assenza di
proposta:
• Non ho rilievi
• Non lo so
• Nulla da segnalare
• Nulla da obiettare
• Nessun commento
80
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo D che si potrebbero definire risposte singolari:
• Si sceglie di non dare risposta alla domanda
di stato 2013-14.
ritenendo più qualificante farlo nel futuro esame
• Nel questionario erano assenti gli integrali.
•Consiglierei di trattare la geometria solida come
problema di massimo e di minimo.
81
• Ho notato che, nonostante le ore in più di
quasi uguali a quelli dell’indirizzo tradizionale.
insegnamento che ci sono rispetto al liceo
ordinamento, i programmi svolti nel PNI sono
• In questo momento non riesco a dare il mio
a questa domanda.
contributo e non mi sento preparata a rispondere
• Non possediamo adeguati elementi di giudizio.
82
• Bisogna fare un Syllabus più specifico e che sia
matematica sono diminuite ed il programma è
aumentato.
perché, in riferimento al corso PNI, le ore di
pienamente condiviso altrimenti temo il peggio
Qui di seguito sono riportati taluni dei giudizi espressi
di tipo E che hanno mostrato una qualche positività:
83
• Bisognerebbe rivoluzionare i libri di testo per
procedure.
meccanici che ripropongono stessi schemi e
eliminare esercizi e problemi ripetitivi e
di problemi tipo olimpiadi o giochi matematici.
• E’ stata rilevata, negativamente, la proposizione
• Si è proposta la riduzione del tempo della prova:
si ritengono sufficienti 3 quesiti nel problema e
3 nel questionario.
84
• La riduzione delle ore di matematica imporrà
il taglio di alcuni argomenti quali, ad esempio,
probabilità e statistica.
• Le tracce dovranno essere orientate verso una
matematica più applicata, ma molti insegnanti
non si adeguano alle innovazioni dei programmi
curricolari ed è questo uno dei motivi delle
difficoltà che i ragazzi incontrano nella seconda
prova.
85
• Sono da introdurre le equazioni differenziali, la
Statistica, i problemi di applicazione della
matematica al mondo reale e la probabilità.
• E’ preferibile non inserire geometria solida in
quanto difficilmente si riesce a trattare in modo
esaustivo.
86
GRAZIE per l’attenzione
Prof.ssa Serenella Iacino
87
Si tratta di calcolare l’area di un
triangolo in funzione delle misure di
due lati e del seno dell’angolo
compreso:=
2
2 ∙ 3 ∙ sen α 3
= sen α 1 = α 90° BC = 13
C
B
AAC=3
AB=2
α
88
Si tratta di calcolare il dominio attraverso un semplice
sistema di disequazioni.
3 – x ≥ 0
≤ 23 – x
≥ 13 – x
-1 ≤ x ≤ 2
89
In questo quesito è presente il concetto di geometria
analitica della distanza di un punto da una retta; inoltre
si chiede la distanza massima attraverso il calcolo della
derivata della funzione distanza.
90
E
P
Si calcola il volume del tronco
attraverso la differenza dei
volumi tra la piramide grande e
quella piccola.
1
1
Notiamo anche la similitudine tra
i triangoli VHE e VH P per
determinare VH
91
Dato un parallelepipedo di dimensioni a, b, c, se si
aumentano ad es. del 10% il volume V = a∙b∙c diventa
V’ = (a+10%a)(b+10%b)(c+10%c)=V∙(1+10%)³.
Quindi l’aumento è V’-V = V[(1+10%)³-1]=33%V
92
Il 6° quesito riguarda il calcolo combinatorio e in
particolare le permutazioni
93
AB = b
BC = a
BF = a
2
A
B C
D
F
E Esiste un rapporto di similitudine tra le aree e i quadrati dei lati dei rettangoli simili:
A : A’ = a² : b² A’ = a²
1∙b²
A = 1m²
= 2
a ∙ ba²
1∙b²
4
a = 2 b = 4
2
1
94
g(x) è una funzione integrale:
g’(x) = f(x)
g’(x) > 0 per 0<x<2 e x>4 , g(x)
è crescente
g’(x) < 0 per 2<x<4 g(x) è decresc.
g(x) ha un minimo per x = 4
43210
1
2
-1
95
= lim 4x²
sen x (cos x – 1)
x 0
lim 4x²
x [ - (1 - cos x)]
x 0= lim 4
x²
x ∙
x 0=
- x²
2 0
Per il calcolo di questo limite si può applicare il 1° limite
notevole o gli infinitesimi equivalenti
96
43210-1-2-3-4
y
x
f(x)
97
43210-1-2-3-4
y
x
f’(x)
43210-1-2-3-4
y
x
f’(x)
43210-1-2-3-4
y
x
f’(x)
43210-1-2-3-4
y
x
f’(x)
Il grafico di f’(x) è il quarto.
98
f’(1) – 2 f’(2) = 5
f’(2) – 2 f’(4) = 7f’(1) – 4 f’(4) = 19
99
Questo quesito è molto simile al quesito 5
dell’ordinamento e riguarda la percentuale
100
Su 10 persone 6 hanno gli occhi azzurri e 4 no; la
probabilità che due persone estratte non abbiano gli
occhi azzurri è:42
102
2
15=
101
Si pone x – Π = y con y 0
= limy
sen (y + Π)
y 0
-esen Π
e
= limy
- sen y
y 0
-esen Π
e
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- sen y= lim
y
- sen y
y 0
e - 1
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