1 Fondamenti TLC

SEGNALI COMPLESSI: modulazione in fase e quadratura

SEZIONE 7

2 Fondamenti TLC

In natura esistono solo segnali reali, tuttavia e’ possibile pensare a segnali che abbiano sia una parte reale sia una immaginaria che evolvono nel tempo:

i segnali complessi.

Perche’ si utilizza la rappresentazione complessa

)(Im)(Re)( txjtxtx

Anche se i segnali complessi non esistono in natura, essi vengono utilizzati per descrivere in modo compatto un insieme di segnali reali da trasmettere contemporaneamente nella stessa banda di frequenze e che siano separabili tra loro in fase di ricezione.

Per capire perche’ e come la rappresentazione complessa dei segnali torna comoda, analizzeremo un semplice esempio dove il numero di segnali reali da trasmettere e’ M=2 e da questo generalizzeremo a M qualsiasi.

3 Fondamenti TLC

Modulazione per seno e coseno

Si consideri il segnale y(t) costituito dalla somma dai due segnali x1(t) e x2(t) che devono essere trasmessi, moltiplichiamoli rispettivamente per un coseno (modulazione in fase) e un seno (modulazione in quadratura) alla stessa frequenza fo :

tftxtftxty oo 2sin 2cos)( 21

I due segnali x1(t) e x2(t) sono reali con la medesima durata e con trasformata di Fourier limitata nella banda tra -fx e + fx < f0. Si dimostrera’ che x1(t) e x2(t) sono separabili a partire da y(t)

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos

4 Fondamenti TLC

Demodulazione per seno e coseno

Moltiplicando y(t) per il coseno a frequenza fo (operazione detta demodulazione coerente in fase) si ottiene:

tftxtftxtx

tftftxtftxtfty

oo

oooo

4sin 4cos

2cos2sin 22cos22cos)(2

211

22

1

Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x1(t), a bassa frequenza. Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il coseno per ottenere x1(t).

Viceversa, moltiplicando y(t) per il seno a frequenza fo (demodulazione coerente in quadratura) si ottiene:

tftxtxtftx

tftxtftftxtfty

oo

oooo

4sin 4sin

2sin 22sin 2cos22sin )(2

221

221

Questo segnale contiene 3 componenti di cui una sola, x2(t), a bassa frequenza. Dunque, e’ sufficiente filtrare passa-basso y(t) moltiplicato per il seno per ottenere x2(t).

5 Fondamenti TLC

Schema del Mo-Demodulatore

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos tfo2cos2

tfo22sin

Filtro PB

Filtro PB tx2

tx1

6 Fondamenti TLC

tftftf ooo 4sin 2

12cos2sin

Si noti che seno e coseno moltiplicati tra loro non danno luogo a segnali a bassa frequenza:

Una nota sui segnali ortogonali

Dunque, il prodotto tra seno e coseno filtrato passa-basso produce un’uscita nulla.

I segnali seno e coseno sono detti ortogonali.

7 Fondamenti TLC

Un modo piu’ compatto per riscrivere l’ operazione di demodulazione effettuata in precedenza, e’ ricorrere ad una rappresentazione complessa.

Moltiplicando y(t) per l’esponenziale complesso a frequenza fo si scrivono in un colpo solo sia la moltiplicazione di y(t) per il coseno sia quella per il seno:

Demodulazione complessa

tftyjtftytfjty ooo 2sin )(22cos)(22exp)(2

Filtrando passa-basso il segnale complesso (con un filtro con banda minore di f0)

si ottengono ancora le due componenti x1(t) e x2(t), una come parte reale e l’altra come parte immaginaria del segnale complesso :

tjxtx 21

Le uniche differenze rispetto a prima sono che:1 - il segnale e’ unico, ma complesso (prima ne avevamo due reali)2 - la moltiplicazione per il coseno e’ sulla parte reale e quella per il il seno sulla parte immaginaria.

8 Fondamenti TLC

Schema del Mo-Demodulatore complesso

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos

tfj o22exp

Filtro PB tjxtx 21

9 Fondamenti TLC

-100 -50 0 50 100-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

B= -1

A= 1

Un esempio( i segnali in banda base)Supponiamo che Ax1(t) e Bx2(t) siano i due segnali a banda e durata limitata con ampiezza massima A e B in t=0.

x1(t) e x2(t)

10 Fondamenti TLC

Y

Re[y]

Im[y]

nuova

tftxtftxty oo 2sin 2cos)( 21

x1(t)=A x2(t)=-B

A

B

11 Fondamenti TLC

-100 0 100-1

-0.5

0

0.5

1

-100 0 100-1

-0.5

0

0.5

1

Un esempio( i segnali modulati in fase e quadratura)A valle del Modulatore per A=1 e B=-1 otteniamo i seguenti segnali

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos

-100 0 100-2

-1

0

1

2

12 Fondamenti TLC

-100 0 100

-2

0

2

-100 0 100

-2

0

2

Un esempio( il segnale demodulato)A valle del demodulatore (sempre per A=1 e B=-1 ) otteniamo il seguente segnale

)(ty

tfj o22exp

Filtro PB tjxtx 21

Parte reale Parte reale

Parte immaginariaParte immaginaria

Il filtro Passa-Basso elimina le componenti oscillanti delle parti reale e immaginaria, lasciando passare il valor medio locale.

Im

13 Fondamenti TLC

Demodulazione complessa e campionamento

Supponiamo che i due segnali x1(t) e x2(t) siano due seni cardinali (quindi a banda limitata) con ampiezza massima A in t=0.

0in 0

0in 21 n

njAAnTjxnTx

Abbiamo dunque ottenuto un numero complesso la cui parte reale e’ uguale al massimo del segnale x1(t) e la cui parte immaginaria e’ uguale al massimo del segnale x2(t).

A

-T Tt

x1(t) e x2(t)

-1/2T 1/2T

AT

f

Trasformata di FourierX1(f) e X2(f)

Se campioniamo il segnale complesso x1(t) + j x2(t) a passo T, otteniamo:

14 Fondamenti TLC

Re

Im

A

A

ReA

1

-A

0

Im

101

0

11

00 10

01

Velocita’ di trasmissione R=fb [bit/s]

15 Fondamenti TLC

Schema del Mo-Demodulatore per segnali antipodali

Velocita’ di trasmissione R=fb [bit/s]

)(ty

tx1

tfo2cos tfo2cos2

Filtro PB tx1

0110 0110

ReA

1

-A

0

Im

16 Fondamenti TLC

Schema del Mo-Demodulatore di 4QAM:

velocita’ di trasmissione R=2fb [bit/s]

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos tfo2cos2

tfo22sin

Filtro PB

Filtro PB

tx2

tx1

011001

011001

Im

A

A10

1

0

11

00 10

01

17 Fondamenti TLC

Naturalmente, se utilizziamo diversi valori di ampiezza dei seni cardinali, otteniamo diversi numeri complessi.

0in 0

0in 00 21

21 n

njxxnTjxnTx

La costellazione di M valori complessi

Re

Im

A

A

Nell’esempio qui a fianco, si mostrano i M=25 numeri complessi che si possono ottenere combinando 5 valori di ampiezza del seno cardinale compresi tra -2A e +2A sia sulla parte reale (x1(0)) sia su quella immaginaria (x2(0) ).

L’insieme dei valori complessi ottenibile viene detta costellazione.

La struttura della costellazione puo’ avere forme differenti, ma solo alcune vengono utilizzate in pratica come vedremo piu’ avanti.

AxAx 0 ; 2-0 21

18 Fondamenti TLC

Una costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della Quadrature Amplitude Modulation (QAM) di cui si riporta l’esempio per M=16.

La costellazione QAM a 16 livelli

Nello schema qui a fianco, si mostrano i M=16 numeri complessi che si possono ottenere combinando 4 valori di ampiezza del seno cardinale compresi tra -3A e +3A a passo 2A sia sulla parte reale (x1(0)) sia su quella immaginaria (x2(0) ).

Un parametro importante (come si vedra’ piu’ avanti) e’ la distanza minima tra due valori complessi della costellazione. In questo caso, banalmente:

Re

Im

A

A3A

3AAd 2min

19 Fondamenti TLC

Un’altra costellazione molto utilizzata per la trasmissione di segnali numerici e’ quella della Multiple Phase Shift Keying (MPSK) di cui si riporta l’esempio per M=8.

La costellazione MPSK a 8 livelli

Nello schema qui a fianco, si mostrano gli M=8 numeri complessi che si possono ottenere combinando 4 valori di ampiezza del seno cardinale x1(t) e 4 valori di x2(t)

Re

Im

Ad 76.0min

A 8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

)0( )0( 21

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

xx 8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

8/sin 8/cos

8/3sin 8/3cos

8/3sin 8/3cos

8/sin 8/cos

)0( )0( 21

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

xx

20 Fondamenti TLC

Una caratteristica importante della costellazione Multiple Phase Shift Keying e’ che il modulo dei campioni complessi a valle del campionatore e’ costante.

La costellazione MPSK

In questo caso si tocca con mano la maggior comodita’ della rappresentazione complessa.Gli M livelli si scrivono in modo molto compatto:

Re

Im

Ad 76.0min

A

Mn

M

njA

jxx

1con

2exp

)0()0(

21

21

Mn

M

njA

jxx

1con

2exp

)0()0(

21

21

n=1

n=8

n=7n=6

n=5

n=4

n=3 n=2

21 Fondamenti TLC

tfo2sin

)(ty

tx2

tx1

tfo2cos tfo2cos2

tfo22sin

Filtro PB

Filtro PB

tx2

tx1

001101010

001101010

Schema del Mo-Demodulatore di 8PSKM=8

velocita’ di trasmissione R=3fb [bit/s]