6. Trasmissione Numerica in Banda...
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6. Trasmissione Numerica in Banda 6. Trasmissione Numerica in Banda BaseBase
INFO-COM Dpt.
Dipartimento di Scienza e Tecnica
dell’Informazione e della Comunicazione
Università degli Studi di Roma La Sapienza
TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI
per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)
canale Acanale A --LL
Prof. Roberto Cusani
2Modulazione e Demodulazione Modulazione e Demodulazione numericanumerica
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
modulatore numerico
demodulatore numerico
mezzo trasmissivo
segnale analogico
segnale numerico
segnale numerico
segnale analogico
...0010111001...
...0010011001...
affetto da errori
affetto da distorsioni e
rumore
3Modulazione numerica: banda base e Modulazione numerica: banda base e banda traslatabanda traslata
banda base
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier
contenutain un intervallo di frequenza
contiguo all’origine
Mezzi trasmissiviin banda base
(es.: linea bifilare)
banda traslata
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier
contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo all’origine
Mezzi trasmissiviin banda traslata
(es.: trasmissioni radio)
f
X(f)
f
X(f)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
4Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/6)mediante segnali analogici (1/6)
� Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico :
� Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo
� Necessità di tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
t
- 5 V
0 1 0 0 0 1 0 1 …
Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una fibra ottica
0 1 0 0 0 1 0 1 …
P0
0
+ 5 V
t
5Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (2/6)mediante segnali analogici (2/6)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
0 T 2T 5T
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)
a(2)g(t-2T)
t... 0 1 0 0 0 1 0 1 …
t
t
t
t
( )
( ) ( )n
x t
a n g t nT+∞
=−∞
=
= −∑
→→→→
→→→→
→→→→
→→→→
� sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza
biunivoca: Es. +5 ⇔ 0;-5 ⇔1 )... +5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
6Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (3/6)mediante segnali analogici (3/6)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente
� alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli arbitrari rappresentabili con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., α –1}
� intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T
� velocità di emissione dei simboli: fs=1/T
� Esso è rappresentabile con il segnale
dove
� g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore
� i valori a(n) sono estratti da un insieme di a ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari ), biunivocamente associati agli a simboli dell’alfabeto [ a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 ]
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
7Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (4/6)mediante segnali analogici (4/6)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.
simboli ampiezze di impulso0 a01 a1
... ...α -1 aα−1
b(n) a(n)a
+1
-1
a
+1
-1
0a
+1
-1
+1/3
-1/3
� Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.
� Esempi:
α = 2 α = 3 α = 4
[ ]
21
1 i 0, 1, 2, ... , - 1
i
ia
αα
= −−
=
8Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (5/6)mediante segnali analogici (5/6)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)
� Spettro dell’onda PAM analogo allo spettro del segnale g(t)
� Larghezza di banda dell’onda PAM uguale a larghezza di banda del segnale g(t)
onda PAM
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
9Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (6/6)mediante segnali analogici (6/6)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Esempi di onde PAM
segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)
Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,αααα-1)
Ordine dell’alfabeto αααα
[+1, +1/3, -1/3, -1]4
[+1, 0, -1]3
[+1 , -1]2
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
0 T 2T
0 0 1 0
0 T 2T
0 0 1 2
0 T 2T
0 1 0 3
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Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Obiettivi :
� trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;
� ottenere elevata efficienza di banda, definita come:
� Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t)
velocità di simbolo [(simboli/sec)/Hz]
larghezza di banda del segnale modulatos
m
f
f=
11Schema di principio di un modulatore Schema di principio di un modulatore PAMPAM
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Segnale dalla sorgente
(rappres. PAM ideale)
Filtroformatore di impulso
con risposta impulsiva g(t)
Segnale PAM ideale
( ) )nTt( )n(atun
−δ= ∑∞+
−∞=
( ) ( )tgtu)t(x ∗=
Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
0 T 2T
0 0 1 0
0 t
0 0 1 0
t
12Modello di Canale lineare e permanente Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo affetto da rumore additivo GaussianoGaussiano
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
Canalelineare e permanente
C(f) = FT [c(t)]passa-basso
C(f) = 0 per |f | > fm
+
rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenza
uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)“rumore Gaussiano bianco”
Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)
( ) )nTt(g )n(atxn
−= ∑∞+
−∞=
y(t) = x(t) * c(t)
n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita
dal canale
0 T 2T
0 0 1 0
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Demodulatore PAMDemodulatore PAM
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
z(t)segnale in
uscitadal canale
Filtro di ingressoal demodulatore
GR(f)
Campionamentonegli istanti
t = kT
Decisione
criterio di decisione
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
= r(t) + η(t)w(kT)
rumore filtrato
componenteutile
( ) * ( )Rn t g t
â(k) sequenza
stimata delle ampiezzetrasmesse
Esempio:w(kT) → +1,21 +0,66 -1,35 +1,17
a(k) → +1 +1 -1 +1
b(k) → 0 0 1 0
w(kT) ≥ 0 → a(k) = +1 ; w(kT) < 0 → a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.
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Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
Segnaledalla sorgente
Filtro formatore di impulso G(f)
( ) )nTt( )n(atun
−δ= ∑∞+
−∞=
( ) ( )tgtu)t(x ∗=
Canalelineare e permanente
C(f)+
z(t) = y(t) + n(t) == x(t)*c(t) + n(t)
Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)
Campionamentonegli istanti t = kT
Decisione
sequenza â(k)
w(t) = y(t) * gR(t) + η(t)
w(kT)
n(t)
MODULATORE DEMODULATORE
CANALE
y(t)
15Componente di segnale utile Componente di segnale utile allall ’’ ingresso del ingresso del campionatorecampionatore
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ∑ −∗=
∗∗∗=∗∗=
∗=
∞+
−∞=n
R
R
R
nTtnath
tgtctgtu
tgtctx
tgtytr
)( )(
)(
δ
( ) )nTt(h )n(atrn
−= ∑∞+
−∞=
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + η(t)
segnale utilerumore(filtrato)
� h(t) è la risposta impulsiva della cascata di tre filtri:
� formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore
� La cascata dei tre filtri ha funzione di trasferimento:
� H(f) = G(f)C(f)GR(f)
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Demodulazione in assenza di rumoreDemodulazione in assenza di rumore
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Obiettivo : ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
� Ipotesi : assenza di rumore n(t)=0⇒ h(t)=0
( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn
−∑==+=∞+
−∞=η
( )
∑ −+=
−∑=
∞+
−∞=
∞+
−∞=
n
n
nTkThnahka
nTkThnakTw
)( )()0( )(
)( )(
, n ≠ k
coincide con a(k) a meno della costante
(guadagno) h(0)
componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)
Interferenza intersimbolica (ISI)
17Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist e forme di e forme di impulso limitate nel tempoimpulso limitate nel tempo
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist
si ha sempre
w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).
( ) ∑ −+=∞+
−∞=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(
1, k 0( )
0, k 0
perh kT
per
== ≠
18Interferenza intersimbolica e Interferenza intersimbolica e condizione di condizione di NyquistNyquist
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la
forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo in ±T/2.
� Esempio:
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.
� PROBLEMI
� Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).
� Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in frequenza) e,quindi,
� H(f)=G(f)C(f)GR(f) deve essere limitata ossia nulla per .
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
h(t)
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
w(t)
mf >f
19Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist nel dominio della nel dominio della frequenzafrequenza
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo:
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza
� Esempio:
1 0 ( )
0 per 0
per kh kT
k
== ≠
Tm
mH f
T
+∞
=−∞
− =
∑
f
H(f)
-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T
H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante T
20Banda minima per la trasmissione di Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISIsegnali PAM senza ISI
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� Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di
� Infatti, la somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.
2simbolo di velocità
2
f
T21
f sN ===
Banda di Nyquist
f
-1/2T 0 +1/2T
H(f)
21Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitata limitata -- passapassa --bassobasso di di NyquistNyquist
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� Una particolare forma di impulso h0(t)
� limitato in banda
� che soddisfa le condizioni di Nyquist
� è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):
t0 T 2T 3T 4T 5T 6T
0
sin( )
t
Th t
t
T
π =π
f
T
-1/2T 0 +1/2T
( )
>
≤=
2T1
fper 0
2T1
fper 0
TfH
22Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitatalimitata
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
Esempio:
� Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
t
t
r(t)
T0
+1
+1
-1
0
f
H0(f)
T
-1/2T 0 +1/2T
23Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (1/3)rialzato (1/3)
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� Forma d’impulso di Nyquist a coseno rialzato
( ) ( )
( )
T, per 0 (1 )
T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )
2
0 per 1
N
N N N
N
f f
Tf f f f fH f
f f
≤ ≤ − γ
π− − − γ ≤ < + γ= γ
> + γ
0 fN 2fN
H(f)
Tγ = 0.3
γ = 0.6γ = 1
γ = 0
γ fattore di roll-off,
0 < γ ≤ 1
24Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (2/3)rialzato (2/3)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� All’aumentare del fattore di roll-off γ da 0 (filtro passabasso ideale) a 1 le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano piùrapidamente.
� Minore criticità nel campionamento in ricezione.
� La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)
γ = 0.3γ = 0.6γ = 1
γ =0
0 T 2T 3T 4T
h(t)
t
1
-4T -3T -2T -T
25Forma dForma d ’’ impulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (3/3)rialzato (3/3)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
Esempio:
� Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (γ=0 e γ = 1) h(t)
T0
+1
t
h(t)
t
T0
+1
γ = 0 γ = 1
r(t)+1
-1
0 t
r(t)+1
-1
0 t
26Ricezione in presenza di interferenza Ricezione in presenza di interferenza intersimbolointersimbolo
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
T
+1
-1
T
� Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo
Esempio:
� Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori
non nulli di h(kT), per k ≠ 0]
� Segnale PAM corrispondente [i valori campionati sono diversi dai valori
di ampiezza trasmessi ±1]
27
Segnale PAM Segnale PAM multilivellomultilivello
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� I simboli sono associati ad α ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad α livelli)
� Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).
velocità di simbolo binario fb
velocità di simbolo
sorgente binaria
conversione di alfabeto2 → α
modulatore PAM ad α
livelli
canale in banda base
(freq. max. fm)
≥ s bm
2
f ff =
2 2log α
bs2
ff =
log α
28Vantaggi e svantaggi del PAM Vantaggi e svantaggi del PAM multilivellomultilivello
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� All’aumentare del numero di livelli α del segnale PAM utilizzato abbiamo:
� Aumento dell’efficienza spettrale : Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di frequenza di simbolo binario fb.
� Aumento della probabilità di errore : in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.
29Demodulazione PAM in presenza di Demodulazione PAM in presenza di rumore di canalerumore di canale
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
� Obiettivo : ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}
� Ipotesi : rumore additivo Gaussiano bianco. Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione:
� Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha
( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn
η+−=η+= ∑∞+
−∞=
( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw ηη +=+= )(
Variabile con α valori possibili
Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza ση
2
30Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussiano . . Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
w(kT)=a(k)+h(kT)
� Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
� Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aα-1]}.
� La decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue:
a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}
≡
≡
∧≡
∧
∧
31Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoDecisore a minima distanza Decisore a minima distanza EuclideaEuclidea (2/3)(2/3)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
w(kT)=a(k)+h(kT),
� Poiché la componente di rumore h(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita èequivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili a valori {a0… aα-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia,dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*.
� Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:
≡∧
a(k)=argmin{(w*- ai) }2∧
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
32Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoCaso del 2Caso del 2 --PAM (3/3)PAM (3/3)
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
w(kT)=a(k)+h(kT)
� Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario)
� Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, èequivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione
a(k)= (2-PAM)
� Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:
Pe P(a(k) a(k)).
≥ ∧
∧
+1, -1,
per w(kT) 0per w(kT) 0
≥≤
≜ ≠∧
∧
33ProbabilitProbabilit àà dd’’errore in presenza di rumore errore in presenza di rumore gaussianogaussiano -- Caso 2Caso 2 --PAMPAM
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
p [w(kT) | a(k) = -1]=
+1
-1
0
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]=
w(k) > 0
a(k) = -1
η(kT) > +1
w(kT) = a(kT) + η(kT) > 0↓
â(kT) = +1 ≠ a(kT) “errore”
a(k)
( )| 1
0
| 1 eP p w a k dw
+∞
− = = − = ∫
( ) ee PPdp ==∫= +∞+
1|1
ηηη
Densità di probabilità gaussiana
34ProbabilitProbabilit àà dd’’errore nel PAM errore nel PAM multilivellomultilivelloCaso 4Caso 4 --PAMPAM
R. Cusani – Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009
w(kT)
valori di ampiezza possibili→ -A -A/3 +A/3 +A
livelli di decisione → -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)
( ) e
3/A
*P2d p2P
e=ηη= η
∞+
∫
Probabilità d’errore:per le due ampiezze estreme →(area )
per un’ampiezza interna →(somma delle due aree )
( ) ηη= η
∞+
∫ d pP
3/A
e
( )12 2 2
12
e e e
e
P P P
P
αα
αα
= − + =
−=
Probabilità d’errore media(per simboli equiprobabili) Formula generale