6. Trasmissione Numerica in Banda...

1

6. Trasmissione Numerica in Banda 6. Trasmissione Numerica in Banda BaseBase

INFO-COM Dpt.

Dipartimento di Scienza e Tecnica

dellInformazione e della Comunicazione

Universit degli Studi di Roma La Sapienza

TELECOMUNICAZIONITELECOMUNICAZIONI

per Ingegneria Informatica (secondo anno)per Ingegneria Informatica (secondo anno)

canale Acanale A--LL

Prof. Roberto Cusani

2Modulazione e Demodulazione Modulazione e Demodulazione numericanumerica

R. Cusani Trasmissione numerica in banda base, Roma, Marzo 2009

modulatore numerico

demodulatore numerico

mezzo trasmissivo

segnale analogico

segnale numerico

segnale numerico

segnale analogico

...0010111001...

...0010011001...

affetto da errori

affetto da distorsioni e

rumore

3Modulazione numerica: banda base e Modulazione numerica: banda base e banda traslatabanda traslata

banda base

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenza

contiguo allorigine

Mezzi trasmissiviin banda base

(es.: linea bifilare)

banda traslata

utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier

contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo allorigine

Mezzi trasmissiviin banda traslata

(es.: trasmissioni radio)

f

X(f)

f

X(f)


4Rappresentazione dei segnali numerici Rappresentazione dei segnali numerici mediante segnali analogici (1/6)mediante segnali analogici (1/6)

Un segnale numerico rappresentato da un segnale fisico analogico:

Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo

Necessit di tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE


t

- 5 V

0 1 0 0 0 1 0 1

Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU

Potenza luminosa entrante in una fibra ottica

0 1 0 0 0 1 0 1

P0

0

+ 5 V

t



0 T 2T 5T

a(0)g(t)

a(1)g(t-T)

a(2)g(t-2T)

t... 0 1 0 0 0 1 0 1

t

t

t

t

( )

( ) ( )n

x t

a n g t nT+

=

=

=

sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza

biunivoca: Es. +5 0;-5 1 )... +5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5



Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente

alfabeto di ordine , cio costituito da simboli arbitrari rappresentabili con i numeri naturali {0, 1, 2, ..., 1}

intervallo di tempo tra simboli consecutivi : T

velocit di emissione dei simboli: fs=1/T

Esso rappresentabile con il segnale

dove

g(t) un segnale impulsivo, in molti casi limitato allintervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore

i valori a(n) sono estratti da un insieme di a ampiezze di impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati agli a simboli dellalfabeto [ a0 , a1 , a2 , ... , a-1 ]

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=



Un segnale numerico {b(n)} univocamente associato ad una sequenza di valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.

simboli ampiezze di impulso0 a01 a1

... ... -1 a1

b(n) a(n)a

+1

-1

a

+1

-1

0a

+1

-1

+1/3

-1/3

Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto allo 0.

Esempi:

= 2 = 3 = 4

[ ]

21

1 i 0, 1, 2, ... , - 1

i

ia

=

=



PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)

Spettro dellonda PAM analogo allo spettro del segnale g(t)

Larghezza di banda dellonda PAM uguale a larghezza di banda del segnale g(t)

onda PAM

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=



Esempi di onde PAM

segnale PAM x(t)Forma di impulso g(t)

Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,-1)

Ordine dellalfabeto

[+1, +1/3, -1/3, -1]4

[+1, 0, -1]3

[+1 , -1]2

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

-T/2 0 +T/2

1

0 T 2T

0 0 1 0

0 T 2T

0 0 1 2

0 T 2T

0 1 0 3

10

Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base


Obiettivi:

trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;

ottenere elevata efficienza di banda, definita come:

Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo estesa in relazione alla velocit di simbolo fs, a causa delle rapide transizioni ideali (discontinuit matematiche) o approssimate (fronti di salita e di discesa di durata finita) nella forma dimpulso g(t)

velocit di simbolo [(simboli/sec)/Hz]

larghezza di banda del segnale modulatos

m

f

f=

11Schema di principio di un modulatore Schema di principio di un modulatore PAMPAM


Segnale dalla sorgente

(rappres. PAM ideale)

Filtroformatore di impulso

con risposta impulsiva g(t)

Segnale PAM ideale

( ) )nTt( )n(atun

= +

=

( ) ( )tgtu)t(x =

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

0 T 2T

0 0 1 0

0 t

0 0 1 0

t

12Modello di Canale lineare e permanente Modello di Canale lineare e permanente affetto da rumore additivo affetto da rumore additivo GaussianoGaussiano


Canalelineare e permanente

C(f) = FT [c(t)]passa-basso

C(f) = 0 per |f | > fm

+

rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densit di potenza

uniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)rumore Gaussiano bianco

Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)

( ) )nTt(g )n(atxn

= +

=

y(t) = x(t) * c(t)

n(t) z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscita

dal canale

0 T 2T

0 0 1 0

13

Demodulatore PAMDemodulatore PAM


z(t)segnale in

uscitadal canale

Filtro di ingressoal demodulatore

GR(f)

Campionamentonegli istanti

t = kT

Decisione

criterio di decisione

w(t) = y(t) * gR(t) + (t)

= r(t) + (t)w(kT)

rumore filtrato

componenteutile

( ) * ( )Rn t g t

(k) sequenza

stimata delle ampiezzetrasmesse

Esempio:w(kT) +1,21 +0,66 -1,35 +1,17a(k) +1 +1 -1 +1 b(k) 0 0 1 0

w(kT) 0 a(k) = +1 ; w(kT) < 0 a(k) = -1 Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.

14

Modulazione numerica in banda baseModulazione numerica in banda base


Segnaledalla sorgente

Filtro formatore di impulso G(f)

( ) )nTt( )n(atun

= +

=

( ) ( )tgtu)t(x =

Canalelineare e permanente

C(f)+

z(t) = y(t) + n(t) == x(t)*c(t) + n(t)

Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)

Campionamentonegli istanti t = kT

Decisione

sequenza (k)

w(t) = y(t) * gR(t) + (t)

w(kT)

n(t)

MODULATORE DEMODULATORE

CANALE

y(t)

15Componente di segnale utile Componente di segnale utile allallingresso del ingresso del campionatorecampionatore


( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) =

==

=

+

=n

R

R

R

nTtnath

tgtctgtu

tgtctx

tgtytr

)( )(

)(

( ) )nTt(h )n(atrn

= +

=

w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + (t)

segnale utilerumore(filtrato)

h(t) la risposta impulsiva della cascata di tre filtri:

formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore

La cascata dei tre filtri ha funzione di trasferimento:

H(f) = G(f)C(f)GR(f)

16

Demodulazione in assenza di rumoreDemodulazione in assenza di rumore


Obiettivo: ricavare una stima {(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, }

Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0 h(t)=0

( ) ( ) ( ) ( ) )( )( nTthnatrttrtwn

==+=+

=

( )

+=

=

+

=

+

=

n

n

nTkThnahka

nTkThnakTw

)( )()0( )(

)( )(

, n k

coincide con a(k) a meno della costante

(guadagno) h(0)

componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo lampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)

Interferenza intersimbolica (ISI)

17Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist e forme di e forme di impulso limitate nel tempoimpulso limitate nel tempo


Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist

si ha sempre

w(kT) = a(k)

Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).

( ) +=+

=nnTkThnahkakTw )( )()0( )(

1, k 0( )

0, k 0

perh kT

per

==

18Interferenza intersimbolica e Interferenza intersimbolica e condizione di condizione di NyquistNyquist


Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare, quando la

forma di impulso in ricezione, h(t), limitata nel tempo in T/2.

Esempio:

Il segnale ricevuto alluscita del filtro di ricezione costituito da una sequenza di impulsi separati tra loro.

PROBLEMI

Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza (banda infinita).

Il canale ha banda limitata (C(f) limitata in frequenza) e,quindi,

H(f)=G(f)C(f)GR(f) deve essere limitata ossia nulla per .

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

h(t)

-T -T/2 +T/2 +T +2T

1

w(t)

mf >f

19Condizioni di Condizioni di NyquistNyquist nel dominio della nel dominio della frequenzafrequenza


Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo:

la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza

Esempio:

1 0 ( )

0 per 0

per kh kT

k

==

Tm

mH f

T

+

=

=

f

H(f)

-1/2T 0 +1/2Tf-2/T -1/T 0 +1/T +2/T

H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T)costante T

20Banda minima per la trasmissione di Banda minima per la trasmissione di segnali PAM senza ISIsegnali PAM senza ISI


Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si deduce che non possibile avere forme di impulso h(t) senza interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di

Infatti, la somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non pu mai dare luogo a una costante.

2simbolo di velocit

2

f

T21

f sN ===

Banda di Nyquist

f

-1/2T 0 +1/2T

H(f)

21Forma dForma dimpulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitata limitata -- passapassa--bassobasso di di NyquistNyquist


Una particolare forma di impulso h0(t)

limitato in banda

che soddisfa le condizioni di Nyquist

quella la cui trasformata di Fourier H0(f) la funzione di trasferimento di un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):

t0 T 2T 3T 4T 5T 6T

0

sin( )

t

Th t

t

T

=

f

T

-1/2T 0 +1/2T

( )

>

=

2T1

fper 0

2T1

fper 0

TfH

22Forma dForma dimpulso di impulso di NyquistNyquist a banda a banda limitatalimitata


Esempio:

Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)

h0(t)

t

t

r(t)

T0

+1

+1

-1

0

f

H0(f)

T

-1/2T 0 +1/2T

23Forma dForma dimpulso di impulso di NyquistNyquist a coseno a coseno rialzato (1/3)rialzato (1/3)


Forma dimpulso di Nyquist a coseno rialzato

( ) ( )

( )

T, per 0 (1 )

T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )

2

0 per 1

N

N N N

N

f f

Tf f f f fH f

f f

< + =

> +

0 fN 2fN

H(f)

T = 0.3

= 0.6 = 1

= 0 fattore di roll-off,

0 < 1



Allaumentare del fattore di roll-off da 0 (filtro passabasso ideale) a 1 le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dellimpulso si smorzano pirapidamente.

Minore criticit nel campionamento in ricezione.

La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + )

= 0.3 = 0.6 = 1

=0

0 T 2T 3T 4T

h(t)

t

1

-4T -3T -2T -T



Esempio:

Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato, (=0 e = 1) h(t)

T0

+1

t

h(t)

t

T0

+1

= 0 = 1

r(t)+1

-1

0 t

r(t)+1

-1

0 t

26Ricezione in presenza di interferenza Ricezione in presenza di interferenza intersimbolointersimbolo


T

+1

-1

T

Se la forma dellimpulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo

Esempio:

Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli di h(kT), per k 0]

Segnale PAM corrispondente [i valori campionati sono diversi dai valori

di ampiezza trasmessi 1]

27

Segnale PAM Segnale PAM multilivellomultilivello


I simboli sono associati ad ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad livelli)

Minima banda di canale per trasmissione priva di interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).

velocit di simbolo binario fb

velocit di simbolo

sorgente binaria

conversione di alfabeto2

modulatore PAM ad

livelli

canale in banda base

(freq. max. fm)

s bm2

f ff =

2 2log bs2

ff =

log

28Vantaggi e svantaggi del PAM Vantaggi e svantaggi del PAM multilivellomultilivello


Allaumentare del numero di livelli del segnale PAM utilizzato abbiamo:

Aumento dellefficienza spettrale: Velocit di trasmissione dei simboli binari fb pi alta, a parit di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione della banda fm occupata dal segnale PAM a parit di frequenza di simbolo binario fb.

Aumento della probabilit di errore: in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a causa della minore differenza tra valori adiacenti di ampiezza di impulso.

29Demodulazione PAM in presenza di Demodulazione PAM in presenza di rumore di canalerumore di canale


Obiettivo: ricavare una stima {(k)} della sequenza di ampiezze trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione

{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, }

Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco. Segnale allingresso del campionatore di ricezione:

Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha

( ) ( ) ( ) ( )t)nTt(h )n(attrtwn

+=+= +

=

( ) ( ) ( ) ( )kTkakTkTrkTw +=+= )(

Variabile con valori possibili

Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza 2

30Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussiano. . Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)Criterio della Massima Verosimiglianza (1/3)


w(kT)=a(k)+h(kT)

Problema: Misurato w(kT) w* all uscita del campionatore di ricezione, possiamo calcolare una buona decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?

Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)

Misurato w(kT) w*, si decide a favore della pi verosimile tra le ampiezze {a0 .. a-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quellampiezza a alla quale corrisponde la pi grande del seguente insieme di probabilit condizionate {p[w* a(k)= a0 ],, p[w* a(k)= a-1]}.

La decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) quindi definita come segue:

a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}

31Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoDecisore a minima distanza Decisore a minima distanza EuclideaEuclidea (2/3)(2/3)


w(kT)=a(k)+h(kT),

Poich la componente di rumore h(kT) Gaussiana e a media nulla, si pu provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili a valori {a0 a-1} assumibili da a(k) che pi vicino (ossia,dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*.

Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente propriet:

a(k)=argmin{(w*- ai) }2

IL Decisore MLD un decisore a minima distanza Euclidea

32Decisione in presenza di rumore Decisione in presenza di rumore GaussianoGaussianoCaso del 2Caso del 2--PAM (3/3)PAM (3/3)


w(kT)=a(k)+h(kT)

Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario)

Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, equivalente) ad un decisore a soglia che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)

33ProbabilitProbabilit dderrore in presenza di rumore errore in presenza di rumore gaussianogaussiano -- Caso 2Caso 2--PAMPAM


p [w(kT) | a(k) = -1]=

+1

-1

0

w(kT)

p [w(kT) | a(k) = +1]=

w(k) > 0

a(k) = -1

(kT) > +1

w(kT) = a(kT) + (kT) > 0

(kT) = +1 a(kT) errore

a(k)

( )| 10

| 1 eP p w a k dw

+

= = =

( ) ee PPdp === ++

1|1

Densit di probabilit gaussiana

34ProbabilitProbabilit dderrore nel PAM errore nel PAM multilivellomultilivelloCaso 4Caso 4--PAMPAM


w(kT)

valori di ampiezza possibili -A -A/3 +A/3 +A

livelli di decisione -2A/3 0 +2A/3(criterio MLD)

( ) e3/A

*P2d p2P

e==

+

Probabilit derrore:per le due ampiezze estreme (area )

per unampiezza interna (somma delle due aree )

( ) = +

d pP3/A

e

( )1 2 2 21

2

e e e

e

P P P

P

= + =

=

Probabilit derrore media(per simboli equiprobabili) Formula generale

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