1

Capitolo 9I numeri indici

2

   Molte volte abbiamo il problema di confrontare dei fenomeni economici nel tempo (lo stesso fenomeno a diversi istanti) o nello spazio (fenomeni analoghi in luoghi diversi nello stesso momento). Es. il prezzo di un tipo di automobile 5 anni fa e oggi, oppure il prezzo di due marche diverse, oppure ancora il prezzo dello stesso modello a Roma e a Milano.

       I numeri indici sono particolari rapporti statistici che misurano sinteticamente le variazioni di 1 o più fenomeni economici in diverse situazioni di tempo o di luogo o comunque diverse da una situazione base.

       Quindi sono sempre positivi e si configurano come numeri puri, ovvero indipendenti dall'unità di misura.

       Se si confrontano diverse intensità di uno stesso fenomeno (es. il prezzo di un determinato tipo di automobile nel tempo) otteniamo numeri indici semplici; se invece confrontiamo le variazioni di più fenomeni economici (es. i prezzi di n beni) otteniamo numeri indici complessi.

       Se le n componenti sono tutte di una stessa specie (es. prezzi di beni di un paniere) la combinazione degli indici semplici da luogo a un indice sintetico (es. indice dei prezzi al consumo); se sono di specie diverse si ottiene un indice composito (es. indice del ciclo economico).

3

NUMERI INDICI ELEMENTARI 

Sia xt (t=0,1,…t,…T) una serie storica di un fenomeno economico. Il rapporto tra due termini qualsiasi è un numero indice elementare che si indica con:

 

con:r = base del numero indice = tempo (anno) baset = tempo (anno) corrente Di solito l'indice è in base 100

  e la variazione percentuale del fenomeno è 

 

r i t = xt

xr (t=0,1,...,T)

r i t * 100

100*100*1

rx

rx

tx

rx

tx

4

L ' i n d i c e è d e t t o a b a s e f i s s a s e m a n t i e n e f i s s o r a l v a r i a r e d e l l a s e r i e . N e l c a s o d i x t c o n r = 0 :

L ' i n d i c e è d e t t o a b a s e m o b i l e ( a c a t e n a ) s e r = t - 1 :

n . b . P e r c o n v e n z i o n e u n n u m e r o i n d i c e è s e m p r e m o l t i p l i c a t o p e r 1 0 0 , i n m o d o t a l e d a r a p p r e s e n t a r e u n d i v a r i o i n t e r m i n i p e r c e n t u a l i A d e s e m p i o , i l p r e z z o a l k g d e l b e n e i d a l m e s e A a l m e s e B è p a s s a t o d a 1 0 a 1 1 e u r o a l l o r a ( 1 1 / 1 0 ) * 1 0 0 - 1 0 0 = 1 . 1 0 * 1 0 0 - 1 0 0 = 1 1 0 - 1 0 0 = + 1 0 n e l m e s e i l p r e z z o d e l b e n e h a s u b i t o u n a u m e n t o d e l 1 0 %

0

220

0

110

0

000 1

xx

ixx

ix

xi

2

332

1

221

0

110 x

xi

xx

ixx

i

L ' i n d i c e è d e t t o a b a s e f i s s a s e m a n t i e n e f i s s o r a l v a r i a r e d e l l a s e r i e . N e l c a s o d i x t c o n r = 0 :

L ' i n d i c e è d e t t o a b a s e m o b i l e ( a c a t e n a ) s e r = t - 1 :

n . b . P e r c o n v e n z i o n e u n n u m e r o i n d i c e è s e m p r e m o l t i p l i c a t o p e r 1 0 0 , i n m o d o t a l e d a r a p p r e s e n t a r e u n d i v a r i o i n t e r m i n i p e r c e n t u a l i A d e s e m p i o , i l p r e z z o a l k g d e l b e n e i d a l m e s e A a l m e s e B è p a s s a t o d a 1 0 a 1 1 e u r o a l l o r a ( 1 1 / 1 0 ) * 1 0 0 - 1 0 0 = 1 . 1 0 * 1 0 0 - 1 0 0 = 1 1 0 - 1 0 0 = + 1 0 n e l m e s e i l p r e z z o d e l b e n e h a s u b i t o u n a u m e n t o d e l 1 0 %

0

220

0

110

0

000 1

xx

ixx

ix

xi

2

332

1

221

0

110 x

xi

xx

ixx

i

5

• Alcune proprietà che dovrebbero soddisfare i numeri indici :

 • 1) 0i0 = 1 (identità) • il numero indice relativo alla base è uguale a 1 o a 100 • 2) rit * tir = 1 (reversibilità o inversione della base o

reversibilità rispetto al tempo)• l'indice calcolato in base r per il tempo t coincide con il

reciproco dell’indice calcolato in base t per il periodo r

• 3) 0is*sir=0ir (circolarità o transitività)• sotto tale condizione è possibile portare la base del

secondo da s a 0 moltiplicando i due indici fra di loro.

6

4) 0it(m*x) = 0it (x) (commensurabilità)

l’indice è indipendente dall’unità di misura con cui si misura il fenomeno 5) 0it (xy) = 0it (x) * 0it (y) (decomposizione delle cause o

reversibilità rispetto ai fattori)l’indice di un prodotto è uguale al prodotto degli indici 6) proporzionalità (vale per indici composti)se tutti i prezzi (o tutte le quantità) variano nella stessa proporzione passando da 1 a r l’indice varia secondo lo stesso coefficiente di proporzionalità

7

D a l l a ( 3 ) è p o s s i b i l e i l c o n c a t e n a m e n t o , o v v e r o p a s s a r e d a u n a s e r i e d i i n d i c e i n b a s e m o b i l e a u n o i n b a s e f i s s a , m o l t i p l i c a n d o g l i i n d i c i a b a s e m o b i l e t r a d i l o r o s u c c e s s i v a m e n t e .

E s e m p i o e m p i r i c o

P r e z z o i n E u r o \ a n n o 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 2 1 9 9 3 B e n e 1 1 3 1 8 1 3 4 6 1 3 8 6 1 3 9 5

B a s e f i s s a N u m e r i I n d i c i 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 2 1 9 9 3 B e n e 1 1 0 0 1 0 2 . 1 1 0 5 . 1 1 0 5 . 8 L a s e r i e e v i d e n z i a c o m e r i s p e t t o a l l ’ a n n o b a s e , l a d i n a m i c a s i a c r e s c e n t e . S i è a v u t o u n i n c r e m e n t o p a r i a l 2 . 1 % n e l p r i m o b i e n n i o , a l + 5 . 1 % n e l t r i e n n i o , e c c . B a s e m o b i l e N u m e r i I n d i c i 1 9 9 0 1 9 9 1 1 9 9 2 1 9 9 3 B e n e 1 - 1 0 2 . 1 1 0 3 . 0 1 0 0 . 6

I l t r e n d è c r e s c e n t e t r a i p r i m i d u e a n n i , e a n c h e t r a i l s e c o n d o e i l t e r z o , m e n t r e i l t a s s o d i c r e s c i t a è p i ù r a l l e n t a t o n e g l i d u e a n n i .

0

2

1

2

0

1211020 **

xx

xx

xx

iii

8

Esempio empirico 2 Città Migliaia di

abitanti Indici a base

fissa (A=100)

Indici a base mobile

A 2775 100 - B 1369 49.3 49.3 C 1067 38.5 77.9 D 963 34.7 90.3

Dalla serie degli indici a base fissa possiamo dire che le popolazioni delle città B, C e D ammontano rispettivamente al 49.3 %, al 38.5%, al 34.7% di quella della città A Dalla serie degli indici a base mobile la popolazione della città C rappresentava il 77,9% di quella della città B(ovvero inferiore del 22.1%). Classificazione

indici semplici o elementari sono costruiti a partire da una sola serie, cioè un unico fenomeno osservato, e mettono a confronto due o più situazioni diverse (ad esempio, variazioni del prezzo di un prodotto (patate, insalata, automobili, ecc.) negli anni Una serie storica xt (t=0,1,2,...n)

9

I l g e n e r i c o t e r m i n e x t p u ò e s p r i m e r e i l p r e z z o p o p p u r e l a q u a n t i t à q o p p u r e i l v a l o r e qpv d i u n b e n e , o s s e r v a t o a i s t a n t i t e m p o r a l i s u c c e s s i v i

n u m e r i i n d i c i c o m p l e s s i m i s u r a n o s i m u l t a n e a m e n t e e s i n t e t i c a m e n t e l e v a r i a z i o n i d i n g r a n d e z z e o s s e r v a t e ( p i ù f e n o m e n i o s s e r v a t i ) i n d u e o p i ù s i t u a z i o n i d i v e r s e ( a d e s e m p i o p r e z z i d i p i ù b e n i n e g l i a n n i ) u l t e r i o r e c l a s s i f i c a z i o n e

i n d i c e s i n t e t i c o s e l e c o m p o n e n t i d e l n u m e r o i n d i c e c o m p l e s s o s o n o d e l l a s t e s s a s p e c i e ( a d e s e m p i o , v a r i a z i o n i d e i p r e z z i d i v a r i e m e r c i o s e r v i z i ( d i n a m i c a d e i p r e z z i d i i n t e r i c a p i t o l i d i s p e s a , a l i m e n t a z i o n e , a b i t a z i o n e , s e r v i z i s a n i t a r i , e c c . v a r i a z i o n i d e l l e p r o d u z i o n i d i v a r i b e n i )

10

indice composito se le grandezze sono di specie differenti (di solito risultano da fusioni di indici sintetici), ad esempio: variazioni del livello di vita di una popolazione

NUMERI INDICI COMPLESSI I numeri indici complessi sintetizzano la variazioni di n grandezze e quindi di n numeri indici elementari. Ad esempio, un numero indice complesso è un indice dei prezzi che sintetizza le variazioni dei prezzi di un paniere eterogeneo di beni.

11

I problemi nella costruzione di un indice complesso sono: 1. Scelta dei beni. Problema di stabilire ex ante quali

grandezze considerare per costruire gli indici complessi (ad esempio, per la costruzione di un indice della produzione industriale si dovrà stabilire quali specifiche branche di attività economica osservare) Può essere campionaria (e allora l'indice sarà rappresentativo) o esaustiva ( e l'indice sarà completo). Una buona selezione del campione può rendere l'indice rappresentativo valido come quello completo. Sulla rappresentatività si deve dire che quanti più beni si prendono in considerazione tanto più un indice dei prezzi è adeguato ai suoi scopi, ma è impossibile seguire tutti i beni e quindi se ne scelgono solo alcuni, quelli però che possono fornire con la loro variazione una indicazione fedele di quanto avviene sull’intero mercato dei beni.

12

In pratica si cerca di individuare voci più possibile indipendenti tra di loro e il più possibile rappresentative di quelle che, appartenenti alla stessa categoria, non saranno prese in considerazione. Ad esempio nello specifico dei prezzi al consumo

si seleziona all’interno dei capitoli di spesa, tra loro non direttamente interrelati (spesa alimentazione, per abbigliamento, per il tempo libero, ecc.), categorie e servizi per quanto più possibile omogenei dal punto di vista della loro composizione merceologica

si sceglie all’interno di queste ultime una o più voci elementari tali che, in base al principio della solidarietà dei prezzi, possano ragionevolmente rappresentare anche le dinamiche delle quotazioni delle voci escluse dalla scelta (ad esempio, la voce “biglietto per il cinema” o “biglietto per lo stadio” potrebbero essere chiamate a rappresentare nell’indice le variazioni di tutti gli spettacoli

13

1. Scelta della base. La base può essere fissa o mobile. La scelta è in genere verso un valore della serie che sia abbastanza 'normale' , non troppo alto o basso.

2. Scelta del criterio di aggregazione. Ci sono due possibilità:

I) come rapporto di medie, II) come media di rapporti (o di indici elementari), dopo aver

scelto il tipo di media più conveniente le medie che si possono usare sono:

media aritmetica media geometrica media armonica

non esiste una regola generale ma l’orientamento è verso la media aritmetica sia per le caratteristiche implicite di tale valore medio, sia per la relativa facilità con cui esso può essere calcolato.

14

1. Scelta del sistema di ponderazione. Questo determina il tipo dell’indice, e dipende dall’applicazione che si vuol fare dell’indicatore. Es. se si aggregano i prezzi dei beni al consumo, i pesi saranno in proporzione dell’importanza del bene consumato (es. della sua quantità).

il sistema di ponderazione assume un ruolo di rilievo in quanto la dimensione dei pesi concorre direttamente a determinare l’entità delle variazioni con esso misurate essendo le periodicità con cui si calcolano i numeri indici molto ristrette (mensilmente), la variazione è di ridotta o ridottissima dimensione quindi la sensibilità dell’indicatore è ancora più influenzata da pesi. n.b. le ponderazioni possono essere fisse o variabili

15

b e n i p r e z z i p e s i I n d i c i i n b a s e 0

T e m p o 0 T e m p o 1 A 1 1 0 1 5 8 1 . 2 1 4 3 . 6 B 9 5 1 1 0 1 . 8 1 1 5 . 8 S i c a l c o l a l ’ i n d i c e s i n t e t i c o m e d i a n t e m e d i a a r i t m e t i c a p o n d e r a t a d e g l i i n d i c i s e m p l i c i c o n p e s i p r e s i d a l l a q u a r t a c o l o n n a

9.1260.3

7.380

8.12.1

)8.1*8.115()2.1*6.143(

n e l c o m p l e s s o i b e n i A e B s o n o a u m e n t a t i n e l l ’ i n t e r v a l l o c o n s i d e r a t o d e l 2 6 . 9 % s c a m b i a m o o r a i p e s i

5.1320.3

4.397

8.12.1

)2.1*8.115()8.1*6.143(

l ’ i n v e r s i o n e d e i p e s i d i f f e r e n t i t r a l o r o d i s o l o s e i d e c i m i p r o d u c e u n i n c r e m e n t o d i 5 . 6 p u n t i p e r c e n t u a l i d e l l a v a r i a z i o n e c o m p l e s s i v a d e l l ’ i n d i c e

16

L E F O R M U L E P I U ’ U S A T E L e f o r m u l e p i ù u s a t e p e r l a c o s t r u z i o n e d i n u m e r i i n d i c i , p r o p o s t e n e l s e c o l o s c o r s o , s o n o ( p e r p r e z z i e q u a n t i t à ) : l ’ i n d i c e d i L a s p e y r e s ( a p o n d e r a z i o n e f i s s a )

l ’ i n d i c e d i P a a s c h e ( a p o n d e r a z i o n e v a r i a b i l e )

l ’ i n d i c e ( i d e a l e ) d i F i s h e r ( a p o n d e r a z i o n e i n c r o c i a t a )

ri r

i srLsr

ri r

i rsLsr qp

qpQ

qpqp

P

;

ri s

i ssPsr

si r

i ssPsr qp

qpQ

qpqp

P

;

Psr

Lsr

Fsr

Psr

Lsr

Fsr QQQPPP *;*

17

Gli indici di Laspeyres e Paasche possono essere costruiti sia come rapporto di medie che come medie di rapporti. Ad es., il numero indice dei prezzi di Laspeyres è pari sia al rapporto tra le medie aritmetiche dei prezzi degli n beni nel periodo corrente e nel periodo base, ponderati con le quantità del periodo base, sia alla media aritmetica degli n indici elementari, ponderati con pesi pari ai valori dell'anno base

ii rr

rr

r

s

i r

i rr

i r

i rs

Lsr

qp

qp

p

p

q

qp

q

qp

P *

18

I l n u m e r o i n d i c e d e i p r e z z i d i t i p o P a a s c h e è p a r i a s u a v o l t a s i a p a r i s i a a l r a p p o r t o t r a l e m e d i e a r i t m e t i c h e d e i p r e z z i d e g l i n b e n i n e l p e r i o d o c o r r e n t e e n e l p e r i o d o b a s e , p o n d e r a t i c o n l e q u a n t i t à d e l p e r i o d o c o r r e n t e , s i a a l l a m e d i a a r m o n i c a d e g l i n i n d i c i e l e m e n t a r i , p o n d e r a t i c o n p e s i p a r i a i v a l o r i d e l l ' a n n o c o r r e n t e .

i ss

s

r

i ss

i s

i sr

i s

i ss

Psr

qppp

qp

qqp

qqp

P

19

IL PROBLEMA DELLA PONDERAZIONE L'uso di una ponderazione costante migliora la confrontabilità degli indici. D'altra parte, il sistemi di pesi si logora nel tempo, cioè diviene sempre meno rispondente alla realtà. Es. l'indice dei prezzi al consumo delle famiglie è composto di un paniere di beni con pesi relativi al peso di questi beni nella spesa delle famiglie. Nel primo dopoguerra i consumi alimentari erano spesso dominati dai consumi di patate. Quindi il peso attribuito all'indice dei prezzi delle patate era molto elevato. Nel tempo ci sono stati due fenomeni: il consumo di patate è diminuito in termini relativi e il prezzo delle patate è cresciuto meno della media. Attribuire oggi un peso elevato ai consumi di patate porta quindi a sottostimare la crescita dei prezzi al consumo delle famiglie. 

20

Altro esempio: le sigarette Nazionali nell'indice dei prezzi per le famiglie di operai.

 Possibili soluzioni:

       cambiare spesso la base degli indici Laspeyres (che

diventano a ponderazione variabile). 

      Utilizzare indici con una diversa ponderazione. 

21

IL CONFRONTO TRA LASPEYRES E PAASCHE In un periodo di inflazione il consumatore tende a sostituire nel consumo i beni i cui prezzi crescono più velocemente con quelli i cui prezzi crescono più lentamente. Questo significa che un indice Laspeyres sovrastima il tasso di crescita dei prezzi, ovvero l'inflazione, mentre un indice Paasche la sottostima. Maggiore è il tempo che passa dalla revisione della base, più elevata risulta la divergenza tra i due indicatori. Quindi, maggiore è la correlazione negativa tra prezzi e quantità, come è suggerita dalla teoria economica, maggiore è la variazione dei prezzi che si ottiene utilizzando l'indice Laspayres. Il contrario avviene per le quantità.

22

A n a l i t i c a m e n t e , l a d i s c r e p a n z a f r a i d u e i n d i c a t o r i è d a t a d a l l a f o r m u l a :

N e l l a q u a l e :

È

L

qpLP

Q

rPP

i rrqp

iL

r

sL

r

srr

qp

Qqq

Ppp

qp

r

23

È i l c o e f f i c i e n t e d i c o r r e l a z i o n e l i n e a r e t r a g l i i n d i c i d i p r e z z o e q u a n t i t à p o n d e r a t i c o n i v a l o r i d e l t e m p o b a s e , m e n t r e e s o n o g l i s c a r t i q u a d r a t i c i m e d i ( q u i n d i s e m p r e p o s i t i v i ) d e g l i i n d i c i e l e m e n t a r i d i p r e z z o e q u a n t i t à . L a d i f f e r e n z a è q u i n d i n e g a t i v a ( L a s p e y r e s è p i ù g r a n d e d i P a a s c h e ) s e l a c o r r e l a z i o n e t r a p r e z z i e q u a n t i t à r i s u l t a n e g a t i v a . P i ù i n d e t t a g l i o T e n d e n z i o s i t à p o s i t i v a d e l l ’ i n d i c e d i L a s p e y r e s T e n d e n z i o s i t à n e g a t i v a d e l l ’ i n d i c e d i P a a s c h e T r a i p r e z z i e l e q u a n t i t à e s i s t e u n a c o r r e l a z i o n e n e g a t i v a o v v e r o s e i p r e z z i d a l t e m p o 0 a l t e m p o 1 s u b i s c o n o u n i n c r e m e n t o a l l o r a l e q u a n t i t à n e l l o s t e s s o p e r i o d o s u b i s c o n o u n d e c r e m e n t o A n a l i t i c a m e n t e a b b i a m o :

01pp a l l o r a

10qq

m o l t i p l i c a n d o l ’ u l t i m a r e l a z i o n e p e r

0p s i h a

1000qpqp

24

se la dinamica dei prezzi è crescente gli indici semplici detengono un peso maggiore nella formula di Laysperes che pertanto è affetta da tendenziosità positiva (tende a restituire variazioni superiori al vero), viceversa se la dinamica dei prezzi è negativa gli stessi indici riceveranno un peso minore nella formula di Paasche che pertanto è affetta da tendenziosità negativa (tende a restituire variazioni inferiori al vero) In pratica la formula più utilizzata è l’indice di Laspeyres perché ha il vantaggio di conservare immutato il sistema di ponderazione per tutto l’arco di vita della base (si pensi a indici mensili quanto complesso sarebbe l’aggiornamento del sistema di ponderazione a cadenza mensile) è da tenere presente che l’adozione di un sistema di ponderazione costante ha però lo svantaggio provocato da una relativamente rapida obsolescenza della base, quindi si rende necessario un periodico aggiornamento di quest’ultima.

25

PROPRIETA’ DEGLI INDICI COMPLESSI Laspeyres e Paasche soddisfano le seguenti proprietà:       identità      commensurabilità      determinatezza      proporzionalità solo l’indice ideale di Fischer soddisfa le proprietà di:      inversione delle basi      decomposizione delle cause Nessuno di questi soddisfa la proprietà di circolarità

26

Condizione identità: se il tempo al quale si riferisce il calcolo dell’indice coincide con il tempo base, l’indice deve essere uguale ad 1

• Laspeyres e Pasche soddisfano la condizione perché:

Condizione reversibilità rispetto ai fattori: l’indice di prezzo moltiplicato per l’indice di quantità deve fornire l’indice di valore, Laspeyres e Pasche non soddisfano la condizione perché:

1

1

10

10

00

00

00

00

qp

qpP

qp

qpP

P

L

00

11

01

11

10

11

101

00

11

00

10

00

01

1010

qp

qp

qp

qp

qp

qpQP

qp

qp

qp

qp

qp

qpQP

PP

LL

27

Condizione reversibilità rispetto al tempo: l’indice di prezzo calcolato per il tempo 1 con base 0 deve essere uguale al reciproco dell’indice di prezzo calcolato per il tempo 0 con base 1

Laspeyres e Paasche non soddisfano la condizione perché:

Condizione di commensurabilità: l’indice deve essere indipendente dall’unità di misura dei beni e servizi. Laspeyres e Paasche soddisfano la condizione perché:

1

1

01

00

10

11

101

11

10

00

01

1010

qp

qp

qp

qpPP

qp

qp

qp

qpPP

PP

LL

00

1

00

000

1

00

01

1 Rp

p

qp

qpp

p

qp

qpP L

28

• Poiché i due rapporti

• E

Sono numeri puri, segue che l’indice risulta essere indipendente dall’unità di misura dei beni e servizi.

Condizione di determinatezza:l’indice non deve annullarsi, né assumere n valore infinito o indeterminato se il prezzo di un bene o servizio è uguale a zero. Laspeyres e Paasche soddisfano la condizione

Condizione di proporzionalità: se tutti i prezzi dei beni e servizi variano nella stessa proporzione, l’indice deve variare secondo lo stesso coefficiente di proporzionalità. Laspeyres e Paasche soddisfano la condizione

Condizione di transitività:sia dato l’indice al tempo 1 con base 0, e l’indice al tempo 2 con base 1, allora moltiplicando tra loro i due indici si ottine l’indice al tempo 2 con base 1.

01 / pp

00

000

qp

qpR

29

Laspeyres e Paasche non soddisfano la condizione perché:

20

22

21

22

10

11

2110

00

02

11

12

00

01

2110

qp

qp

qp

qp

qp

qpPP

qp

qp

qp

qp

qp

qpPP

PP

LL

30

Esempio: calcolo dell’indice di Laspeyres 1983 1984 1985 Beni Qit Pit Qit Pit Qit Pit Arance 20 100 15 110 23 102 Limoni 10 120 18 101 14 105 mandarini 25 125 30 115 40 103 Indice base 1985 Anni Calcolo INDICE 1983 23*100+14*120+40*125=8980 8980/7936=113.15 1984 23*110+14*101+40*115=8544 8544/7936=107.66 1985 23*102+14*105+40*103=7936 100

31

Esempio: calcolo dell’indice di Paasche 1978 1979 1980 Beni Qit Pit Qit Pit Qit Pit Zinco 152 28 161 26 168 21 Rame 124 43 132 40 127 46 piombo 187 61 175 68 172 70 Anni Calcolo INDICE 1978 152*28+124*43+187*61=20995

152*28+124*43+187*61=20995 100

1979 161*26+132*40+175*68=21366 161*28+132*43+175*61=20859

21366/20859= 102.44

1980 168*21+127*46+172*70=21410 168*28+127*43+172*61=20657

21410/20657= 103.64