M.V. Salvetti mv.salvetti@ing.unipi.it -- mv.salvetti@dia.unipi.it

Tel: 0502217262

Fluidodinamica

A.A. 20014-2015

Fluidodinamica

Scienza che studia:

E il moto dei fluidi; E le forze che si scambiano un fluido e un corpo a causa del moto

relativo (forze fluidodinamiche)

Applicazioni:

E aeronautica e spazio le forze aerodinamiche forniscono il meccanismo principale per il volo;

E metereologia, ambiente, trasporti, medicina, sport

Generalit: elementi di fisica dei fluidi

E Solido: ha forma e volume propri. E Liquido: ha volume proprio, ma non la forma. E Gas: non ha n volume, n forma propri.

Propriet che caratterizzano i fluidi (gas e liquidi):

E mancanza di una forma definita; E possibilit di deformazione finita anche sotto lazione di forze

infinitesime, purch opportunamente applicate.

Definizione di fluido: sostanza che si deforma continuamente sotto lazione di forze tangenziali, anche infinitesime; in altre parole, i fluidi possono reagire ad azioni tangenziali solo con il moto.

In uno stato di quiete (equilibrio statico) un volumetto di fluido pu sostenere solo azioni normali alla propria superficie (forze di pressione).

Generalit: elementi di fisica dei fluidi

Le diverse propriet dei liquidi, gas e solidi dipendono dai legami intermolecolari.

E Solidi: le molecole sono posizionate in strutture ordinate (reticoli) ed hanno una mobilit molto limitata.

E Liquidi: le molecole sono ancora organizzate in gruppi fra loro interagenti, anche se le variazioni di posizione reciproca allinterno dei gruppi sono molto pi significative e una struttura quasi-ordinata mantenuta solo allinterno dei gruppi (quasi-reticolo).

E Gas: le molecole si muovono pressoch liberamente su distanze molto maggiori delle mutue distanze fra molecole nei solidi e nei liquidi e le interazioni fra le molecole sono molto limitate.

Gas perfetto: le interazioni fra molecole avvengono solo tramite collisioni, attraverso le quali esse scambiano quantit di moto ed energia.

Generalit: lipotesi di mezzo continuo

La fluidodinamica classica si basa sullipotesi che il comportamento macroscopico di un fluido possa essere descritto considerandolo come mezzo continuo, senza tenere conto, cio, del moto delle singole molecole.

Particella di fluido: volumetto elementare di fluido v sufficientemente piccolo da poter essere considerato infinitesimo rispetto alle variazioni spaziali misurabili delle grandezze macroscopiche, ma sufficientemente grande da poter contenere un numero di molecole abbastanza elevato per far s che il valore di ogni grandezza risulti statisticamente stazionario.

Il valore di una qualsiasi grandezza fisica in un certo punto P corrisponde al valore medio di tale grandezza misurato allinterno della particella di fluido di cui P il baricentro.

Generalit: lipotesi di mezzo continuo

Esempio: densit in P: = limv $ v

mv

v = volumetto di fluido di cui P il baricentro

m = massa contenuta in v

Un volumetto di 1012 cm3 (cio un cubo con lato di 10-3 mm) di aria in condizioni standard di temperatura e pressione al livello del mare, esso contiene mediamente 2.7x107 molecole.

Lipotesi di mezzo continuo quasi sempre soddisfatta in situazioni di interesse pratico. Ad esempio, per laria non verificata in condizioni di gas rarefatto, in corrispondenza del limite superiore dellatmosfera terrestre.

Generalit: comprimibilit I gas e i liquidi si differenziano per la loro diversa comprimibilit; i gas possono essere compressi pi facilmente dei liquidi.

ogni moto caratterizzato da significative variazioni di pressione implica variazioni di densit molto pi grandi per i gas che per i liquidi.

La comprimibilit di un fluido caratterizzata dal coefficiente di comprimibilit, indice della variazione relativa di volume per unit di variazione di pressione:

1K

p

" #= % &

' (

VV

1

=V volume specifico

Pi precisamente si definisce: coefficiente di comprimibilit isotermo, se la compressione avviene a temperatura costante; coefficiente di comprimibilit isoentropico, se la compressione avviene a entropia costante;

Generalit: comprimibilit Liquidi: K basso piccole variazioni di densit anche per significative variazioni di pressione. Esempio: acqua a temp. e pressione ambientali 5 10-7 Pa-1

Equazione di stato (equazione costitutiva, cio che caratterizza il tipo di fluido):

cos .t = la densit non varia n nello spazio n nel tempo.

Gas: K elevato (3-4 ordini di grandezza maggiore che nei liquidi) le variazioni di densit non sono in generale trascurabili.

Equazione di stato: equazione che lega pressione, densit, temperatura.

Nella maggior parte dei casi di interesse pratico, laria pu essere considerata un gas perfetto equazione di stato dei gas perfetti.

p RT= 2 -2 -1 287.1 m s KR = per aria secca

Generalit

Forze di volume: forze proporzionali al volume della particella (es. forza peso, forze dovute a campi magnetici, elettrici)

Forze di contatto: forze dovute al contatto fra le particelle

Velocit nel punto P = velocit della particella fluida centrata in P

Forze agenti su una particella fluida

!V (P ) (u,v,w) componenti in un sistema di riferimento Cartesiano

Se il fluido in quiete le particelle si scambiano solo forze normali alla superficie di contatto.

Si definisce pressione la forza normale (orientata verso linterno) per unit di superficie.

In un fluido in quiete la pressione isotropa (ha modulo indipendente dalla giacitura) e pu essere quindi considerata come una quantit scalare la pressione una propriet termodinamica.

Generalit: forze agenti su una particella fluida Un fluido in moto sottoposto anche allazione di forze tangenziali.

Da dove nascono le forze tangenziali?

Consideriamo inizialmente un caso semplice: un gas perfetto in moto bidimensionale unidirezionale, avente cio lunica componente di velocit u in direzione x variabile lungo la direzione y .

Le molecole contenute in ogni particella fluida possegono una velocit di agitazione termica sovrapposta a quella media, avente direzione casuale (cio equiprobabile in ogni direzione).

Molecole della particella inferiore passeranno nella particella superiore e viceversa.

Poich le molecole della particella inferiore hanno mediamente una velocit (quantit di moto) pi bassa di quelle della particella superiore, queste avranno unazione frenante sulla particella superiore. Viceversa, sulla particella inferiore si avr unazione trascinante.

Generalit: forze agenti su una particella fluida Le forze tangenziali sono quindi leffetto a livello macroscopico dello scambio di quantit di moto fra particelle di fluido a causa del moto di agitazione termica delle molecole.

Le azioni tangenziali sono tanto maggiori quanto maggiori sono: la variazione di U lungo y (dU/dy) la velocit di agitazione termica, e quindi la temperatura assoluta.

Modello di fluido viscoso Newtoniano si assume un legame lineare fra lo sforzo di taglio e dU/dy:

dUdy

=coefficiente di viscosit molecolare (kg/(m s))

Il modello di fluido Newtoniano valido per la maggior parte dei gas, fra cui laria.

Per i gas il coefficiente di viscosit aumenta con T1/2

Il meccanismo descritto di scambio a livello molecolare non valido per i liquidi (meccanismo pi complesso), ma il modello di fluido Newtoniano resta valido per molti liquidi (es. acqua). Tuttavia, diminuisce con T.

Generalit: forze agenti su una particella fluida

Nel caso tridimensionale, si avr la situazione in figura:

La generalizzazione al caso 3D della legge di Newton (equazione costitutiva) verr ottenuta nel seguito, una volta introdotta la deformazione della particella fluida.

Si definisce coefficiente di viscosit cinematica (m2/s):

=

Generalit: trasporto di calore

Il meccanismo fisico responsabile del trasporto di calore in un gas dello stesso tipo di quello che porta alla nascita delle azioni tangenziali, e cio lo scambio termico dovuto al moto di agitazione molecolare.

Esempio (simile al precedente): gas perfetto in moto bidimensionale immerso in un campo di temperatura variabile lungo y.

T

T+dT A causa della velocit di agitazione molecolare, molecole della particella inferiore passeranno nella particella superiore e viceversa.

Poich le molecole della particella inferiore hanno mediamente una temperatura pi bassa di quelle della particella superiore, queste tenderanno a raffreddare la particella superiore. Viceversa, sulla particella inferiore si avr unazione riscaldante.

Generalit: trasporto di calore

Legge di Fourier si assume un legame lineare fra il flusso di calore ed il gradiente di temperatura:

y

dTq k

dy= coefficiente di conducibilit

termica (J/(m s K))

Per i gas il coefficiente conducibilit termica aumenta con T1/2 (stesso meccanismo fisico che per la viscosit).

Il meccanismo descritto di scambio a livello molecolare non valido per i liquidi (meccanismo pi complesso) k aumenta con T.

Generalizzazione della legge di Fourier al caso 3D:

!q = kT

x

y

z

Tq k

xT

q ky

Tq k

z

! = $ $

$= %

$$

= $&

Generalit: numeri adimensionali

Velocit del suono (a): velocit di propagazione di perturbazioni di pressione infinitesime allinterno del fluido:

2

s

pa

# $= % &' (

Usando la legge dellisoentropica, per un gas perfetto:

cos .p t = 2p

a RT

= =

La velocit del suono (che legata al coefficiente di comprimibilit isoentropico) utile per capire se ci sono delle condizioni di moto in cui anche un gas possa essere considerato come incomprimibile. Si cerca quindi di capire quando le variazioni dinamiche di pressione (p), cio indotte dal moto, producono delle variazioni trascurabili di densit ().

Dalla definizione di velocit del suono, assumendo lisoentropicit del moto, si ha: 2

pa

Generalit: numeri adimensionali Vedremo nel seguito che le variazioni di pressione sono dellordine di:

212

p V

Quindi si ottiene: 22

12Va

Si definisce numero di Mach: VM

a=

Quindi: 212M

quindi se il numero di Mach caratteristco del moto basso, le variazioni di densit sono trascurabili in questo tipo di moto anche un gas pu essere considerato incomprimibile flusso incomprimibile

Il numero di Mach vedremo che sar importante per determinare vari regimi di moto.

Il limite ingegneristico a cui si trascura la comprimibilit di solito M

Generalit: numeri adimensionali Abbiamo visto che sulle particelle di un fluido in moto agiscono delle forze viscose.

Consideriamo una particella fluida (di lati dx, dy, dz). Per semplicit, consideriamo che la particella si muova in direzione x (con velocit variabile solo in direzione y) e consideriamo il bilancio delle forze agenti su di essa in tale direzione.

pdydzdp

p dx dydzdx

! "+# $% &

xz

y

dxdz

ddy dxdz

dy

" #+$ %

& '

Bilancio forze di pressione:

+ = ( )dp dp

pdydz p dxdydz dxdydzdx dx

Bilancio forze viscose: + + =( )

d ddxdz dy dxdz dxdydz

dy dy

Eq. costitutiva (fluido Newtoniano):

dudy

=2

2

d udy

Generalit: numeri adimensionali Quindi, la forza viscosa per unit di volume agente sulla particella fluida data da:

La forza di inerzia per unita di volume :

2

2

d udy

du du dx dua u

dt dx dt dx = = =

Facendo unanalisi di ordini di grandezza si ha:

2

UFV

L

2UFI

L

U e L sono una velocit e lunghezza caratteristiche del flusso

Se si fa il rapporto fra lordine di grandezza delle forze dinerzia e delle forze viscose agenti sulla particella fluida si ottiene il numero adimensionale detto numero di Reynolds:

ReUL UL

= =

Per valori di Reynolds molto elevati le forze viscose sono trascurabili rispetto a quelle inerziali si pu fare lipotesi di fluido non viscoso?

Generalit: numeri adimensionali

Si definisce numero di Prandtl: Pr p

H

C

k K

= =

diffusivit termica Hp

kK

C =

Per un gas caloricamente perfetto: cos .pC t=

Inoltre, abbiamo visto che sia K che aumentano con T1/2

Per un gas il numero di Prandtl in buona approssimazione costante. Per laria il valore generalmente accettato 0.72-0.73.

Per un liquido il numero di Prandtl una funzione fortemente decrescente della temperatura.

Generalit: atmosfera/aria standard

Le condizioni fisiche dellatmosfera (pressione, temperatura e densit) variano con la quota. A parit di quota dipendono inoltre da molti altri fattori, quali la posizione geografica, le stagioni, lilluminazione giornaliera e lattivita solare, linquinamento, lumidit

Daltro canto vi lesigenza di avere unatmosfera tipo, in modo da poter valutare e confrontare le prestazioni di un velivolo o di un propulsore riferendosi ad unatmosfera di caratteristiche prestabilite.

Per tali motivi lInternational Civil Aviation Organization ha definito un atmosfera standard.

Generalit: atmosfera/aria standard Caratteristiche dellatmosfera standard

Aria secca di composizione costante (78% azoto, 21% ossigeno, 1% altri gas) Validit della legge di Laplace o Stevino (variazione idrostatica della

pressione):

dp gdz=

Variazione dellaccelerazione di gravit con la quota: 2

00

0

Rg g

R z

! "= # $

+% &con:

0 29.80665

mg

s= e 0 6356.766R Km= raggio terrestre

Equazione di stato dei gas perfetti: p RT= 2 -2 -1 287.1 m s KR =

Variazioni di temperatura con la quota:

dT dz= con: 0.0065Km

= tra 0 e 11 Km di quota

cos .T t= tra 11 e 20 Km di quota

Generalit: atmosfera/aria standard Caratteristiche dellatmosfera standard

Sistema di 4 equazioni in 5 variabili (p, , T, g, z). Si integra tutto in funzione di z, a partire dalle condizioni standard a livello

del mare:

31.225

Kgm

=1 101325p atm Pa= =

0g g=15 288.15o oT C K= =

( ) ( ) ( ), , , ( )p z z T z g z

Esistono tabelle che riportano le caratteristiche dellatmosfera standard in funzione della quota.

Nota T(z), si ricavano a(z) e (z) da:

a RT=3/2

0

0 0

117117

T TT T

! "+! "= # $# $+% & % &

Generalit

Numeri da ricordare

Aria standard a livello del mare e a T=15C

31.225

Kgm

= 51.78 10Kgm s

=

340.3m

as

=

287.1J

RKg K

=

1.4p

v

C

C = =