La filosofia del metodo agli stati limite, il concetto di sicurezza, la probabilit degli eventiCapitolo 2 delle NormeProf. Franco MolaDipartimento di Ingegneria Strutturale

2La sicurezza strutturale

AZIONI SOLLECITAZIONI SFORZI

Analisi strutturalelineare, non lineare

STRUTTURA SEZIONE

21

geometricameccanica

Nelle strutture staticamente determinate, geometricamente lineari, lanalisi strutturale sempre lineare

1

Analisi sezionalelineare, non lineare

2

La sezione staticamente indeterminata. Lanalisi sezionale lineare solo se lo la legge costitutiva dei materiali che la formano

3I criteri di misura della sicurezza strutturale

1. Il criterio della limitazione dello stato tensionale(criterio delle tensioni ammissibili)

1.1 Analisi strutturale in campo elastico lineare, meccanicamente lineare. La non linearit geometrica computata allinterno di un comportamento elastico lineare dei materiali e della struttura1.2 Analisi sezionaleGeneralmente in campo elastico non lineare, quale conseguenza diipotesi restrittive sul comportamento del calcestruzzo, assunto quale materiale non resistente a trazione1.3 La prescrizione 1.2 da luogo a situazioni che possono apparire contraddittorie e non ben computabili 1.4 Diseguaglianze di misure

ij idR R; f ( )= =

4Le due basi dei metodi probabilistici

1. Trattamento statistico del problema della sicurezza2. Misura della sicurezza nei confronti di pi stati limite

Il problema 1 complesso e non risolubile in maniera completa. Esso viene trattato attraverso opportune approssimazioni. Frequente la trattazione semi-probabilistica nel format EC2, imposto anche dalle Norme Tecniche.

Il problema 2 legato alla conoscenza della modellazione della struttura e della sezione in calcestruzzo armato e presollecitato. Esso richiede una sempre pi avanzata cultura e approfondimento di conoscenza da parte del progettista strutturale.

5I metodi probabilistici

1. I sistemi capacit C, domanda D, e la misura della sicurezza{C

6La misura probabilistica della sicurezza Basi teoriche

( ) { }{ } ( ) ( )

{ } ( ) ( )

b

a

x

-

f x dx dP x X x dx

P a X b = f x dx=F b -F(a)

P X x f x dx F x

= < +

= =

xx+dxx

f

f(x)

R, S: Variabili aleatorie

f(x)

x

F(0)

F(x)

F(x)

x

1

F(0)=P{P

7( )

( )

( )

m

-

2 2x m

-

x

-

valore medio: x xf x dx (parametro di posizione)

varianza: (x-x ) f x dx (parametro di dispersione)

mediana: x f x dx=0.5

mo

=

=

=

da: f'(x)=0(

x

f(x)

xm

8Variabile aleatoria normale

2m

2xx

m

(x-x )1f(x)= exp22

x = x = x

pi

(

Variabile aleatoria normale

F(x) si ricava dalle tabelle normali

9Variabile aleatoria stardard ridotta

m

x

-1x m

x

2

m

2u

x xu=

g x u xg' 1/

1 uf(u)= exp22

u = u = u=01

= = +

=

pi

=

(

( )( )

y x

1x

y x 1

y=g(x) f (y)dy f (x)dx

f g (x)f (x)f (y) f (x)dx /dy g'(x) g' g (x)

=

= = =

Variabile aleatoria standard ridotta

10Variabile aleatoria stardard ridotta

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

u

-

u

0

F u = f u du 1 F u

1F u = f u du , u 02

F -u =1 F u

=

+

u

f(u)

u-u

11Variabile aleatoria normale

0.691460.5

0.999663.40.998653.00.993792.50.977252.00.933191.50.841341.0

0.500000.0F(u)u

12Il problema fondamentale della sicurezza

{ }{ }

( ) ( )

f

s R

f s R-

P = R

13Il calcolo di Pf per variabili aleatorie normali indipendenti

{ }{ }

f2 2 2

m m m z R S

m mf

z z

m m mf2 2

z R S

Z R S (margine di sicurezza)P P(R S) P(Z 0)Z R S

Z-Z ZU= P P(Z 0) P U

Z R S= P P U

=

= = = = +

= =

= = +

{ }

Sm R0 R S

m m m

02 2 20 R S

f u u

R, c , cS R S

1c c

P P u 1 P(u ) F ( ) 1 F ( )

= = =

= +

= = = =

f(u)

u

Fu(-)=Pf 1-Fu()=Pf

14Il calcolo di Pf per variabili aleatorie normali indipendenti

( )

5u

3u

2u

02 2 20 R S

22 2 2 22 0 R S 0 1

F 10 =4.27F 10 =3.09F 10 =2.32

1c c

F c c 1 F

= = =

= +

= + = =

k m R

k m S

R R (1 1.645c )S S (1 1.645c )

=

= +

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 0

F1, F2F1

F2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 1 2 0

F1, F2 F1

F2

cS

15Calibrazione delle probabilit di crisi

C = Cd+CcC = Costo totaleCd = Costo dei danniCc = Costo di costruzione

16Il calcolo di Pf attraverso leguaglianza di frattili di ordine prefissato

Rk=Rm(1-1.645cR) k=frattile 5% inferioreSk=Sm(1+1.645cS) k=frattile 5% superiore

Rk=Sk 0=(1+1.645cS)/(1-1.645cR) (1)

Rd=Rm(1-2.576cR) d=frattile 5x10-3 inferioreSd=Sm(1+2.576cS) d=frattile 5x10-3 superioreRd=Sd 0=(1+2.576cS)/1-2.576cR)I valori dei frattili proposti per la calibrazione della misura della sicurezza agli stati limite ultimiSd=1.5SkSd=1.5Sm(1+1.645cS)Rd=Rm (1-2.576cR)

Sd=Rd 0=1.5(1+1.645cS)/(1-2.576cR) (2)

17Il calcolo di Pf attraverso leguaglianza di frattili di ordine prefissato

Le (1),(2) possono utilizzarsi per il calcolo di e quindi della Pf per gli stati limite di esercizio e ultimi.Ad esempio per cR=cS=0.20Dalla (1) 0=1.98 =2.21 Pf10-2Dalla (2) 0 =4.11 =3.68 Pf10-5

18Il metodo semiprobabilistico

R=R(fc,fs,Ci) S=S(Aj,Dj)

Rk=R(fck,fsk,Ci) Sk=S(Akj,Dj)

Rd=R(fcd, fsd, Ci) Sd=S(Adj,Dj)

Fcd=fck/c fsd=fyk/s Adj=fjAkj

19Il metodo semiprobabilistico

La misura della sicurezza allo stato limite agli stati limite diesercizio e ultimi sono soddisfatte se lo sono rispettivamente le diseguaglianze

R(fck,fyk,Ci) S(Akj,Dj)R(fck/c fyk/s,Dj) S(fjAkj, Dj)

Per il modo con cui sono stati valutati i frattili della resistenza e della sollecitazione, le diseguaglianzeprecedenti non sono direttamente associate ad un probabilit di crisi, la ci valutazione non pu essere perseguita allinterno del metodo semiprobabilistico.

20La caratterizzazione delle azioni

1. Azioni di tipo permanente GValore caratteristico Gk

2. Azioni variabili QValore caratteristico Qk, frattile 5% superioreValore di combinazione 0Qk0=fattore di non contemporaneit

3. Valore frequente 1Qk4. Valore quasi permanente 2Qk

La definizione dei coefficienti 1, 21 associato al rapporto a1/a=0.102 associato al rapporto bi/b=0.50

21Esempi di ricerca delle diseguaglianze della misura della sicurezza SLU di punzonamento di una base fondale

[ ] ( )

( ) ( )

2222 2 2c

S,d soil soil c soil soil 12

0 0 2 0 2cR,d c 2

dN B 2a B 1 2 B g4 d4B

2d 2N d 2a d 2 d ga d

a /d

pi pi = + = + =

pi = + pi = + = pi

=

( )

22c

22S,d soil

0 2R,d c

d1 2d4BN BfN 2d 2d

pi +

= =pi +

( )( )

f 0

f 1

=

f()

g2()

g1()

NE,d

soila

c

d

BxB

22La misura della sicurezza allo stato limite ultimo per taglio

ss sd

cd

sl sl

ctg1

sin22tg /2

=

=

=

0

0.5

1

0 0.785 1.57

s,c

cd

sd (ss=0.138)

ss

sd (ss=0.5)

sd (ss=1)

sl (sl=0.25)sl (sl=0.43)sd (ss=1)

min =0.38

23D.M.14/1/2008

Azioni sulle costruzioni

Classificazione delle azioni secondo la variazione della loro intensit nel tempo

a) permanenti (G ) G1 peso proprio elementi strutturali G2 peso proprio elementi non strutturali P presollecitazione

b) variabili (Q )c) eccezionali (A ) d) sismiche ( E )

24D.M.14/1/2008Combinazione delle azioni

-Combinazione fondamentale(SLU):G1G1 + G2G2 + PP + Q1Qk1 + Q202Qk2 + gQ303Qk3 +

- Combinazione caratteristica (rara), (SLE) irreversibili - verifiche alle tensioni ammissibili:

G1 + G2 + P + Qk1 + 02Qk2 + 03Qk3+ - Combinazione frequente, (SLE) reversibili:

G1 + G2 +P+ 11Qk1 + 22Qk2 + 23Qk3 + - Combinazione quasi permanente (SLE):

G1 + G2 + P + 21Qk1 + 22Qk2 + 23Qk3 + -Combinazione sismica, (SLE), (SLU)

E + G1 + G2 + P + 21Qk1 + 22Qk2 + -Combinazione eccezionale(SLU) connessi a azioni eccezionali Ad

G1 + G2 + P + Ad + 21Qk1 + 22Qk2 +

Nelle combinazioni per SLE, si intende che vengono omessi i carichi Qkj che danno un contributo favorevole ai fini delle verifiche e, se del caso, i carichi G2.

25D.M.14/1/2008Coefficienti di combinazione

26D.M.14/1/2008Coefficienti di combinazione per SLU

- Stato Limite di equilibrio come corpo rigido: EQU- Stato limite di resistenza della struttura compresi gli elementi di fondazione STR

- Stato limite di resistenza del terreno GEO