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Teoria geometrica della propagazione

Valeria Petrini - Propagazione M

Università degli Studi di Bologna - DEIS

Introduzione (1)

Una corretta caratterizzazione dei collegamenti radio non può prescindere dallo studio di alcuni fenomeni che possono influenzare la propagazione in spazio libero:

Presenza di ostacoli che si frappongono tra le antenne provocando una ostruzione alla libera propagazione del fronte d’onda

Ellissoide terrestre che è l’ostacolo più evidente sul quale poggiano le antenne. Le presenza del suolo genera una discontinuità tra dielettrici

Atmosfera terrestre che può portare significative differenze dalla propagazione ideale, provocando un aumento di attenuazione soprattutto ad alte frequenze ma anche effetti di deviazione della direzione di propagazione

Valeria Petrini - Propagazione M Università degli Studi di Bologna - DEIS

Introduzione (2)

Le onde elettromagnetiche, una volta irradiate dall’antenna trasmittente possono raggiungere l’antenna ricevente in quattro modi: 1. Onda diretta

2. Onda terrestre (superficiale)

3. Onda spaziale

4. Onda di cielo

Introduzione (3)

Onda diretta: si ha quando trasmettitore e ricevitore si trovano in visibilità radio.

Onda terrestre: si ha quando trasmettitore e ricevitore si trovano vicino al suolo. Questo tipo di onde si propaga al suolo seguendo la curvatura della superficie terrestre.

Onda spaziale: interessa, per comunicazioni tra corrispondenti terrestri, esclusivamente gli strati più bassi dell’atmosfera (troposfera).

Onda di cielo: si genera quando l’indice di rifrazione variabile della ionosfera produce il ritorno verso terra di un segnale lanciato verso lo spazio.

Guglielmo Marconi

È conosciuto per aver sviluppato un sistema di telegrafia senza fili via onde radio che ottenne una notevole diffusione: evoluzioni della trasmissioni senza fili portarono allo sviluppo dei moderni metodi di comunicazione come la TV, la radio il telefoni cellulari i telecomandi e tutti i sistemi che utilizzano le comunicazioni senza fili.

Il 12 dicembre 1901 ci fu la comunicazione che costituì il primo segnale radio transoceanico. Per raggiungere l’antenna ricevente in Canada avrebbe dovuto rimbalzare due volte sulla ionosfera.

Introduzione (4)

L’atmosfera terrestre è una miscela di diversi gas atmosferici che può essere descritta come mezzo dielettrico non omogeneo ad indice di rifrazione variabile

Lo studio della propagazione in mezzi ad indice di rifrazione variabile (n(h)) è molto complesso se condotto in modo esatto a partire dalle equazioni di Maxwell

Risulta allora opportuno lo sviluppo di tecniche alternative, tra le quali l’ottica geometrica è una delle più potenti

Teoria ondulatoria e Teoria geometrica

Evoluzione pensiero scientifico: 1. Teoria geometrica

2. Teoria ondulatoria

3. Teoria vettoriale

TEORIA GEOMETRICA Approccio che da’ alla radiazione elettromagnetica le stesse proprietà dei

corpuscoli. La natura della luce ci permette quindi di analizzare alcuni fenomeni tramite i raggi luminosi (segmenti di retta aventi la direzione del fronte d’onda)

TEORIA ONDULATORIA Il campo elettromagnetico è descritto dalla cosiddetta funzione d’onda

che soddisfa l’equazione delle onde

u r,t( )

∇2u(r ,t) − 1v 2∂2u(r ,t)∂t 2 = 0

Teoria geometrica (o dei raggi)

Descrive la propagazione del campo in mezzi non omogenei senza perdite a condizione che gli scostamenti dall’uniformità siano piccoli su lunghezze paragonabili alla lunghezza d’onda.

Esamina, quindi, la propagazione nell’ipotesi di λ→0 (frequenze ottiche) trascurando quindi tutti i fenomeni connessi con la diffrazione individuando semplicemente dei raggi di propagazione dell’energia.

E’ utile anche alle frequenze radio se si vuole individuare il percorso della normale del fronte d’onda in un mezzo indefinitamente esteso.

Essendo una teoria scalare, non descrive quei fenomeni che richiedono la conoscenza di tutte le componenti del campo come ad esempio la polarizzazione

Definizioni

Onda: operata una perturbazione su una grandezza fisica in una regione limitata dello spazio, si dice che si ha un’onda quando tale perturbazione si propaga nelle altre zone dello spazio con velocità e modalità che dipendono dal mezzo e dal tipo di grandezza perturbata

Superficie d’onda: luogo geometrico dei punti dello spazio nei quali la grandezza perturbata varia “concordemente” nel tempo (punti in cui oscilla in fase)

Raggio: data un’onda che si propaga in un dato mezzo si definisce raggio ogni linea dello spazio perpendicolare in ogni punto alla superficie d’onda passante per quel punto

Equazioni di Maxwell (1)

Consideriamo: Mezzo normale: lineare, stazionario, non dispersivo ed isotropo

Mezzo omogeneo

Presenza di sorgenti di tipo elettrico

∇ × E = − jωµH∇ × H = jωε E + Ji

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

∇⋅ D = ρ

∇⋅ B = 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

∇⋅ Ji = − jωρ

Equazioni di Maxwell Equazioni della

Divergenza

Legge di conservazione

della carica

Per la risoluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di correnti elettriche impresse facciamo riferimento alla determinazione dei cosiddetti potenziali

Definisco : potenziale vettore magnetico

L’equazione da risolvere per determinare è un’equazione di Helmoltz non omogenea

∇2A +ω 2µεA = −µJi

Ricaviamo, quindi, le espressioni dei campi generati dalle correnti elettriche impresse:

La procedura per risolvere queste equazioni richiede l’uso delle funzioni di Green

Consideriamo una regione illimitata

H =1µ∇ × A

E =∇ ×∇ × Ajωµε

−Jijωε

Q: punto potenziante P: punto potenziato

Considerando che la soluzione è unica se i campi soddisfano le condizioni di radiazione di Sommerfeld:

La soluzione risulta:

limr−r' →∞

r − r' E r( ) = 0

limr−r' →∞

r − r'H r( ) = 0

A r( ) =µ4π

JiV∫ r'( ) e−γ r−r'

r − r'dr'

Mezzo omogeneo

Assenza di sorgenti

∇ × E = − jωµH∇ × H = jωε E

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ Equazioni di Maxwell

∇⋅ D = 0∇⋅ B = 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

Equazioni della

Divergenza

∇2E +ω 2µεE = 0

∇2E −γ 2E = 0∇2H −γ 2H = 0

Equazioni di Helmholtz Omogenee con

γ 2 = −ω 2µε

Facendo l’ipotesi di separazione delle variabili le soluzioni risultano:

vettore di propagazione

vettore attenuazione

vettore di fase

vettore posizione

Dal punto di vista fisico, le onde piane uniformi rappresentano una soluzione sufficientemente approssimata se si è in presenza di una regione di spazio omogenea di dimensioni lineari molto maggiori della lunghezza d’onda

E = E 0e−S⋅r

H = H 0e−S⋅rOnda Piana

S = a + jk = α ˆ a + jk ˆ k = αˆ a + jβ0ˆ s con

E = E 0e− jβ 0 r⋅ ˆ s

H = H 0e− jβ 0 r⋅ ˆ s

a = 0per

Onda Piana Uniforme

β0 = ω µ0ε 0

Superfici equifase : piani ⊥k ⇒ raggi rettilinei e paralleli

Mezzo non omogeneo con

Assenza di sorgenti

Analogamente al classico passaggio dalle equazioni di Maxwell a quelle di Helmoltz, si può ottenere:

ε r( ) = ε0εr r( )

ε0 =136π

10−9 Faradm

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

µ = µ0

∇ × E r( ) = − jωµH r( )∇ × H r( ) = jωε r( )E r( )

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ Equazioni di Maxwell

∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )

Poiché la soluzione in un mezzo omogeneo normale è data da un’onda piana, se si ipotizza che nel mezzo non omogeneo, le variazioni siano piccole su distanze confrontabili con la lunghezza d’onda, la soluzione può essere espressa da una funzione con ampiezza non più costante e con superfici equifase non più piane, del tipo:

Generalizzazione dell’espressione precedente, considerando e dipendenti dal punto.

E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )

H r( ) = H 0 r( )e− jβ 0S r( )

H 0€

β0 = ω µ0ε 0

Ottica geometrica classica (1)

Riprendiamo:

Sapendo che:

Da cui si ottiene:

∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )

D r( ) = ε r( )E r( )

∇⋅ D = 0

⇒ ∇⋅ E r( ) = −∇εr r( )εr r( )

E r( )

n = εr r( )

⇒ ∇⋅ E r( ) = −∇ ln n2 r( )( )E r( )

∇2E r( ) + β02n r( )E r( ) = −2∇ ∇ ln n r( )( )E r( )[ ]

Cerchiamo per una soluzione

del tipo

Sapendo che: e

Otteniamo:

N.B. Nell’espressione ho trascurato la dipendenza da

∇2E r( ) + β02n r( )E r( ) = −2∇ ∇ ln n r( )( )E r( )[ ]

E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )

∇⋅ f A( ) = ∇f A + f∇⋅ A

∇⋅ ∇F = ∇2F

E 0 n2 − ∇S 2[ ] +1jβ0

E 0∇2S + 2∇S E 0∇ ln n( )[ ] + 2∇S∇E 0{ } − 1jβ0( )2

∇2E 0 + 2∇ E 0∇ ln n( )[ ]{ } = 0

Dividendo parte reale e parte immaginaria e volendo trovare soluzioni asintotiche per λ→0, otteniamo:

∇S 2 = n2

E 0∇2S + 2∇S E 0∇ ln n( )[ ] + 2 ∇S∇( )E 0

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪ €

Equazione iconale

Equazione del trasposto

Equazione dei raggi (1)

Risolvendo l’equazione iconale si può calcolare

Le superfici per cui = costante sono i fronti d’onda i quali definiscono le traiettoria del segnale in quanto permettono di individuare i raggi

Detto il versore che indica la direzione locale di propagazione, si ha:

La direzione locale di determina le traiettorie dei raggi

Obiettivo: determinare le traiettorie dei raggi a partire dai termini noti, ovvero dalla distribuzione dell’indice di rifrazione

S r( )

ˆ s =∇S r( )n r( )

Direzione del raggio

Equazione dei raggi (2)

Introduciamo la coordinata curvilinea s del raggio:

Consideriamo il versore tangente al raggio in un punto generico:

Equazione parametrica della traiettoria

s P( ) = dx 2 + dy 2 + dz2P0

ˆ s (s) =dxˆ x + dyˆ y + dzˆ z dx 2 + dy 2 + dz2

=dr s( )

r(s) :€

⇒ n s( ) dr(s)ds

= ∇S(s)

Equazione dei raggi

Equazione differenziale dei raggi (1)

Ciò che si è ricavato è che, sotto opportune ipotesi, la soluzione consiste in un campo TEM locale, la cui direzione di propagazione è ricavabile a partire da S

Derivando l’equazione dei raggi rispetto ad s si ottiene:

Da cui si ottiene:

n(s) dr(s)ds

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

∇S(s)( )

∇S(s)( ) = ∇dds

S(s)⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ = ∇ ∇S(s) ⋅ ˆ s ( ) = ∇n(s)

⇒dds

n(s) dr(s)ds

⎣ ⎢

⎦ ⎥ = ∇n(s) Equazione differenziale

dei raggi

Equazione differenziale dei raggi (2)

L’equazione differenziale dei raggi ha il grande vantaggio di poter descrivere le traiettoria dei raggi sapendo solo l’andamento di

Trattandosi di un’equazione differenziale del II ordine ha infinite soluzioni; per individuare il raggio occorrono 2 condizioni al contorno:

L’integrazione dell’equazione differenziale dei raggi può essere fatta numericamente con le tecniche di tracciamento dei raggi (Ray Tracing), molto più vantaggiose dell’integrazione diretta dell’equazione dell’iconale

n r( )

Traiettoria dei raggi (1)

In un generico punto della traiettoria è possibile definire il vettore curvatura associato a r(s):

Indicando con R il raggio di curvatura locale si ha anche:

c =d2r (s)

ds2 =dˆ s (s)

Il versore segue la tangente alla traiettoria, mentre è normale ad esso e sono situati entrambi sul piano osculatore

Ricordando l’equazione differenziale dei raggi:

Dalla definizione di e otteniamo:

Moltiplicando scalarmente per :

∇n(s) =dds

n(s) dr(s)ds

⎝ ⎜

⎠ ⎟

n(s) drds

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

n(s)ˆ s (s)( ) =dn(s)

sˆ s (s) +

dˆ s ds

n(s) =dn(s)

dsˆ s (s) + cn(s)

∇n(s) ⋅ ˆ c =dn(s)

dsˆ s ⋅ ˆ c

0 + n(s)c ⋅ ˆ c ⇒ ∇n(s) ˆ c = n(s)c ⇒ c =

∇n(s)n(s)

Sapendo che:

L’ultima relazione mostra che la direzione di è sempre concorde con quella di , ovvero che il raggio tende sempre a piegare verso la regione a indice di rifrazione maggiore (equivalente della legge di Snell)

=∇n(s)n(s)

⋅ ˆ c ≥ 0 Equazione della Curvatura

Esempio (1)

ATMOSFERA OMOGENEA ⇒ mezzo ad indice di rifrazione costante

Equazione differenziale dei raggi:

Equazione della curvatura:

⇒ Le traiettorie sono rettilinee in un mezzo omogeneo, ciascuna con direzione a e passante per r=b

⇒ n r( ) = costante

⇒ n d2rds2

= 0 ⇒ r = as + b€

∇n =dds

n drds

⎝ ⎜

⎠ ⎟

=∇nn⋅ ˆ c

Esempio (2)

MEZZO A STRATIFICAZIONE SFERICA

L’equazione differenziale dei raggi risulta:

Moltiplicando vettorialmente per :

Legge di Snell per mezzi a stratificazione sferica: è alla base della propagazione ionosferica e troposferica, che sfruttano la possibilità di avere il rientro a terra dell’onda oltre l’orizzonte geometrico

n = n r( ) ⇔ ∇n r( ) =dn r( )

drˆ r

n r( )0

dr(s)ds

+ n r( ) dds

dr(s)ds

⎜ ⎜ ⎜

⎟ ⎟ ⎟

= ∇n r( )

⇒dds

ˆ s (s) ⋅ n r( ) =dn r( )

drˆ r

r × n r( )ˆ s (s)( ) = r ×dn r( )

drˆ r = 0

⇒ r × n r( )ˆ s = costante

⇒ n ⋅ r sin(ψ) = costante

Principio di Fermat

Si considerino in un dato mezzo due punti P1 e P2 e un percorso che li colleghi; si definisce cammino ottico il seguente funzionale:

PRINCIPIO di FERMAT: la traiettoria di un raggio rappresenta un minimo del cammino ottico

Il principio di Fermat può essere un’alternativa alla risoluzione dell’equazione differenziale dei raggi; ad esempio in un mezzo omogeneo (n=cost) si ha:

L1,2 ˆ = n(s)dsP1

Onda piana locale e intensità (1)

Riscriviamo:

Sostituendo le soluzioni nelle equazioni di Maxwell e considerando:

E = E 0e− jβ 0S

H = H 0e− jβ 0S

∇ × E = − jωµ0H∇ × H = jωεE

Equazioni di Maxwell Soluzione equazioni di Maxwell

∇ × f A( ) = ∇f × A + f∇ × A

∇S × E 0 − η0H 0 =1jβ0

∇ × E 0

∇S × H 0 +ε rη0

E 0 =1jβ0

∇ × H 0

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Conformemente all’intenzione di determinare soluzioni asintotiche perλ→0 (f→∞) possono essere trascurati i secondi membri delle precedenti esperessioni

Considerando l’equazione iconale:

N.B. Nelle espressioni ho trascurato la dipendenza da r

∇S = nˆ s

H 0 =nη0

ˆ s × E 0 =ˆ s × E 0

E 0 = −nε r

η0ˆ s × H 0 =nε r

η0 H 0 × ˆ s

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

Il vettore di Poynting vale: e quindi l’energia si propaga nella direzione dei raggi ottici

In conclusione, per descrivere compiutamente la soluzione fornita dall’ottica geometrica è sufficiente risolvere l’equazione iconale e successivamente tutto è descrivibile attraverso un’unica funzione scalare, l’intensità, costituita dal modulo del vettore di Poynting

Queste conclusioni giustificano il fatto che nell’ottica si sia effettuata una teoria scalare, in quanto ci si basa solo sulle traiettorie dei raggi e sulla loro intensità per descrivere la propagazione

Riepilogo

Mezzo non omogeneo: Equazione da risolvere:

Soluzione: generalizzazione onda piana

Equazione iconale: Equazione dei raggi:

Equazione della curvatura: i raggi tendono sempre a curvare verso la regione ad indice di rifrazione maggiore;

Mezzo omogeneo: traiettorie rettilinee Mezzo a stratificazione sferica: propagazione ionosferica e troposferica

ε r( ) = ε0εr r( )

∇2E r( ) +ω 2µεE r( ) = ∇ ∇⋅ E r( )( )

E r( ) = E 0 r( )e− jβ 0S r( )

H r( ) = H 0 r( )e− jβ 0S r( )

∇S 2= n2

n s( ) dr(s)ds

= ∇S(s)

Il discorso fin qui fatto presenta tuttavia dei limiti; si consideri un tubo di flusso dell’energia (superficie costituita lateralmente da una famiglia di raggi e ortogonalmente da due porzioni di superficie equifase)

Legge di intensità dell’ottica geometrica

Si è ricavato che l’intensità è inversamente proporzionale alla superficie di base del tubo di flusso

Tale legge cade in difetto qualora si verifichi la convergenza di tutti i raggi in un punto, detto fuoco

SPREADING FACTOR: è un fattore che tiene conto dell’eventuale allargamento del fronte d’onda con la propagazione; la potenza trasportata da un raggio può pertanto diminuire con la distanza anche se il mezzo è privo di perdite

Se il mezzo è omogeneo (quindi la propagazione avviene per raggi rettilinei) e si ha una generica onda (cioè una generica sorgente) si può dimostrare che:

I casi tipici sono solitamente tre:

in cui ρ1 e ρ2 sono i raggi di curvatura principali e C1C2 e C3C4 sono le caustiche dell’onda

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