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LA TEORIA DEGLI INSIEMI

OPERAZIONI TRA INSIEMI

IntersezioneUnione DifferenzaProdotto cartesiano

2

3

5 4

6 8

7

A = {4, 5, 6, 7,8}

A = {x x N e 4 x 8}

Rappresentazioni di insiemi

Tabulare o per elencazione

Grafica o diagrammi di Eulero – Venn

Caratteristica

INSIEME INTERSEZIONE

Dati due insiemi, A e B, si chiama intersezione l’insieme degli elementi comuni sia ad A sia a B.

BΑ

A B

A B = {x x A e x B}

Con i diagrammi di Eulero-Venn

.1 .2 .34. 5.

A B

Dati gli insiemi A 1;2;3;4 e B 3;4;5 ,

l'intersezione tra A e B è data

dal seguente insieme

A B 3;4

Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersezione B”.

Autore: A

ngela T. G

allo

INSIEME DISGIUNTI

Se due insiemi A e B non hanno elementi in comune si dicono disgiunti.

BA

A BInsieme differenza

SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L’INSIEME DEGLI ELEMENTI APPARTENENTI AD A O A B. CIOÈ L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD ALMENO UNO DEGLI INSIEMI DATI

BA

Insieme unione

BA

A

B

A B = {x x A o x B}Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si legge“A unione B”

INSIEME UNIONE

Con i diagrammi di Eulero-Venn

.1 .3 .46. 2.

A B

A 1;3;4;6 e B 2;4;6 ,

l'unione tra A e B è data dal seguente insieme

A B 1;2;3;4;6

U

INSIEME DIFFERENZASi dice differenza fra l'A e B considerati nell’ordine, l’insieme , che indicheremo con A-B, costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.

Si definisce differenza complementare fra l’insieme U e il suo sottoinsieme A, l’insieme degli elementi che stanno in U ma non in A

A B

A

BxAx/xB-A

A-B

U-ASi ha, per definizione:

U – A = {x x U e x A}

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Dati ad esempio i due insiemiU = {1,2,3,4,5,6,7,8} e A = {2,4,6,8}, il complementare di A è dato dal seguente

insieme:

.1 .3

.5

U.7

.8 .4 .2 .6

U - A = {1,3,5,7}

A è un sottoinsieme di U:A U

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N Z Q R C

Insiemi e sottoinsiemi

della teoria dei numeri:

PRODOTTO CARTESIANODati due insiemi A e B non vuoti, si

chiama prodotto cartesiano di A x B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x;y), dove x appartiene ad A e y appartiene a B ByAxyxBA ,/);

;1 ; ;2 ; ;3 ; ;1 ; ;2 ; ;3A B a a a b b b

;A a b1;2;3B

E

Le operazioni di unione ed intersezione fra gli insiemi godono delle seguenti proprietà:

EE EFFE

PROPRIETÀ COMMUTATIVA DELL’UNIONEEFFE PROPRIETÀ COMMUTATIVA

DELL’INTERSEZIONEEEE

PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’UNIONEEEE

PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’INTERSEZIONE

PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELL’UNIONE RISPETTO ALL’INTERSEZIONE

HEFEHFE

HFEHFE

PROPRIETÀ ASSOCIATIVA DELL’INTERSEZIONE

15 Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C

Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A

niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo

niproposizio tranecongiunzio di Simbolo

che Tale /

vuotoInsieme

insiemi tradifferenza di Simbolo -

insiemi traneintersezio di Simbolo

insiemi traunione di Simbolo

zaappartenennon di Simbolo

zaappartenen di Simbolo

U

Simboli