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Insiemi e Logicanel Primo Ciclo

un percorso d'interfaccia trala matematica sottesa e l'attività in classe

di

L. Alessandrini G. Bolondi M. Iannelli

"Cosa ne sai di questa faccenda?" chiese il re ad Alice."Nulla," disse Alice."Nulla di nulla?" insistette il re."Nulla di nulla," disse Alice."Questo è molto importante," disse il re rivolto ai giurati. Costoro avevanoappena cominciato a trascrivere il tutto sulle loro lavagnette, quando ilBianconiglio intervenne; "Naturalmente Sua Maestà intendeva NON-importante," disse con aria molto rispettosa, ma aggrottando le sopracciglia efacendogli una smorfia mentre parlava."NON-importante, certo, intendevo," disse il re in fretta, e andò avanti tra sé esé mormorando "importante ... NON-importante ... NON-importante . . .importante ... " come se provasse quale delle due gli suonasse meglio.Alcuni dei giurati scrissero "importante" e alcuni "NON-importante." Alicepoteva vedere quello che scrivevano perché era abbastanza vicina alle lorolavagnette; "Tanto non fa nessuna differenza," pensò tra sé e sé.

(Alice's adventures in Wonderland, L. Carrol 1862)

1- Una via d'accesso a Wonderland. 2- Gli insiemi: perché e come. 3- Prime attività.

4- Identif icazione di insiemi f init i . 5- Casi l imite, eguaglianza di insiemi, teoremi.

6- L'esercizio inverso. 7- Appartenenza. 8- Sottoinsiemi, partizioni. 9-

Complementare. 10- Le regole e g l i enunciati. 11- Negazione. 12- Il prodotto

cartesiano. 13- Relazioni . 14- Prodotto cartesiano, regole e relazioni . 15- Insiemi

pensati. 16- Bibliografia. 17- Per concludere

1. Una via d'accesso a Wonderland

Il materiale di questo fascicolo nasce come tassello di un progetto più ampio e

come tale andrebbe raccordato almeno ad altri due tasselli, suoi primi vicini, nei confronti

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dei quali si colloca in una posizione intermedia di interfaccia. I due temi cui dovrebbe

riallacciarsi sono da una parte la matematica sottesa dagli obiettivi del primo ciclo e

dall'altra le attività progettate per perseguirli; infatti il percorso che qui presentiamo cerca

di analizzare le attività che si svolgono in classe, alla luce dei concetti matematici che le

motivano sia come obiettivo in sé che come quadro concettuale di riferimento.

Pur in assenza dei termini di riferimento questo percorso ha comunque una sua

funzione perché fornisce una serie di attività campione e indica i punti cruciali del

loro rapporto con i concetti matematici coinvolti. L'eventuale necessità di un

approfondimento teorico, per la piena comprensione delle questioni sollevate, potrà essere

soddisfatta autonomamente dal lettore, facendo eventualmente ricorso alle indicazioni

bibliografiche. Resta comunque l'impegno degli autori a proseguire nella messa a punto

degli altri tasselli, con l'obiettivo finale di fornire un riferimento puntuale a quanto

esposto nel testo presente.

Questo fascicolo presenta dunque un percorso di interfaccia riguardante il tema

"insiemi e logica", tema che costituisce uno dei pilastri caratterizzanti l'insegnamento

della matematica nella scuola elementare a partire dagli anni '60 ed è la matrice di uno dei

problemi didattici più discussi negli ultimi venti anni. Si è infatti contestata (a ragione,

crediamo) la pretesa, implicita nell'impostazione didattica di quegli anni, di costruire il

"pensiero matematico" nel bambino, percorrendo le tappe di una costruzione assiomatica

quale quella prodotta, all'inizio del secolo, dalla discussione sui fondamenti della

matematica. Si è osservato che da una tale impostazione, se intesa rigidamente, segue

fatalmente la mortificazione dell’interesse e quindi delle capacità del bambino. Inoltre

vengono messi in secondo piano tutta una serie di apprendimenti riguardanti il concetto di

numero e l'aritmetica.

Siamo d'accordo su queste critiche che peraltro toccano alcuni punti cruciali che

riguardano, al di là dell'insegnamento, i modi di considerare e "fare" la matematica.

Tuttavia, la teoria che prende le mosse dal concetto di insieme, oltre a svolgere un ruolo

"fondante", fornisce alla matematica un linguaggio non ambiguo che, al di là delle

implicazioni nel campo della logica, costituisce una sorta di "intesa teoretica" tra

matematici che ne sfruttano il comodo e preciso quadro concettuale nel quale tutti si

riconoscono. Il linguaggio degli insiemi e le strutture logiche da esso coinvolte sono

dunque gli elementi di una alfabetizzazione matematica la cui valenza è significativa

anche nell'insegnamento elementare; e infatti, a distanza di anni, i programmi del Primo

Ciclo, pur con mille cautele prodotte dall'esperienza svolta, ancora ritengono che il

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quadro concettuale della teoria degli insiemi sia un riferimento fecondo per l'educazione e

la formazione del bambino.

E' da queste premesse e con gli scopi che ne derivano, che nasce il percorso che

presentiamo, nel quale cerchiamo di dimostrare che è possibile esaltare la funzione

formativa di questa alfabetizzazione senza pretendere di insegnare, a livello della scuola

elementare, una teoria di fatto inaccessibile, la cui portata risiede altrove. I nostri scopi si

limitano a rendere i bambini in grado di accedere a Wonderland in modo che non si

trovino soli di fronte al problema di capire se una qualche affermazione è "importante"

oppure "NON-importante", che un NON-compleanno si festeggia in

trecentosessantaquattro giorni dell'anno e che "vedere ciò che si mangia" non è la stessa

cosa che "mangiare ciò che si vede". In modo, cioè, che non si arrendano come fa Alice

quando afferma che "tanto non fa nessuna differenza" ...

2. Gli insiemi: perché e come

Le attività che attengono ai concetti propri della teoria degli insiemi dovrebbero, a

lungo termine, fornire ai bambini il linguaggio, gli strumenti e gli schemi (consci o

inconsci) per sviluppare l'abitudine alla formalizzazione rigorosa e allo svolgimento di

osservazioni scientifiche.

I tempi e i modi con cui attuare questo obiettivo devono essere chiari per evitare

l'equivoco secondo cui tutto si riduce all'introduzione di un po' di nomenclatura e di

qualche definizione. L'esame delle guide didattiche è in proposito scoraggiante perché vi

si nota una confusione teorica a volte deviante.

In realtà, l'obiettivo che vogliamo raggiungere a lunga scadenza è quello di

familiarizzare i bambini al linguaggio degli insiemi e agli schemi logici implicati,

attraverso percorsi che portino ad interiorizzare le procedure, passando via via per livelli

di sempre maggiore astrazione. Con ciò vogliamo intendere che il nostro scopo non è

quello di "insegnare gli insiemi", ma di "insegnare con gli insiemi", riferendoci alla teoria

in quanto ambiente adeguato allo sviluppo delle capacità logico-matematiche, ma non in

quanto contenuto di apprendimento.

Per ciò che ci riguarda, in linea di massima non ci interessa tanto che nel corso del

primo ciclo i bambini imparino la terminologia, quanto invece che sperimentino le

"strutture logiche legate agli insiemi" e il loro ruolo nella logica delle proposizioni.

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Nell'esercizio di questa attività, la terminologia può avere un suo spazio, se non altro per

imparare ad usare un linguaggio rigoroso e a sperimentarne la potenza; comunque non va

introdotta fine a se stessa e potrebbe anche essere inventata, in parte o del tutto, dai

bambini; anzi è auspicabile che ciò avvenga, perché permetterebbe loro di entrare in

contatto con una delle caratteristiche fondamentali del pensiero matematico: definire in

"modo utile" e attenersi al contesto implicato dalle definizioni, ottenendo come

conseguenza che la definizione si identifica con (o addirittura è) l'oggetto studiato.

Il concetto di insieme dovrebbe essere uno dei primi da affrontare all'inizio della

prima classe, e il percorso relativo dovrebbe correre parallelamente alle altre attività legate

al concetto di numero. In realtà tutto il percorso che riguarda gli insiemi e la logica

dovrebbe essere svolto, lungo i cinque anni, parallelamente e in continuo contatto con le

altre attività relative alla matematica e alle altre materie scientifiche. E' ovvio comunque

che la scelta dei tempi va fatta nel contesto dell'attività complessiva restando, in ultima

analisi, prerogativa dell'insegnante che terrà anche conto delle abilità "prescolastiche" e

"prematematiche" della classe all'ingresso del ciclo.

Come si è detto, le attività in questione vanno svolte a vari livelli per guidare verso

l'astrazione. Non c'è dubbio infatti che insistendo (nemmeno molto) si può ottenere dai

bambini la corretta esecuzione di varie operazioni di esercizio, ma il punto è che con

questo non avremmo raggiunto il fine che tutta l'attività si pone. Ciò che invece vogliamo

è fornire l'esperienza (un immaginario costruito su una ampia frequentazione) di certe

strutture, perché ogni bambino abbia l'opportunità di elaborare i suoi modelli cognitivi

interiori sulla base di una proposta ampia e articolata.

Come strumenti avremo anzitutto giochi che coinvolgano il bambino stesso come

"elemento" o come "operatore", quindi attività di tipo manipolativo, poi rappresentazioni

realistiche diverse e varie (non solo le solite pizzette di Venn), infine rappresentazioni

simboliche. Sono molto importanti, per svolgere queste attività in modo costruttivo, la

scelta del materiale, gli strumenti e la chiarezza dei termini utilizzati dall'insegnante; in

particolare, il materiale concreto deve essere vario e non solo strutturato.

E' necessario che le attività seguano uno schema rigoroso (ma non rigido) che

rispetti alcune esigenze e non tralasci aspetti essenziali. I giochi corporei vanno privilegiati

all'inizio del ciclo ma possono accompagnare tutta l'attività, con opportuni aggiornamenti,

fino alla fine del secondo anno.

Nei paragrafi che seguono costruiremo l'interfaccia descrivendo alcune attività

campione, scelte come esempio, che non possono, anzi non devono, essere adottate come

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unico strumento. Le variazioni di contesto sono infatti essenziali affinché l'esperienza che

si propone ai bambini sia varia e articolata in modo da permettere il passaggio verso

l'astrazione.

3. Prime attività

Prima ancora di impegnare il bambino in attività strutturate è importante guidarlo

nell'acquisizione di abilità che gli permettano in seguito di compiere le operazioni che

verranno richieste. Naturalmente il bambino arriva in classe con una serie di abilità già

formate, legate ad un bagaglio di esperienze "forti" che però sono tutte personali e relative

alla propria storia individuale. Probabilmente si tratta di abilità ed esperienze frammentarie

e a senso unico con le quali si può interagire con un codice ad hoc: un primo obiettivo è

dunque quello di estendere l'esperienza individuale e di stabilire la comunicazione

attraverso regole esplicite e non ambigue. Dunque si utilizzeranno anzitutto giochi e

attività che prevedono il coinvolgimento del corpo e l'uso dei sensi, per procedere poi a

stimolare l'osservazione e abituare alla descrizione. Importante soprattutto sarà il

momento della verbalizzazione in cui i bambini vengono guidati ad utilizzare un

linguaggio sempre più appropriato. E' peraltro noto il fatto che alcuni fallimenti del

bambino sono spesso dovuti ad una cattiva comprensione del linguaggio con cui le

domande vengono poste. A questo proposito vale la pena osservare che un confronto e

una collaborazione interdisciplinare con gli insegnanti del settore linguistico

potrebbe produrre la messa a punto di percorsi comuni o comunque in interazione.

Ovviamente, ciò che si è detto non riguarda solo il settore logico matematico, ma è

importante sottolineare che lo sviluppo del pensiero "astratto", proprio della matematica,

si avvantaggia e si avvale di un'esperienza articolata e ampia, così come della capacità di

esprimersi in modo efficace e non ambiguo.

Le attività che riteniamo siano da svolgere in questa fase preliminare sono dedicate

dunque ad osservare oggetti, rilevandone colori, forme, dimensioni e funzioni;

così come ad esercitare le capacità di orientamento spaziale e temporale.

I giochi e le attività che presentiamo, come campione, sono molto diffusi e

popolari sia nella scuola elementare che nella scuola dell'infanzia: il discorso che

sviluppiamo è dunque rivolto anche a quest'ultimo livello scolastico in relazione al

problema della continuità.

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Discutiamo anzitutto alcuni giochi di tipo "corporeo" o che coinvolgono la

manipolazione di oggetti. Il materiale utilizzato in queste ultime attività è costituito da

una raccolta di oggetti portati dai bambini a loro scelta, integrata da quelli forniti

dall'insegnante che li avrà invece selezionati (blocchi logici, solidi geometrici etc ...) per

provocare qualche situazione specifica .

Gli oggetti raccolti saranno anzitutto messi a disposizione per l'esplorazione e il

gioco liberi; quindi potranno essere utilizzati per svolgere giochi di tipo collettivo di cui

riportiamo qui di seguito qualche esempio.

Strega comanda color

Il gioco si svolge in palestra dove vengono collocati molti oggetti; i

giocatori sono in ordine sparso. La strega grida "Strega comanda color ....

(ad esempio verde)" e i giocatori devono correre verso un oggetto del colore

indicato, toccarlo e gridare il colore per "essere salvi"; contemporaneamente la

strega deve cercare di catturare un giocatore che non ha ancora toccato il

colore e che una volta preso la sostituirà come strega. Naturalmente se la

strega non cattura nessuno si ripete l'operazione.

In questo gioco può ovviamente presentarsi la necessità di precisare alcune regole

quale quella secondo cui uno stesso oggetto non può essere toccato da più di un giocatore

o secondo cui gli indumenti indossati dai giocatori non sono validi come oggetti da

toccare. Tutto ciò va inteso positivamente e come vedremo ha un suo ruolo nel percorso

verso la costruzione delle abilità logiche. Una variante, che non è legata all'abilità di

riconoscere colori, può essere la seguente

Il re e il suo forziere I

Ogni bambino, a turno, interpreta il ruolo del re che, volendo riempire un

suo forziere, pronuncerà la frase "il re comanda ..." ordinando così ai bambini

di cercare nella classe un oggetto con una qualche particolare caratteristica.

Quando ciascun bambino ha trovato l'oggetto, lo porta al re e ne descrive le

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caratteristiche (ad es. se è stato chiesto un oggetto con le ruote, un bambino

può prendere una macchinina e dire così "Ho scelto una macchinina che ha

quattro ruote").

I giochi indicati sono piuttosto noti e diffusi nella scuola dell'infanzia alle cui

attività tipiche ci si può riferire per ispirarsi nella scelta. Probabilmente i bambini che

iniziano la prima classe sono in grado di "giocare" mettendo in mostra le loro abilità:

queste prime attività possono costituire quindi uno degli strumenti per il primo incontro

con la classe (cfr. [5]).

4. Identificazione di insiemi finiti

Le attività descritte nel paragrafo precedente sono, come si è detto, da considerarsi

preliminari perché mirano a far acquisire o a rafforzare abilità comuni che spesso non

sono dominate completamente dal bambino. I percorsi relativi al concetto di insieme si

svilupperanno a partire da queste abilità per portare il bambino a strutturare l'osservazione

e ad operare sui dati raccolti nell'osservazione stessa.

Prima di descrivere le attività possibili, ci sono anzitutto da chiarire alcuni punti

che, pur riguardando aspetti di tipo concettuale, hanno risvolti "pratici" di una qualche

importanza.

Il fatto è che quando si rappresenta un insieme, ci si compromette con una

simbolizzazione che è "altro" dall'insieme in quanto tale. Pur avendo a che fare con un

concetto primitivo, e quindi non definibile, sappiamo bene che (cfr [4]) se si

disegnano due bambini, magari circondandoli da una cordicella come si usa

tradizionalmente, si è implicitamente d'accordo che nel rappresentare gli elementi

dell'insieme ciò che vogliamo indicare è la collezione di tali elementi. Dunque non

bisogna confondere l'insieme con lo spazio occupato per rappresentarlo, nè con la

tradizionale cordicella, così come non bisogna confonderne gli elementi (i bambini,

appunto) con tutto l'apparato di dettagli che usiamo per rappresentarli (i nasi dei bambini

disegnati non sono elementi dell'insieme).

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L'osservazione precedente non si traduce in raccomandazioni precise, ma vuole

mettere in guardia contro possibili trappole; se una indicazione se ne può trarre è

quella di lavorare in un contesto ben definito che non induca le ambiguità suddette.

Dunque si lavorerà con insiemi finiti che si possono rappresentare

completamente e senza ambiguità, rinviando ad un momento successivo le attività con

"insiemi pensati" (cfr. paragrafo 15) che coinvolgeranno la necessità di rappresentare

gli elementi in modo simbolico. Inoltre, per le stesse ragioni e per evitare una eccessiva

dispersione, sarà opportuno utilizzare di volta in volta un numero ridotto di oggetti.

Il primo passo di ogni attività sarà quello di fissare, esplicitamente ed a priori,

l'universo da cui partire ed entro cui limitare la costruzione di insiemi, nominando

sempre con precisione gli elementi che lo formano e chiarendo che all'universo nulla va

aggiunto o tolto. L'importanza di questo passo preliminare è anzitutto concettuale, quando

si vogliano identificare insiemi tramite proprietà che li caratterizzino; infatti, per compiere

l'identificazione, occorre isolare tutti e soli gli elementi dell'universo che tale proprietà

possiedono. In altre parole è necessario poter stabilire che "ciò che resta fuori

dall'insieme" non possiede la proprietà suddetta, e ciò è possibile quando l'universo sia

fissato a priori.

D'altra parte fissare un universo a priori permette di contestualizzare l'attività e

favorisce la possibilità di esprimere definizioni chiare evitando le ambiguità da cui

abbiamo già messo in guardia; inoltre mette, fin dall'inizio, al riparo dai possibili

problemi che, per carenza di rigore, potrebbero verificarsi nel futuro sviluppo della

formalizzazione; infine permette di sperimentare la relatività delle conclusioni, che è un

altro degli aspetti tipici del pensiero matematico: le regole del gioco si possono fissare a

priori e liberamente, ottenendo a volte risultati curiosi e fuori dal senso comune.

In relazione a quest'ultima osservazione, vale la pena raccomandare che la scelta

dell'universo sia il più possibile libera, anche se nessun motivo impedisce di raccogliere

gli elementi dell'universo tramite un qualche criterio di scelta. L'importante è che questo

momento "costitutivo" rimanga distinto dall'attività successiva di identificazione di

insiemi (cfr. il paragrafo 5, dove si sottolinea la gerarchia universo-insieme-elemento).

Un altro punto da tenere presente è costituito dalla necessità di evitare la

staticità, variando molto il materiale da manipolare e soprattutto variando il modo di

rappresentare gli insiemi che si chiedono di formare. In particolare va sottolineato che

l'uso dei diagrammi di Venn, per quanto molto naturale, è ormai fonte di tali

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fraintendimenti che andrebbe, se non abbandonato, almeno affiancato dall'uso di altre

rappresentazioni.

Ed ora presentiamo alcune attività legate alla identificazione di insiemi; anzitutto un

gioco di tipo corporeo come il seguente:

Il verso degli animali

Il gioco si svolge in palestra; l'insegnante sceglie tre o quattro animali e

assegna il verso di ciascun animale ad altrettanti gruppi di bambini. Al "via",

tutti i bambini, in ordina sparso, utilizzando tutto lo spazio della palestra,

imiteranno l'andatura e il verso dell'animale che è stato loro assegnato.

Ad un segnale dell'insegnante, i bambini, continuando ad imitare il

verso, si raccoglieranno nei gruppi corrispondenti allo stesso animale.

Con una verifica finale ci si assicurerà che in ciascuno dei gruppi non

c'è nessuno che "fa il verso diverso da quello degli altri".

Notiamo che nel gioco (di cui si possono immaginare diverse varianti che invece

del "verso" prendano in considerazione altre caratteristiche degli animali coinvolti) si

sottintende che l'insieme universo è costituito da tutta la classe e i bambini stessi ne

sono gli elementi. Anche se in questo caso non sarà strettamente necessario rendere la

cosa esplicita, dato che l'attività è svolta in modo "indiretto", in altre occasioni può invece

risultare opportuno. Nel caso, infatti, in cui si vogliano eseguire "classificazioni"

all'interno della classe, sarà invece opportuno sottolineare che si opera all'interno del

gruppo dei bambini presenti. Un esempio particolare della situazione di cui parliamo si

presenta nel seguente gioco:

Classificazioni in classe

Dopo aver dichiarato esplicitamente che il gioco riguarda i bambini

presenti, l'insegnante propone un particolare criterio per selezionare un

gruppo di bambini. Si decide come separare l'insieme di bambini che così si

forma e si procede all'esame di ciascuno per eseguire la separazione.

L'operazione si ripete più volte con criteri diversi, anche in

contemporanea, "rischiando" di trovarsi con insiemi non disgiunti.

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Entrambi i giochi precedenti coinvolgono i bambini come elementi di un insieme e

corrispondono ad un "primo livello di astrazione"; la stessa cosa si può dire del gioco

seguente che però coinvolge anche la manipolazione di oggetti.

Il re e il suo forziere II

L'ambientazione del gioco è costituita da un'area delimitata, forse un

tappeto o un cerchio disegnato a terra, in cui sono raccolti oggetti, i più vari,

scelti in modo che (ma solo per comodità) possano corrispondere a

caratteristiche individuabili facilmente. Un bambino o l'insegnante interpreta il

ruolo del re ed è al centro del gioco.

Il re ha un forziere e ordina di raccogliere oggetti con una data

caratteristica, i bambini ad uno ad uno portano ciascuno un oggetto con la

caratteristica comandata e lo depongono nel forziere, fino a che tutti gli oggetti

soddisfacenti al requisito e presenti nell'area scelta per il gioco non sono stati

selezionati.

Alla fine del gioco il re apre il forziere e controlla che tutti gli oggetti

raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra quelli fuori del forziere non

ci sia nessun oggetto che la possegga.

Mentre il precedente Il re e il suo forziere I (che ricalca il classico Strega comanda

color) è finalizzato solo all'acquisizione di un'abilità specifica, il gioco appena descritto si

riferisce alla descrizione di insiemi attraverso un attributo sulla base del quale selezionare

gli oggetti. La delimitazione dell'area e degli oggetti in essa contenuti corrisponde alla

necessità di definire l'universo contestualizzando così l'attività (sarà bene evitare di

usare sempre lo stesso metodo per delimitare l'area del gioco); il forziere permette la

delimitazione fisica dell'insieme separandone gli elementi da quelli del suo

complementare.

Nel momento in cui il re formula la sua richiesta, bisognerà chiarire in che senso la

richiesta deve essere soddisfatta (ad esempio se il re chiede gli oggetti di un dato colore,

bisognerà chiarire se l'oggetto deve essere di un solo colore o avere una qualche parte del

colore comandato). La necessità di essere così pignoli può non presentarsi, ma è bene

aspettarsi di dover chiarire con i bambini il senso della richiesta.

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Il finale del gioco, che può vedere tutti i bambini come protagonisti, permette una

lettura dell'operazione compiuta, sottolineando il fatto che si è arrivati a raccogliere tutti

e soli gli oggetti dichiarati nel comando. E' questo un punto particolarmente importante

che, come già osservato, mette di nuovo in luce la necessità di considerare un universo

che sia oltretutto sotto il completo "controllo" dei bambini; infatti, come si è già detto,

quando si propone una proprietà come caratterizzante un insieme occorre controllare che

tale proprietà non sia posseduta dagli elementi che all'insieme non appartengono. Su

questo punto i manuali e le raccolte di schede contengono imprecisioni che generano

confusione.

Uno strumento molto utile per svolgere una serie molto varia di attività è costituito

dalla lavagna magnetica che può essere utilizzata come ambiente per situazioni molto

differenti. Una descrizione della base comune di queste attività è la seguente

Il mondo in bacheca

Si ha una lavagna metallica e un numero (non molto grande ma

significativo) di oggetti o figure magnetici; la lavagna è ricoperta da una

vernice che ne rende la superficie adatta a scriverci con pennarelli ad alcool.

Utilizzando il materiale disponibile, eventualmente portato dai bambini

(foglie, figurine, piccoli oggetti che possono essere magnetizzati) o da essi

stessi fabbricato (bamboline di carta, icone rappresentanti i bambini stessi, ...)

l’insegnante sceglie gli elementi che costituiscono l'universo e li dispone sulla

lavagna, chiarendo che quelli sono tutti e soli gli oggetti da considerare.

Inizia la discussione durante la quale si osservano gli elementi

dell'universo, si analizzano alcune caratteristiche specifiche, si cercano

somiglianze e differenze, accordandosi eventualmente sul modo di decidere

l'attribuzione di una data caratteristica. Si sceglie quindi una caratteristica fra

quelle evidenziate e si raccolgono tutti e soli gli oggetti che la possiedono

separandoli dal resto dell'universo.

Così come si è già indicato nella descrizione del gioco precedente, al

termine di ogni identificazione è bene "fare il punto" controllando che

l'insieme ottenuto sia costituito da tutti e soli gli elementi dell'universo che

possiedono la caratteristica scelta, sottolineando che nessun elemento che la

possiede è "rimasto fuori".

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Il materiale, per quanto semplice, è particolarmente utile perché permette di

lavorare con oggetti concreti, rinnovabili a piacimento, e non costringe l'attività entro

schemi rigidi, ma permette di variare le situazioni e i modi di rappresentazione. Infatti gli

elementi si possono spostare a seconda delle necessità e sulla lavagna stessa si può

scrivere e disegnare permettendo rappresentazioni diverse. Il "mondo in bacheca" che

viene definito all'inizio di ogni attività possiede le caratteristiche del "little world" di

Freudenthal (cfr. [4]).

Un esempio tipico delle attività che possono essere svolte è costituito dal seguente

Il mondo in bacheca: il villaggio I

Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo come il seguente

(costituito cioè da alcune figurine che rappresentano una bambina gialla, due

bambini blu, due case rosse, un cavallo nero, un cavallo marrone).

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Si forma, delimitandolo con una delle convenzioni stabilite, l'insieme

"degli esseri viventi" ottenendo per esempio la seguente situazione:

Sottolineiamo che la lavagna in sé circoscrive l'universo degli elementi in gioco in

modo naturale e non equivoco e che il modo per realizzare la separazione tra l'insieme e il

resto dell'universo, non dovrà essere rigido ma, se possibile, scelto dai bambini. Si è già

accennato alla necessità di non vincolarsi ad un solo modo di eseguire la separazione e

anche se il modo più ovvio sarà quello di disegnare un recinto intorno agli elementi

dell'insieme identificato, o di circondarli con una corda, vale la pena sforzarsi di adottare

altre soluzioni. Anche l'uso del termine "insieme" non andrà imposto ma suggerito a

conclusione di conversazioni sull'attività svolta, accettando che i bambini usino termini

quali "gruppo", "collezione", "raccolta", "famiglia", etc... che certamente interverranno

spontaneamente.

L'attività appena descritta si pone, dal punto di vista del livello di astrazione,

subito dopo i giochi che prevedono la manipolazione di oggetti e comunque fornisce il

punto di partenza per un ulteriore passo verso l'astrazione. Infatti le situazioni che si

producono possono essere riprodotte sui quaderni in modo schematico tanto che in

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seguito si potrà abbandonare la lavagna e utilizzare solo il disegno fino ad arrivare ad una

rappresentazione iconica (cfr. il paragrafo 15).

L'operazione di passare a rappresentare gli insiemi graficamente guida il

bambino verso l'affinamento delle abilità acquisite. Disegnare un oggetto, significa infatti

tracciarne la forma sul foglio, rendersi conto dei colori, di alcuni particolari, di eventuali

sfumature e così via. Nel rappresentare un insieme, il bambino dovrà scegliere il modo di

rappresentarne gli elementi cogliendo i particolari più significativi, tra cui necessariamente

quelli che rappresentano ciò che caratterizza l'insieme stesso; il risultato di questo

processo costituisce un passo importante verso l'astrazione.

Il passaggio dall'attività concreta alla rappresentazione grafica va eseguito senza

fretta, ma puntando alla costruzione dell'abilità di osservazione e all'arricchimento del

linguaggio. Un possibile percorso può prevedere varie tappe che, a partire dall'uso di

forbici e colla, attraverso timbretti e disegni realistici, conducono alla rappresentazione

simbolica che coinvolge un unico simbolo per indicare la caratteristica che identifica

l'insieme.

Un'ultima osservazione sulle situazioni che si possono creare nel corso delle

attività indicate sopra, riguarda il caso in cui confrontando insiemi diversi ci si imbatte in

una unione o intersezione di insiemi. Queste occasioni vanno affrontate senza

particolari problemi ed eventualmente commentate come ogni altra situazione senza

necessariamente anticipare la formalizzazione che verrà introdotta nel secondo ciclo: il

risultato sarà comunque di arricchimento dell'esperienza compiuta dai bambini.

5. Casi limite, eguaglianza di insiemi, teoremi

Nel corso dell'attività descritta è opportuno provocare situazioni in cui ci si trovi di

fronte ai casi limite corrispondenti ad insiemi costituiti da un solo elemento

(denominati usualmente singoletti) o, all'altro estremo, costituiti da tutti gli elementi

dell'universo o, infine, concidenti con l'insieme vuoto. I casi limite infatti sono in

genere particolarmente significativi per la comprensione di un concetto perché,

collocandosi spesso fuori dal senso comune, permettono di chiarire l'essenza del concetto

stesso.

Una breve precisazione è, a questo punto, necessaria per attenerci ad una

"gerarchia di ruoli" universo-insieme-elemento che, da una parte salvaguarda il

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rigore, dall'altra offre lo strumento per avviare il bambino al controllo delle sue operazioni

logiche. Quando usiamo il termine "universo", ci riferiamo all'oggetto che si ottiene nel

momento in cui si scelgono gli elementi. Tale oggetto è la "collezione di elementi" che si

intende data a priori e con la quale si opererà; anche se nel linguaggio comune lo si può

indicare con il termine "insieme", noi ci riserveremo tale termine per indicare le collezioni

di elementi "all'interno" dell'universo fissato. In questo schema gerarchico la collezione

di tutti gli elementi dell’universo è vista come insieme quando (scendendo un gradino

nella gerarchia) la si guarda come insieme particolare costituito da tutti gli elementi

dell'universo, così come un singolo elemento è visto come insieme (salendo invece nella

gerarchia) quando lo si guarda come particolare insieme costituito da un solo elemento.

Tutto ciò non deve creare problemi formali con i bambini, ma deve essere tenuto presente

perché riguarda i casi limite che vogliamo considerare.

Naturalmente, nel corso delle attività incentrate sulla identificazione di insiemi, si

osserverà che caratteristiche diverse possono condurre a individuare gli stessi

elementi (e quindi lo stesso insieme), portando a definire l'eguaglianza tra insiemi. Si

noterà che l'eguaglianza può verificarsi in un universo e non verificarsi in un altro

mettendo in luce la relatività delle situazioni che, come si è già detto, costituisce un

importante aspetto della matematica. Usando una osservazione di Freudenthal (cfr. [4]),

diremo che un "teorema" valido in un "little world" può non essere valido in altri. La

seguente proposta campione raccoglie ed esemplifica quanto detto:

Il mondo in bacheca: il villaggio II

Sulla lavagna magnetica si considera l'universo già utilizzato nel "il

villaggio I, e si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in

precedenza) gli insiemi seguenti:

1 - Insieme degli esseri viventi

2 - Insieme dei bambini (maschi e femmine)

3 - Insieme delle bambine

4 - Insieme degli elementi di colore verde

5 - Insieme degli elementi di colore rosso

6 - Insieme degli elementi che si possono trovare in un villaggio

7 - Insieme delle case

8 - Insieme degli animali neri

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9 - Insieme degli esseri viventi con due gambe

Naturalmente non è strettamente necessario rappresentare tali insiemi

contemporaneamente, comunque si osserva che:

gli insiemi 2 e 9 sono uguali; gli insiemi 5 e 7 sono uguali; l'insieme 4

è l'insieme vuoto; gli insiemi 3 e 8 sono singoletti; l'insieme 6 è tutto

l'universo.

Ciò che si è ottenuto si potrà esprimere dicendo che, nell'universo in

questione:

tutti gli esseri viventi con due gambe sono bambini; tutte le case sono

rosse; non ci sono oggetti verdi ...

A questo punto, dopo aver registrato sul quaderno ciò che si è ottenuto,

si cambia universo aggiungendo ad esempio una giraffa gialla e un airone

rosso .... cosa succede se si formano gli insiemi 1 - 9 ? ...

Infine è importante che nel costruire insiemi si propongano raccolte "eterogenee"

di elementi, insiemi cioè che non possiedono una "caratteristica" che permetta di

identificarli. E' un dato di fatto che, paradossalmente, ciò non è in genere accettato dai

bambini, ma proprio per questo è necessario far capire che si possono considerare insiemi

con gli elementi scelti "a capriccio". Per capire il perché ciò sia importante, basta pensare

che un insieme "eterogeneo" può essere visto come unione (nel senso formale definito

nell'ambito delle operazioni tra insiemi) di "singoletti" e quindi la sua caratteristica

consiste in "possedere almeno una delle caratteristiche" che definiscono i singoletti stessi;

cosicché anche un insieme eterogeneo ha una caratteristica pur se apparentemente

artificiale. Ribaltando il punto di vista più legato al senso comune possiamo dire che

l'insieme, con la sua esistenza, "produce" la caratteristica che lo identifica.

Tornando ai nostri scopi, proprio per indurre il bambino a ribaltare il senso

comune, gli si può proporre di scegliere un insieme a suo piacimento e di "battezzarlo",

dandogli un nome, ancora a suo piacimento. Per evitare che il bambino adotti comunque

un qualche criterio di scelta, si potrebbero formare insiemi attraverso estrazioni casuali,

segnando le uscite su una lista che potrebbe costituire il riferimento per identificare

l'insieme.

17

6. L'esercizio inverso

Ci occupiamo ora delle attività che possono essere considerate l'esercizio inverso

del precedente. In questo caso infatti, a partire da un insieme assegnato, i bambini devono

scoprire una caratteristica che lo individua.

Questa operazione richiede un impegno maggiore rispetto alle attività presentate

nel paragrafo precedente ed è bene procedere per gradi. Il bambino infatti deve fare

attenzione a che la proprietà o l'attributo da scoprire sia posseduto da tutti gli elementi

dell'insieme e da nessuno di quelli che non vi appartengono e, in genere, anche se

nell'esercizio diretto si sarà abituato a gestire questo aspetto, in questo caso troverà la

situazione difficile da controllare.

All'inizio, dunque, sarà l'insegnante ad assegnare l'insieme utilizzando pochi

elementi con un unico attributo comune ben evidente (ad esempio colore o forma),

successivamente si potranno introdurre criteri nuovi e sempre meno evidenti, infine

saranno i bambini stessi che sfideranno i compagni formando gli insiemi.

In tutto ciò è sempre importante il momento della verbalizzazione che contribuisce

a formare un atteggiamento critico e problematico abituando al rispetto delle regole e delle

opinioni dei compagni.

Valgono anche qui le osservazioni già fatte in precedenza: non lavorare troppo a

lungo nello stesso contesto e con lo stesso universo, non usare soltanto materiale

strutturato come i blocchi logici, ma inserirlo eventualmente in un universo formato con

oggetti di altro genere.

Notiamo infine che si potranno verificare situazioni in cui la soluzione

dell'esercizio non è unica perché si potranno scoprire più caratteristiche che individuano

lo stesso insieme o, all'estremo opposto, non sarà possibile individuare alcuna

caratteristica se non quella di appartenere alla lista dei componenti l'insieme assegnato.

Deve essere chiaro ai bambini che ciò non è "vietato" nel senso che quegli insiemi sono

insiemi come tutti gli altri anche se non descrivibili con una singola proprietà esprimibile

in modo semplice.

Come esempio consideriamo di nuovo una attività alla lavagna magnetica

Il mondo in bacheca: la strada I

Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo costituito dalle

18

seguenti figurine: una donnina gialla, due omini blu, due case rosse, una casa

blu, una macchina verde, una bicicletta verde, un camion verde.

Si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in

precedenza) gli insiemi costituiti da:

1 - i due omini blu,

2 - le tre case,

3 - la macchina verde, la bicicletta verde, il camion verde;

si ottiene quindi una rappresentazione come la seguente:

Si lasceranno i bambini proporre soluzioni al problema di descrivere tali

insiemi tramite una caratteristica che li individui.

Notiamo che per l'insieme 1 la caratteristica non può essere il colore blu

perché esiste un elemento (la casa blu) che è di tale colore ma non appartiene

ad 1 ; invece, l'insieme 3 può essere individuato sia tramite il colore (verde)

che con la proprietà di raccogliere i mezzi di trasporto (e una delle due

caratteristiche basta).

19

7. Appartenenza

Le attività indicate nei paragrafi precedenti forniranno senza dubbio l'occasione di

pronunciare frasi come "il tale elemento appartiene (o non appartiene) all'insieme ....".

Tali occasioni vanno certamente sfruttate per abituare il bambino ad utilizzare una

terminologia che è allo stesso tempo formale e naturale, quindi rigorosa e facilmente

accettabile. Si è già detto che non occorre insistere sul formalismo e sui tecnicismi, ma nel

caso in questione si ha a che fare con una precisione di linguaggio che risulta naturale e

che quindi è opportuno utilizzare.

L'esercizio di individuare "l'elemento estraneo all'insieme", creando una

situazione in cui è necessario decidere dell'appartenenza di un elemento ad un dato

insieme, fornisce le occasioni suddette e contribuisce a rafforzare la costruzione del

concetto di insieme nel bambino. Vediamo come condurre l'attività con la lavagna

magnetica, anche se lo stesso tipo di percorso si può adottare in altri contesti.

L'insegnante costruisce un insieme di oggetti sulla base di una proprietà

dichiarata esplicitamente e vi inserisce un elemento (o più elementi) che invece non

possiede tale proprietà. Si elencano oralmente gli elementi dell'insieme controllando la

loro appartenenza all'insieme stesso sulla base della proprietà dichiarata e si corregge

l'errore togliendo l'elemento estraneo.

Viceversa si presenterà un insieme che non contiene tutti gli elementi che dovrebbe

(alcuni elementi che soddisfano la proprietà dichiarata sono invece inclusi nel

complementare) e si correggerà la situazione a seguito di una operazione di controllo

analoga a quella di prima. I seguenti esempi si riferiscono alle situazioni campione già

considerate:

Il mondo in bacheca: la strada II

Si considera l'universo già costruito ne ""la strada I". Come primo

esercizio si forma l'insieme costituito dalle tre case (due rosse e una blu)

dichiarando di aver rappresentato l'insieme "degli elementi di colore rosso".

Si ottiene la situazione seguente che sarà discussa e corretta eliminando la

casa blu.

20

Si forma poi l'insieme costituito dai due omini blu dichiarando di aver

rappresentato l’insieme "degli esseri viventi". Si ottiene la situazione

seguente che sarà discussa e corretta inserendo la bambina gialla:

E' opportuno a questo punto sottolineare l'importanza di procedere rigorosamente

dichiarando esplicitamente "a priori" la proprietà con cui vogliamo che l'insieme sia

individuato; altrimenti, infatti, l'esercizio perde significato ed anzi introduce elementi di

ambiguità che sono concettualmente scorretti. Di fatto, ci si imbatte spesso in schede nelle

quali viene presentata una raccolta di oggetti corredata della consegna di "trovare

21

l'elemento estraneo" senza alcuna indicazione di ciò a cui il misterioso elemento dovrebbe

essere estraneo e, ancor meno, dell'universo all'interno del quale operare: ci sembra

quindi necessario mettere in guardia da tali esercizi che sembrano naturali ed ovvi ma, in

realtà, producono confusione ed errore.

8. Sottoinsiemi, partizioni

Nel paragrafo precedente abbiamo parlato di occasioni in cui discutere

dell'appartenenza di un elemento ad un insieme e di come creare intenzionalmente tali

occasioni. Ci occupiamo adesso delle situazioni che inducono a parlare di sottoinsieme.

Sottolineiamo ancora che il problema riguarda essenzialmente la terminologia, ma che le

situazioni in cui tale terminologia viene utilizzata presentano un loro specifico contenuto di

valenza logico-formale e, in quanto tali, sono situazioni che è opportuno fare affrontare

dal bambino.

Prima di passare ad esporre una esemplificazione delle attività da svolgere,

ricordiamo ancora che nello schema gerarchico entro il quale ci muoviamo (cfr. paragrafo

5), l'universo è visto come insieme quando lo si guarda come insieme particolare di

elementi dell'universo stesso e, di conseguenza, un determinato insieme è considerato

"sottoinsieme dell'universo" solo in questa interpretazione. Dunque, all'inizio

dell'attività, l'introduzione del termine "sottoinsieme" va effettuata evitando la situazione

particolare suddetta e quindi presentando sottoinsiemi di un insieme che non sia

l'universo stesso. Questa osservazione si rende necessaria perché la prassi corrente si

limita solo al caso speciale e, da una parte vanifica i nostri sforzi per avvalorare l'uso

dell'universo, dall'altra impoverisce le occasioni offerte al bambino.

Detto questo possiamo analizzare alcune attività, riferendoci ai giochi già presentati

in precedenza; un esempio possibile è il seguente:

Il mondo in bacheca: i mezzi di trasporto I

Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo con le seguenti

figurine di mezzi di trasporto: un'automobile rossa, un'automobile verde,

22

un'automobile gialla, una bicicletta verde, un aeroplano giallo col carrello

esterno (due ruote), un camion rosso (quattro ruote), un camion bianco

(quattro ruote).

Si formano (delimitandoli con una delle convenzioni usate in

precedenza) gli insiemi seguenti:

1 - Insieme dei mezzi a quattro ruote

2 - Insieme delle automobili

3 - Insieme dei mezzi di colore rosso

4 - Insieme dei mezzi di colore verde

Naturalmente non è strettamente necessario rappresentare tali insiemi

contemporaneamente, comunque si osserva che:

l'insieme 2 è un sottoinsieme di 1 perché tutti i suoi elementi

appartengono ad 1; che 3 lo è di 1; che 4 non è sottoinsieme di nessuno dei

precedenti.

A questo punto, dopo aver registrato sul quaderno ciò che si è ottenuto,

si cambia universo togliendo:

la bicicletta verde, il camion bianco

e aggiungendo:

un camion verde, un aeroplano rosso.

Si formano di nuovo gli insiemi definiti come sopra e si discutono le

differenze......

L'attività di cui sopra è solo indicativa e molteplici altre situazioni si possono

produrre in modo analogo. Osserviamo che in molte di queste situazioni (forse nella

maggior parte dei casi) il sottoinsieme si può ottenere in modo evidente per "aggiunta di

attributi"; come nell'esempio considerato dove l'insieme 2 si ottiene aggiungendo alla

proprietà di avere quattro ruote quella di essere automobili. Così, in quel caso, si può

arrivare all'insieme 2 scegliendo tra gli elementi dell'insieme 1 quelli che possiedono

un'ulteriore proprietà. In altri casi però questa possibilità sarà meno evidente o meno

naturale e comunque sarà opportuno procedere in modo da scoprire a posteriori che due

insiemi, formati indipendentemente, sono l'uno il sottoinsieme dell'altro.

23

Concludiamo il paragrafo ricordando che tra le situazioni che l'insegnante dovrà

provocare svolgendo le attività sui sottoinsiemi non vanno trascurate quelle che portano

ad una partizione dell'universo, cioè alla decomposizione dell'universo in insiemi

disgiunti. Tornando all'esempio considerato de "I mezzi di trasporto I" proponiamo la

partizione seguente:

1 - Insieme dei mezzi a quattro ruote

2 - Insieme dei mezzi a due ruote

oppure la seguente:

1 - Insieme dei mezzi rossi

2 - Insieme dei mezzi verdi

3 - Insieme dei mezzi gialli

4 - Insieme dei mezzi bianchi

9. Complementare

L'importanza di mettere in evidenza il complementare di un insieme risiede, di

nuovo, non tanto nel fatto di introdurre una terminologia, ma nel sottolineare

un'operazione mentale: selezionare gli elementi che non appartengono ad un insieme. Nel

caso in cui l'insieme è definito tramite una proprietà caratteristica, identificare il

complementare vuol dire selezionare tutti e soli gli elementi dell'universo che non

possiedono tale proprietà. Le tipiche situazioni che si producono sono illustrate

nell'esempio seguente che mette il luce qualche aspetto su cui basare l'attività didattica.

Il mondo in bacheca: gli animali

Sulla lavagna magnetica si costruisce un universo con le seguenti

figurine di animali: un cane nero, un cane bianco, un cane pezzato bianco e

nero, un cane pezzato bianco e marrone, un cane pezzato bianco nero e

marrone, un cavallo marrone, una zebra, un leone, una mucca pezzata, un

leopardo.

Si forma (delimitandolo con una delle convenzioni usate in precedenza)

24

l'insieme dei cani . Si chiede ai bambini di formare l'insieme degli animali che

non sono cani e si osserva che in tal modo si raccolgono tutti gli animali non

considerati prima.

Si procede considerando l'insieme dei cani pezzati e si ripete

l'operazione precedente osservando che il complementare contiene animali

pezzati che però non sono cani e cani che però non sono pezzati.

L'attività descritta è comunque da collegarsi strettamente e da svolgersi in

contemporanea alle attività sulla negazione di cui parliamo più avanti in quanto relative

al calcolo degli enunciati.

10. Le regole e gli enunciati

Uno degli aspetti che rendono la teoria degli insiemi valida dal punto di vista

didattico formativo è il suo stretto legame col calcolo delle proposizioni. Questo

legame, che non ci interessa introdurre in modo formale nell'insegnamento, fornisce in

realtà un secondo approccio che viene a toccare alcuni dei punti già presi in

considerazione nei paragrafi precedenti. Infatti, lo schema che deriva dal calcolo delle

proposizioni, attraverso il meccanismo del valore di verità è, di nuovo, una strada che

porta all'uso consapevole e coerente del linguaggio e delle sue strutture, favorendo quindi

la formazione delle abilità logiche.

Dal punto di vista della collocazione temporale, le attività si svolgeranno in

parallelo a quelle già descritte, ma partiranno con un leggero ritardo perché richiedono un

minimo di maturità e saranno utili se innestate su una qualche preliminare esperienza dei

concetti relativi agli insiemi. In ogni caso è bene che i due tipi di attività si alimentino a

vicenda riprendendo le stesse situazioni nei due diversi approcci.

Un primo approccio informale potrà essere condotto attraverso una variante dei

giochi già svolti in modo da coinvolgere il valore di verità degli enunciati. Come

esempio campione possiamo riprendere, infatti, il gioco de "Il re e il suo forziere" già

considerato nell'ambito delle prime attività relative alla identificazione di insiemi. Il nuovo

gioco potrà essere condotto come segue:

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Il re il suo forziere III

Il gioco prevede di nuovo un'area delimitata in cui sono raccolti vari

oggetti (vedi "Il re e il suo forziere II") e un bambino (o l'insegnante) che

interpretando il ruolo del re, con il suo forziere, ordina di raccogliere oggetti

con una data caratteristica.

Questa volta i bambini, ad uno ad uno, portano ciascuno un oggetto

qualunque tra quelli presenti nell'area del gioco e di fronte al re dichiarano

che l'oggetto portato possiede la caratteristica richiesta. Ad esempio,

supponendo che il re abbia chiesto oggetti di colore rosso, dichiarano:

"questo pennarello è rosso"oppure

"questo bottone è rosso"

indipendentemente dal fatto che l'oggetto sia effettivamente rosso o meno.

Il re risponde a ciascuno:

"Vero!" e apre il forziere per accogliere l'oggetto

oppure

"Falso!" e mette da parte l'oggetto

a seconda che l'affermazione del bambino sia vera oppure falsa.

Il gioco va avanti fino a che a che tutti gli oggetti, presenti nell'area

scelta per il gioco, non sono stati considerati. Alla fine il re apre il forziere e

controlla che tutti gli oggetti raccolti abbiano la caratteristica richiesta e che tra

quelli fuori del forziere non ci sia nessun oggetto che la possiede. A questo

punto si può osservare che nel forziere si è raccolto "l'insieme degli oggetti

che ..."

Un altro gioco, molto simile al precedente, che coinvolge i bambini stessi come

elementi di un insieme può essere il seguente

Il giudice e la legge

Un bambino (o l'insegnante) svolge il ruolo del giudice e fissa una

legge che riguarda una qualche caratteristica che i bambini dovrebbero

26

possedere (la si potrebbe scrivere su un cartello accanto a due frecce con la

dicitura "vero" e "falso" rispettivamente). I bambini sfilano davanti al

giudice dichiarando di possedere la caratteristica richiesta e il giudice

giudicando vera o falsa la loro dichiarazione li obbliga a seguire la freccia.

Anche in questo caso, alla fine dell'operazione sarà opportuno discutere il

risultato.

I giochi descritti si prestano ad una rappresentazione sulla lavagna magnetica o a

una registrazione grafica che può essere raccomandata come passo intermedio per poi

passare, sulla base dell'esperienza precedente, ad una maggiore formalizzazione della

procedura seguita per identificare gli insiemi, collegandola al calcolo degli enunciati.

Il punto di partenza sarà l'osservazione del fatto che, una volta fissato un

universo, per definire (identificare) un insieme si può fissare una "regola", come ad

esempio:

{ ... è di colore rosso}

oppure:

{ ... è un rettangolo}

e "applicarla" cercando tutti gli elementi dell'universo che la verificano. Quest'ultima

operazione corrisponde a formare tutti gli enunciati relativi alla regola stessa, ponendo

uno alla volta gli elementi dell'universo al posto dei puntini per valutare ciascun enunciato

come vero o falso e di conseguenza assegnare o meno all'insieme l'elemento in questione.

Tutta l'operazione consiste dunque nel seguire un protocollo preciso che

schematizza quanto già fatto nell'identificare insiemi sulla base di una caratteristica. Per

confrontare la nuova procedura con le attività precedenti, prendiamo in considerazione un

esempio simile a quello già svolto ne "I mezzi di trasporto I":

Il mondo in bacheca: I mezzi di trasporto II

Sulla lavagna magnetica si costituisce un universo composto dalle

seguenti figurine rappresentanti mezzi di trasporto :

27

Per identificare l'insieme dei mezzi con due ruote si considera la regola

ha quattro ruote

e si formano gli enunciati

ha quattro ruote

ha quattro ruote

ha quattro ruote

ha quattro ruote

I primi tre risultano veri e i corrispondenti elementi vengono inclusi

nell'insieme, l'ultimo risulta falso e il corrispondente elemento viene scartato.

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Utilizzando la lavagna magnetica, o anche ricorrendo a rappresentazioni grafiche,

si potrà usare la "macchina che forma gli insiemi" illustrata nella seguente figura:

VERO FALSO

ha quattro ruote

REGOLA

L'uso di una tale "macchina" è ovvio e i dettagli sono lasciati all'insegnante. Se ne

può considerare una versione meccanica che permetta la manipolazione; ci preme solo

sottolineare come anche in questo caso occorrerà assegnare un universo sugli elementi del

quale applicare la "regola", osservando che, per come è formulato il meccanismo, a

conclusione del gioco l'insieme cercato sarà costituito da tutti e soli gli elementi del

sacchetto che serve a delimitarlo.

Naturalmente, nel definire una regola, occorre fare attenzione a che sia

applicabile, nel senso che sia significativa per tutti gli elementi dell'universo assegnato;

in altre parole deve essere possibile valutare ciascun enunciato relativo alla regola stessa

29

come vero o falso. In connessione con questo fatto, osserviamo che si possono

produrre regole che formalizzano giudizi che nel linguaggio comune non sono univoci; in

questo caso occorrerà definire la procedura operativa da seguire per applicare la regola.

Infatti, per esempio, se si vuole usare la regola

{... è simpatico}

che coinvolge un giudizio soggettivo, oppure la regola

{... è grande}

che necessita di un termine di paragone, occorrerà stabilire "a priori" come procedere per

decidere se un elemento qualsiasi dell'universo è "simpatico", o rispettivamente "grande".

Si possono ad esempio fissare alcuni canoni di "simpatia" o di "grandezza", o

semplicemente decidere che un oggetto è "simpatico" o "grande" se risulta votato dalla

maggioranza dei bambini della classe (o all'unanimità ...). Ancora una volta si sottolinea

la relatività dei risultati che si possono ottenere, in questo caso la situazione dipende dal

meccanismo che viene (liberamente) scelto per valutare la regola.

Osserviamo anche che lo schema intrinseco sotteso dalla macchina che forma gli

insiemi si rappresenta in modo naturale con il diagramma seguente:

... ha quattro ruote

REGOLA

VERO FALSO

30

e che sarà opportuno avviare i bambini a tale rappresentazione grafica, anche in vista degli

sviluppi successivi relativi alle operazioni tra insiemi.

Nel contesto suindicato si offre l'occasione di introdurre e utilizzare per la prima

volta (e in modo leggermente formale) una tabella di valutazione del valore di verità

degli enunciati relativi ad una regola fissata e all'interno dell'universo scelto. Riferendoci

al precedente esempio de "I mezzi di trasporto II", una possibile forma della tabella è la

seguente:

REGOLA

.... ha quattro ruote

--------------------------------- V

---------------------------------- F

---------------------------------- V

---------------------------------- V

L'interesse di tali rappresentazioni risiede anche nella possibilità di confrontare le

diverse situazioni prodotte dal calcolo delle proposizioni (operazioni insiemistiche) che nel

secondo ciclo verranno sviluppate sistematicamente, ma che già intervengono quando si

introducono il complementare o la negazione.

31

11. Negazione

Come si è già detto nel paragrafo 9, le attività relative alla negazione di una regola

vanno svolte in stretto rapporto con quelle relative al complementare. In ciascun esempio

in cui si sarà evidenziato il complementare di un insieme (attraverso la rappresentazione

scelta) si farà anzitutto notare che, analizzando la tabella di verità relativa alla regola che

forma l'insieme, si vede che l'insieme è formato da tutti e soli gli elementi per i quali in

corrispondente enunciato è "VERO" mentre tutti e soli gli elementi del complementare

rendono il corrispondente enunciato "FALSO". A questo punto si considera la regola

nuova che si ottiene negando la precedente e si nota che la situazione si inverte; si vede

cioè che la nuova regola identifica il complementare dell'insieme precedente e che nella

tabella di verità ogni enunciato "VERO" diviene "FALSO" e viceversa.

Nel caso dell'esempio del paragrafo precedente si ha infatti:

REGOLA

.... NON ha quattro ruote

------------------------------------------- F

------------------------------------------- V

------------------------------------------- F

------------------------------------------- F

32

12. Il prodotto cartesiano

Un primo punto cruciale da affrontare nel lavorare sul prodotto cartesiano di due

insiemi è la necessità di costruire l'insieme di tutte le possibili coppie ordinate. E'

infatti esperienza comune che i bambini trovino l'operazione innaturale, sia per la poca

congruità di qualche accoppiamento, sia per la necessità di dover considerare più volte lo

stesso elemento. Per questo motivo le attività suddette si collocano naturalmente nel corso

della seconda classe ed è bene che i primi esempi vadano scelti in modo da non provocare

perplessità. Va tenuto però presente che si deve comunque puntare verso il superamento

di questa difficoltà portando i bambini a considerare naturale l'operazione.

Il punto più importante da tenere presente è che per compiere l'operazione occorre

partire da due universi distinti (o copie distinte di uno stesso universo) e che ciò che si

ottiene è un universo tutto nuovo; dunque, gli elementi del prodotto si devono costruire ex

novo e prima non esistevano.

Le attività relative al prodotto cartesiano si caratterizzeranno ben presto come

attività di tipo grafico simbolico, comunque, avendo a disposizione materiale concreto

(occorre avere più copie di uno stesso oggetto), si possono organizzare attività di tipo

manipolativo. L'esempio seguente utilizza carta e colori:

Macchine e colori

Si prendono in considerazione due sagome di automobili come le

seguenti:

e tre colori (rosso giallo e blu), evidenziandoli come due diversi universi.

Quindi si colora ciascuna sagoma con i tre colori e si producono i sei elementi

del prodotto cartesiano che verrà evidenziato come nuovo universo delle

macchine colorate nel senso della coppia (macchina,colore).

Si controllerà alla fine che si siano formate tutte le coppie possibili, e si

noterà la diversità nei confronti degli universi componenti, perché gli elementi

che si ottengono sono "più ricchi di qualità o attributi".

33

Mentre all'inizio non sarà necessario disporre gli elementi ottenuti in un

ordine particolare, in seguito si potrà arrivare a collocarli schierandoli ad

esempio su due file, nel modo seguente

mettendo in luce la struttura "a reticolo", tipica del modo di rappresentare il

prodotto cartesiano, e utile per suggerire un modo sistematico di formazione

delle coppie.

E' opportuno raccogliere alcune osservazioni relative all'esempio appena

considerato indicando anche alcune varianti.

Anzitutto va notato che non è necessario che i due universi abbiano lo stesso

numero di elementi; anzi sarà meglio che ciò non si verifichi, per non suggerire qualcosa

di non necessario. Poi osserviamo che nel raccogliere gli elementi del prodotto cartesiano,

non è necessario disporli in un particolare ordine, anzi va tenuto presente che la comoda

rappresentazione, come ad esempio quella "reticolare" indicata nell'esempio, non

caratterizza alcuna proprietà del nuovo universo, in quanto insieme delle coppie ordinate,

anche se ne esplicita in modo comodo la struttura. Dunque, almeno all'inizio sarà bene

non introdurre la rappresentazione suddetta anche se potrebbe intervenire in modo

spontaneo nel momento in cui si cerchi di individuare una procedura di tipo

"combinatorio" per formare tutte le coppie possibili.

Prima ancora di passare a rappresentare il prodotto cartesiano con un "reticolo" ci

si potrà soffermare ad esplicitare la natura dei suoi elementi come coppie ordinate di

elementi dei due insiemi di partenza; ciò costituisce una comoda notazione per tenere

distinti i due elementi della coppia, notazione che diviene necessaria quando si voglia

34

conservare in evidenza il carattere del nuovo insieme come prodotto cartesiano. Oltre tutto

va tenuto presente che il carattere ordinato della coppia, elemento del prodotto cartesiano,

è assolutamente importante tanto che si raccomanda di metterlo in evidenza nell’esempio

appena consiedato, dove “la macchina viene prima del colore”. Dunque sarà bene

osservare che in realtà la macchina rossa è una coppia come la seguente:

( , rosso)Contemporaneamente si potranno considerare insiemi all'interno del nuovo

universo; ovviamente, tra gli insiemi possibili si faranno notare le sezioni, che

corrispondono agli insiemi che raccolgono tutti gli elementi che hanno il primo (o il

secondo) elemento fissato; però si farà in modo da considerare anche insiemi differenti.

Per far ciò in modo interessante occorre avere un numero cospicuo di elementi.

Tutte le attività appena descritte forniscono l'occasione per arrivare ad utilizzare il

"reticolo" come schema privilegiato di rappresentazione; e senza dubbio si tratta di un

obiettivo importante, ma raggiungerlo come punto di arrivo permette di sottolinearne la

comodità e di non confonderlo col prodotto cartesiano in sé.

Il seguente esempio riassume le osservazioni appena compiute:

Macchine e bambini I

Consideriamo i due universi:

U1 = { Marco, Paolo, Sara, Lino }

U2 = { FIAT, VOLVO, ALFA }

e rappresentiamoli nel modo usuale; se usiamo la lavagna magnetica,

dividiamo ad esempio la lavagna in due, ottenendo:

Marco Paolo

Sara Lino

FIAT

VOLVO

ALFA

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Si nota che per formare il nuovo universo occorre avere più copie degli

elementi dei due componenti. Si ottiene

(Marco,FIAT)(Marco,VOLVO)

(Marco,ALFA)

(Lino,ALFA)

(Lino,VOLVO)

(Lino,FIAT)

(Paolo,VOLVO)

(Paolo,ALFA)

(Paolo,FIAT)

(Sara,VOLVO)

(Sara,ALFA)(Sara,FIAT)

che può essere comodamente rappresentato nel "reticolo"

(Marco,FIAT) (Marco,VOLVO) (Marco,ALFA)

(Sara,ALFA)(Sara,VOLVO)(Sara,FIAT)

(Paolo,VOLVO) (Paolo,ALFA)(Paolo,FIAT)

(Lino,VOLVO) (Lino,ALFA)(Lino,FIAT)

A questo punto si possono considerare gli insiemi:

1 - Insieme dei bambini in coppia con una macchina posseduta dal papà

2 - Insieme dei bambini in coppia con la loro macchina preferita

e così via ...

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mentre il seguente illustra il caso in cui gli insiemi con cui si formula il prodotto sono

uguali.

Bambini e bambini

Consideriamo l'universo:

U = { Marco, Paolo, Sara }

e il prodotto UxU che rappresentato in un reticolo si presenta come

(Marco,Marco) (Marco,Paolo) (Marco,Sara)

(Sara,Sara)(Sara,Paolo)(Sara,Marco)

(Paolo,Paolo) (Paolo,Sara)(Paolo,Marco)

Possiamo considerare gli insiemi:

1 - Insieme dei bambini in coppia con un bambino della stessa età

2 - Insieme delle bambine in coppia con una bambina

3 - Insieme dei bambini in coppia con un bambino che abita nello stesso

palazzo

e così via ...

Ovviamente, nei due esempi considerati, occorre che i nomi dei bambini corrispondano (e

quindi indichino in modo simbolico) a bambini reali sui quali si abbiano informazioni utili

alle attività che si vogliono sviluppare.

37

C'è da osservare che, in corrispondenza alle attività di identificazione di insiemi

all'interno del prodotto cartesiano, si presenta il problema di come rappresentare l'insieme

identificato. Se infatti si vuole usare la rappresentazione dell'universo attraverso il

"reticolo", può essere complicato "recintare" gli elementi dell'insieme in questione. In tal

caso sarà bene adottare altre soluzioni come ad esempio la seguente

(Marco,FIAT) (Marco,VOLVO) (Marco,ALFA)

(Sara,ALFA)(Sara,VOLVO)(Sara,FIAT)

(Paolo,VOLVO) (Paolo,ALFA)(Paolo,FIAT)

(Lino,VOLVO) (Lino,ALFA)(Lino,FIAT)

X

X X

X

in cui il possibile insieme 1 dell'esempio "macchine e bambini I" è rappresentato

"marcando" gli elementi che vi appartengono; oppure la seguente:

(Marco,FIAT)(Marco,VOLVO)(Marco,ALFA)

(Lino,ALFA)

(Lino,VOLVO)

(Lino,FIAT)

(Paolo,VOLVO)

(Paolo,ALFA)

(Paolo,FIAT)

(Sara,VOLVO)

(Sara,ALFA)

(Sara,FIAT)

nella quale lo stesso insieme si rappresenta rinunciando al "reticolo".

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Notiamo infine che, come si è già accennato, il calcolo degli enunciati che si

produce in relazione al prodotto cartesiano coinvolge regole a due variabili; la

discussione su questo punto verrà però ripresa nel paragrafo 14, dopo esserci occupati

delle relazioni, visto che quest'ultima nozione è intimamente legata ad entrambi i

concetti.

13. Relazioni

L'introduzione del concetto di relazione si potrebbe collocare rigorosamente

nello schema fornito dal prodotto cartesiano di due insiemi; nel presentare il concetto ai

bambini è però opportuno arrivare a questa formulazione solo al termine del percorso,

ottenendo come scoperta ciò che potrebbe essere un punto di partenza.

Il modo più naturale e intuitivo di introdurre e rappresentare una relazione tra due

insiemi è quello che fa uso delle "freccette". Questo modo permette di evidenziare

(tramite il verso della freccia) il dominio e il codominio della relazione stessa, mentre

nella rappresentazione tramite il prodotto cartesiano la distinzione tra i due insiemi è

affidata all'ordine in cui le coppie di elementi vengono rappresentate, cosa che ai

bambini risulta difficile e meno intuitiva .

L'esempio che segue riprende il precedente Macchine e bambini I già

utilizzato per le attività sul prodotto cartesiano; tale esempio può, ovviamente, essere

modificato a piacere ma, in vista dei collegamenti che vogliamo stabilire, è bene

ripresentare lo stesso esempio con un diverso approccio.

Macchine e bambini II

Prendiamo ancora in considerazione i due universi U 1 e U 2 già

considerati in "Macchine e bambini I", rappresentandoli nello stesso modo

(ad esempio sulla lavagna magnetica); quindi fissiamo la relazione da

rappresentare. Questa avrà la forma di una regola a due variabili del tipo

IL PAPA' DI .... HA UN'AUTOMOBILE ....

che però rappresenteremo usando le frecce (la freccia dice: " il papà di ...

39

ha un'automobile ..."). Si ottiene qualcosa del tipo:

Marco

Paolo

Lino

FIAT

VOLVO

ALFA Sara

Notiamo che (qui c'è sempre da ribadire che il risultato che si ottiene è relativo

al contesto in cui ci si muove):

1- Marco non è in relazione con nessuna marca di automobile e la FIAT nonè in relazione con nessun bambino

2- Sara è in relazione con duemarche di automobili

3- La stessa marca di automobile VOLVO è in relazione con i due bambiniPaolo e Sara. La stessa cosa si verifica con la marca ALFA che è inrelazione con i due bambini Sara e Lino

4- Basta invertire la freccia per ottenere la relazione inversa seguente:

UN'AUTOMOBILE .... APPARTIENE AL PAPA' DI ....

e la relativa rappresentazione

Marco

Paolo

Lino

FIAT

VOLVO

ALFA Sara

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L'esempio appena considerato può essere sviluppato ulteriormente considerando

altre relazioni tra gli stessi universi U 1 e U 2; anzi sarà opportuno mantenere lo stesso

contesto per confrontare i risultati relativi a relazioni diverse. Per esempio si potrebbe

considerare la relazione:

.... VORREBBE AVERE UN'AUTOMOBILE ....

oppure

LO ZIO DI .... HA UN'AUTOMOBILE ....

oppure anche:

.... GUIDA UN'AUTOMOBILE ....

Naturalmente si possono svolgere considerazioni simili a quelle già svolte nel caso

della regola "IL PAPA' DI ... HA UN'AUTOMOBILE ...". In particolare notiamo che

l'ultima relazione suggerita non porta a nessuna freccia: è un caso limite che come al solito

è bene mostrare come possibile (con una certa cautela).

Quando i bambini si saranno familiarizzati con la rappresentazione attraverso le

"frecce", sarà bene passare ad altri modi di rappresentare una relazione. Anzitutto si potrà

usare una tabella "cartesiana" che, nel caso della relazione già considerata in Macchine e

bambini II, si presenta nel modo che segue

FIAT ALFA VOLVO

Lino X

Sara X X

Marco

Paolo X

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e va letta secondo lo schema:

Sara X

ALFA

Notiamo che la disposizione dei nomi e delle marche è arbitraria e non ha "a

priori" nulla a che fare con l'ordine scelto nella rappresentazione con le frecce. Forse vale

la pena ripetere la rappresentazione "orientando" diversamente la tabella; infatti si potrebbe

avere la seguente situazione:

ALFA FIAT VOLVO

Sara X X

Lino X

Marco

Paolo X

e con i bambini osserveremo che, a causa della relatività delle convenzioni, per ottenere la

stessa "figura" (disposizione delle crocette) occorre essere d'accordo sui termini della

rappresentazione.

Ricordiamo che un esempio importante di relazione è la corrispondenza

biunivoca che sussiste quando ogni elemento del primo insieme è in relazione con un

solo elemento del secondo e viceversa.

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A questo punto dell'attività si dovrebbe passare alla rappresentazione di una

relazione come sottoinsieme del prodotto cartesiano e ciò ci porta a discutere di regole a

due variabili. Nel prossimo paragrafo ci occuperemo del collegamento tra i vari aspetti.

14. Prodotto cartesiano, regole e relazioni.

Le attività che discuteremo in questo paragrafo si riallacciano a quelle del

paragrafo 11 e possono essere svolte indipendentemente dal paragrafo precedente almeno

fino a che non si colleghino i sottoinsiemi del prodotto cartesiano con le relazioni tra le

due componenti del prodotto stesso. Sottolineiamo, come sempre, che la valutazione dei

tempi è lasciata comunque all'insegnante.

Riprendiamo anzitutto l'esempio di Macchine e bambini I nel quale la formazione

di insiemi è stata eseguita in modo informale per collegarla al calcolo degli enunciati,

notando che poiché lavoriamo in un prodotto cartesiano, gli elementi dell'universo sono

coppie e quindi possiamo esprimere regole che coinvolgono due variabili. Per restare

nell'ambito dell'esempio già considerato (e poi ripreso come relazione) proponiamo la

regola

IL PAPA' DI .... HA UNA AUTOMOBILE ....

che applicata, ad esempio, all'elemento (Marco, FIAT) produce l'enunciato:

IL PAPA' DI Marco HA UNA AUTOMOBILE FIAT

Questo enunciato, sempre riferendoci al caso dell'esempio, ha valore di verità FALSO

mentre invece l'enunciato:

IL PAPA' DI Sara HA UNA AUTOMOBILE VOLVO

ha valore di verità VERO. Nel suo complesso, la regola in questione, nel caso del solito

esempio considerato in "macchine e bambini II" ha la seguente tabella di verità:

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(Marco, FIAT) ---------------- F

(Marco, VOLVO) ---------------- F

(Marco, ALFA) -------------- F

(Paolo, FIAT) -------------- F

(Paolo, VOLVO) -------------- V

(Paolo, ALFA) --------------- F

(Sara, FIAT) -------------- F

(Sara, VOLVO) --------------- V

(Sara, ALFA) -------------- V

(Lino, FIAT) --------------- F

(Lino, VOLVO) --------------- F

(Lino, ALFA) --------------- V

Passando poi al collegamento con l'identificazione di insiemi, sulla base del valore di

verità indicato dalla tabella, l'insieme dei bambini il cui papà ha la macchina indicata nella

coppia viene identificato con il solito meccanismo e contemporaneamente viene messo in

luce il rapporto tra relazioni e insiemi del prodotto cartesiano.

In conclusione, dopo aver stabilito il collegamento tra relazioni e insiemi si

possono fare varie considerazioni e confronti in altre situazioni stimolanti. In particolare,

44

situazioni interessanti possono nascere nel caso in cui gli insiemi componenti il prodotto

sono due copie di uno stesso universo (vedi l’esempio Bambini e bambini ).

15. Insiemi pensati

Ricordiamo che, in tutto il lavoro svolto fino a questo punto, abbiamo lavorato

all'interno di un universo finito e rappresentabile completamente, in modo che i

bambini ne avessero di fronte tutti gli elementi e potessero facilmente compiere le

operazioni richieste (formare insiemi, applicare una regola, decidere sull'appartenenza o

meno di un elemento, trovare il complementare etc. ...). Vogliamo ora compiere un altro

passo verso l'astrazione considerando ancora insiemi finiti, ma non rappresentabili

completamente; ciò dovrebbe porre il bambino di fronte alla necessità di rappresentarsi

l'insieme mentalmente (e non possiamo sapere esattamente come) e in modo

simbolico (ciò che invece possiamo vedere e registrare, ricavando indicazioni su come i

bambini si rappresentano la situazione mentalmente e ottenendo gli elementi per una

indagine sul rapporto concettuale-figurale nella situazione specifica).

Concentriamoci anzitutto su un esempio campione che si riferisce ad una

situazione intermedia, una situazione cioè che, in fondo, si potrebbe anche

rappresentare in modo completo, ma che, per comodità, preferiamo semplificare e che,

infine, è facile da gestire da parte dei bambini perché l'universo coinvolto è loro familiare.

I bambini della scuola

Consideriamo l'universo dei bambini della scuola, frequentanti la

seconda classe. Per garantirci capacità operativa ci procureremo gli elenchi dei

bambini di ciascuna classe (nomi, cognomi, date di nascita ... ed

eventualmente una serie di informazioni che pensiamo ci possano essere utili),

ma osserviamo subito che serviranno solo per trarre le informazioni di cui

avremo bisogno, al momento opportuno.

Lavorando alla lavagna magnetica, non riporteremo tutti i nomi di

bambini dell'universo, ma sceglieremo un modo simbolico (una icona, alcuni

puntini non necessariamente in numero uguale a quello dei bambini anzi ...).

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Quindi si potranno identificare insiemi come ad esempio i seguenti:

1- insieme dei maschi

2- insieme delle femmine

3- i bambini della II A

4- i bambini della II B

5- i bambini della II C

6- i bambini della II D

7- i bambini della II E

8- i bambini nati a gennaio, febbraio, .....

9- i bambini nati nel 1988, 1989, 1990, 1991 ...1992, 1993

Notiamo che gli insiemi 1 e 2 sono disgiunti e sono una partizione

dell'universo: sarà facile arrivare ad una descrizione della situazione che non

coinvolga i nomi di tutti i bambini. Sulla precedente partizione si può

aggiungere quella relativa agli insiemi da 3 fino a 7: si potrebbe arrivare a

rappresentare la situazione nel modo seguente:

II A

II B

II C

II D

II E

m a s c h i

f e m m i n e

Forse i bambini preferiranno una rappresentazione diversa, in ogni caso è bene

chiarire esplicitamente il significato di ciò che si disegna (nel caso specifico si deve avere

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una partizione) eventualmente "riscoprendo" i diagrammi di Venn restituiti al loro corretto

ruolo di rappresentazione simbolica degli elementi di un insieme attraverso un'immagine

geometrica.

Nel caso degli insiemi di tipo 8, se non si prendono in considerazione tutti e dodici

i mesi dell'anno, rimarrà un insieme che contiene tutti i nati negli altri mesi (qui si

potrebbe usare un NON dell'unione, senza formalizzare .....).

Nel caso dell'esempio 9 (ma forse anche in quello dell'esempio 8) si può trovare

l'insieme vuoto (di sicuro per il 1992)

Si può continuare l'attività identificando ad esempio:

1- l'insieme dei bambini di nome Giovanni, Andrea etc...;

2- l'insieme dei bambini che sono nati a Trento;

in questi casi, come nei precedenti, non sarà necessario descrivere l'insieme per

elencazione, ma sarà importante rappresentare la sua posizione "relativa" ad altri insiemi.

In ogni caso tale posizione relativa va individuata sulla base delle informazioni complete

che si hanno e che vanno usate quando necessario.

Infine, si potranno prendere in esame situazioni più complesse passando ad

eseguire le attività svolte con gli insiemi finiti e controllabili nel nuovo contesto degli

"insiemi pensati".

16. Bibliografia

I testi che consigliamo di consultare (ne abbiamo citati alcuni nelle pagine

precedenti) riguardano essenzialmente la "matematica sottesa" che costituisce un base

teorica la cui conoscenza sarebbe necessaria per il controllo pieno dei concetti coinvolti nel

percorso. In realtà, la Logica Matematica e la Teoria degli Insiemi sono teorie che, se

riguardate nella loro attuale dimensione tecnica, possiedono un grado di sofisticazione

non accessibile ai non specialisti, anche se i concetti e i discorsi ad esse interni sembrano

spesso agganciarsi facilmente al linguaggio ordinario e al senso comune. Inoltre, anche la

cosiddetta "Teoria ingenua degli insiemi", che si situa storicamente e anche

concettualmente all'origine delle teorie attuali, coinvolge (ed è motivata da) problemi

profondi e delicati nel campo dell'analisi matematica che, per la loro comprensione

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richiedono una certa pratica nel settore. Dunque non è facile consigliare un testo

accessibile, ma con un certo sforzo di diligenza il lettore potrà seguire un testo semplice

anche se rigoroso e tecnico come

[1] - P. R. Halmos "Teoria Elementare degli Insiemi", Feltrinelli 1970

o almeno potrà seguirne i primi capitoli di cui il nostro percorso riflette i contenuti.

Un altro testo che contiene un'interessante introduzione storica della materia è

senza dubbio

[2] - G. Lolli "Dagli Insiemi ai Numeri", Bollati Boringhieri 1994.

Si tratta di un testo introduttivo ma completo e aggiornato, scritto da uno specialista che

però è capace di "comunicare" al di là dei tecnicismi. In ogni caso si tratta di un testo

"difficile" e anche la lettura della parte storica richiede qualche pratica dei concetti di base.

Passando a considerare gli aspetti didattici dell'argomento, un'ampia discussione

sull'irruzione della cosiddetta "nuova matematica" nella didattica (a livello mondiale) si

trova sul recente volume:

[3] - M. Pellerey "Oltre gli Insiemi", Tecnodid 1989

Vi si trovano i motivi delle critiche cui abbiamo accennato nel paragrafo 1 e la sua lettura

permette di capire le scelte compiute nella definizione degli obiettivi e nella costruzione del

percorso.

Consigliamo poi di consultare il testo:

[4] - H. Freudenthal "Mathematics as an Educational Task", D. Reidel

Publishing Co. 1973

che abbiamo più volte citato nelle pagine di questo fascicolo. L'interesse di questo volume

(che investe tutto il quadro dell'insegnamento della matematica), risiede nella serrata

critica alla pratica didattica che, a torto o a ragione, si ritiene abbia origine dalle teorie di J.

Piaget. Di nuovo, come in [3], da questa critica nascono indicazioni per una impostazione

del percorso che vada "oltre gli insiemi", appunto.

Infine segnaliamo un altro nostro fascicolo in corso di stesura che si occupa dei

primi giorni di scuola e delle conoscenze "prematematiche" del bambino:

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[5] - L. Alessandrini, G. Bolondi, M. Iannelli "I giorni prima di domani

l'altro: l'incontro con i bambini sul terreno delle loro conoscenze

matematiche" Fascicolo del Laboratorio LRM3 D2 , in preparazione

Si tratta di un altro tassello del programma di lavoro, enunciato all'inizio.

17. Per concludere

Per concludere, ancora due parole che aiutino ad inquadrare meglio gli obiettivi di

questo fascicolo e forniscano informazioni sul contesto in cui nasce. Come abbiamo già

detto nelle prime righe del primo paragrafo, il tassello che presentiamo è parte di un

progetto più ampio che riguarda la matematica del primo ciclo. L'attività che ruota intorno

al progetto si svolge nell'ambito di una convenzione tra il Dipartimento di Matematica e il

IX Circolo Didattico della provincia di Trento e fornisce la base che configura la scuola

elementare "Pigarelli" come Polo Scientifico IPRASE per la matematica(*).

Questo fascicolo dunque, e altri che seguiranno, deve la propria nascita alla

collaborazione e al supporto dei soggetti suindicati e alla concreta partecipazione di un

folto gruppo di insegnanti che direttamente o indirettamente, in numerose discussioni e

confronti, hanno messo a disposizione la loro esperienza.

Ringraziamo tutti coloro che hanno contribuito, e in modo particolare Mariangela

Cattaneo, Emanuela Franceschini, Aurora Menestrina, Alessandro Pontalti, Umberta

Rossi e Giuliana Tedeschi, che costituiscono il gruppo che qualche anno fa ha dato il via

all'impresa.

Ancora un ringraziamento va a Stefano Baratella, logico professionista per aver

letto e commentato (numerose volte) il manoscritto, a Marta Cazzanelli, tecnico del

laboratorio LRM3D2 per il supporto tecnico (appunto) e anche a Giovanni, grafico

spontaneo, che ci ha fornito i disegni a colori, eseguendoli con la grande scrupolosità

tipica dei suoi cinque anni.

(*) Il polo IPRASE per la matematica della Scuola “Pigarelli” è coordinato da Ivana Pulisizzi direttrice delIX Circolo. Attualmente partecipano alle attività Marta Battistel, Valentina Benuzzi, Giliola Bommassar,Elisabetta Bortolotti, Leopoldo Brugnara, Mariangela Cattaneo, Roberta D’Alessandro, EmanuelaFranceschini, Roberta Ianes, Rosina Marasco, Silvana Marchi, Aurora Menestrina, Anna Maria Morganti,Rita Mottes, Carmen Odorizzi, Alessandra Elisa Pisetta, Alessandro Pontalti, Maria Luisa Rapanà,Umberta Rossi, Antonietta Scarsella, Sandra Svaizer, Giuliana Tedeschi, Mariuccia Zocca.