Post on 29-Jan-2020
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 1
1 Successioni
RICHIAMI
Una successione di elementi di un insieme X è una funzionef : N→ X .E’ convenzione scrivere f n xn( ) = , e indicare le successioni mediante la “infinitupla” ordinata delle immagini di f :
( )x x x xn0 1 2, , ,......, ,......
o anche compattamente con ( )xn n N∈. La nozione di limite (per n → +∞ ) di una successione è un caso particolare di limite di funzio-
ne. Seguendo la convenzione precedente:lim limn
nn
x f n→+∞ →+∞
= ( )
Ad esempio, se la successione è ( )xn
nn = ++
1
2 3
lim1
2 3
1
2n
n
n→+∞
++
= (si ricordi che lim1
2 3
1
2x
x
x→+∞
++
= )
Si ricordino le successioni:a) Progressione geometrica di ragione q.Sia q ∈ R. La progressione geometrica di ragione q è la seguente successione:
( )1 2 3, , , ,......., ,....q q q qn . Si ha:
lim
se 1
se 1
1 se 1
non esiste se 1
n
nq
q
q
q
q
→+∞=
+∞ ><=
≤ −
0
b) Successione armonica (e armonica generalizzata):La successione armonica è la successione degli inversi dei numeri interi:
1,1
2,1
3,1
4,.....
1,...
n
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 2
cioè ( )ann =
1, con n ∈ N { }\ 0 .
Si ha:
lim1
n n→+∞= 0 .
La successione armonica generalizzata è:
1,1
2,
1
3,
1
4,.....,
1,....
p p p pn
cioè ( )ann p
=
1, con n ∈ N { }\ 0 e { }p ∈ +R \ 0 .
Si ha:
lim1
0n pn→+∞
= .
c) La successione che converge al numero e:
2, 11
2, 1
1
3, 1
1
4,....., 1
1,......
2 3 4 n
+
+
+
+
n
cioè ( )ann
n
= +
1
1.
Si ha:
lim 11
n
n
ne
→+∞+
=:
Si ricordi anche che, ∀ ∈a b, R,
lim 1n
bnaba
ne
→+∞+
=
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 3
ESEMPI
1. lim2 6 1
3 4n
n n
n→+∞
− −−
= +∞2
(si ricordi che lim2 6 1
3 4
2
x
x x
x→+∞
− −−
= +∞ )
2.
( )lim
1 2 3lim
1
2 lim2
1
22 2
2
2n n n
n
n
n n
n
n n
n→+∞ →+∞ →+∞
+ + + + =
+
= + =........
(si ricordi la formula: ( )
1 2 3 ......1
2+ + + + =
+. n
n n)
3. lim1
lim1
n nn
nn
n→+∞ →+∞+ = +
+ ∞
4. limsin
lim1
sin 0n n
n
n nn
→+∞ →+∞= =
(Si ricordi che il prodotto di una funzione infinitesima per una funzione limitata è ancora una funzione infinitesima.)5. ( )lim 1 non esiste
n
n
→+∞− : . Infatti, se n è pari, an = 1 , mentre se n è dispari, an = −1. Poiché il limite di una successione, se esiste,
è unico, la successione non ha limite
6. ( )lim 11
lim 112 2
1 22n
n
n
n
n ne
e→+∞ →+∞
− ⋅−
= + −
= =( ) 1
7. ( )( )lim 12
n
nn n→+∞
+ −
Distinguiamo i due casi:Se n è pari:
( )( ) ( )lim 1 lim2 2
n
n
nn n n n
→+∞ →+∞+ − = + = +∞
Se n è dispari:
( )( ) ( ) ( )lim 1 lim lim 12 2
n
n
n nn n n n n n
→+∞ →+∞ →+∞+ − = − = − = +∞
Quindi, in ogni caso:
( )( )lim 12
n
nn n→+∞
+ − = +∞
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 4
2 Serie Numeriche
RICHIAMI
Una serie numerica è la somma di un’infinità di numeri reali:a a an0 1+ + + +...... ....
Si dice somma della serie il limite, se esiste della successione delle ridotte (o successione delle somme parziali):S a
S a a
S a a an n
0 0
1 0 1
0 1
== +
= + + +�
�
........
Si pone cioè:
a Snn
nn
=
∞
→∞∑ =0
: lim
Si afferma che la serie ann=
∞
∑0
converge, diverge, o è indeterminata se la successione ( )Sn converge, diverge o è indeterminata.
Si ricordano le serie:
geometrica: 1
se 1 è indeterminata
se 1 diverge
se 1 convergea1
1
+ + + + + =≤ −≥
< =−
=
∞
∑q q q q
q
q
q Sq
n k
k
2
0
...... .....
armonica: 11
2
1
3.....
1....+ + + + +
n : è divergente.
armonica generalizzata: 11
2
1
3.....
1... (con p )
se 1 converge
se 1 diverge++ + + + + = ∈>≤ ≤
=
∞
∑p p p pkn k
p
p.
101
R
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 5 Si ricordi la seguente importante proprietà generale delle serie:
Condizione necessaria di convergenza: Se una serie ann=
∞
∑0
converge, allora necessariamente il suo termine generale tende a 0.
In simboli: 0lim0
=⇒∈=∞→
∞
=∑ nnn
n aSa R .
Si osservi che la condizione 0lim =∞→ nn
a è necessaria, ma non sufficiente, affinché la serie converga.
Come controesempio si consideri la serie armonica ∑∞
=1
1n n
; il suo termine generale tende a zero, ma la serie diverge, come visto negli
esempi precedenti. La proprietà precedente si utilizza molto spesso per vedere se una serie non converge, cioè:
se il termine generale di una serie non tende a zero, la serie non può convergere. Per le serie a termini di segno costante (cioè o tutti positivi o tutti negativi, almeno da un certo indice in avanti), si ricordino i criteri del rapporto, della radice e del confronto. Criterio del rapporto
Data la serie ann=
∞
∑0
, con an > 0 (almeno da un certo n0 in poi)
(i) Se 1lim 1 <=+
∞→l
aa
n
n
n allora la serie converge
(ii) Se 1lim 1 >=+
∞→l
aa
n
n
n allora la serie diverge
Nulla si può dire se l = 1 Criterio della radice
Data la serie ann=
∞
∑0
, con an > 0 (almeno da un certo n0 in poi)
(i) Se lim 1n n
n a l→∞
= < allora la serie converge
(ii) Se lim 1n n
n a l→∞
= > allora la serie diverge
Nulla si può dire se l = 1
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 6 Criterio del confronto
Date le serie ann=
∞
∑0
e bnn=
∞
∑0
tali che a bn n≤ (almeno da un certo n0 in poi):
(i) Se bnn=
∞
∑0
converge, allora ann=
∞
∑0
converge;
(ii) Se ann=
∞
∑0
diverge, allora bnn=
∞
∑0
diverge.
Per le serie a termini di segno variabile si ricordi la seguente definizione:
Si dice che la serie ann=
∞
∑0
è assolutamente convergente se converge la serie nn
a∑∞
=0 dei valori assoluti dei suoi termini.
Si ricordi che la convergenza assoluta di una serie ne implica la convergenza, come stabilito dal seguente teorema: Criterio di assoluta convergenza: Se una serie è assolutamente convergente, allora converge.
In simboli: nn
a∑∞
=0 converge ⇒ an
n=
∞
∑0
converge.
Per le serie a termini di segno alterno si ricordi il criterio di Leibniz: Criterio di Leibniz
Data la serie ( )−=
∞
∑ 1 nn
n
a0
(con a nn > ∀ ∈0, N),
se a a a an0 1 2≥ ≥ ≥ ≥ ≥........ ..... e se limn na→∞
= 0
allora la serie converge.
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 7
ESEMPI 1. Dire se le seguenti serie convergono o divergono (usare la serie geometrica, armonica ed il teorema del confronto).
a) ( )
1log2 n
n=
∞
∑0
b) 210n
n=
∞
∑0
c) 1n nn=
∞
∑1
d) ( )nn
n
+=
∞
∑ 20
a) ( )
1log2 n
n=
∞
∑0
è una serie geometrica di ragione q =1
log2. Poiché log2 1, 1
log21< > ; dunque q>1 e la serie diverge.
b) 210
2 110n
n
n
n=
∞
=
∞
∑ ∑=
0 0
110
=
∞
∑n
n 0
è una serie geometrica di ragione q = <1
101; pertanto la serie converge.
La somma vale:
S =−
=2 1
1 110
209
c) 1 1n n nn n=
∞
=
∞
∑ ∑=1 1
32
è una serie armonica generalizzata con esponente p = >32
1, e dunque converge.
d) ( )nn
n
+=
∞
∑ 20
Si osservi che ( )n n+ > ∀ ≥2 2 1 .
Pertanto ( ) ( )nn n
+ >2 2 .
La serie ( )2n
n=
∞
∑0
è una serie geometrica di ragione 2 1> e dunque diverge. Pertanto anche la serie iniziale diverge (in quanto
maggiorante termine a termine di una serie divergente).
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 8 2. Provare che la seguente serie è convergente e calcolarne la somma:
1- sin62
+ π
=
∞
∑n
n
Si tratta di una serie geometrica di ragione
q = = = <1- sin6
1- 12
12
1π
Dunque converge. La serie
1- sin6
120
+ π
=
=
∞
=
+∞
∑ ∑n
n
n
n 0
ha come somma:
Sn
n
=
=
−=
=
∞
∑ 12
11
2120
+
Poiché: 12
12
12
12
1 122
+
0
+
0
1
0
+
=
−
=
− +
=
∞
=
∞
= =
∞
∑ ∑ ∑ ∑n
n
n
n
n
n
n
n
Si ha: 12
1 12
2 32
122
+
= − +
= − =
=
∞
∑n
n
S
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 9 3. Usando il criterio del confronto dimostrare che la serie 1
215
110
117
.... 11
....2+ + + + ++
+n
converge.
12
15
110
117
.... 11
....2+ + + + ++
+ ==
∞
∑nsn
n 1
Si consideri la serie 11
14
19
116
..... 1 ...2+ + + + + + ==
∞
∑nwn
n 1
Poiché ∀ <n s wn n, e poiché 1n
wnnn
211
==
∞
=
∞
∑∑ converge (in quanto serie armonica generalizzata con esponente 2>1), anche la serie da-
ta converge. 4. Usando il criterio del confronto (con la serie armonica) dimostrare che la seguente serie diverge:
13 1nn +=
∞
∑1
(confrontare con 14nn=
∞
∑1
)
14
17
110
113
..... 13 1
..... 14
18
112
..... 14
.....+ + + + ++
+ > + + + + +n n
Poiché 14
14
1n nn n=
∞
=
∞
∑ ∑=1 1
diverge, anche la serie data diverge.
5. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:
5n
n n !=
∞
∑0
converge.
( ) ( )lim 5
1 5lim 5 5
1 5lim 5
1
1
n
n
n n
n
n nnn n
n n n→+∞
+
→+∞ →+∞+⋅ =
⋅ ⋅+ ⋅ ⋅
=+
=!
! !!
0
Poiché 0<1, la serie converge.
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 10 6. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:
( )2
2
n
n n n +=
∞
∑1
diverge.
( )( )( ) ( )
( )( )lim 2
1 32
2lim
2 21 3
21
n
n
n nn nn n n n
n n→+∞
+
→+∞+ ++
=+
+ +=
Poiché 2>1 la serie diverge. 7. Usando il criterio del rapporto, dimostrare che:
( )n
nn
3
0 log 2=
∞
∑ diverge.
( )( )
( )lim1
log 2log 2
lim 1 1log 2
1log 2
13
1
3
n n
n
n
nn
nn→+∞ + →+∞
+=
+
= >3
Dunque la serie diverge. 8. Dimostrare che la seguente serie converge: 12
12 2
13 2
14 2
..... 12
..... 122 3 4+
⋅+
⋅+
⋅+ +
⋅+ =
⋅=
∞
∑n nn nn 0
Usiamo il criterio del rapporto
( ) ( )lim 1
1 22
1lim 2
1 2 2121n n
n
n
n
nnn n
n→+∞ + →+∞+⋅
=⋅
+ ⋅ ⋅=
Poiché 12 1< la serie converge.
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 11 9. Dimostrare la convergenza della serie:
1nn
n=
+∞
∑1
Usiamo il criterio della radice:
an
an nn n n
nn
n= = =1 dunque 1 1,
Poiché lim lim 1 0 < 1n n
nn
an→+∞ →+∞
= =
la serie converge. 10. Usando il criterio della radice, discutere la convergenza della serie:
0 + 1- 12
1- 13
1- 14
1- 1 1- 14 3 16
1
+2 2
+
+
+ +
+ =
=
∞
∑.... ...n k
n k
k
Si ha:
ann
n
= 1- 1
2
Dunque:
( )a an nn
nn
n nn
n
= =
=
12
1
1- 1 1- 1
lim lim 1- 1 1 11
n nn
n
n
an
ee→+∞ →+∞
−=
= = <
Dunque la serie converge.
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 12 11. Dimostrare che la seguente serie diverge:
( )( ) ( )( )2
1 33
2 44
3 55
4 6 1 1 1 1 12⋅+
⋅+
⋅+
⋅+ +
− ++ =
− +=
−=
∞
=
∞
∑ ∑.... ......nn n
nn n
nnn n1 1
Proviamo ad usare il criterio del rapporto:
( )( ) ( )
( )lim 1
1 11 lim
1 12
12
2 2
n n
nn
nn
n nn n→+∞ →+∞
++ −
−=
+ −+
=2
Dunque non possiamo concludere nulla. Proviamo a vedere se la serie data è una maggiorante di una serie divergente.
n nn n
nn
nn n
2 22 2 2 21 1
11
11
− < ⇒−
> ⇒−
> =
Dunque il termine generale della seria data a nnn = −2 1
è strettamente maggiore del termine generale 1n
della serie armonica, che di-
verge. Pertanto la serie data è divergente. ,,, 12. Dimostrare che la seguente serie converge
( )− +
=
∞
∑ 1 11n
n n1 (serie armonica alterna)
Si applica il criterio di Leibniz:
poiché 1 12
13
.... 1 ....> > > > >n
e lim 1n n→+∞
= 0
la serie converge (si dimostra che la somma vale log 2 ).
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 13 13. Dire se convergono le seguenti serie:
a) ∑∞
= +=+
++++++
1n 1nn....
1n....
54
43
32
21
n
b) ∑∞
=1
1
n
ne
c) ∑∞
=0)cos(
nnπ
d) ∑∞
=2 log1
n n
Le serie a), b), c) non possono convergere, in quanto non soddisfano la condizione necessaria per la loro convergenza. Infatti:
a) 011n
nlim ≠=+∞→n
b) 01lim1
≠=∞→
nn
e
c) ( ) ( )n
nnn 1limcoslim −=
∞→∞→π non esiste (e dunque non è nullo).
La serie d) soddisfa tale condizione (infatti 0log
1lim =∞→ nn
), ma questo non è sufficiente per concludere che la serie converga. In effet-
ti, applicando il criterio del confronto si trova che la serie diverge.
Si ha infatti, nnn <<≥∀ log0,2 e quindi nn1
log1
> ; dunque la serie ∑∞
=2 log1
n n diverge, in quanto maggiorante della serie armoni-
ca, che è divergente.
SUCCESSIONI – SERIE NUMERICHE pag. 14 14. Dire se convergono le seguenti serie:
a) ( )∑∞
=
−
12
1n
n
n
b) ∑∞
=12
cosn n
n
c) ( )∑∞
=
−
1
1n
n
n
Si tratta di serie a termini di segno variabile. Si applichi il criterio di convergenza assoluta.
a) Si ha ( )22
11nn
n
=− . Pertanto la serie ( )∑
∞
=
−
12
1n
n
n è assolutamente convergente e quindi converge.
b) Si ha 22
1cosnn
n≤ ; poiché la serie ∑
∞
=12
1n n
è convergente, per il criterio del confronto lo è anche la serie ∑∞
=12
cosn n
n .
Pertanto la serie ∑∞
=12
cosn n
n è assolutamente convergente e quindi converge.
c) Si ha ( )nn
n 11=
− . Poiché la serie ∑∞
=1
1n n
non converge (in quanto serie armonica generalizzata di esponente p = 121< ), la serie
( )∑∞
=
−
1
1n
n
n non è assolutamente convergente.
Questo non autorizza a concludere che la serie ( )∑∞
=
−
1
1n
n
n non converga. In effetti essa converge.
Infatti, si applichi il criterio di Leibniz:
....1....3
12
11 >>>>>n
0n
1lim =∞→n
Dunque si può concludere che la serie ( )∑∞
=
−
1
1n
n
n converge.