Sistemi di Numerazion

e

5

Numero e Numerale

Entità astratta; idea che si ha della quantità.

E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli.

Numero:

Numerale:

V

Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare

correttamente i numeri.

Fra i principi elenchiamo:

1. Principio dell' Ordine2. Principio della Base

Che cos'è un Sistema di Numerazione ?

3. Principio posizionale

Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra.

Esempio:

568

1. Principio dell' Ordine

1° Ordine

2° Ordine

3° Ordine

Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra

Osservazione:

Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità.

Esempio:

2. Principio della Base

Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6:

23(6)

Gruppi Unità che

avanzano

=15

Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ?

40(5)

Gruppi Unità che

avanzano

=20

Nel sistema “Quinario”, dobbiamo raggruppare di 5 in 5.

Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle:

“Divisioni Successive”

Come rappresentare un numero in un'altra base ?

Esempio:

Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 )

243 7

345

7

46

Allora:

243 =465(7)

La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema:

Base

Sistema Cifras que emplea2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Quaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Eptale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Ottale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

10 Decimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11 Endecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A

12 Duodecimale

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B

A = 10

B = 11

In un numerale tutte le cifre hanno un ”valore posizionale”, vediamo un esempio:

457

3. Principio posizionale:

Unità

Decine

Centinaia

La somma dei valori posizionali, ci dà il numero.Osservazione:

= 7.1 = 7

= 5.10 = 50

= 4.100 = 400

400 + 50 + 7 = 457

Scrittura polinomiale nel sistema decimale

Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre.

Esempi:

Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione

Esempio:

4357 =(9)

1

99

2

93

4.9 +

3 3.9 +2 5.9 +7.1 (cioè 7. 90)

Altri esempi:

2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3(5)

3 2

124 = 1.6 + 2.6 + 4(6)

2

54 = 5.8 + 4(8)

346 = 3.8 + 4.8 + 6(8)

2

23A5 = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5

(11)

3 2

Ejemplos:

Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel

Sistema Decimale

4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1(7)

3 2

= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 =

1632

124 = 1.5 + 2.5 + 4(5)

2

= 1.25 + 10 + 4 =

39

64 = 6.8 + 4 =

(8)

52

Esempi:

In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita

Se 2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y

(5)

3 2

= 2.125 + x.25 + 15 + y

= 265 + 25x + y

Allora 352 = 3.n + 5.n + 2(n)

2

xyz = x.a + y.a + z(a)

2

2abc = 2.x + a.x + b.x + c(x)

3 2

Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra.

Esempi:

Alcuni Concetti conclusivi

44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321

Numerale Palindromo (Bifronte)

In generale, con simboli letterali, si rappresentano così:

aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….

Cifra SignificativaSi chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9

Esercitazioni

Esercizio 1:

Se: ab + ba = 132 , calcolare (a+b).

Scomponiamo polinomialmente:

(10a + b) + (10b + a) = 132

11a + 11b = 132

a + b = 12

Sommiamo i termini simili:

Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11:

Risposta.

Esercizio 2:

Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre?.

Se il numerale è di due cifre, allora sarà:

ab

10a + b =

2a = b

Dalle informazioni:

ab = 4 ( a+b )Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo:

6a =

1 22 4

ab =

ab =

4a + 4b

3b

12

24

3 64 8

ab =

ab =

36

48

Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le

condizioni date

Esercizio 3:

Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre.Se il numerale inizia con 6, allora sarà:6ab

600 + 10a + b =

30 = 5a + 6b

Per i dati:

2 Risposte.

6ab = 55 ( 6+a+b )Scomponiamo polinomialmente e

moltiplichiamo:

Sommiamo i termini simili e semplifichiamo:

270 =

0 56 0

6ab =6ab =

330 + 55a + 55b

45a +

54b

605

660

Esercizio 4:

Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il numerale.Se è un numerale di due cifre:

ab

100 ab – ab =

Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: ab00

Però:

Perciò l'aumento è:

99. ab = 2871

ab00 =

Allora:

ab = 29 Risposta.

ab. 100 = 100.ab

99.ab

Esercizio 5:

Se: abcd = 37.ab + 62.cd , calcolare (a+b+c+d)

abcd = ab00 + cd

Sostituendo, abbiamo:

= 100.ab + cd

100.ab + cd = 37.ab + 62.cd

63.ab = 61.cd

ab 61

cd 63=

Allora:ab = 61

cd = 63

y

Risposta.

Di conseguenza:

a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16

Calcolare il valore di “a”, in:

13a0 = 120(4)

Convertiamo 120 nel sistema quaternario

Risposta.

120 4

300

4

72

4

13

120 =1320(4)

Sostituendo ad a il 2 abbiamo:

13a0 =(4)

1320(4)

a = 2

Esercizio 6:

Calcolare il valore di “a”, in:

2a2a = 1000(7)

Scomponiamo polinomialmente

2.7 + a.7 + 2.7 + a3 2 = 1000

686 + 49a + 14 + a

= 1000

700 + 50a

= 1000

50a = 300

a

= 6 Risposta

Esercizio 7:

2.343 + a.49 + 14 + a

= 1000

Se i numerali: n23 ;(m)

Sicuramente: BASE > CIFRA

Risposte.

p21 ;(n) n3m y(6) 1211(p)

Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p.

n23 (m)m > n

m > 3

y

p21 (n) n > p n > 2 y

n3m (6) 6 > n 6 > m

y

1211

(p) p > 2

Ordinando, si ha: 6 > m

> n> p> 2

5 34

Esercizio 8:

Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base 6.

555

(6)

Il maggior numero di tre cifre di base 6 è:

215 8

267

8

32

= 215 = 327(8)

La cifra di ordine minore è 7

Esercizio 9:

Trasformandolo in base 10:

555 = 5.6 + 5.6 + 5(6)

2 = 180 + 30 + 5 =

215Adesso nel sistema ottale (base

8):

555(6)