Sistemi di Numerazione. 5 Numero e Numerale Entità astratta; idea che si ha della quantità. E' la...
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Sistemi di Numerazion
e
5
Numero e Numerale
Entità astratta; idea che si ha della quantità.
E' la rappresentazione di un numero per mezzo di simboli.
Numero:
Numerale:
V
Un Sistema di Numerazione, è un insieme di regole e principi, che si usano per rappresentare
correttamente i numeri.
Fra i principi elenchiamo:
1. Principio dell' Ordine2. Principio della Base
Che cos'è un Sistema di Numerazione ?
3. Principio posizionale
Tutte le cifre in un numerale, hanno un ordine, per convenzione, l'ordine si conta da destra a sinistra.
Esempio:
568
1. Principio dell' Ordine
1° Ordine
2° Ordine
3° Ordine
Non confondere il posto di un numero, con l'ordine di una cifra, il posto è contato da sinistra a destra
Osservazione:
Tutti i sistemi di numerazione, hanno una base, che è un numero intero maggiore dell'unità. Essa ci indica il modo di come si devono raggruppare le unità.
Esempio:
2. Principio della Base
Nel Sistema Senario (Base 6), dobbiamo raggruppare le unità di 6 in 6:
23(6)
Gruppi Unità che
avanzano
=15
Come si rappresenta Venti nel Sistema Quinario ( Base 5 ) ?
40(5)
Gruppi Unità che
avanzano
=20
Nel sistema “Quinario”, dobbiamo raggruppare di 5 in 5.
Per rappresentare un numero in un sistema differente dal decimale, si usa il metodo delle:
“Divisioni Successive”
Come rappresentare un numero in un'altra base ?
Esempio:
Rappresentare 243 nel sistema heptale ( Base 7 )
243 7
345
7
46
Allora:
243 =465(7)
La Base di un sistema di numerazione inoltre ci indica quante cifre si possono usare nel sistema:
Base
Sistema Cifras que emplea2 Binario 0; 1
3 Ternario 0; 1; 2
4 Quaternario 0; 1; 2; 3
5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4
6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5
7 Eptale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
8 Ottale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
9 Nonario 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
10 Decimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
11 Endecimale 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A
12 Duodecimale
0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; A; B
A = 10
B = 11
In un numerale tutte le cifre hanno un ”valore posizionale”, vediamo un esempio:
457
3. Principio posizionale:
Unità
Decine
Centinaia
La somma dei valori posizionali, ci dà il numero.Osservazione:
= 7.1 = 7
= 5.10 = 50
= 4.100 = 400
400 + 50 + 7 = 457
Scrittura polinomiale nel sistema decimale
Consiste nell'esprimere un numerale come la somma dei valori posizionali delle sue cifre.
Esempi:
Scrittura polinomiale di numerali rappresentati con un altro sistema di numerazione
Esempio:
4357 =(9)
1
99
2
93
4.9 +
3 3.9 +2 5.9 +7.1 (cioè 7. 90)
Altri esempi:
2143 = 2.5 + 1.5 + 4.5 + 3(5)
3 2
124 = 1.6 + 2.6 + 4(6)
2
54 = 5.8 + 4(8)
346 = 3.8 + 4.8 + 6(8)
2
23A5 = 2.11 + 3.11 + 10.11 + 5
(11)
3 2
Ejemplos:
Si può utilizzare la Scrittura Polinomiale per passare da un numerale qualsiasi a quello equivalente nel
Sistema Decimale
4521 = 4.7 + 5.7 + 2.7 + 1(7)
3 2
= 4.343 + 5.49 + 14 + 1 =
1632
124 = 1.5 + 2.5 + 4(5)
2
= 1.25 + 10 + 4 =
39
64 = 6.8 + 4 =
(8)
52
Esempi:
In alcuni casi si tratta di scrivere in forma polinomiale dei numerali con base incognita
Se 2x3y = 2.5 + x.5 + 3.5 + y
(5)
3 2
= 2.125 + x.25 + 15 + y
= 265 + 25x + y
Allora 352 = 3.n + 5.n + 2(n)
2
xyz = x.a + y.a + z(a)
2
2abc = 2.x + a.x + b.x + c(x)
3 2
Si chiama così quel numerale che letto da destra a sinistra, se legge come da sinistra a destra.
Esempi:
Alcuni Concetti conclusivi
44 ; 373 ; 4224 ; 56765 ; 876678 ; 1234321
Numerale Palindromo (Bifronte)
In generale, con simboli letterali, si rappresentano così:
aa ; aba ; abba ; abcba ; abccba ; …….
Cifra SignificativaSi chiama così ogni cifra che è diversa da zero; nel sistema decimale le cifre significative sono:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 e 9
Esercitazioni
Esercizio 1:
Se: ab + ba = 132 , calcolare (a+b).
Scomponiamo polinomialmente:
(10a + b) + (10b + a) = 132
11a + 11b = 132
a + b = 12
Sommiamo i termini simili:
Semplifichiamo dividendo ogni termine per 11:
Risposta.
Esercizio 2:
Quanti numerali di due cifre sono uguali a 4 volte la somma delle sue cifre?.
Se il numerale è di due cifre, allora sarà:
ab
10a + b =
2a = b
Dalle informazioni:
ab = 4 ( a+b )Scomponiamo polinomialmente e moltiplichiamo:
6a =
1 22 4
ab =
ab =
4a + 4b
3b
12
24
3 64 8
ab =
ab =
36
48
Risposta: Ci sono 4 numerali di due cifre che soddisfano le
condizioni date
Esercizio 3:
Trovare un numerale di tre cifre che inizia con 6, e che sia uguale a 55 volte la somma delle sue cifre.Se il numerale inizia con 6, allora sarà:6ab
600 + 10a + b =
30 = 5a + 6b
Per i dati:
2 Risposte.
6ab = 55 ( 6+a+b )Scomponiamo polinomialmente e
moltiplichiamo:
Sommiamo i termini simili e semplifichiamo:
270 =
0 56 0
6ab =6ab =
330 + 55a + 55b
45a +
54b
605
660
Esercizio 4:
Se a un numerale di due cifre aggiungete due zeri a destra, il numerale aumenta di 2871. Trovate il numerale.Se è un numerale di due cifre:
ab
100 ab – ab =
Aggiungendo due zeri a destra, otteniamo: ab00
Però:
Perciò l'aumento è:
99. ab = 2871
ab00 =
Allora:
ab = 29 Risposta.
ab. 100 = 100.ab
99.ab
Esercizio 5:
Se: abcd = 37.ab + 62.cd , calcolare (a+b+c+d)
abcd = ab00 + cd
Sostituendo, abbiamo:
= 100.ab + cd
100.ab + cd = 37.ab + 62.cd
63.ab = 61.cd
ab 61
cd 63=
Allora:ab = 61
cd = 63
y
Risposta.
Di conseguenza:
a+b+c+d = 6+1+6+3 = 16
Calcolare il valore di “a”, in:
13a0 = 120(4)
Convertiamo 120 nel sistema quaternario
Risposta.
120 4
300
4
72
4
13
120 =1320(4)
Sostituendo ad a il 2 abbiamo:
13a0 =(4)
1320(4)
a = 2
Esercizio 6:
Calcolare il valore di “a”, in:
2a2a = 1000(7)
Scomponiamo polinomialmente
2.7 + a.7 + 2.7 + a3 2 = 1000
686 + 49a + 14 + a
= 1000
700 + 50a
= 1000
50a = 300
a
= 6 Risposta
Esercizio 7:
2.343 + a.49 + 14 + a
= 1000
Se i numerali: n23 ;(m)
Sicuramente: BASE > CIFRA
Risposte.
p21 ;(n) n3m y(6) 1211(p)
Sono scritti correttamente, calcolare m, n y p.
n23 (m)m > n
m > 3
y
p21 (n) n > p n > 2 y
n3m (6) 6 > n 6 > m
y
1211
(p) p > 2
Ordinando, si ha: 6 > m
> n> p> 2
5 34
Esercizio 8:
Scrivere nel sistema ottale la cifra di minor ordine che si ottiene trasformando il maggior numero di tre cifre di base 6.
555
(6)
Il maggior numero di tre cifre di base 6 è:
215 8
267
8
32
= 215 = 327(8)
La cifra di ordine minore è 7
Esercizio 9:
Trasformandolo in base 10:
555 = 5.6 + 5.6 + 5(6)
2 = 180 + 30 + 5 =
215Adesso nel sistema ottale (base
8):
555(6)