Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:

Scambi fra Scambi fra donatori di reni:donatori di reni:

modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”

modellizzazione e “mechanism modellizzazione e “mechanism design”design”

Liste d’attesa per un Liste d’attesa per un trapianto di renetrapianto di rene

al 31 dicembre 2005:al 31 dicembre 2005:• Iscritti: 6362• Tempo media d’attesa: 2,99 anni• Percentuale mortalità: 1,52%

Trapianti di rene nel Trapianti di rene nel 20052005

• 1662 interventi

• 75 da donatore vivente

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

2002 2003 2004 2005

rene

fegato

cuore

Liste d’attesa Liste d’attesa rene – fegato - cuorerene – fegato - cuore

Idea alla base del lavoro:Idea alla base del lavoro:• Implementare scambi tra coppie

donatore-paziente tra di loro non compatibili

Paziente1Paziente1 Paziente2Paziente2

Donatore2Donatore2

Donatore1Donatore1

Semplificazioni al Semplificazioni al problema:problema:

• Scambi tra coppie

• Modello statunitense: compatibilità 0-1

• N = {1,2,…,n} insieme di pazienti

• Di donatori per il paziente i

• A insieme dei matching

• R insieme dei preordini degli elementi di N sull’insieme A

Modellizzazione del Modellizzazione del problema:problema:

Matching in A:Matching in A:

il paziente i non viene associato

i viene associato a j, se c’è compatibilitàavverrà lo scambio

• Consideriamo:

•Le preferenze di i sono:

Consideriamo:Consideriamo:

Pareto-efficienti: massimali

scambio tra i e j

il paziente i non riceve un rene

Razionalità individuale:

Implementiamo la “social choice rule”:

attraverso il attraverso il meccanismo di prioritàmeccanismo di priorità

Ordine di priorità: permutazione dei pazienti in modo che il k-esimo giocatore abbia la k-esima priorità

Meccanismo di priorità

Consideriamo un ordine di priorità (1,2,…,n) sui pazienti

Definendo la game form attraverso il meccanismo di priorità, una strategia

dominante consiste nel:

• dichiarare come accettabile l’intero insieme di giocatori;

• dichiarare interamente il proprio insieme di donatori

Decomposizione di Gallai-Edmonds

Underdemanded patients:

Overdemanded patients:

Perfectly matched patients:

Esempio di gioco:

33

44

66 16161515

1414

1212

111110108877

22

99

1313

55

11

OverdemandedOverdemanded

Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U

• Lotteria: distribuzione di probabilità sull’insieme dei matching

• Meccanismo stocastico: procedura sistematica che seleziona una lotteria

Meccanismo egualitarioMeccanismo egualitario

• Matrice di allocazione: riassume la probabilità che i sia associato con j

• Profilo di utilità: :

• Chiamiamo D l’insieme delle componenti dispari tra gli underdemanded patients, riordinate in ordine decrescente di priorità

• Consideriamo:Definiamo l’insieme dei vicini di in I:

• Per ogni definiamo

Partizioniamo in e in

nel seguente modo:

Passo 1:

Passo k:

Costruiamo nel modo seguente:

Profilo di utilità egualitarioProfilo di utilità egualitario

Il profilo di utilità egualitario è fattibile.

Nel nostro esempio:

Esempio di gioco:

33

44

66 16161515

1414

1212

111110108877

22

99

1313

55

11

OverdemandedOverdemanded

Underdemanded:Underdemanded: 2,1\NN U

Dominanza secondo LorenzDominanza secondo LorenzRiordiniamo il vettore in ordine crescente

Diciamo che il profilo di utilità egualitario domina secondo Lorenz ogni altro profilo di utilità fattibile, cioè che

per ogni v profilo di utilità fattibile ordinato in ordine crescente

Curva di LorenzPer una popolazione di cardinalità n, alla quale viene attribuita una sequenza di valori

in ordine crescente, la curva di Lorenz è la poligonale che congiunge dove

Per il nostro esempio:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

% of households

% o

f in

com

e

Indice di Gini

L’indice di Gini per il nostro problema è quindi dell’ 8,85%

Coefficiente di Gini:

Nel nostro esempio: