State Board of Education («Commissione statale per l’Istruzione») – Documenti approvati Il Mathematics Framework («Programma quadro per la matematica») è stato approvato il 6

novembre 2013 dalla California State Board of Education («Commissione statale della California per l’Istruzione») e non è stato rivisto ai fini della pubblicazione.

Appendice D: La modellizzazione matematica I CA CCSSM (California Common Core State Standards: Mathematics, cioè «Standard statali

comuni della California per l’istruzione di base: matematica») include la modellizzazione matematica tra gli Standard for Mathematical Practice («Standard per l’esercizio della matematica» o MP), che vanno appresi dagli studenti di ogni grado; lo Standard corrispondente è MP.4: «Modellizzazione con la matematica». Nei corsi avanzati di matematica, la modellizzazione è una categoria concettuale; gli standard di modellizzazione si ritrovano in tutte le altre categorie

concettuali, contraddistinti da una stella (★). Questa appendice intende precisare il significato della

modellizzazione matematica e il ruolo della modellizzazione nell’insegnamento dei CA CCSSM.

Cosa non è la modellizzazione matematica? I termini «modello» e «modellizzazione» hanno diverse accezioni; mentre «modello» ha la

definizione generale di «cosa che ne rappresenta un’altra», la modellizzazione matematica è un concetto più specifico. Si riporta qui un elenco di cose che non corrispondono alla modellizzazione matematica nel senso inteso dai CA CCSSM.

• Non è imitazione nel senso di «io faccio una cosa, dopodiché tu fai altrettanto». • Non consiste nell’uso di oggetti tangibili che rappresentano concetti matematici (una simile

strategia si chiama piuttosto «utilizzo di rappresentazioni concrete»). • Non equivale a individuare «modelli» in grafici, funzioni o equazioni. La modellizzazione è un

processo dinamico. • Non si limita a partire da una situazione reale e sfruttarla per risolvere un problema

matematico; a questo punto, infatti, prosegue tornando alla situazione reale e servendosi della matematica per strutturare la comprensione del mondo (equivale cioè a contestualizzare e decontestualizzare, cf. MP.2).

• Non parte dalla matematica per poi arrivare al mondo reale; parte dal mondo reale (concreto) e ne fornisce una rappresentazione tramite la matematica.

Cos’è la modellizzazione matematica? In termini semplici, la modellizzazione matematica consiste nell’utilizzo di strumenti e metodi

matematici per porre domande su situazioni reali e darvi risposta (Abrams 2012). La modellizzazione assume un aspetto diverso a seconda del grado di istruzione; gli studenti la praticheranno con più o meno successo a seconda delle loro basi di matematica e delle loro capacità di formulare le domande adatte a questo tipo di problemi. Ma tutte le situazioni di modellizzazione matematica hanno alcune caratteristiche comuni, esaminate nel seguito. Per esempio, a livello elementare, agli alunni di 9-10 anni si potrebbe chiedere di stabilire una scaletta per l’uso della cucina nella preparazione di un pasto festivo per una famiglia numerosa, basandosi su fattori come i tempi di cottura e di pulitura, la disponibilità del forno, l’uso degli strumenti di cucina e così via (English 2007). Gli alunni praticano la modellizzazione quando stabiliscono la scaletta a partire da intervalli non contemporanei di utilizzo dell’attrezzatura, tenendo conto del tempo totale a disposizione. D’altro canto, si tratta di modellizzazione anche quando gli studenti delle scuole secondarie prendono parte a una discussione per stabilire l’«efficienza» dell’imballaggio di 12 di lattine di bibita, e poi usano formule per l’area e il volume, calcolatori, programmi informatici di geometria dinamica e altri strumenti per creare il proprio imballaggio, misurarne l’efficienza e ottimizzarla.

Esempio: Modellizzazione matematica.

«Scarpe da gigante». In un centro sportivo delle Filippine, Florentino Anonuevo Jr. lucida un paio di scarpe. Secondo il Guinness dei Primati sono le più grandi al mondo: misurano 2,37 m di larghezza e 5,29 m di lunghezza. Quanto dovrebbe essere alto un gigante, più o meno, perché le scarpe siano della sua misura? Spiega la tua soluzione. (Foto: Blum & Ferri 2009, 45).

La modellizzazione matematica è parte integrante di svariati ambiti professionali, tra cui

l’ingegneria, la ricerca scientifica, l’economia e l’informatica. In contesti del genere, la modellizzazione matematica consiste nell’esaminare problemi o situazioni reali spesso del tutto nuovi, formulare domande su di essi, descriverli creando rappresentazioni matematiche («modelli»: equazioni, funzioni, grafici dei dati, modelli geometrici e così via), fare calcoli grazie a queste rappresentazioni o ampliarle per arricchire la propria conoscenza del problema originario, e riflettere infine sulle informazioni così ottenute. È possibile incoraggiare gli studenti a fare altrettanto, fin dai primi gradi di istruzione: messi davanti a una situazione reale, gli studenti possono formulare domande che portano ad applicazioni della matematica a situazioni nuove e interessanti, giungendo a nuove idee matematiche («come si misura questa grandezza?», «come varierà quell’altra grandezza?», «quale soluzione ottimizza i costi e perché?»).

Si può visualizzare la modellizzazione matematica come un processo in più fasi: formulare il problema tratto dal mondo reale, elaborare un modello, risolvere il problema, verificare la ragionevolezza della soluzione, e riferire i risultati o riesaminare il modello. Tutte queste fasi si svolgono in contemporanea, influenzandosi a vicenda, finché non si trova una soluzione soddisfacente. Per esempio, una volta stabilito un modello lineare come f(x) = 0,8x + 1,5 a partire dai calcoli iniziali, si dovranno forse modificare i parametri per riprodurre più fedelmente l’andamento temporale delle forniture di un prodotto. Oppure si dovrà riesaminare una semplificazione effettuata nelle prime fasi della formulazione del modello, per elaborarne uno più accurato.

Blum e Ferri (2009) descrivono il tipico processo di modellizzazione con uno schema: 1 Costruzione 2 Semplificazione/Strutturazione 3 Matematizzazione 4 Lavoro con la matematica 5 Interpretazione 6 Convalida 7 Presentazione

Figura 1: Ciclo di modellizzazione (Blum e Ferri, 2009, 46) Nella prima fase si esamina il mondo reale e si formula un problema, in genere ponendo una

domanda. In secondo luogo, si identificano gli oggetti o le caratteristiche essenziali del problema, se necessario operando delle semplificazioni (per esempio trascurando il fatto che una lattina di bibita non è un cilindro perfetto). In seguito si «matematizza» la situazione: si effettuano misure

sulle quantità rilevanti, si descrivono matematicamente le relazioni fra di esse, o si raccolgono dati. Questa è la fase in cui si crea un «modello matematico». Dopodiché si lavora sul modello – risolvendo equazioni, tracciando un grafico dei dati eccetera – e si interpretano e convalidano i risultati nel contesto del problema. In questa fase può capitare di dover rivedere il modello per perfezionarlo, chiudendo il ciclo. Infine si divulgano i risultati della modellizzazione.

Il ruolo della modellizzazione nell’insegnamento dei CA CCSSM La modellizzazione contribuisce a realizzare gli obiettivi dei CA CCSSM: preparare tutti gli

studenti all’università e al mondo lavorativo, insegnando che la matematica è parte del loro mondo e può descriverlo in maniere sorprendenti. La modellizzazione favorisce l’apprendimento di competenze e procedure utili, contribuisce allo sviluppo del pensiero logico, della capacità di risolvere problemi e del ragionamento matematico, e incoraggia gli studenti a esprimersi e discutere in modo ragionato. Grazie alla modellizzazione, infine, gli studenti possono toccare con mano la bellezza, la metodicità e l’utilità della matematica.

Al contrario della tipica «risoluzione di problemi» spesso proposta nelle scuole, i problemi di modellizzazione inglobano idee e relazioni matematiche importanti, che gli studenti possono dedurre lavorando al problema (English 2007, 141). Al contrario dei problemi matematici descritti a parole, in cui agli studenti si richiede soltanto di applicare a un contesto nuovo le competenze matematiche appena acquisite, spesso nelle situazioni di modellizzazione non è evidente quale sia l’esatto percorso risolutivo, e possono rendersi necessarie ipotesi che conducono gli studenti a usare date competenze matematiche, riflettendo sulla loro applicabilità in quel contesto. I problemi di modellizzazione, inoltre, «richiedono l’uso di processi matematici importanti ma spesso trascurati nella scuola, come per esempio combinare i dati, descriverli, spiegarli, predirli e rappresentarli, oltre a organizzarli, coordinarli, quantificarli e trasformarli» (English 2007, 141-142). Alcuni di questi processi matematici si ritrovano in molti Standard per l’esercizio della matematica. I problemi di modellizzazione «sono inoltre versatili e multidisciplinari: gli studenti possono presentare gli elaborati finali in una vasta gamma di formati, dal testo scritto a grafici, tabelle, diagrammi, fogli di calcolo ed esposizioni orali; i problemi inoltre chiamano in causa diverse materie, fra cui le scienze, la storia, l’ecologia e la letteratura» (English 2007, 141-142).

I testi attuali sulla didattica della matematica citano due maniere principali secondo cui la modellizzazione può esservi incorporata: «modellizzazione come veicolo» e «modellizzazione come contenuto» (cf. Galbraith 2012).

Modellizzazione come veicolo: Questa strategia corrisponde a individuare nella modellizzazione un contesto alternativo per l’apprendimento della matematica. Ci si serve della modellizzazione per motivare gli studenti allo studio di nuovi concetti matematici, o portarli a mettere in pratica concetti già appresi e ad approfondirne la comprensione. Se si considera la modellizzazione come un veicolo per la didattica della matematica, l’obiettivo principale non è fare in modo che gli studenti diventino esperti nei problemi di modellizzazione.

Modellizzazione come contenuto: Questa prospettiva considera la modellizzazione stessa come un contenuto da apprendere. Oltre agli obiettivi matematici, si riserva un’attenzione particolare allo sviluppo delle competenze degli studenti nel risolvere i problemi di modellizzazione. In questo caso, l’apprendimento di concetti o procedimenti matematici non è l’unico risultato dell’attività di modellizzazione. «Se è vista come un contenuto, la modellizzazione si prefigge di far usare agli studenti le conoscenze matematiche per risolvere problemi reali, e di continuare a sviluppare questa loro capacità nel corso del tempo» (Galbraith 2012, 13).

Nei programmi scolastici di matematica possono trovar posto entrambe le prospettive sulla

modellizzazione, per realizzare due obiettivi complementari: insegnare concetti matematici e insegnare a risolvere problemi di modellizzazione. Vedendo la modellizzazione come un contenuto, d’altro canto, si aggiunge a questi l’obbiettivo specifico di sviluppare negli studenti la capacità di affrontare i problemi del proprio mondo, aspetto importante della preparazione all’università e al mondo del lavoro.

Come osserva Burkhardt (2006), gli esseri umani usano la modellizzazione matematica fin dalla più tenera età. «I bambini stimano la quantità di cibo nel proprio piatto, confrontandola con le porzioni dei fratelli e delle sorelle. Misurano la propria crescita segnando l’altezza su un muro.

Contano per assicurarsi di ricevere un numero “equo” di caramelle» (Burkhardt 2006, 181). Zalman Usiskin osserva che in molte scuole si ritrova un esempio evidente di modellizzazione matematica: il sistema dei voti. «A ogni compito degli studenti si dà un voto, in genere una cifra singola. Questa cifra si situa su una certa scala, corrispondente a un modello matematico che vorrebbe descrivere quanto lo studente ha appreso [...] questo è il problema da modellizzare» (Usiskin 2011, 2). Lo stesso autore cita un altro esempio comune di modellizzazione che potrebbe passare inosservato: la determinazione delle dimensioni di un oggetto. «Consideriamo un aereo. Se ne possono descrivere le dimensioni tramite la lunghezza, l’apertura alare, l’altezza dal suolo, il peso, il carico massimo o il numero massimo di passeggeri che può trasportare [...] È evidente che per specificare le dimensioni di un aereo non basta una sola cifra» (Usiskin 3). Ecco un altro esempio: la classe deve eleggere un nuovo rappresentante. Alcuni sistemi elettorali permettono di esprimere tre preferenze, assegnando punteggi diversi per distinguere i candidati (per esempio: primo = 5 punti, secondo = 3 punti, terzo = 1 punto). Si tratta di una maniera equa di individuare il vincitore? Questi esempi e molti altri dimostrano che gli esseri umani hanno a che fare con la modellizzazione matematica sin da molto presto, e che i problemi di modellizzazione possono manifestarsi in molte situazioni diverse. La didattica matematica ha quindi la preziosa opportunità di sfruttare questa tendenza apparentemente innata all’uso della modellizzazione per capire il mondo.

Come realizzare tutto ciò in classe è una questione del tutto diversa e non immediata. Ma il compito dell’insegnante è facilitato dall’enfasi che i CA CCSSM pongono sulla profondità piuttosto che sulla quantità degli argomenti trattati; riducendo il numero di concetti separati da apprendere in ogni corso o grado d’istruzione, si lascia più tempo alle esperienze di modellizzazione, che consentono agli studenti di assimilare quegli stessi concetti in maniera più approfondita. Ma l’insegnamento della modellizzazione matematica incontrerà comunque diversi ostacoli, non ultima la comprensione del ruolo dell’insegnante e degli studenti, e la reperibilità dei programmi di modellizzazione e del materiale di appoggio alla didattica. Tutti questi aspetti saranno discussi più in dettaglio nel seguito, ma è chiaro che la modellizzazione tramite la matematica, essendo una novità per molti insegnanti, va incorporata nelle lezioni con cura e pazienza.

Esempio: modellizzazione per alunni di 9-11 anni

Esempio: «Cena festiva». I tre ragazzi Thompson – Dan, Sophie ed Eva – vogliono organizzare e cucinare una cena festiva per i genitori, che lavorano al negozio di famiglia dalle 7 di mattina alle 7 di sera.

I ragazzi si occuperanno di decorare la casa, preparare, cucinare e servire la cena, e sanno che devono stabilire accuratamente una scaletta per trovare il tempo di fare tutto. L’ultima volta che avevano provato a organizzare da soli una cena speciale, per festeggiare l’anniversario di matrimonio dei genitori, avevano creato una lista di operazioni per preparare e cucinare il pasto, e di conseguenza una scaletta, che purtroppo non aveva funzionato bene. Si erano trovati a girare per la cucina intralciandosi e portandosi via gli strumenti a vicenda. Si sono resi conto che avevano dimenticato di includere nella scaletta alcune voci essenziali.

I bambini hanno stabilito il menù per la cena festiva:

Antipasto: formaggio, salse per intingere, cracker e bastoncini di carote

Piatto principale: tacchino al forno, verdure arrosto e al vapore

Dessert: torta alla meringa, gelato e fragole fresche Dan, Sophie ed Eva sanno che potranno iniziare a preparare la cena alle due e mezzo, e i

genitori arriveranno a casa alle 7. Hanno quattro ore e mezzo per fare tutto! Occorre una scaletta che funzioni meglio di quella stilata per la cena dell’anniversario di matrimonio.

Ecco alcune cose da tenere presenti:

il tempo di cottura del tacchino

cos’altro può cuocere nel forno insieme al tacchino

quando decorare e preparare la tavola

quando preparare la torta e quanto tempo ci vorrà

quanto spesso devono pulire gli strumenti e i piani di lavoro tra la preparazione di un piatto e l’altro

lo spazio disponibile sui piani di lavoro per la preparazione dei piatti

quale piatto va preparato per primo

chi userà quale strumento e quando

chi sarà responsabile di cosa! In cucina ci sono due piani di lavoro, un lavello doppio, un forno a microonde, un piano di cottura

con quattro fornelli e un forno, abbastanza capiente per cuocere allo stesso tempo il tacchino e un’altra vivanda.

Dan, Sophie e Eva hanno bisogno del tuo aiuto! Per poter fare una sorpresa ai genitori hanno moltissime cose da fare; serve una scaletta affidabile. Sapresti aiutarli nelle due operazioni seguenti?

1. Stilare una scaletta di preparazione e cottura. Precisare chi farà cosa e quando, incluso l’utilizzo degli strumenti di cucina.

2. Spiegare per iscritto com’è stata elaborata la scaletta. I bambini intendono organizzare altre feste a sorpresa per i genitori e vorrebbero usare la spiegazione come guida per stilare la scaletta in occasioni future. (Adattato da English 2007).

Il ruolo dell’insegnante Nel quadro di una classe che lavora eccitata a un problema tratto dal mondo reale, derivato da

una domanda posta dagli studenti stessi, si prospetta un’immagine diversa per il ruolo dell’insegnante. La didattica della modellizzazione prevede che l’insegnante faccia più che altro da guida o facilitatore, aiutando gli studenti a seguire un percorso risolutivo che hanno escogitato da soli e dando suggerimenti o facendo domande se necessario. Per far praticare la modellizzazione, l’insegnante fornisce contesti adatti, che costituiscano un buon punto di partenza e stimolino gli studenti a porre domande appropriate alla ricerca di una soluzione. Quando si usa la modellizzazione per insegnare certi concetti matematici, l’insegnante orienta la discussione della classe verso l’obiettivo. Durante tali lezioni l’insegnante, invece di dirigere, spiegare e stabilire obiettivi, si avvicina più al ruolo di consigliere, collega matematico e fonte di risorse. (Burkhardt, 188).

Gli insegnanti non abituati alla modellizzazione possono far fatica a lasciare che gli studenti affrontino da soli una difficile situazione matematica. Nella modellizzazione occorre risolvere problemi, e «risolvendo problemi capita di bloccarsi. Un compito che fila via liscio non è un problema ma un mero esercizio» (Abrams 2001, 20). Questa è una cosa che gli insegnanti dovranno tener presente, ricordando che l’apprendimento è il risultato dello sforzo su un concetto difficile; in una certa misura è quindi necessario e auspicabile che gli studenti facciano uno sforzo.

A partire da osservazioni empiriche, Blum e Ferri (2009) fanno alcune riflessioni generali sulla didattica della modellizzazione:

1. Occorre fornire compiti di modellizzazione appropriati, e trovare un equilibrio tra la massima indipendenza degli studenti e il minimo intervento da parte dell’insegnante.

2. Gli insegnanti dovrebbero conoscere i compiti abbastanza bene da poter accompagnare i percorsi individuali di modellizzazione seguiti dagli studenti, e incoraggiare soluzioni multiple.

3. Gli insegnanti devono conoscere le possibili strategie d’intervento durante le attività di modellizzazione.

4. Gli insegnanti devono saper sostenere le strategie risolutive degli studenti. Ai fini del punto 4., e cioè per accompagnare le strategie risolutive degli studenti, gli autori propongono uno schema in quattro fasi, ottenuto semplificando le sette fasi di quello precedente: Le quattro fasi della risoluzione di un compito di modellizzazione («Piano risolutivo»)

Figura 2: Blum e Ferri 2009

Il ruolo degli studenti Abituarsi alla modellizzazione in classe può essere difficile anche per gli studenti. Com’è ben

noto, molte lezioni di matematica consistono nell’insegnante che spiega e mostra qualcosa, poi imitato dagli studenti. Come osserva Burkhardt:

«Molti programmi scolastici di matematica sono fondamentalmente imitativi: agli studenti si chiede soltanto di affrontare compiti che ricalcano quelli la cui tecnica risolutiva è stata spiegata esattamente. Ciò non li prepara a risolvere problemi pratici, né, d’altro canto, ad affrontare problemi inconsueti in matematica pura o qualsiasi altro ambito; poiché nuove situazioni possono capitare nel lavoro e nella vita, occorre imparare a risolvere problemi che non siano la fotocopia di quelli già affrontati in precedenza.» (2006, 182)

La transizione da un ruolo passivo a uno attivo sarà un serio ostacolo per gli studenti abituati a non far altro che imitare l’insegnante. Ma così facendo diventano autonomi: combinando ragionamento e perseveranza per giungere a una soluzione che suscita il loro interesse, si impratichiscono nella risoluzione di problemi.

Gli insegnanti possono facilitare questo processo aumentando gradatamente la complessità dei problemi di modellizzazione, a partire dai più semplici. Nel contesto della modellizzazione, gli studenti dovranno via via abituarsi a trovare nell’insegnante una risorsa, e non una semplice «macchina da risposte»; dovranno ora sobbarcarsi la maggior parte del lavoro. I compiti di modellizzazione per principianti insegneranno loro a organizzare il lavoro, investigare e spiegare, e li renderanno autonomi nello stabilire un ragionamento e verificarne la correttezza. Alla fine, gli studenti potranno da soli creare domande e portare a compimento l’intero processo di modellizzazione. Abrams (2012, 46) propone uno «Spettro della matematica applicata», una classificazione della complessità dei compiti da seguire per portare gli studenti fino alla modellizzazione completa. Lo schema riportato qui sotto deriva dai testi di Abrams. Va visto come nient’altro che uno spettro e non una sequenza progressiva, nel senso che ogni livello è un punto d’ingresso possibile, a seconda dei bisogni e delle capacità degli studenti.

Spettro della modellizzazione matematica (esempi adatti alle scuole secondarie inferiori e superiori)

Livello 9 (il più alto): Gli studenti scelgono il contesto e il problema. Gestiscono in autonomia l’intero processo di modellizzazione affrontando due o più iterazioni. Il problema può essere di natura pratica, o riguardare un ambito che interessa gli studenti.

Livello 8: L’insegnante fornisce il contesto. In quell’ambito, gli studenti individuano un problema

significativo e si servono della modellizzazione per arrivare a una risposta. Esempio: dato un imballaggio con 12 lattine di bibita (o bottiglie d’acqua), quali problemi che portino a una soluzione pratica si potrebbero formulare?

Livello 7: L’insegnante determina il contesto e formula il problema da risolvere. Gli studenti individuano le variabili rilevanti, fanno ipotesi e scelgono di semplificare il problema o ignorare alcune variabili. Presentando la soluzione, dovranno giustificare le proprie scelte. Esempio: Trovare la maniera più efficiente di imballare le lattine di bibita.

Livello 6: Come il livello 7, ma l’insegnante guida gli studenti nell’elaborazione delle ipotesi e delle semplificazioni. Gli studenti formulano modelli matematici e li applicano al problema, determinando la ragionevolezza delle soluzioni. Esempio: Trovare la maniera più efficace di imballare le lattine di bibita. Nella discussione si determinerà che l’«efficacia» si riferisce al rapporto tra lo spazio occupato dalle lattine e lo spazio occupato da tutto l’imballaggio. Gli studenti e l’insegnante faranno l’ipotesi che le lattine siano cilindri perfetti, limiteranno l’altezza dell’imballaggio a quella di una singola lattina, le orienteranno tutte allo stesso modo e immagineranno che l’imballaggio sia un prisma che per basi ha poligoni congruenti (non si tratta di un materiale elastico che avvolge strettamente le lattine).

Livello 5: L’insegnante fornisce una versione semplificata di un contesto e un problema reale. Il problema è abbastanza versatile da permettere diversi percorsi risolutivi, che richiamano a conoscenze matematiche di vari livelli. Esempio: Determinare quale, tra i seguenti imballaggi di lattine, sfrutta una percentuale maggiore di spazio: un imballaggio rettangolare da 12, uno triangolare da 10, uno trapezoidale da 9 o uno esagonale da 7. (Si tratta sempre di prismi di altezza uguale a quella di una lattina o bottiglietta). Gli studenti realizzano rappresentazioni accurate di questi imballaggi e possono valutare l’utilizzo dello spazio tramite misure, manipolazioni algebriche applicate a poligoni o programmi informatici per il disegno tecnico.

Livello 4: Si parte da un contesto e un problema reale, e tramite una serie di domande si guidano gli studenti lungo uno specifico processo risolutivo, in cui essi utilizzano concetti matematici prestabiliti. Si verifica la ragionevolezza della soluzione. Esempio: È più efficiente la disposizione esagonale di 7 lattine o quella triangolare di 10 lattine? Determinare la percentuale di spazio occupato nella prima disposizione (vedere la figura). (1) Il diametro delle lattine è di 6,6 cm. Determinare l’area di un cerchio il cui raggio vale 3,3 cm. (2) Moltiplicare per 7 per trovare l’area totale di 7 cerchi. (3) Dividere l’esagono in sei triangoli congruenti e determinare l’area di uno di essi. (4) Tracciare il triangolo equilatero ottenuto unendo i centri di tre cerchi. (5) ecc.

Livello 3: Si fornisce il contesto e il problema. Il contesto viene dal mondo reale, ma ci si concentra sugli aspetti matematici. Esempio: sei lattine (cerchi) sono disposte orizzontalmente, sovrapponendole in modo da formare una figura triangolare. Il progettista ha bisogno di conoscere l’altezza totale; determinare la distanza tra le lattine di base e quella in cima.

Livello 2: Il contesto o la natura concreta della situazione sono secondari rispetto al problema, a volte ideato appositamente. Esempio: Calcolare l’area della regione compresa tra tre cerchi tangenti l’uno all’altro.

Livello 1: Assenza di contesto reale. Il problema è puramente matematico. Esempio: Calcolare l’area di un cerchio il cui diametro vale 5 centimetri.

Il programma di modellizzazione Come già osservato, gran parte dei programmi di matematica attualmente disponibili è di natura

imitativa. Spesso le situazioni reali sono meri pretesti per esercizi in cui gli studenti mettono in pratica i concetti matematici che stanno apprendendo, spesso sotto forma di problemi descritti a parole. L’analisi precedente ha già indicato alcuni aspetti di un programma di modellizzazione, che include compiti aperti, problemi complessi, autonomia degli studenti e varie maniere di condividere i risultati. La tabella seguente, tratta da Abrams (2012, 40), evidenzia alcune differenze tra i problemi di modellizzazione matematica vera e propria e gli esercizi di matematica tradizionali:

Problemi di modellizzazione matematica Inconsueti Rimangono impressi nella memoria Rilevanti

Esercizi di matematica tradizionali Familiari Si dimenticano facilmente Irrilevanti

Molte soluzioni possibili Lunghi Complessi Processo di scoperta Aperti Ciclici – perfezionamento continuo Non appaiono a una pagina particolare

Soluzione unica Brevi Semplici Si seguono istruzioni Chiusi (obiettivo prefissato dall’insegnante) Lineari Ne vengono proposti sin troppi, ma in finale risultano insufficienti

Spesso la modellizzazione richiede di perseguire un progetto, che può durare giorni, settimane o

addirittura mesi. I problemi di modellizzazione sono inconsueti e originali per gli studenti; rimangono impressi nella memoria grazie al ruolo attivo assunto nell’apprendimento. Questo genere di problemi può essere bizzarro e ingegnoso, e prestarsi all’estensione al mondo reale. I compiti di modellizzazione non parranno mai irrilevanti, perché hanno evidenti applicazioni al mondo reale. I compiti non sono predeterminati, e spesso si concludono in maniera meno prevedibile rispetto ai problemi tradizionali, perché a volte gli studenti si trovano a dover stabilire se le informazioni raccolte consentono di prendere una decisione. Le situazioni di modellizzazione offrono grandi opportunità per il lavoro interdisciplinare; possono includere il ricorso alla scienza per la scelta dei problemi e la stesura di un resoconto come attività di sintesi. I problemi di modellizzazione tratti dal mondo reale, infine, non hanno istruzioni incorporate. Può capitare che gli studenti intraprendano un certo percorso risolutivo per poi scoprire che non ha chiarito molto la situazione, e che quindi devono ricominciare daccapo cambiando strategia.

Conoscendo ora le caratteristiche della modellizzazione, gli insegnanti dovrebbero riesaminare l’ultima versione del materiale didattico in linea con i CA CCSSM. Troveranno forse necessario arricchire i programmi con compiti di modellizzazione versatili a sufficienza. Per una bibliografia standard sulla didattica della modellizzazione, vedere la lista alla fine del documento.

Gli insegnanti possono anche riconvertire alla modellizzazione alcuni problemi tratti dai programmi tradizionali; è spesso possibile trasformare in compiti di modellizzazione i tradizionali problemi descritti a parole, chiedendo di immaginare cosa succederebbe modificandone alcuni aspetti. Gli insegnanti possono mettere a frutto la propria esperienza nell’elaborare compiti di modellizzazione originali.

Quando l’obiettivo è l’apprendimento o l’applicazione di concetti matematici ben precisi, gli insegnanti e gli estensori dei programmi devono selezionare con cura i compiti adatti all’attività di modellizzazione. Questi compiti devono includere la formulazione della domanda a partire da autentici contesti tratti dal mondo reale, che si prestano a presentare, elaborare o mettere in pratica i concetti matematici prefissati. Poiché i contesti reali più versatili sono spesso complicati, nel processo di modellizzazione sarà essenziale semplificare il problema. Occorre scartare attentamente i problemi più artificiali o semplificati all’eccesso. Migliorando via via la propria comprensione del processo di modellizzazione matematica, gli studenti dovrebbero partecipare sempre più alle fasi di formulazione e semplificazione del problema. Dovrebbero inoltre sperimentare in prima persona le fasi conclusive del processo di modellizzazione matematica: poiché i problemi reali devono sfociare in soluzioni reali, si esamina la ragionevolezza di queste ultime (la risposta ha senso?) e la loro utilità (la soluzione è applicabile alla situazione originaria, o bisogna rivedere e riformulare il modello?).

Sostegni per insegnanti e studenti Come per qualsiasi modifica nella didattica, per inserirvi la modellizzazione matematica molti

insegnanti troveranno utile l’aggiornamento professionale. In un simile contesto, gli insegnanti dovrebbero sperimentare in prima persona il processo di modellizzazione. Così facendo possono abituarsi a guardare la realtà con occhio matematico; iniziano a porsi domande, notare situazioni curiose e riconoscere l’utilità della matematica nel mondo. Simili esperienze sono senza dubbio il primo passo perché gli insegnanti imparino a utilizzare la modellizzazione in classe.

Gli insegnanti dovranno inoltre acquisire esperienza nel riconoscere, creare e modificare buoni problemi di modellizzazione. Un esempio sono i problemi che Usiskin chiama «dato-trova-inverso». I problemi matematici descritti a parole sono in genere del tipo «dato-trova»: certe informazioni sono note (cioè date) e si chiede allo studente di derivare (trovare) altre informazioni ignote (come

una certa variabile). Per esempio, dati i lati di un triangolo, lo studente deve calcolarne il perimetro; dati quelli di un rettangolo, lo studente ne calcola l’area; dato un polinomio, ne ricava le radici e così via. Usiskin propone di invertire queste domande: dato un triangolo il cui perimetro misura 12 unità, quali numeri interi possono corrispondere alla lunghezza dei suoi lati? Se l’area di un rettangolo vale 24 unità quadrate, quanti rettangoli i cui lati misurano un numero intero di unità hanno questa stessa area? Un polinomio ha le radici seguenti [...], sapresti determinarne l’espressione? (Usiskin 2011, 5). Naturalmente, questa è solo una delle maniere possibili di elaborare semplici situazioni aperte di natura matematica. Ma può essere un punto di partenza per gli insegnanti, che possono poi arrivare a esempi più complessi e situazioni tratte dal mondo reale.

Il processo di modellizzazione è coadiuvato da:

1. Il ruolo di facilitatore svolto dall’insegnante. Questi deve mettere gli studenti a proprio agio, in un ambiente positivo dove le loro idee e domande trovano ascolto, ricevendo osservazioni costruttive dall’insegnante e dai compagni. Sta agli studenti riflettere, analizzare il problema e risolverlo.

2. La conoscenza del contenuto da parte dell’insegnante. Questi padroneggia a sufficienza la matematica attinente al contesto da poter accompagnare gli studenti grazie a domande e all’ascolto riflessivo.

3. La messa a disposizione di insegnanti e studenti di una vasta gamma di rappresentazioni e strumenti matematici, come oggetti tangibili e strumenti tecnologici (programmi informatici di geometria dinamica, fogli di calcolo, Internet, calcolatrici grafiche ecc).

4. La comprensione della modellizzazione da parte di insegnanti e studenti; avendone già avuto esperienza, capiranno meglio il processo di modellizzazione e l’utilizzo dei modelli.

5. La comprensione del contesto da parte di insegnanti e studenti. Possono essere necessarie conoscenze o esperienze dell’ambito generale, da acquisire tramite ricerche su Internet, fonti su carta stampata, video, immagini, osservazione di campioni, gite di istruzione, lezioni di esperti esterni ecc.

6. La versatilità del problema, sufficiente a incoraggiare studi ad ampio spettro. Alcuni problemi ammettono un’ampia gamma di risposte realistiche, e svariate rappresentazioni e soluzioni. Alcuni problemi ideati ad hoc possono sembrare tratti dal mondo reale, ma non sono realistici né richiedono grandi sforzi intellettuali.

7. Il contesto del problema. È importante selezionare problemi tratti dal mondo reale, privilegiando quelli che possono far riferimento all’esperienza passata e futura degli studenti e ai loro interessi.

Oltre a sperimentare la modellizzazione in prima persona, gli insegnanti dovranno acquisire

capacità che forse risulteranno nuove. Per esempio, quella di far esprimere gli studenti, dando libero corso alla discussione, sostenendola senza indirizzarla, e lasciando agli studenti il tempo di discutere le proprie idee; si tratta di una capacità essenziale per insegnare molti Standard per l’esercizio della matematica, ma nella didattica della modellizzazione acquisisce un’importanza cruciale. Gli insegnanti devono anche arrivare a conoscere bene i compiti, le fasi del processo di modellizzazione per riconoscere le difficoltà degli studenti, e le strategie d’intervento.

Gli insegnanti dovranno rivisitare la propria concezione della didattica della matematica. Come già accennato, spesso gli obiettivi della modellizzazione non sono strettamente matematici. Oltre a far apprendere concetti matematici, la modellizzazione può aiutare gli studenti a comprendere meglio il mondo e contribuisce a dar loro una visione più completa della matematica. Per lasciare il tempo e lo spazio necessario alla messa in pratica della modellizzazione, gli insegnanti dovranno riflettere ai propri obiettivi didattici, mostrando pazienza e comprensione verso lo sconvolgimento didattico piuttosto notevole che l’inserimento del processo di modellizzazione può rappresentare.

Infine, come osservato nel capitolo Supporting High Quality Common Core Mathematics Instruction («Sostegno all’istruzione matematica di base di alta qualità»), i dirigenti scolastici devono lasciare agli insegnanti il tempo e lo spazio di mettere in pratica le nuove strategie didattiche dei CA CCSSM. Il processo di modellizzazione stesso ingloba molti Standard per l’esercizio della matematica (per esempio MP.1, MP.2, MP.3, MP.5, MP.6), quindi l’insegnamento della modellizzazione, sia come veicolo che come contenuto, contribuisce alla didattica dei CA CCSSM. I dirigenti scolastici devono tenerlo presente e sostenere gli sforzi degli insegnanti per includere la modellizzazione nella didattica, soprattutto nella scuola media inferiore e superiore, tollerando il fatto che le classi impegnate in compiti di modellizzazione possono essere rumorose e disordinate, poiché spesso gli studenti lavorano animatamente in gruppetti indipendenti. Gli

insegnanti con conoscenze di scienze o ingegneria saranno un buon punto di riferimento per mettere in pratica la modellizzazione.

Non va infine trascurato il ruolo dei genitori. Molte buone idee per migliorare la didattica della matematica si sono arenate per via dell’incomprensione dei genitori. Nel caso della modellizzazione matematica, i problemi sono meno strutturati di quelli tradizionali e gli insegnanti non si limitano a mostrare agli studenti cosa fare, per poi far svolgere semplici esercizi. Conoscendo il processo e gli obiettivi della modellizzazione, i genitori possono capire meglio la risposta dei figli alla domanda: «cosa hai fatto oggi a lezione di matematica?». Perché i CA CCSSM possano avere successo, occorre anche il sostegno dei genitori.

La modellizzazione nella matematica avanzata La modellizzazione è considerata una categoria concettuale nei CA CCSSM per la matematica

avanzata. Quando gli studenti padroneggiano gli standard K-8 (relativi alle classi dai primi anni alla fine della scuola secondaria inferiore), hanno basi abbastanza solide per quanto riguarda i numeri e le operazioni, le equazioni, le funzioni, i grafici e la geometria. Nei corsi di matematica avanzata, gli studenti approfondiranno ulteriormente questi concetti, soprattutto quello di funzione, che può svolgere un ruolo importante nella modellizzazione. Approfondendo il concetto di funzione, e arricchendo il repertorio di espressioni ed equazioni note, gli studenti sono in grado di affrontare situazioni di modellizzazione via via più ardue.

Abrams (2012, 43) descrive un problema di modellizzazione in cui gli studenti si sono chiesti: «come si può mangiare un cioccolatino ripieno di burro d’arachidi in vari morsi, mantenendo costante il rapporto fra la quantità di cioccolato e quella di burro d’arachidi?». Dopo aver schematizzato la forma del cioccolatino con due cilindri, uno di burro d’arachidi inserito in un altro di cioccolato, e rappresentato il morso con un arco di cerchio che li interseca entrambi, gli studenti si sono messi al lavoro per ricavare una formula che descrivesse il volume di cioccolato e burro d’arachidi in ogni morso. Alla fine hanno derivato un’equazione con complicate espressioni razionali inserite in radici quadrate e funzioni trigonometriche inverse, sia per le variabili che per i parametri, trovando il rapporto cercato in funzione delle dimensioni del primo morso. Abrams riconosce che il problema non è dei più pressanti per l’umanità, ma gli studenti vi erano interessatissimi e presto hanno scoperto quanto in realtà fosse difficile. È notevole osservare che questo può essere considerato un problema «bizzarro», uno di quelli divertenti che sfociano in una risposta legata al mondo reale, benché magari di importanza relativa. Molte ricerche e scoperte matematiche hanno però avuto origine da problemi bizzarri come questo; non bisogna quindi aver remore a esaminare e incoraggiare simili domande.

Il primo corso di matematica avanzata è la prima occasione in cui la modellizzazione matematica

viene presentata sotto forma di categoria concettuale. Già nei precedenti gradi d’istruzione tutti gli studenti dovrebbero aver incontrato il numero 4 degli Standard per l’esercizio della matematica, «Modellizzazione con la matematica», e aver avuto varie opportunità di applicare i modelli matematici alla risoluzione di problemi reali. Nel primo corso di matematica avanzata (per esempio Matematica I o Algebra I) si porrà l’enfasi in particolare sull’insegnamento del processo della modellizzazione matematica. A questo punto gli studenti impareranno e metteranno in pratica tutte le fasi del processo; comprenderanno che esso è raramente lineare, poiché di frequente occorre ritornare sui propri passi per formulare un modello al contempo utile e risolvibile. Il modello sviluppato deve approssimare autenticamente il contesto reale e, al contempo, rimanere accessibile agli studenti per quanto riguarda la matematica necessaria per capire la situazione o rispondere alla domanda.

I problemi che derivano dal mondo reale si riferiscono spesso a più di uno standard di contenuto. Grazie all’esperienza con un ampio spettro di applicazioni, insegnanti ed estensori dei programmi sapranno trovare contesti reali che possano fare riferimento alla matematica di questo corso.

La CCSSI (Common Core State Standards Initiative, cioè «Iniziativa per gli standard statali comuni per l’istruzione di base») fornisce uno schema per la modellizzazione al livello della matematica avanzata:

Secondo gli autori: «Il diagramma riassume l’essenza del ciclo di modellizzazione. Esso richiede di (1) identificare le

variabili della situazione, individuando quelle corrispondenti a caratteristiche essenziali, (2) formulare un modello creando e selezionando rappresentazioni geometriche, grafiche, tabulari, algebriche o statistiche per descrivere le relazioni tra le variabili, (3) analizzare e svolgere operazioni su queste relazioni per trarre delle conclusioni, (4) interpretare i risultati matematici in termini della situazione originaria, (5) convalidare le conclusioni confrontandole con la situazione e perfezionare il modello o, se questo è accettabile, (6) stilare una relazione sulle conclusioni e sul ragionamento che ha permesso di giungervi. (CCSSI, Appendice A dei CCSSM).»

La maniera in cui i CA CCSSM di matematica avanzata presentano la modellizzazione è abbastanza sovrapponibile con la discussione di questa appendice. La bibliografia sarà utile per chi vuole approfondire ulteriormente la didattica della modellizzazione.

La tabella seguente riporta alcuni esempi di problemi di modellizzazione adatti a corsi di matematica intermedia avanzata e matematica superiore.

Modellizzazione nei corsi di matematica intermedia avanzata e matematica superiore.

Esempio: Funzioni lineari. Diversi contesti reali si prestano alla modellizzazione con funzioni lineari. L’addizione ripetuta di una costante si verifica in moltissime situazioni. I modelli lineari sono applicabili al confronto di costi, ricavi e profitti per un’impresa semplice, o a qualsiasi contesto con una componente fissa e una variabile, come un abbonamento che include un costo mensile di manutenzione, o un acconto seguito da rate mensili, o una quantità iniziale con crescita costante, come l’interesse semplice.

Agli studenti si può chiedere di valutare la fattibilità di un’attività commerciale, come la vendita di hot dog. L’insegnante può facilitare la discussione in classe per identificare i fattori rilevanti, stabilire ipotesi e raccogliere le informazioni necessarie. La classe può fare un’indagine di mercato per determinare un prezzo ragionevole per la vendita di un hot dog, per esempio 2,25 $. Si potrebbe valutare quanto incidono su ciascun hot dog i fattori di costo, come gli ingredienti e le stoviglie di carta; per esempio 1,10 $. In genere il prezzo totale include costi fissi come l’affitto e la licenza commerciale. In molte città si tengono fiere o mercatini in cui si può affittare uno spazio per quattro ore al costo di 50 $ circa. Si possono usare tabelle, grafici o equazioni come modelli per rispondere a domande dell’insegnante o degli studenti, come «quanti hot dog bisogna vendere per realizzare un profitto di 400 $?» o «quanti hot dog all’ora bisogna vendere per andare in pari?». Anche calcolatrici grafiche, programmi informatici o fogli di calcolo al computer possono fornire modelli potenti per generalizzare o ampliare lo studio.

Esempio: Funzioni esponenziali. Le funzioni esponenziali modellizzano situazioni che presentano una costante moltiplicativa, come per esempio la crescita o il calo di popolazioni, l’eliminazione di farmaci dal corpo, il filtraggio dell’aria o dell’acqua da inquinanti pericolosi, l’interesse composto o la divisione cellulare.

Attualmente la popolazione di una certa città ammonta a 18 905 individui. Se il tasso medio di crescita annuale è del 3%, quando bisogna prevedere che la popolazione raggiungerà i 20 000 individui? Quali servizi forniti dal comune andranno forse potenziati, con ripercussioni sul bilancio comunale? Il tasso medio costituisce una semplificazione; gli studenti preferiranno forse basarsi su un intervallo di variabilità, ottenendo una gamma di previsioni per la popolazione.

Esempio: «Imballaggio delle lattine di bibita». Questo è l’adattamento di un problema tratto dal progetto A.R.I.S.E. (Applications/Reform in Secondary Education, cioè «Applicazioni/Riforme

nell’Istruzione Secondaria») e riportato nel 1997 nella rivista The Mathematics Teacher del NCTM (Consiglio nazionale degli insegnanti di matematica). Il problema riguarda l’imballaggio di lattine di bibita [che si possono sostituire con bottiglie d’acqua]. In genere le lattine sono imballate a formare prismi rettangolari a gruppi di sei, dodici o ventiquattro. La disposizione delle lattine secondo un reticolo rettangolare spreca spazio fra l’una e l’altra. Gli studenti sono invitati a progettare un nuovo imballaggio che minimizzi lo spreco di spazio.

Gli studenti identificano ipotesi e variabili; gli aspetti più importanti sono usati per mettere a fuoco il problema. Essi o l’insegnante possono decidere di fissare il numero di lattine, da un minimo di quattro a un massimo di dodici, coscienti che si potrà rivedere qualsiasi semplificazione quando si analizzerà la ragionevolezza delle soluzioni a partire dai modelli. Ecco alcune possibili restrizioni aggiuntive: gli imballaggi sono prismi a base poligonale, tutte le lattine sono orientate nella stessa direzione, esse sono cilindri perfetti, e non sono impilate verticalmente. L’ultima restrizione permette di limitare i modelli a due dimensioni, cioè a cerchi inscritti in poligoni, poiché il valore dell’altezza rimane costante in tutti i progetti.

Gli studenti iniziano provando materialmente varie disposizioni delle lattine per poterle visualizzare. Rappresentano i propri progetti con disegni accurati (dischi circolari) o con tecnologie di disegno geometrico. Decidono se calcolare lo spazio sprecato come area o volume assoluti, o come percentuale dello spazio disponibile. Così facendo incontreranno concetti come il teorema di Pitagora, triangoli equilateri e triangoli rettangoli metà di triangoli equilateri, triangoli simili, area dei poligoni e dei cerchi, tangenti ai cerchi, volume dei cilindri, rapporti e proporzioni.

Creazione di un corso di modellizzazione matematica per la

scuola secondaria Il corso si appoggerà alle esperienze di modellizzazione svolte nei corsi di matematica

precedenti. Un corso simile dovrebbe permettere agli studenti di comprendere meglio il processo di modellizzazione, applicare i modelli matematici già appresi in contesti nuovi, e apprendere nuovi concetti per risolvere interessanti problemi reali.

Gli studenti con solide basi nella modellizzazione matematica dovrebbero riuscire ad applicare la matematica per comprendere o risolvere problemi nuovi nel contesto universitario o lavorativo. Un corso di modellizzazione dovrebbe far sperimentare agli studenti tutte le fasi del processo di modellizzazione, tra cui la formulazione del problema, la costruzione del modello con una varietà di competenze, strumenti e modelli matematici per risolvere i problemi, e lo svolgimento di analisi sufficienti a determinare se la soluzione sia ragionevole, o al contrario occorra rivedere il modello.

Lo scopo della modellizzazione matematica è rispondere a una domanda, risolvere un problema, comprendere una situazione, ideare o perfezionare un prodotto o progetto, o prendere una decisione. Nel contesto scolastico si aggiunge la necessità che gli studenti apprendano o applichino particolari concetti matematici corrispondenti a un dato grado d’istruzione. Se lo scopo è l’apprendimento o l’applicazione di standard di contenuto, andranno scelti problemi reali che si prestano a chiamare in causa la matematica voluta.

La maggior parte degli insegnanti e degli studenti ha imparato la matematica avanzata in un unico modo. Il percorso tradizionale è logico: si appoggia ogni concetto al precedente, aumentando di complessità, allo scopo di immagazzinare strumenti utilizzabili nella risoluzione di problemi. Agli studenti si dà raramente, se non mai, l’opportunità di risolvere problemi reali nella forma che questi assumono nella vita quotidiana. In genere i problemi «applicativi» dei libri di testo sono formulati e presentati sotto forma di esercizi, nella speranza di convincere gli studenti dell’importanza della matematica.

C’è un altro modo di imparare la matematica che non si incontra quasi mai a scuola, ma molto spesso nella vita o nel lavoro quotidiani. Si inizia da un problema o una domanda reale, e si applica la matematica già appresa a una situazione nuova, o si imparano nuovi concetti matematici applicabili alla risoluzione del problema.

L’esperienza della modellizzazione matematica dovrebbe assumere varie forme per studenti e insegnanti:

Problemi o domande brevi e semplici tratti dal mondo reale, o situazioni del tipo «mi chiedo se...?», risolvibili tramite la matematica e con soddisfazione in qualche minuto appena.

Problemi più complessi che richiedono informazioni aggiuntive da reperire tramite ricerche, facendo al contempo semplificazioni e ipotesi che permettano di sfrondare dagli aspetti superflui. Il processo risolutivo richiede più di un giorno e diverse iterazioni nel ciclo di modellizzazione.

Problemi estesi che richiedono l’elaborazione di nuovi modelli e l’apprendimento di nuova matematica, e che possono costituire un’intera unità di studio dei concetti matematici incontrati analizzando una singola situazione reale. Nello studio si può applicare la matematica appresa ad altri contesti, in modo che gli studenti inizino a riconoscere l’universalità di alcuni modelli e processi matematici.

Un intero corso sviluppato a partire da unità composte da problemi estesi. Le unità, collegate o meno, devono avere origine da situazioni reali. Minore sarà la guida e il sostegno forniti dall’insegnante o dal programma, più autentica sarà l’esperienza di modellizzazione.

I corsi di modellizzazione matematica si prestano a realizzare un’ampia gamma di obbiettivi

curricolari. Possono basarsi su standard di modellizzazione già visti, o ritornarci su. In questo caso si punterebbe a perfezionare la comprensione e le capacità degli studenti, applicando quanto già appreso a situazioni nuove, inconsuete e interessanti. In alternativa, il corso di modellizzazione può avere l’obiettivo di insegnare nuovi concetti matematici non trattati in corsi precedenti. Va anche notato che i problemi reali non sono vincolati dagli standard di contenuto; spesso ne chiamano in causa diversi, a vari livelli di complessità. I corsi di modellizzazione matematica dovrebbero estendere o integrare l’inserimento della modellizzazione in tutti i corsi e percorsi di studio di matematica avanzata, non sostituirlo.

L’alfabetizzazione finanziaria è uno degli argomenti che può trovare posto nell’insegnamento dei CCSSM di matematica avanzata. Tra gli argomenti di un corso di modellizzazione matematica si potrebbero includere delle semplici analisi di costo tramite funzioni lineari, la determinazione dell’interesse semplice e composto tramite funzioni esponenziali, la determinazione del costo totale delle rate di un prestito, ecc. Simili argomenti sono di chiara rilevanza per il futuro degli studenti; rappresentano quindi un’importante applicazione della modellizzazione alla loro vita.

Esempio: «Acquisto di un’automobile usata». Quanti anni dovrebbe avere l’auto, e quando è meglio rivenderla? L’insegnante pone questa domanda a una classe della scuola secondaria e suggerisce agli studenti di cercare diverse variabili su Internet, tra cui le possibilità di finanziamento, il costo totale dell’auto, la sua svalutazione, il consumo al chilometro e così via. Gli studenti organizzano le informazioni in loro possesso e si servono della matematica per corroborare la loro proposta riguardo all’età dell’auto da acquistare. In un simile problema di modellizzazione si possono incontrare proporzioni, percentuali, tassi, unità, funzioni lineari ed esponenziali, e molto altro. (Adattato da Burkhardt 2006, 184).

Un corso di modellizzazione matematica dovrebbe:

Integrare e non sostituire l’inserimento della modellizzazione matematica in tutti i corsi di matematica avanzata. Nelle intenzioni, la categoria concettuale della modellizzazione non dovrebbe essere relegata in un corso separato che gli studenti della scuola secondaria possono seguire o meno.

Approfondire negli studenti la comprensione e l’esperienza diretta di tutte le fasi del processo di modellizzazione matematica. Il corso dovrebbe focalizzarsi tanto sulla modellizzazione quanto sulla matematica, e sul rapporto tra le due.

Dare agli studenti abbastanza opportunità di applicare concetti matematici già appresi a problemi e contesti interessanti.

Stimolare e motivare gli studenti a riconoscere la necessità di imparare e poi applicare nuovi concetti matematici e i relativi modelli. Una volta spiegati i modelli e i concetti, si incitano gli studenti a trovare altri contesti in cui applicare gli stessi modelli o altri simili.

Lasciare agli studenti libertà e opportunità via via maggiori di formulare le proprie domande, elaborare, applicare e convalidare i modelli matematici creati da loro stessi, e analizzare e giustificare le proprie conclusioni, tramite la collaborazione e il dialogo con i compagni e gli insegnanti. (Per gli insegnanti sarà arduo trovare il giusto equilibrio tra lasciar fare e fornire aiuto. Gli studenti devono fare uno sforzo perché l’apprendimento abbia luogo, ma non scoraggiarsi a tal punto da rinunciare. L’insegnante dovrà sapere in che modo intervenire ed elaborare

domande aperte per accompagnare e a volte guidare le riflessioni degli studenti).

Far capire a studenti e insegnanti che la modellizzazione matematica è una cosa che in una certa misura facciamo tutti quotidianamente, sviluppando due capacità collegate: (1) quella di considerare una situazione tratta dalla vita reale e chiedersi come si può comprenderla o risolverla tramite la matematica, (2) quella di considerare un concetto matematico e chiedersi come applicarlo a esperienze concrete.

Dar modo agli studenti di affrontare problemi reali di complessità variabile, dai più semplici, come la scelta del buono sconto da usare, dell’abbonamento telefonico o della mancia da lasciare, ai più complessi come la preparazione alle catastrofi naturali, l’investigazione dei crimini, la valutazione dei prodotti o l’equilibrio tra la crescita del fabbisogno energetico e la necessità di proteggere l’ambiente.

Consentire l’apprendimento di principi matematici, «grandi idee», concetti, procedimenti, modelli standard e nuove capacità in un contesto ben ancorato nella realtà, evidenziandone ogniqualvolta possibile la significatività e la rilevanza prima di passare all’insegnamento della matematica.

Possibili argomenti per un corso di modellizzazione

matematica applicata

Gli standard dei CA CCSSM per la matematica avanzata contrassegnati da una stella (★) sono

elencati alla fine di questa appendice. Ogni standard può entrare a far parte di un corso di modellizzazione, eventualmente combinato con altri standard di matematica avanzata. La tabella seguente suggerisce alcuni possibili argomenti da esaminare in un corso di modellizzazione applicata.

Argomento Esempi di contesti o problemi Concetti matematici da assimilare

Funzioni lineari 1

Realizzazione di un profitto

Iscrizione a club

Scelta di abbonamenti

Semplici modelli aziendali di costi, ricavi e profitti sono contesti eccellenti per la modellizzazione con le funzioni lineari. Le imprese reali tengono conto di diverse variabili che andranno semplificate. Ecco alcune domande possibili: quanti esemplari di un prodotto bisogna vendere per andare in pari o realizzare un profitto prestabilito? Quale prodotto permette di realizzare il profitto maggiore?

Scelta dell’abbonamento telefonico, a Internet, a una palestra, a un club musicale; vantaggi riservati ai soci, ecc.

È meglio avere un’auto di proprietà o affittarla?

Lavoro dipendente, libera professione o un po’ e un po’?

Funzioni lineari espresse in forma tabulare, grafica e simbolica

Sistemi di funzioni ed equazioni lineari

Funzioni ricorsive con costante additiva

Funzioni lineari 2

Retta di regressione Si inizia con un insieme di dati

approssimativamente lineari e si formulano problemi, OPPURE

Si inizia con un problema tratto dal mondo reale dalla probabile natura lineare, e si raccolgono dati tramite simulazioni, sondaggi, attività specifiche o ricerche su Internet.

Quanti partecipanti si prevedono e/o

Funzioni lineari derivate da dati approssimativamente lineari. Uso dei residui per determinare l’applicabilità del modello

quanto cibo occorre preparare per un certo evento?

In base alle edizioni passate, quanti biglietti o programmi di questo evento vanno stampati?

Quante scuole occorreranno? Quante persone potrebbero partecipare? Di quanto si svaluta un’auto in sette anni? Che totale si prevede?

Funzioni esponenziali Contesti legati alla crescita di popolazioni (esseri umani, animali, batteri, malattie) o all’accumulo di denaro (interesse composto). Elaborazione di previsioni e/o programmi basati sull’aumento previsto della popolazione o dei risparmi.

Contesti legati al declino/decadimento di popolazioni come l’emivita dei farmaci da prescrizione o da banco, o la svalutazione del denaro.

Contesti legati al filtraggio, come ventilatori per purificare da polveri l’aria di una stanza, o depurare fonti idriche da agenti inquinanti.

Eventualmente, problemi più curiosi ma dalle caratteristiche abbastanza simili a problemi reali: si tratta di varianti del problema reale meno emotivamente coinvolgenti.

Funzioni esponenziali espresse in forma tabulare, grafica e simbolica

Equazioni derivate da funzioni esponenziali

Valutazione dell’estensione del dominio ai numeri interi non negativi, interi o razionali per la base e/o l’esponente

Funzioni ricorsive con costante moltiplicativa

Presentazione informale dell’inverso della funzione esponenziale e identificazione con il logaritmo

Funzioni quadratiche Contesti legati al teorema di Pitagora e alla distanza. Si può anche esaminare la presenza di forme paraboliche nelle antenne satellitari, nei telescopi, nei riflettori di certi fari, nei microfoni spia o nelle cucine solari.

Contesti legati alla somma di una serie. Arrotolamento di tappeti o rotoli di carta.

Contesti legati al moto dei proiettili.

Contesti legati all’area.

Contesti legati al costo, al reddito e al profitto, quando il prezzo è una funzione lineare.

Polinomi Problemi legati al volume. Massimizzazione del volume di una scatola costruita da fogli di cartone, tagliando gli angoli.

Valore assoluto In una città le cui strade formano una griglia rettangolare, qual è la collocazione migliore per una scuola, un ospedale, un centro commerciale?

Contesti legati alla tolleranza.

Probabilità Test farmacologici, valutazione dei costi per l’analisi di campioni ematici singoli o riuniti in pool. (Se le analisi di dieci campioni riuniti sono negative, si risparmia il costo di altre nove analisi su campioni singoli. Se il risultato è positivo, bisogna rifare le analisi sui campioni singoli o riuniti in gruppi più piccoli).

Genetica ed ereditarietà. Analisi delle impronte digitali e del DNA.

Valore atteso per falsi positivi e falsi negativi

Varie Come si usa la matematica nella stesura del codice che rappresenta il movimento di oggetti su schermi o nei videogiochi?

Analisi delle tracce ematiche nelle indagini della polizia scientifica.

È possibile che un asteroide collida con la Terra?

Funzioni quadratiche (per il movimento di proiettili soggetti alla gravità, come nel gioco Angry Birds)

Equazioni parametriche delle variabili tempo e posizione in due o tre dimensioni

Movimenti provocati da forze o soggetti a esse e rappresentati da vettori, che comporterebbero quindi funzioni trigonometriche e formule con seni e coseni

Poligoni Come si può ingrandire o ridurre con precisione le dimensioni di un oggetto? Come variano il peso e l’area delle superfici in seguito a trasformazioni di scala?

Quale prisma rettangolare con base poligonale corrisponde all’imballaggio più efficiente di cilindri?

Qual è la posizione degli spruzzatori che ottimizza l’innaffiamento di prati o colture?

Qualsiasi contesto di imballaggio o tassellatura in cui oggetti di forma poligonale costituiscono il contenuto o l’imballaggio.

Similarità, fattori di scala e dilatazioni

Perimetro e area

Tassellature (rotazioni, traslazioni, riflessioni)

Trigonometria

Triangoli rettangoli Come si può stimare l’altezza di

oggetti macroscopici, come torri o montagne, quando è impossibile misurarne la distanza da noi?

Qual è il sistema indiretto per determinare l’altezza degli oggetti con uno strumento che misura gli angoli di inclinazione e depressione?

Come si rappresenta accuratamente in un disegno o un videogioco l’altezza di un oggetto inclinato rispetto al piano di osservazione?

Funzioni trigonometriche nel triangolo rettangolo (seno, coseno e tangente)

Cerchi Che dimensione della pizza offre il migliore rapporto quantità/prezzo?

Contesti in cui si manifesta il moto circolare: ruote, ingranaggi, motori con cinghia di trasmissione

Area e circonferenza

Tangenti al cerchio

Volume e superficie Massimizzazione del volume di un contenitore, minimizzando al contempo l’area della superficie (cioè la quantità di materiale necessario a costruirlo).

Pistoni e spostamento in un motore a combustione.

King Kong potrebbe esistere davvero? Ingrandendo o diminuendo le dimensioni, secondo che fattori di scala variano l’area della superficie, il peso e il volume?

Problema bizzarro: quanto è alto il gigante cui andrebbero bene le scarpe più grandi del mondo?

Quanto liquido occorrerebbe per riempire la bottiglia di Coca Cola enorme in mostra a Las Vegas?

Prismi, cilindri, coni e sfere

Fattori di scala (rapporti di scala tra lunghezza, area e volume)