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Le ombre del sole (2)

Modellizzazione matematica di un fenomeno naturale

Rossella Garuti

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Il problema del lampione

Il lampione del parcheggio è altissimo, non possiamo misurarlo direttamente. Come fare per sapere quanto è alto?

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Caratteristiche del problema

problema verbale

senza dati numerici

confronto oggetto-ombra proiettata

referente geometrico

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Soluzioni geometriche

Parallelismo dei raggi del sole

La prof o un altro oggetto non tanto alto, ad esempio i paletti della recinzione si mettono di fianco al lampione, poi si misura l’altezza dell’oggetto e la lunghezza della sua ombra e l’ombra del lampione. Si riportano le misure in scala sul quaderno, si traccia il raggio che parte dalla punta dell’oggetto alla fine della sua ombra. Infine traccio un raggio parallelo a questo che parte dalla fine dell’ombra del lampione e arriva in un punto che sarà l’estremità del lampione. Misuro e poi moltiplico per la scala di riduzione e trovo l’altezza del lampione.

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Ampiezza dell’angolo

Si misura un oggetto e la sua ombra e si riportano in scala sul foglio, si misura l’angolo e sotto si traccia un altro raggio con la stessa inclinazione. Poi si traccia l’ombra del lampione in scala che parta dalla fine del raggio. Si trova così l’altezza del lampione , si moltiplica per la scala e si trova l’altezza del lampione

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Soluzioni aritmetiche: conflitto fra modello additivo e modello moltiplicativo

Prendo un bastone e misuro lui e la sua ombra, poi calcolo la differenza fra i due. Infine misuro l’ombra del lampione e a questa sottraggo la differenza di prima

• strategia additiva pura

• attenzione al “pezzo in più” dell’ombra

• modello geometrico della similitudine

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Misuro il paletto della recinzione e la sua ombra. Poi divido l’ombra per il paletto e trovo quante volte il paletto sta nella sua ombra. Infine misuro l’ombra del lampione e la divido per il risultato di prima e trovo la lunghezza del lampione

• ombra più lunga dell’oggetto

• strategia moltiplicativa pura

•conflitto su “dividere per il numero di volte”

• modello geometrico della similitudine

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Misuro un metro nel palo e lo segno e misuro nell’ombra dove arriva questo segno, trovo così quanto è l’ombra di un metro di lampione. Misuro la lunghezza totale dell’ombra e la divido per quella del metro dell’ombra. Così trovo in veri metri quanto è alto il lampione

• unità di misura metro-ombra

• strategia moltiplicativa

• modello geometrico del parallelismo

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Strategia intermedia ponte fra additivo e moltiplicativo

Paletto 3 m

Ombra paletto 5 m

5-3=2

Ombra lampione 3 volte ombra paletto

5X3 =15 ombra lampione

3X2= 6

15-6=9 lunghezza lampione

•Classe III media

•In II proporzioni e similitudini

•Livello alto

•Matematica: ottimo

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Strategia intermedia modello moltiplicativo connesso a considerazioni di tipo additivo

C’è una differenza fra il paletto e la sua ombra e tra il lampione e la sua ombra, ma la differenza non è la stessa perché il lampione è più lungo del paletto. Se voglio rendere uguale il lampione alla sua ombra, devo togliere una maggior differenza rispetto al caso del paletto.

Misuro a occhio quante volte il paletto sta nel lampione e tolgo dall’ombra del lampione l’altra differenza, tante volte quante il paletto sta nel lampione. Così l’ombra e il lampione sono uguali e io posso misurare l’ombra del lampione.

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Qual è il modello sottostante al problema del lampione?

Talete (Mileto 626 ca. - 548 ca. a.C.),

Se un fascio di rette parallele è intersecato da due trasversali, a segmenti uguali sull'una corrispondono segmenti uguali sull'altra (Teorema di Talete)

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In terra d’Egitto, Talete sbalordisce tutti, agrimensori, sacerdoti e il re: misura la piramide, la tomba del re. Il successo è pieno e totale e Plutarco così lo riporta: " [Il re] è rimasto singolarmente ben impressionato dal modo in cui hai misurato la piramide, [...], limitandoti a collocare il tuo bastone al limite dell’ombra proiettata dalla piramide stessa; formatisi, al contatto col sole, due triangoli, dimostrasti che la proporzione esistente fra la lunghezza del bastone e l’altezza della piramide era la stessa che intercorreva fra la lunghezza delle due ombre. Ciò nonostante .... ti si muove l’accusa d’avere in odio i re".

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Altri problemi

1. La statua grecaIn un recente scavo archeologico in Calabria sono stati ritrovati i resti di una statua greca, probabilmente di un guerriero. L’unica parte intatta della statua è un piede che misura in lunghezza 76 cm. Vorremmo stabilire quanto era alta approssimativamente questa statua. Conosciamo le misure del David di Michelangelo ( piede 54 cm, altezza 432 cm)

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Caratteristiche del problema

• referente geometrico

• parti proporzionali di uno stesso oggetto

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Il problema dei due chiodi

Il disegno rappresenta dall’alto, le ombre prodotte da un chiodo posto in A, lungo 8cm. In B è piantato un chiodo lungo 6 cm. Pensi di poter disegnare con precisione, stabilendo la misura e la posizione, le ombre del chiodo piantato in B?

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Caratteristiche del problema

• dati numerici espliciti

• rapporto decimale

• lunghezza incognita minore di quella nota

• referente geometrico

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La strategia building-up

Calcolo quante volte il chiodo sta nella sua ombra 19:8= 2,3 un po’ più del doppio

Il chiodo in B è 6 e allora 6+6+2= 14 ombra del secondo chiodo

• confronto ombra-chiodo

• blocco sul rapporto decimale

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Strategia chiodo-chiodo

Calcolo quante volte il chiodo piccolo sta nel grande 8:6=1,3

Divido l’ombra questo numero 19: 1,3=

Calcolo il rapporto fra i due chiodi 6:8= 0,7

Moltiplico l’ombra per questo rapporto 19X0,7=

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Strategie moltiplicative

Per ogni problema posto è possibile costruire due tipi di rapporto

Invarianti di similitudine

Quando esprimono l’idea di trasformazione regolare da un oggetto all’altro

Invarianti di forma

Quando esprimono l’idea di equilibrio interno all’oggetto

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La scelta di una strategia o dell’altra dipende dal CONTESTO e dalla GRANDEZZA RELATIVA degli oggetti

LUOGO: parcheggio del Torrenova vicino ad un alto lampione stradale. Il parcheggio è cementato ed è un giorno pieno di sole. Classe IV° elementare

Ins. Come potremmo misurare l’altezza del lampione?

Michele: io propongo di dividere per due la misura dell’ombra del lampione che, siccome è più lunga, e si vede, si ottiene circa la misura vera del lampione.

Francesco: molto circa, perché l’ombra non mi sembra il doppio del lampione, è solo un po’ più lunga.

Discussione

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Costanza: prendiamo uno di noi e lo misuriamo realmente, poi mettiamo il bambino vicino al lampione e misuriamo la sua ombra. Che proporzione c’è tra il bambino e la sua ombra? Quante volte Alessandro sta nella sua ombra? Allo stesso modo ci dobbiamo chiedere: quante volte il lampione sta nella sua ombra. Praticamente i centimetri dell’ombra diviso i centimetri dell’altezza di Alessandro. Poi i centimetri dell’ombra del lampione diviso il numero ottenuto prima che danno come risultato l’altezza del lampione.

Francesco: Il mio ragionamento è lo stesso di Costanza, ma io farei la misura dell’ombra del lampione diviso la misura dell’ombra di Alessandro. Il risultato lo moltiplicherei per l’altezza reale di Alessandro

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Costanza: tu in questo modo prendi dei dati diversi. Io credo che bisogna stare attenti. Non so se è la stessa cosa. L’ombra di Alessandro e l’altezza di Alessandro appartengono ad un unico oggetto come pure l’ombra del lampione e l’altezza del lampione. Non so se si possono mischiare ombra e ombra e oggetto e oggetto. Io credo di poter dire quasi sicuramente che l’altezza di Alessandro sta nella sua ombra come l’altezza del lampione sta nella sua ombra, perché il sole si comporta nello stesso modo: è uno solo!

Francesca : Io farei in un altro modo. Misurerei l’ombra dell’oggetto e poi l’oggetto. Poi sottraggo le due misure e vedrei di quanto in più è lunga l’ombra. Lo stesso pezzo si toglie dall’ombra dell’altro oggetto e si vede di quanto è alto.

Francesco: Io non sono d’accordo perché non c’è rapporto

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Sara: Io sì. Fare la differenza si capisce bene e poi si vede di quanto è più lungo

Costanza: per me è sbagliato. Sembra che vada bene, ma non ci sono le proporzioni. Francesca prendi l’ombra di una margherita. Fai la differenza e vedrai che sarà di pochissimi centimetri. Se togli quei centimetri all’ombra del lampione ottieni una misura quasi uguale a quella dell’ombra, ma non è certo l’altezza del lampione

• si mantiene la semantica del ragionamento proporzionale

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…non sempre il modello funziona!

Francesca ha 1 anno ed è alta 52 cm. Quanto sarà alta fra un anno?

Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 7 di più. Fra quanti anni Marco avrà il doppio degli anni di Paolo?

Paolo ha 5 anni, suo fratello Marco ne ha 8. Quando Paolo avrà il doppio degli anni, quanti ne avrà Marco?