RETTE DI TARATURARETTE DI TARATURA

Esempio di una retta di taratura costruita Esempio di una retta di taratura costruita per analisi dell’Azoto Nitrico (N-NOper analisi dell’Azoto Nitrico (N-NO33) )

nelle acquenelle acque

prof. roberto finocchi

ITC “Cattaneo” San Miniato (PI)

a.s. 2002/2003

• In chimica analitica si presenta spesso il problema di adattare ad una serie di punti sperimentali la “retta migliore” (best fitting), che consente di ricavare una relazione fra le due variabili.

• In questo modo possiamo ad esempio correlare l’assorbanza di un campione incognito, opportunamente trattato, con la concentrazione.

• La correlazione avviene tramite una RETTA DI TARATURA.

• La retta di taratura viene “costruita” partendo da una serie di valori sperimentali dove si conosce sia l’assorbanza che la concentrazione.

DATI DI PARTENZA

n. campione a conc. nota

conc. N-NO3

mg/l

Assorbanza

1 0.000 0.000

2 0.102 0.271

3 0.255 0.635

4 0.354 0.798

5 0.408 1.035

6 0.510 1.277

retta taratura N-NO3

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

COME SI TRATTANO I VALORI?

ESISTONO TRE METODI

metodo grafico

metodo analitico

calcolo della retta di regressione (metodo dei minimi quadrati)

METODO GRAFICOretta taratura N-NO3

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

si prende il valore di ABS misurato

es. 0,550

si ricava il

valore di conc.

in questo caso

0,225 mg/l

METODO GRAFICO

• Non si devono fare calcoli

VANTAGGI DEL METODO GRAFICO

• Il grafico ottenuto può essere utilizzato più volte

METODO GRAFICO

• Si deve disegnare il grafico

SVANTAGGI DEL METODO GRAFICO

• Non è sempre facile determinare i valori che cerchiamo sugli assi del grafico e quindi i risultati ottenuti possono essere affetti da errore pur partendo da dati precisi

• Non abbiamo un fattore numerico di controllo che indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie di dati sperimentali

• Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità dell’operatore

METODO ANALITICO

Con questo metodo si calcola, partendo da una retta disegnata manualmente, la sua equazione sotto la forma Y=aX+c

c termine noto

a coefficiente angolare

dove

METODO ANALITICO

Per determinare i valori di a (coefficiente angolare) e c (termine noto) della forma Y=aX+c si deve risolvere l’equazione seguente:

Y - Y1 =Y2 - Y1

X2 - X1

(X - X1)

dove

X1 e Y1 sono le ascisse e le ordinate di un punto P1 che cade sulla retta tracciata manualmente

X2 e Y2 sono le ascisse e le ordinate di un punto P2 che cade sulla retta disegnata

X e Y sono le variabili della retta di taratura

METODO ANALITICO

retta taratura N-NO3

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

P1

di coordinate (X1;Y1) nel nostro caso

(0,205 ; 0,500)

P2

di coordinate (X2;Y2) nel nostro caso

(0,370 ; 0,900)

METODO ANALITICO

P1 (0,205 ; 0,500)

All’equazione Y - Y1 =Y2 - Y1

X2 - X1

(X - X1)

sostituiamo i valori delle coordinate del punto P1 e del punto P2

P2 (0,370 ; 0,900)

0,900 – 0,500Y – 0,500 = (X – 0,205)

0,370 – 0,205

e si ottiene l’equazione

METODO ANALITICO

dopo un banale calcolo algebrico l’equazione

0,900 – 0,500Y – 0,500 = (X – 0,205)

0,370 – 0,205

si trasforma nella forma Y = 2,4242 X – 0,003

Sapendo che nel grafico di partenza la Y corrisponde all’assorbanza (ABS) mentre la X alla conc. (in mg/l) abbiamo:

ABS = 2,4242 conc. – 0,003

segue che conc. =2,4242

ABS + 0,003

METODO ANALITICO

VANTAGGI DEL METODO ANALITICO RISPETTO AL METODO GRAFICO

• Una maggiore precisione nei risultati in quanto i parametri a e c della retta di taratura vengono calcolati con due punti scelti ad hoc dall’operatore. Si scelgono sempre punti della retta disegnata dove è facile determinare con precisione sia il valore sulle ascisse che sulle ordinate.

METODO ANALITICO

• Si deve disegnare il grafico

SVANTAGGI DEL METODO ANALITICO

• Non abbiamo un fattore numerico di controllo che indica se la retta tracciata è la migliore per quella serie di dati sperimentali

• Il tracciamento della retta dipende solo dalla sensibilità dell’operatore

• Si devono fare dei calcoli

RETTA DI REGRESSIONESecondo questo modello matematico la retta migliore che possiamo costruire è quella che consente di minimizzare i quadrati delle distanze (misurate lungo l’asse delle ordinate) fra i punti osservati e la retta stessa

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80

RETTA DI REGRESSIONE

Anche in questo caso, come nel metodo analitico, si trova l’equazione della retta sotto la forma Y=aX+c dove a è il coefficiente angolare e c il termine noto.

RETTA DI REGRESSIONE

Il coefficiente angolare a si calcola applicando la relazione:

dove

Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente

Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente

n è il numero di misure fatte

RETTA DI REGRESSIONE

Il termine noto c si calcola con la relazione:

XaYc dove

a è il coefficiente angolare calcolato con la relazione vista nella slide precedente

X è la media delle ascisse della serie dei dati sperimentali

Y è la media delle ordinate della serie dei dati sperimentali

RETTA DI REGRESSIONE

Con i dati sperimentali si può calcolare anche il coefficiente di determinazione R2

Questo coefficiente ci indica come la retta, calcolata con la regressione, fitta i dati sperimentali

Il valore del coefficiente R2 varia da 0 a 1

R2 = 1 indica una perfetta corrispondenza dei valori sperimentali e la retta calcolata con la regressione

R2 = 0 indica la totale discordanza tra i sperimentali e la retta calcolata con la regressione

RETTA DI REGRESSIONE

n

YY

n

XX

n

YXYX

Ri

ii

i

iii

2

2

2

2

2

1

2

R2 si calcola tramite la relazione:

dove

Xi sono i valori delle ascisse determinati sperimentalmente

Yi sono i valori delle ordinate determinati sperimentalmente

n è il numero di misure fatte

RETTA DI REGRESSIONE

1.2770.5106

1.0350.4085

0.7980.3544

0.6350.2553

0.2710.1022

0.0000.0001

YX

ABSconcn

1.6310.2600.651

1.0710.1660.422

0.6370.1250.282

0.4030.0650.162

0.0730.0100.028

0.0000.0000.000

Y2X2X*Y

16.1282.654

Yi2 Xi

2

4.0161.629

Yi Xi

0.6690.272

YX

3.8150.6271.546

Yi2 Xi

2 XiYi

RETTA DI REGRESSIONE

Sostituendo i valori calcolati come nella slide precedente nelle relazioni

XaYc

n

YY

n

XX

n

YXYX

Ri

ii

i

iii

2

2

2

2

2

1

2

si ottiene l’equazione della retta nella forma Y=aX+c

e tramite il valore di R2 si valuta come questa retta approssima i dati di partenza

RETTA DI REGRESSIONE

VANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA DI REGRESSIONE RISPETTO AGLI ALTRI METODI• Non si deve obbligatoriamente disegnare la retta• Si calcola direttamente il coefficiente angolare e il termine noto

applicando delle relazioni matematiche

• La retta è univoca, cioè partendo da una stessa serie di dati “tutti” ottengono la stessa retta di taratura

• Si riesce a determinare numericamente come la retta ottenuta “si adatti” con i dati di partenza

• Se si dispone di un computer (e lo si sa usare) i calcoli risultano banali, esistono programmi (tipo Excel) che danno il risultato in automatico

• Molti strumenti per l’analisi chimica hanno al proprio interno un software che calcola direttamente la retta di taratura con questo metodo

RETTA DI REGRESSIONE

SVANTAGGI DEL CALCOLO DELLA RETTA DI REGRESSIONE

• I calcoli che si devono fare, se non si dispone di un computer, possono risultare anche laboriosi

• Se non si plottano su un grafico sia i punti sperimentali che la retta di regressione, può risultare difficile vedere come si comporta la retta calcolata rispetto ai valori sperimentali. A questo problema si può ovviare utilizzando programmi tipo Excel, che permettono di disegnare il grafico e contemporaneamente visualizzare sia la retta di regressione, con la propria funzione analitica, che il coefficiente R2

retta taratura N-NO3

R2 = 0,9936

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONE

retta taratura N-NO3

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONE

retta taratura N-NO3

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONE

retta taratura N-NO3

R2 = 0,9997

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONE

retta taratura N-NO3

R2 = 0,9997

R2 = 0,9936

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONE

retta taratura N-NO3

R2 = 0,9997

R2 = 0,9936

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

1,100

1,200

1,300

1,400

0,000 0,100 0,200 0,300 0,400 0,500conc. mg/l

AB

S

RETTA DI REGRESSIONELe due rette non sembrano molto differenti però se si ipotizza che il nostro campione incognito abbia un’assorbanza di 1,2 vediamo che con la retta blu (R2 pari a 0,9936) otteniamo una conc. di 0,487 mg/ll mentre con l’altra retta (retta rossa) ad un’assorbanza di 1,2 corrisponde una conc. di 0,477 mg/l.La differenza tra le due conc. equivale ad un errore percentuale del 2,09%.

Naturalmente, vedendo l’andamento della retta, si può notare che l’errore aumenta per assorbanze alte mentre diminuisce per quelle basse.

Pertanto si può concludere che anche con il metodo della retta di regressione l’operatore deve intervenire in modo critico, considerando nel calcolo solo i punti che ritiene significativi, in modo da avere una retta con coefficiente R2 più vicino possibile ad 1.