Post on 12-Apr-2018
Progetto del controllore
2
“Loop shaping” e sintesi per tentativi Reti anticipatriciReti attenuatriciReti integro-derivativeImplicazioni sull’attività sul comando
Principali reti di compensazione
Principali reti di compensazione
4
Il concetto del “loop shaping” (1/3)
Nel consueto schema di controllo ad un grado di libertà
il controllore C(s) deve essere progettato in modo che la funzione d’anello Ga(s) = C(s)F(s) presenti le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche date
ydesr
–
e u yF(s)
+Kr
C(s)
ch
KC(s) C (s)
s′= ⋅
5
L’analisi delle principali specifiche permette infatti di individuare una serie di vincoli su C(s) e su alcune caratteristiche di Ga(s); in particolare
Le specifiche statiche impongono vincoli sul guadagno Kc e sul numero h di poli in s = 0Le specifiche sulla prontezza di risposta del sistema (tempo di salita) o sulla banda passante portano ad individuare un valore desiderato (ωc,des) per la pulsazione di taglioLe specifiche sulla sovraelongazione massima o sul picco di risonanza determinano un valore minimo di margine di fase (mϕ,min)
Il concetto del “loop shaping” (2/3)
6
Una volta determinato il blocco della parte statica del controllore Kc/sh a partire dalle specifiche statiche, la parte dinamica C’(s) viene costruita in modo che Ga(s) presenti
Si parla di loop shaping proprio perché C(s) viene progettata in modo da assegnare alla funzione d’anello la “forma” idonea al soddisfacimento delle specifiche
Il concetto del “loop shaping” (3/3)
c c,des
,minm mϕ ϕ
ω ω
≥
7
Si definisce la funzione d’anello “di partenza”contenente il sistema dato e la parte statica del controllore già definita
La costruzione dell’anello (1/2)
ca1 h
KG (s) F(s)
s=
8
Si valutano e e si calcolano
La variazione di fase Δϕ necessaria per ottenere mϕ > mϕ,min alla pulsazione ωc,des
Solitamente il sistema viene stabilizzato mediante un anticipo di fase in ωc,des (Δϕ ≥ 0); solo in alcuni casi particolari è necessario introdurre invece un opportuno ritardo di fase
La variazione di modulo Δm (o ΔmdB in decibel) necessaria per portare ωc in ωc,des
La costruzione dell’anello (2/2)
a1 c,desG (j )ω( )a1 c,desarg G (j )ω
dB a1 c,des dBm G (j )Δ = − ω
9
Nel caso di sistemi stabilizzabili per mezzo di un controllore stabile, il desiderato “loop shaping”per la risultante Ga(s) = C’(s) Ga1(s) può essere ottenuto costruendo C’(s) come prodotto di reti di compensazione elementari
Ogni rete viene progettata in modo da apportare una modifica “ad hoc” nelle caratteristiche della funzione d’anello (modulo e/o fase)L’effetto complessivo di tutte le reti introdotte deve portare la Ga(s) risultante a presentare le caratteristiche necessarie per il soddisfacimento delle specifiche (in particolare ωc e mϕ)
Reti di compensazione (1/2)
10
A seconda delle più significative modifiche apportate all’andamento della funzione d’anello (in termini di variazione di fase e/o di modulo), si distinguono fra le principali reti di compensazione
Reti anticipatrici o derivativeReti attenuatrici o integrativeReti integro-derivative o lead-lag (formate dall’unione di reti dei due tipi precedenti)
Reti di compensazione (2/2)
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Sintesi per tentativi
Questa tecnica di progetto è indicata anche come sintesi per tentativi, perché l’effettivo soddisfacimento di tutte le specifiche avviene spesso per correzioni successive (tentativi) nella definizione delle reti di compensazioneIl soddisfacimento dei vincoli individuati su Ga(s) non garantisce infatti l’automatico soddisfacimento delle specifiche sul sistema in catena chiusaÈ fondamentale, dopo aver determinato C(s) tale da soddisfare i vincoli su Ga(s), procedere ad una completa verifica delle specifiche su W(s)
Principali reti di compensazione
13
Una rete anticipatrice o derivativa è descritta da una fdt della forma
La rete presentaUno zero in -1/τd
Un polo in -md/τd
Caratteristiche delle reti anticipatrici (1/6)
dd
d
d
1 sR (s)
1 sm
+ τ=
τ+ d dcon > 0, m > 1τ
Essendo md > 1, il polo si trova sempre ad una pulsazione mdvolte maggiore di quella dello zero
14
Caratteristiche delle reti anticipatrici (2/6)
25
Pulsazione normalizzata ωτd
0
5
10
15
20
Mod
ulo
(dB
)
10 -10
30
60
90
Fas
e (g
radi
)
10 0 10 1 10 2
DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τd
Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a 1
Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a md
15
Caratteristiche delle reti anticipatrici (3/6)
25
Pulsazione normalizzata ωτd
0
5
10
15
20
Mod
ulo
(dB
)
10 -10
30
60
90
Fas
e (g
radi
)
10 0 10 1 10 2
md = 2md = 3md = 4md = 6md = 8md = 10md = 12md = 14md = 16
md crescente
md crescente
DdB delle reti anticipatrici normalizzati rispetto a τd
16
Caratteristiche delle reti anticipatrici (4/6)
Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell’intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del poloL’entità di tale aumento e l’ampiezza dell’intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di md
0
30
60
90
Fas
e (g
radi
)
10 -1 10 0 10 1 10 2
17
Caratteristiche delle reti anticipatrici (5/6)
Una rete anticipatrice introduce un aumento (anticipo) di fase di entità massima nell’intervallo compreso fra la pulsazione dello zero e quella del poloL’entità di tale aumento e l’ampiezza dell’intervallo di pulsazioni corrispondente crescono al crescere del valore di md
N.B.: Nel caso limite di md molto elevato (tendente all’infinito) il comportamento di una rete anticipatrice è assimilabile a quello di uno zero con 90° di recupero massimo di fase
18
Caratteristiche delle reti anticipatrici (6/6)
L’incremento di recupero di fase all’aumentare di md di qualche unità è significativo però solo per valori non eccessivamente elevati di md(all’incirca non superiori a 16)
Non è opportuno pertanto utilizzare reti anticipatrici con md troppo elevati: quando è necessario aumentare molto la fase, è preferibile impiegare più reti
⇒
19
Utilizzo delle reti anticipatrici (1/2)
Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ωc,des per ottenere il margine di fase richiesto (mϕ > mϕ,min)L’inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo
25
0
5
10
15
20
Mod
ulo
(dB
)
10 -1 10 0 10 1 10 2
20
Utilizzo delle reti anticipatrici (2/2)
Le reti anticipatrici sono utilizzate ogni volta in cui è necessario recuperare fase in corrispondenza della pulsazione di taglio desiderata ωc,des per ottenere il margine di fase richiesto (mϕ > mϕ,min)L’inserimento di una rete anticipatrice in C(s) introduce anche un aumento di modulo
L’utilizzo di sole reti anticipatrici è indicato quando è necessario aumentare il valore di ωc e recuperare fase per soddisfare i vincoli su Ga(s)
21
Procedura “base” di progetto di Rd(s) (1/4)
Si sceglie md in modo da garantire il recupero di fase necessario, sfruttando il massimo recupero di fase ϕmax consentito dalla rete
Si determina τd dai DdB normalizzati delle reti imponendo che ϕmax sia raggiunto proprio in ω = ωc,des
( )( )
maxdmax d
d max
1 sinm 1arcsin m
m 1 1 sin+ ϕ⎛ ⎞−
ϕ = ⇒ =⎜ ⎟+ − ϕ⎝ ⎠
c,des d dmω τ =Ascissa normalizzata del punto di massimo recupero di fase
22
Procedura “base” di progetto di Rd(s) (2/4)
Se il recupero di fase Δϕ che deve essere introdotto non è troppo elevato (non superiore a circa 60°), è sufficiente utilizzare una sola rete anticipatrice con md corrispondente a ϕmax = ΔϕSe Δϕ è elevato (> 60°), si introducono due (o più) reti anticipatrici Rd,i(s), scelte in modo che
max,ii
Δϕ = ϕ∑
23
Procedura “base” di progetto di Rd(s) (3/4)
L’inserimento di ciascuna rete anticipatrice determina un aumento di modulo in ω = ωc,des leggibile sul DdB normalizzato del modulo in corrispondenza della pulsazione
(ascissa di ϕmax) e pari a
dd
ddB
mR j
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟τ⎝ ⎠
d dmωτ =
24
Nella scelta delle reti anticipatrici è necessario verificare che tale aumento di modulo sia “compatibile” con l’aumento di ωc richiestoIn particolare, la procedura “base” di progetto presuppone che l’aumento di modulo inserito sia non significativamente superiore a ΔmdB
Se l’aumento di modulo apportato dalla rete risulta inferiore a ΔmdB, è sufficiente successivamente aumentare il guadagno stazionario Kc, in modo da ottenere |Ga(jω)| = 1 (= 0 dB) per ω = ωc,des
Procedura “base” di progetto di Rd(s) (4/4)
25
Dato il seguente schema di controllo:
progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche
per r(t) = tTempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%
r
10F(s)
s(s 2)(s 4)K 1
=+ +
=
Esempio 1 (1/12)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
r,e 0.2∞ ≤
15%±
26
Esempio 1 (2/12)
Si considera la specifica “statica”per r(t) = t
Poiché il sistema è di tipo 1 ed il riferimento è di primo grado, non è necessario introdurre poli in s = 0Essendo KF = 1.25, la specifica implica
Si sceglie Kc di segno positivo per garantire la stabilizzabilità del sistema (con C(s) stabile)
r,e 0.2∞ ≤
rr, c
c F
Ke 0.2 K 4
K K∞ = ≤ ⇒ ≥
Già discussa nella lezione precedente
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Esempio 1 (3/12)
Si considerano le specifiche “dinamiche”Tempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )
B c,des7.5 rad/s 4.7 rad/s⇒ ω ≅ ⇒ ω ≅
15%±
s0.34 t 0.46 s≤ ≤
s3 / t B0.63 ⋅ ω
28
Esempio 1 (3/12)
Si considerano le specifiche “dinamiche”Tempo di salita ts della risposta al gradino unitario pari a circa 0.4 s (con tolleranza di )
Sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%
B c,des7.5 rad/s 4.7 rad/s⇒ ω ≅ ⇒ ω ≅
o or ,minM 1.39 2.85 dB m 43 45ϕ⇒ ≤ = ⇒ ≅ ÷
15%±
ˆ1 s0.9+ o o
r,max r,max dB60 /M 60 5 (M )≅ − ⋅
29
Esempio 1 (4/12)
Si assume C(s) della forma
con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e si definisce conseguentemente la funzione d’anello di partenza
cC(s) K C (s)′=
a1 c
40G (s) K F(s)
s(s 2)(s 4)= ⋅ =
+ +
30
Esempio 1 (5/12)
DdB di Ga1(s)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Δϕ = 70o
26° stabilità
44° mϕ
System: Ga1
Frequency (rad/sec): 4.7
Magnitude (dB): -11.4
Phase (deg): -206
System: Ga1
Frequency (rad/sec): 4.7
31
Esempio 1 (5/12)
DdB di Ga1(s)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ΔmdB = 11.4 dB
Δϕ = 70o
System: Ga1
Frequency (rad/sec): 4.7
Magnitude (dB): -11.4
Phase (deg): -206
System: Ga1
Frequency (rad/sec): 4.7
32
Esempio 1 (6/12)
Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (almeno 70°) ed aumentare la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) a ωc,des = 4.7 rad/s (aumentando il modulo in ωc,des di circa 11.4 dB)
Il problema di controllo può essere risoltointroducendo solo reti anticipatrici
33
Esempio 1 (7/12)
Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70° è necessario utilizzare due reti anticipatriciSoluzione proposta: due reti con md = 4
Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dB Pari a arcsin(3/5)
10-2
10-1
100
101
102
0
10
20
30
40
Fas
e (g
radi
)
Pulsazione normalizzata ωτd
Rete anticipatrice con md = 4
34
Esempio 1 (7/12)
Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70° è necessario utilizzare due reti anticipatriciSoluzione proposta: due reti con md = 4
Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dB
2
4
6
8
10
12
14
Mod
ulo
(dB
)
0
Rete anticipatrice con md = 4
10-2
10-1
100
101
102
Pulsazione normalizzata ωτd
35
Esempio 1 (7/12)
Per ottenere un recupero totale di fase di (almeno) 70° è necessario utilizzare due reti anticipatriciSoluzione proposta: due reti con md = 4
Ogni rete permette di recuperare circa 36.9° nel suo punto di massimo (ωτd = 2), in corrispondenza del quale si ha un aumento del modulo di circa 6 dBL’aumento totale del modulo è di poco superiore a ΔmdB Ci si aspetta di ottenere ωc leggermente superiore al valore desiderato
⇒
36
Esempio 1 (8/12)
Imponendo ωc,desτd = 2, si ricava τd = 0.425La rete anticipatrice prescelta è quindi
d
1 0.425sR (s)
0.4251 s4
+=
+
2
2d
1 0.425sC (s) R (s)
0.4251 s4
⎛ ⎞⎜ ⎟+′ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠
c2d
C(s) K C (s)4 R (s)
′= ⋅= ⋅
Controllore risultante
37
Esempio 1 (9/12)
Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s)Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare ilsoddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario)
Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario “correggere” il progetto di C’(s) (ed eventualmente il valore di Kc)
Ad esempio se ts risultasse troppo elevato, si dovrebbe aumentare ωc per far aumentare ωB
38
Esempio 1 (9/12)
Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s)Si determina il sistema in catena chiusa W(s) e se ne valuta il comportamento per verificare ilsoddisfacimento delle specifiche date (in questo caso la risposta al gradino unitario)
Se qualcuna delle specifiche dinamiche non risulta soddisfatta, è necessario “correggere” il progetto di C’(s) (ed eventualmente il valore di Kc)Il mancato soddisfacimento di una specifica statica indicherebbe la presenza di un errore progettuale!
39
Esempio 1 (10/12)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1 100 101 102 103-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 10.6 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Ottenuto con margin (Ga)
40
Esempio 1 (10/12)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1 100 101 102 103-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Frequency (rad/sec)
mϕ
Gm = 10.6 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec)
Soddisfa il requisito imposto
41
Esempio 1 (10/12)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1 100 101 102 103-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 10.6 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 44.2 deg (at 4.99 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
ωc
Leggermente superiore a ωc,des come previsto
42
Esempio 1 (11/12)
Risposta al gradino di W(s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Time (sec)
Am
plitu
de
Ulteriore valutazione (non oggetto di specifica):ta,2% = 1.7 s
ta,2%
specifica soddisfattas0.34 t 0.46 s≤ ≤ ⇒
specifica soddisfatta
s 25%< ⇒
Step ResponseSystem: W Peak amplitude: 1.24 Overshoot (%): 23.9At time (sec): 0.582
System: W Time (sec): 0.397Amplitude: 1
43
Esempio 1 (12/12)
Per completezza si verifica anche la specifica statica sull’errore di inseguimento alla rampa
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25Errore di inseguimento a ydes(t) = t
tempo(s)
e 0.2∞ = ⇒ specifica soddisfatta
è pari al valore maxconsentito perché è stato scelto per Kc il valore minimo ammissibile
e∞
44
Come contenere l’aumento di modulo (1/4)
Nella procedura “standard” di progetto di una rete anticipatrice, md viene scelto in modo da massimizzare il recupero di fase consentito dalla rete, sotto l’ipotesi che l’aumento di modulo introdotto non sia (significativamente) superiore al ΔmdB richiestoPer contenere l’aumento di modulointrodotto dalle reti anticipatrici, qualora richiesto dalle specifiche, è possibile seguire una linea “alternativa” di progetto, che prevede l’impiego di reti con parametro md maggiore
45
Come contenere l’aumento di modulo (2/4)
Si sceglie un valore di md più elevato del minimo necessario, corrispondente ad una rete tale da introdurre il Δϕ richiesto prima del punto di massimo recupero di fase, in un punto di ascissa normalizzata ωτd = xd in cui si abbia congiuntamente l’aumento di modulo ΔmdBdesideratoSi determina τd dai DdB normalizzati delle reti anticipatrici imponendo
c,des d dxω τ =
46
Esempio: confronto fra reti con md = 4 e md = 6
10 -2 10 -1 100 101 102
0
30
600
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Pulsazione normalizzata ωτd
Fas
e (g
radi
)M
odul
o (d
B)
md = 6
md = 4
Aumento di modulo: 6 dBRecupero fase (max): 36.9°
md = 4
Aumento di modulo: 3.2 dBRecupero fase: 36.9°
md = 6
Come contenere l’aumento di modulo (3/4)
47
Come contenere l’aumento di modulo (4/4)
Il principale svantaggio associato all’utilizzo di reti anticipatrici con md elevato consiste in un aumento dell’attività sul comando, come verrà analizzato in dettaglio nell’ultima parte della lezione
È possibile utilizzare questa procedura di progetto previa verifica che il sistema reale sia in grado di “sopportare” tale maggiore attività sul comando oppure quando l’inserimento di successive reti di altro tipo in C’(s) determini una riduzione dell’effettiva attività sul comando
48
Per il sistema precedentemente considerato
progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche
per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante pari a circa 6 rad/s (con tolleranza di )
r
10F(s)
s(s 2)(s 4)K 1
=+ +
=
Esempio 2 (1/14)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
r,e 0.2∞ ≤
15%±
Specifiche invariate
Nuova specifica
49
Esempio 2 (2/14)
La specifica statica è invariata e quindi anche in questo caso C(s) sarà della forma
con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e la funzione d’anello di partenza è nuovamente data da
cC(s) K C (s)′=
a1 c
40G (s) K F(s)
s(s 2)(s 4)= ⋅ =
+ +
50
Esempio 2 (3/14)
Si considerano le specifiche “dinamiche”La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica
La nuova specifica (banda passante pari a circa 6 rad/s) implica
o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷
c,des B,des0.63 3.8 rad / sω ≅ ⋅ ω ≅
51
Esempio 2 (4/14)
DdB di Ga1(s)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ΔmdB = 7 dB
Δϕ = 60o
System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Magnitude (dB): -7.08
System: Ga1 Frequency (rad/sec): 3.8 Phase (deg): -196
52
Esempio 2 (5/14)
Per soddisfare le specifiche dinamiche (garantendo asintotica stabilità in catena chiusa) è necessario recuperare fase (circa 60°) ed aumentare la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) a ωc,des = 3.8 rad/s (aumentando il modulo in ωc,des di soli 7 dB)
Il problema di controllo può essere risoltointroducendo sole reti anticipatrici progettatein modo da contenere l’aumento di modulo
53
Esempio 2 (6/14)
Per ottenere un recupero totale di fase di 60°
sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con md = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l’aumento di modulo risulterebbe troppo elevato!
10-2
10-1
100
101
102
10
20
30
40
Fas
e (g
radi
)
Pulsazione normalizzata ωτd
Rete anticipatrice con md = 3
0
Δϕ = 30° pari a arcsin(1/2) in d 3ωτ =
54
Esempio 2 (6/14)
Per ottenere un recupero totale di fase di 60°
sarebbe possibile utilizzare due reti anticipatrici con md = 3, sfruttandone il max recupero di fase possibile, ma l’aumento di modulo risulterebbe troppo elevato!
10-2
10-1
100
101
102
Pulsazione normalizzata ωτd
01
2
3
4
5
6
7
8
9
10Rete anticipatrice con md = 3
Mod
ulo
(dB
)
In si ha un aumento di 4.76 dB
d 3ωτ = L’aumento totale di modulo (9.52 dB) risulterebbe 7dB!
55
Esempio 2 (7/14)
La soluzione proposta prevede l’utilizzo di due reti anticipatrici, una con md,1 = 3 e l’altra con md,2 = 4, progettate entrambe in modo da combinare il recupero di fase richiesto (60°) con un aumento complessivo di modulo non superiore a 7 dBLe reti vengono progettate facendo riferimento a due pulsazioni normalizzate xd1 e xd2 inferiori a quelle corrispondenti ai rispettivi punti di massimo recupero di fase
56
Esempio 2 (8/14)
DdB normalizzati delle reti con md,1 = 3 e md,2 = 4
0
2
4
6
8
10
12
14
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
0
10
20
30
40
Pha
se(d
eg)
md,1 = 3
md,2 = 4
Pulsazione normalizzata ωτd
In xd1 = 1.3:
Δm = 3.55 dBΔϕ = 28.9o
In xd2 = 1.16:
Δm = 3.38 dBΔϕ = 33o
tot
otot
m 7dB
62
Δ ≅
Δϕ ≅
57
Esempio 2 (9/14)
Le reti anticipatrici sono così definiteRd1(s) con md,1 = 3, ωc,desτd1 = 1.3 τd1 = 0.34
Rd2(s) con md,2 = 4, ωc,desτd2 = 1.16 τd2 = 0.3
⇒
⇒
d1
1 0.34sR (s)
0.341 s3
+=
+
d2
1 0.3sR (s)
0.31 s4
+=
+
58
Esempio 2 (10/14)
Rd1(s) e Rd2(s) definiscono la parte dinamica C’(s) del controllore, che risulta quindi dato da
in cui Kc è rimasto pari al valore assegnato inizialmente (Kc = 4)Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suωc e mϕ sul DdB di Ga(s) = C(s)F(s), prima di passare alla verifica delle specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)
c d1 d2C(s) K R (s) R (s)= ⋅ ⋅
59
Esempio 2 (11/14)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 14.2 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 46.7 deg (at 3.72 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
mϕ
Maggiore del minimo richiesto
60
Esempio 2 (11/14)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 14.2 dB (at 10.5 rad/sec) , Pm = 46.7 deg (at 3.72 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Soddisfa il requisito imposto
ωc
61
Esempio 2 (12/14)
Risposta al gradino di W(s)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica):ts = 0.493 s, ta,2% = 1.68 s
ts ta,2%
System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.7At time (sec): 0.75 specifica
soddisfattas 25%< ⇒
62
Esempio 2 (13/14)
DdB di W(s)
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
Pha
se(d
eg)
-150
-100
-50
0
50
Mag
nitu
de(d
B)
System: W Frequency (rad/sec): 6.64
Magnitude (dB): -3
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
specifica soddisfattaB5.1 6.9 rad / s≤ ω ≤ ⇒
63
Esempio 2 (14/14)
Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheÈ facile verificare che anche la specifica staticaè soddisfatta, con = 0.2, avendo scelto per Kc il valore minimo (come nel caso precedente)
e∞
Principali reti di compensazione
65
Una rete attenuatrice o integrativa èdescritta da una fdt della forma
La rete presentaUn polo in -1/τi
Uno zero in -mi/τi
Caratteristiche delle reti attenuatrici (1/5)
i
ii
i
1 sm
R (s)1 s
τ+
=+ τ i icon > 0, m >1τ
Essendo mi > 1, lo zero si trova sempre ad una pulsazione mivolte maggiore di quella del polo
66
Caratteristiche delle reti attenuatrici (2/5)
DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τi
-25
-20
-15
-10
-5
0
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
-90
-60
-30
0
Pha
se(d
eg)
Pulsazione normalizzata ωτi
Il polo è alla pulsazione normalizzata pari a 1
Lo zero è alla pulsazione normalizzata pari a mi
67
Caratteristiche delle reti attenuatrici (3/5)
DdB delle reti attenuatrici normalizzati rispetto a τi
-25
-20
-15
-10
-5
0
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
-90
-60
-30
0
Pha
se(d
eg)
Pulsazione normalizzata ωτi
mi crescente
mi crescente
mi = 2mi = 3mi = 4mi = 6mi = 8mi = 10mi = 12mi = 14mi = 16
68
Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zeroTale attenuazione massima è pari proprio al valore di mi:
10 -1 10 0 10 1 10 2
i idB dBR (j ) m∞ = −
-25
-20
-15
-10
-5
0
Mag
nitu
de(d
B)
Caratteristiche delle reti attenuatrici (4/5)
69
Una rete attenuatrice introduce una attenuazione del modulo di entità massima per pulsazioni superiori a quella dello zeroTale attenuazione massima è pari proprio al valore di mi:
N.B.: Nel caso limite di mi molto elevato (tendente all’infinito) il comportamento di una rete attenuatrice è assimilabile a quello di un polo
i idB dBR (j ) m∞ = −
Caratteristiche delle reti attenuatrici (5/5)
70
Utilizzo delle reti attenuatrici (1/3)
Le reti attenuatrici sono utilizzate ogni volta in cui sia necessario ridurre il modulo della funzione d’anello per portare la pulsazione di taglio nella posizione desiderata ωc,des, senza ridurre il guadagno Kc per preservare il soddisfacimento delle specifiche staticheL’inserimento di una rete attenuatrice in C(s) introduce anche una perdita di fase di massima entità nell’intervallo compreso fra la pulsazione del polo e quella dello zero, che si annulla per pulsazioni sufficientemente elevate (maggiori di mi/τd)
71
L’utilizzo di sole reti attenuatrici è solitamente indicato quando è necessario ridurre ωc fino a portarla al valore ωc,des, in cui la fase della fdtd’anello sia già tale da garantire l’asintotica stabilità in catena chiusa, con un mϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamichePer sfruttare interamente la capacità di attenuazione del modulo e contenere la perdita di fase, le singolarità della rete attenuatrice devono essere collocate a pulsazioni inferiori a ωc,des
Utilizzo delle reti attenuatrici (2/3)
72
Si utilizza altresì una rete attenuatrice anche nei casi in cui sia necessario perdere fase in un intorno di un’opportuna pulsazione ωp per stabilizzare il sistema
Questo particolare utilizzo delle reti attenuatricisarà trattato nella prossima lezione, nel caso del pendolo inverso
Utilizzo delle reti attenuatrici (3/3)
73
Progetto di Ri(s) (1/5)
Detta la fdt d’anello ottenuta primadell’inserimento della rete attenuatrice, si sceglie mi pari all’attenuazione di modulo necessaria per imporre la pulsazione di taglio desiderata ωc,des
N.B.: (e quindi mi) è sicuramente maggiore di 1 (cioè di 0 dB), avendo riscontrato la necessità di attenuare il modulo della fdtd’anello in ωc,des
i a c,desm G (j )′= ω
aG (s)′
a c,desG (j )′ ω
74
Progetto di Ri(s) (2/5)
Sui DdB normalizzati della rete attenuatricecorrispondente al valore di mi scelto, si individua un punto di ascissa normalizzata xi in cui si abbia già l’attenuazione richiesta con una perdita di fase “accettabile”Tale perdita è “accettabile” se la fase residua ètale da garantire mϕ idoneo al soddisfacimento dei requisiti imposti dalle specifiche dinamicheSi determina conseguentemente τi imponendo
c,des i ixω τ =
75
Progetto di Ri(s) (3/5)
Esempio: attenuazione richiesta pari a 4 (= 12 dB)
-25
-20
-15
-10
-5
0
Mag
nitu
de(d
B)
10-1
100
101
102
Pulsazione normalizzata ωτi
im 4=
mi = 4
Per pulsazioni normalizzate > 40 si ha la completa attenuazione (12 dB)
76
Progetto di Ri(s) (4/5)
Si verifica la corrispondente perdita di fase
La perdita di fase in ωτi = 40 è pari a 4.3°
Se tale perdita è sopportabile in ωc,des, allora si sceglie xi = 40Altrimenti si sceglie xi > 40, in modo da contenere tale perdita entro un valore accettabile
mi = 4
10-1
100
101
102
-90
-60
-30
0
Pha
se(d
eg)
Pulsazione normalizzata ωτi
77
Progetto di Ri(s) (5/5)
È opportuno contenere quanto possibile il valore di xi per non far aumentare il tempo di assestamento della risposta del sistema
Quanto più è elevato xi, tanto maggiore risulta τi
Il modo associato a tale polo lento rallental’assestamento dellarisposta del sistema
Ri(s) introduce in Ga(s) una coppia polo-zero a pulsazioni tanto minoriquanto maggiore è τi
In W(s) nasce un polo di BF (lento), ad una ω
prossima allo zero di Ri(s)
78
Per il sistema precedentemente considerato
progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche
per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante minore di 1.8 rad/s
r
10F(s)
s(s 2)(s 4)K 1
=+ +
=
Esempio 3 (1/11)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
r,e 0.2∞ ≤ Specifiche invariate
Nuova specifica
79
Esempio 3 (2/11)
La specifica statica è invariata e quindi anche in questo caso C(s) sarà della forma
con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e la funzione d’anello di partenza è nuovamente data da
cC(s) K C (s)′=
a1 c
40G (s) K F(s)
s(s 2)(s 4)= ⋅ =
+ +
80
Esempio 3 (3/11)
Si considerano le specifiche “dinamiche”La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica
La nuova specifica (banda passante minore di 1.8 rad/s) implica
o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷
c,des B,max0.63 1.1 rad / sω < ⋅ ω <
81
Esempio 3 (4/11)
DdB di Ga1(s)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Si può scegliere ωc,des = 0.9 rad/s
ωc dovrà essere minore di 1.1 rad/s
|Ga1(j0.9)| = 13.9 dB
arg(Ga1(j0.9)) = -127°
82
Esempio 3 (5/11)
Per portare la pulsazione di taglio nel valore prescelto ωc,des = 0.9 rad/s è necessario
Attenuare il modulo della fdt d’anello in tale pulsazione di 13.9 dBContenere un’eventuale perdita di fase entro 7°
per ottenere un margine di fase di almeno 45°
La scelta ωc,des = 0.9 rad/s appare idonea perchéla fase della fdt risulta sufficientemente elevata
Il problema di controllo può essere risoltointroducendo una rete attenuatrice
83
Esempio 3 (6/11)
Poiché si utilizza una rete attenuatrice con mi = 5
a1 c,desG (j ) 13.9 dB 5ω = ≅
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Mag
nitu
de(d
B)
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
Pha
se(d
eg)
Pulsazione normalizzata ωτi
Per ωτi > 50 si ha l’attenuazione richiesta
In ωτi = 50 si ha una perdita di fase accettabile(4.6°)
84
Esempio 3 (7/11)
La rete attenuatrice è pertanto così definitaRi(s) con mi = 5, ωc,desτi = 50 τi = 55.5
Il controllore risulta quindi dato da
Si verifica il rispetto dei “requisiti operativi” suGa(s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)
⇒
i1 11.1s
R (s)1 55.5s+
=+
c iC(s) K R (s)= ⋅
Kc è rimasto uguale al valore iniziale (Kc = 4)
85
Esempio 3 (8/11)
DdB di Ga(s)Maggiore del minimo richiesto
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 15.1 dB (at 2.75 rad/sec) , Pm = 48.7 deg (at 0.895 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
mϕ
86
Esempio 3 (8/11)
DdB di Ga(s)
-150
-100
-50
0
50
100
Mag
nitu
de(d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
Gm = 15.1 dB (at 2.75 rad/sec) , Pm = 48.7 deg (at 0.895 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
ωc
Soddisfa il requisito imposto
87
Esempio 3 (9/11)
Risposta al gradino di W(s)Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
⇒
ts
ta,2%
Si osserva un “effetto coda” nella risposta, ovvero un peggioramento del tempo di assestamento, dovuto alla presenza della rete attenuatrice: zero di Ri(s) in -0.09 rad/s polo di W(s) in -0.097 rad/s (τ = 10.3 s)
ta,2% = 15.2 s, nonostante ts = 2 s
⇒
specifica soddisfattas 25%< ⇒
System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 22.9At time (sec): 3.1
88
Esempio 3 (10/11)
DdB di W(s)P
hase
(deg
)M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)10-2 10-1 100 101 102
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
System: W
Frequency (rad/sec): 1.61Magnitude (dB): -3
specifica soddisfattaB 1.8 rad / sω < ⇒
89
Esempio 3 (11/11)
Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheAnche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per Kc
e∞
Principali reti di compensazione
91
Una rete integro-derivativa (“lead-lag”) èespressa da una fdt del secondo ordine, data dal prodotto di una rete attenuatrice e di un’anticipatrice
Le reti integro-derivative (1/3)
i
diid
di
d
1 s1 sm
R (s)1 s 1 s
m
τ++ τ
= ⋅τ+ τ +
i d i dcon , > 0, m ,m >1τ τ
Rete attenuatrice(o integrativa)
Rete anticipatrice(o derivativa)
92
Una rete integro-derivativa unisce le principali caratteristiche delle due reti da cui è formata, permettendo di introdurre contemporaneamente le azioni di:
Recupero di faseAttenuazione del modulo
Si utilizza questo tipo di rete se la fdt d’anello in ωc,des presenta contemporaneamente
Fase insufficiente a garantire il margine di fase richiestoModulo maggiore di 1 (0 dB)
Le reti integro-derivative (2/3)
93
Le reti integro-derivative (3/3)
Esempio di rete integro-derivativa
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
30
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωc,des = 2 rad/s
94
Le reti integro-derivative (3/3)
Esempio di rete integro-derivativa
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
30
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Rete derivativa: md = 3, τd = 0.866
zero in -1.155 rad/spolo in -3.465 rad/s
⇒⇒
ωc,des = 2 rad/s
Recupero di fase in ωc,des
Inevitabile aumento di modulo
95
Le reti integro-derivative (3/3)
Esempio di rete integro-derivativa
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
30
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
ωc,des = 2 rad/s
Rete integrativa: mi = 4, τi = 40 s
polo in -0.025 rad/szero in -0.1 rad/s
⇒⇒
Attenuazione desiderata di modulo
Perdita di fase per ω < ωc,des
96
Le reti integro-derivative (3/3)
Esempio di rete integro-derivativa
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
10-3
10-2
10-1
100
101
102
-60
-30
0
30
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
La rete èdetta anche a sella per il caratteristico andamento del modulo
Modulo in AF pari a md/mi
97
Progetto di Rid(s) (1/3)
Si progetta prima la rete anticipatrice(o derivativa) in modo da garantire in ωc,desun recupero di fase maggiore di quanto strettamente necessario
La fase recuperata in eccesso potrà essere persa per effetto della rete attenuatrice, garantendo comunque un soddisfacente mϕ
Se il modulo della fdt d’anello in ωc,des è 1 (0 dB), può essere opportuno progettare la rete anticipatrice in modo da contenere l’aumento di modulo, evitando così il successivo utilizzo di una rete attenuatrice con mi troppo elevato
98
Progetto di Rid(s) (2/3)
Se il recupero di fase richiesto è elevato si utilizzano più reti anticipatrici: in questo caso l’ordine della rete aumenta conseguentemente
i
d, jiid
d, jji
d, j
1 s1 sm
R (s)1 s 1 s
m
⎛ ⎞τ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟ + τ⎜ ⎟⎜ ⎟= ⋅τ⎜ ⎟+ τ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∏
99
Progetto di Rid(s) (3/3)
Si progetta successivamente la rete attenuatrice tenendo conto nella scelta di mianche dell’aumento di modulo generato dalla rete derivativa precedentemente introdotta
La perdita di fase, sopportabile in ωc,des grazie ad un lieve sovradimensionamento della rete derivativa, permette di fissare le singolaritàdell’attenuatrice ad una pulsazione non eccessivamente bassa, così da ridurre il tempo di assestamento della risposta del sistema in catena chiusa
100
Per il sistema precedentemente considerato
progettare C(s) in modo che il sistema in catena chiusa soddisfi le seguenti specifiche
per r(t) = tSovraelongazione massima della risposta al gradino unitario non superiore al 25%Banda passante pari a circa 3.2 rad/s (con tolleranza di )
r
10F(s)
s(s 2)(s 4)K 1
=+ +
=
Esempio 4 (1/14)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
r,e 0.2∞ ≤
15%±
Specifiche invariate
Nuova specifica
101
Esempio 4 (2/14)
La specifica statica è invariata e quindi anche in questo caso C(s) sarà della forma
con Kc = 4 (minimo valore ammissibile, eventualmente aumentabile successivamente) e la funzione d’anello di partenza è nuovamente data da
cC(s) K C (s)′=
a1 c
40G (s) K F(s)
s(s 2)(s 4)= ⋅ =
+ +
102
Esempio 4 (3/14)
Si considerano le specifiche “dinamiche”La specifica sulla sovraelongazione massima della risposta al gradino unitario (invariata) implica
La nuova specifica (banda passante pari a circa 3.2 rad/s con tolleranza di ) implica
o o,minm 43 45ϕ ≅ ÷
c,des B,des0.63 2 rad / sω ≅ ⋅ ω ≅
B2.72 3.68 rad/s≤ ω ≤
15%±
103
Esempio 4 (4/14)
DdB di Ga1(s)
10-2
10-1
100
101
102
-270
-225
-180
-135
-90
Pha
se(d
eg)
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Mag
nitu
de(d
B)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
La fase è insufficiente a garantire il mϕ richiesto: è necessario recuperare almeno 25o
Il modulo è > 0 dB e quindi dovrà essere attenuato
Phase (deg): -162
System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2
System: Ga1 Frequency (rad/sec): 2 Magnitude (dB): 3.91
104
Esempio 4 (5/14)
Per soddisfare le specifiche dinamiche ènecessario recuperare fase in ωc,des = 2 rad/s(almeno 25°) ed attenuare il modulo, in modo da ridurre la ωc da 2.57 rad/s (valore attuale) al valore desiderato
Il problema di controllo può essere risoltointroducendo una rete integro-derivativa
105
Esempio 4 (6/14)
Progetto della rete derivativa:Si sceglie md = 3, a cui corrisponde un recupero massimo di fase di 30° in ωτd = 1.73 (5° in più del minimo necessario)Si progetta la rete in modo da sfruttare proprio il massimo recupero di fase, poiché non saràcomunque necessaria una forte attenuazione, dato che il modulo della fdt d’anello è di poco superiore a 0 dB e l’aumento introdotto da una rete anticipatrice con md = 3 è contenuto
Imponendo ωc,desτd = 1.73 si ricava τd = 0.866
106
Esempio 4 (7/14)
La rete derivativa è quindi descritta da
Si introduce tale rete, definendo la nuova funzione d’anello Ga2(s) = Ga1(s) Rd(s), di cui si valutano modulo e fase in ωc,des = 2 rad/s:
|Ga2(jωc,des)| = 8.75 dBarg(Ga2(jωc,des)) = -131.5°
d1 0.866s
R (s)0.8661 s
3
+=
+
Attenuazione da introdurre
La massima perdita di fase sopportabile è pari a circa 3.5°
107
Esempio 4 (8/14)
Progetto della rete integrativa:Si sceglie mi = 2.8 (pari circa all’attenuazione richiesta)
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
10-2
10-1
100
101
102
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
Bode Diagram
Per ωτi > 20 si ha l’attenuazione richiesta
In ωτi = 40 si ha una perdita di fase accettabile(2.6°)
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Pulsazione normalizzata ωτi
108
Esempio 4 (9/14)
La rete attenuatrice è pertanto così definitaRi(s) con mi = 2.8, ωc,desτi = 40 τi = 20
La rete integro-derivativa risulta quindi data da
⇒
i
201 s2.8R (s)
1 20s
+=
+
id i dR (s) R (s) R (s)= ⋅
109
Esempio 4 (10/14)
Il controllore risultante è
Si verifica come al solito il rispetto dei “requisiti operativi” su Ga(s) = C(s)F(s), prima di verificare le specifiche sul sistema in catena chiusa W(s)
c idC(s) K R (s)= ⋅
Kc è rimasto uguale al valore iniziale (Kc = 4)
110
Esempio 4 (11/14)
DdB di Ga(s)Maggiore del minimo richiesto
Mag
nitu
de(d
B)
Pha
se(d
eg)
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
100
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Gm = 10.9 dB (at 4.33 rad/sec) , Pm = 46.7 deg (at 1.97 rad/sec)
mϕ
111
Esempio 4 (11/14)
DdB di Ga(s)M
agni
tude
(dB
)P
hase
(deg
)
Frequency (rad/sec)
-150
-100
-50
0
50
100
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-225
-180
-135
-90
Gm = 10.9 dB (at 4.33 rad/sec) , Pm = 46.7 deg (at 1.97 rad/sec)
ωc
Soddisfa il requisito imposto
112
Esempio 4 (12/14)
Risposta al gradino di W(s)Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
Ulteriori valutazioni (non oggetto di specifica):ts = 0.986 s, ta,2% = 7.36 s
ts ta,2%
specifica soddisfattas 25%< ⇒
System: W Peak amplitude: 1.23 Overshoot (%): 23.3At time (sec): 1.46
113
Esempio 4 (13/14)
DdB di W(s)P
hase
(deg
)M
agni
tude
(dB
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)10
-210
-110
010
110
210
3-270
-225
-180
-135
-90
-45
0-150
-100
-50
0
50
System: W Frequency (rad/sec): 3.51
Magnitude (dB): -3
specifica soddisfattaB2.72 3.68 rad / s≤ ω ≤ ⇒
114
Esempio 4 (14/14)
Il controllore C(s) progettato garantisce l’asintotica stabilità del sistema in catena chiusa ed il soddisfacimento di tutte le specifiche dinamicheAnche in questo caso la specifica statica (di facile verifica) è soddisfatta con = 0.2, avendo scelto nuovamente il valore minimo per Kc
e∞
Principali reti di compensazione
116
Nel progetto del controllore C(s), tale da soddisfare le specifiche imposte, è necessario tenere conto delle implicazioni delle diverse tipologie di reti di compensazione sull’attività sul comando
L’attività sul comando (1/3)
117
Si consideri il consueto schema di controllo
Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: ydes(t) = ε(t)
L’attività sul comando (2/3)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
Il riferimento a gradino è il più critico dal punto di vista dello “spunto iniziale” richiesto al comando, poiché corrisponde all’imposizione di un valore desiderato che l’uscita dovrebbe raggiungere istantaneamente!
118
Si consideri il consueto schema di controllo
Si consideri come riferimento un gradino, posto per semplicità di ampiezza unitaria: ydes(t) = ε(t)Dall’applicazione del teorema iniziale si ricava
L’attività sul comando (2/3)
–
e u yF(s)
ydes
+C(s)
{ } { } { }t 0 s s s
a
C(s) 1lim u(t) lim s u(s) lim s lim C(s)
1 G (s) s→ →∞ →∞ →∞
⎧ ⎫= ⋅ = ⋅ ⋅ =⎨ ⎬+⎩ ⎭
119
Se C(s) è dato da una funzione di guadagno Kc, priva di poli nell’origine e costituita dal prodotto di reti anticipatrici ed attenuatrici
l’attività iniziale sul comando risulta
L’attività sul comando (3/3)
( ) ( )c d,k i,jk j
C(s) K R (s) R (s)= ⋅ ⋅∏ ∏
{ }( )( )
d,kk
ct 0i,j
j
mlim u(t) K
m→= ⋅
∏∏
Aumenta all’aumentare dell’azione anticipatrice introdotta e diminuisce in funzione dell’azione attenuatrice inserita
120
Esempi
Andamento di u(t) per gli esempi precedenti
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Time (sec)
Am
plitu
de
Es. 1: Kc = 4, md,1 = md,2 = 4 u(0) = 64⇒
Es. 2: Kc = 4, md,1 = 3, md,2 = 4 u(0) = 48⇒
Es. 3: Kc = 4, mi = 5 u(0) = 0.8⇒Es. 4: Kc = 4, md = 3, mi = 2.8 u(0) = 4.29⇒
121
Se C(s) contiene (almeno) un polo nell’origine risulta
Il comando raggiunge il valore massimo per t > 0Tale valore massimo cresce comunque al crescere dell’azione anticipatrice introdotta e si riduce all’aumentare dell’azione attenuatriceinserita
Osservazione
{ } { }t 0 slim u(t) lim C(s) 0→ →∞
= =