Post on 03-Sep-2019
Lezione 3Funzione quadratica e applicazioni
Funzione valore assoluto
Funzioni definite a tratti
Applicazioni
Il moto di un corpo che cade è un moto uniformemente accelerato.
𝑧 𝑡 = 200 −1
2⋅ 9,81 𝑡2
è la legge che descrive la quota (in metri) di un oggetto che cade in funzione del tempo.
• Qual è la quota iniziale?
• Quale sarà la quota raggiunta dopo 4 s?
• Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra?
• Possiamo aspettarci che dopo 3 secondi abbia raggiunto una quota di 100 m?
Sol: 𝑧 0 = 200 m
Sol: no
Sol: 𝑧 𝑡 = 0 ⇒ 200 −1
2⋅ 9,81 ⋅ 𝑡2 = 0 ⇒ 𝑡 = 6,4 s
Sol: 𝑧 4 = 200 −1
2⋅ 9,81 ⋅ 42 = 121,52 m
Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎
Intersezione tra la parabola di equazione 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e l’asse delle x di equazione 𝑦 = 0
ቊ𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 0⇒ 𝑥1,2 =
−𝑏± Δ
2𝑎
• se Δ > 0 ⇒ 𝑥1 ≠ 𝑥2 e la parabola interseca l’asse delle x in due punti: 𝑥1, 0 e (𝑥2, 0)
𝑎 > 0 𝑎 < 0
Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎
Convenzione:
• linea continua per gli 𝑥 ∈ 𝑅 che rendono il polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 positivo
• linea tratteggiata per gli 𝑥 ∈ 𝑅 che rendono il polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 negativo
Se 𝑎 > 0
e Δ > 0
Se 𝑎 < 0
e Δ > 0
Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎
• se Δ = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 e la parabola interseca l’asse delle x in un punto: 𝑥1, 0
Se 𝑎 > 0
Se 𝑎 < 0
Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎
• se Δ < 0 ⇒ ∄ 𝑥1, 𝑥2 e la parabola non interseca l’asse delle x in alcun punto
Se 𝑎 > 0
Se 𝑎 < 0
Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado
Quali numeri appartengono ai seguenti insiemi?
• A è l’insieme dei numeri reali che elevati al quadrato sono maggiori o uguali al loro doppio.
• 𝐵 = 𝑎 ∈ 𝑅:𝑎− 3
−5+𝑎2 < 0
Determinare 𝐵 ∪ 𝐴.
Per casa:
• Sapendo che 𝐶 è l’insieme dei numeri reali che elevati al quadrato e sommati alla radice terza di 5 danno 0, determinare l’intersezione 𝐴 ∩ 𝐶.
Valore assoluto
• Funzione valore assoluto:𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ |𝑥|
𝑓 𝑥 = 𝑥 = ቊ𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Valore assoluto
Disegnare il grafico della funzione:
𝑓: 𝑅 → 𝑅𝑝 ↦ |𝑝 − 4|
o anche 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4|
infatti
𝑓 𝑝 =ቊ𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 ≥ 0
− 𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 < 0
Esercizi
• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori uguali a 3.
𝑓 𝑝 = 3 ⇒ 𝑝 − 4 = 3
ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 = 3
∪ ቊ𝑝 − 4 < 0
−(𝑝 − 4) = 3
ቊ𝑝 ≥ 4
𝑝 = 4 + 3∪ ቊ
𝑝 < 4−𝑝 + 4 = 3
ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 7
∪ ቊ𝑝 < 4
−𝑝 = 3 − 4
ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 7
∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 = 1
𝑝 = 1 ∨ 𝑝 = 7
Esercizi
• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori di 4.
𝑓 𝑝 < 4 ⇒ 𝑝 − 4 < 4
ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 < 4
∪ ቊ𝑝 − 4 < 0
− 𝑝 − 4 < 4
൜𝑝 ≥ 4𝑝 < 8
∪ ቊ𝑝 < 4
−𝑝 < 0
ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 < 8
∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 > 0
p ∈ 4,8 ∪ 0,4 ⇒ 𝑝 ∈ (0,8)
Esercizi
• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori o uguali a 3.
𝑓 𝑝 ≤ 3 ⇒ 𝑝 − 4 ≤ 3
൜𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 ≤ 3
∪ ቊ𝑝 − 4 < 0
− 𝑝 − 4 ≤ 3
ቊ𝑝 ≥ 4
𝑝 ≤ 4 + 3∪ ቊ
𝑝 < 4−𝑝 + 4 ≤ 3
ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 ≤ 7
∪ ቊ𝑝 < 4
−𝑝 ≤ 3 − 4
ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 ≤ 7
∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 ≥ 1
p ∈ 4,7 ∪ 1,4 ⇒ 𝑝 ∈ [1,7]
Esercizi
• Disegnare le seguenti funzioni:
𝑓 𝑥 = | − 3𝑥 + 6|, con 𝑥 ∈ (−7,10)
𝑧 𝑡 = |𝑡 − 3|, con 𝑡 ∈ (−4,7)
• Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:
(𝑥−4)(𝑥+2)
𝑥+1≤ 0
2𝑥+1
3𝑥> 𝑥
−𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑥 − 5 < 0 −𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥2 − 5 ≥ 0
𝑥2 − 3𝑥 = 𝑥2 − 1 2 = 2𝑥2 + 3𝑥 𝑥2 − 3 = 2𝑥 + 1
𝑥2 − 3𝑥 ≥ 1 2 > 2𝑥2 + 3𝑥 𝑥 − 3 ≤ 2𝑥2 + 1
Esercizi
• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅: −𝑥2 + 4 ≤ 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅: 4 + 3𝑥 > 3 − 𝑥
Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵
• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2
3−𝑥≤ 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:
4𝑥−2
3−𝑥> 0
Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵
• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2
3−𝑥= 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:
4𝑥−2
3−𝑥< 0
Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵
• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2
3−𝑥< 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:
4𝑥−2
3−𝑥≥ 0
Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵
14
Ancora sul valore assoluto
𝑓: 𝑅 → 𝑅
𝑥 ↦ |𝑥2 − 4𝑥 + 3|
𝑓 𝑥 = ቊ𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0
−(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0
Il grafico rosso è quello della funzione 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 (senza valore assoluto).
Il grafico verde è quello della funzione 𝑓 𝑥 = |𝑥2 − 4𝑥 + 3|
Funzioni definite a tratti
𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 23 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 5
−𝑥2
2+ 7𝑥 −
39
2𝑠𝑒 𝑥 ≥ 5
Esempio
Si disegni il grafico della funzione
𝑓 𝑥 = ቊ|𝑥2 − 4| 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 412 𝑠𝑒 𝑥 > 4
Esercizio
• Si determini per quali valori di 𝑥 ∈ 𝑅 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = |1 − 𝑥| è al di sopra del grafico della funzione 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4.
Per risolvere il problema si deve risolvere
𝑓 𝑥 > 𝑔 𝑥
ovvero 1 − 𝑥 > 𝑥2 − 4
• Sol: x ∈−1− 21
2,
1+ 13
2