Lezione 3Funzione quadratica e applicazioni

Funzione valore assoluto

Funzioni definite a tratti

Applicazioni

Il moto di un corpo che cade è un moto uniformemente accelerato.

𝑧 𝑡 = 200 −1

2⋅ 9,81 𝑡2

è la legge che descrive la quota (in metri) di un oggetto che cade in funzione del tempo.

• Qual è la quota iniziale?

• Quale sarà la quota raggiunta dopo 4 s?

• Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra?

• Possiamo aspettarci che dopo 3 secondi abbia raggiunto una quota di 100 m?

Sol: 𝑧 0 = 200 m

Sol: no

Sol: 𝑧 𝑡 = 0 ⇒ 200 −1

2⋅ 9,81 ⋅ 𝑡2 = 0 ⇒ 𝑡 = 6,4 s

Sol: 𝑧 4 = 200 −1

2⋅ 9,81 ⋅ 42 = 121,52 m

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎

Intersezione tra la parabola di equazione 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 e l’asse delle x di equazione 𝑦 = 0

ቊ𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

𝑦 = 0⇒ 𝑥1,2 =

−𝑏± Δ

2𝑎

• se Δ > 0 ⇒ 𝑥1 ≠ 𝑥2 e la parabola interseca l’asse delle x in due punti: 𝑥1, 0 e (𝑥2, 0)

𝑎 > 0 𝑎 < 0

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎

Convenzione:

• linea continua per gli 𝑥 ∈ 𝑅 che rendono il polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 positivo

• linea tratteggiata per gli 𝑥 ∈ 𝑅 che rendono il polinomio 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 negativo

Se 𝑎 > 0

e Δ > 0

Se 𝑎 < 0

e Δ > 0

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎

• se Δ = 0 ⇒ 𝑥1 = 𝑥2 e la parabola interseca l’asse delle x in un punto: 𝑥1, 0

Se 𝑎 > 0

Se 𝑎 < 0

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 ⋛ 𝟎

• se Δ < 0 ⇒ ∄ 𝑥1, 𝑥2 e la parabola non interseca l’asse delle x in alcun punto

Se 𝑎 > 0

Se 𝑎 < 0

Utilizzo della parabola per la risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Quali numeri appartengono ai seguenti insiemi?

• A è l’insieme dei numeri reali che elevati al quadrato sono maggiori o uguali al loro doppio.

• 𝐵 = 𝑎 ∈ 𝑅:𝑎− 3

−5+𝑎2 < 0

Determinare 𝐵 ∪ 𝐴.

Per casa:

• Sapendo che 𝐶 è l’insieme dei numeri reali che elevati al quadrato e sommati alla radice terza di 5 danno 0, determinare l’intersezione 𝐴 ∩ 𝐶.

Valore assoluto

• Funzione valore assoluto:𝑓: 𝐷 ⊆ 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ |𝑥|

𝑓 𝑥 = 𝑥 = ቊ𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0

−𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0

Valore assoluto

Disegnare il grafico della funzione:

𝑓: 𝑅 → 𝑅𝑝 ↦ |𝑝 − 4|

o anche 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4|

infatti

𝑓 𝑝 =ቊ𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 ≥ 0

− 𝑝 − 4 𝑠𝑒 𝑝 − 4 < 0

Esercizi

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori uguali a 3.

𝑓 𝑝 = 3 ⇒ 𝑝 − 4 = 3

ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 = 3

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

−(𝑝 − 4) = 3

ቊ𝑝 ≥ 4

𝑝 = 4 + 3∪ ቊ

𝑝 < 4−𝑝 + 4 = 3

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 7

∪ ቊ𝑝 < 4

−𝑝 = 3 − 4

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 = 7

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 = 1

𝑝 = 1 ∨ 𝑝 = 7

Esercizi

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori di 4.

𝑓 𝑝 < 4 ⇒ 𝑝 − 4 < 4

ቊ𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 < 4

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

− 𝑝 − 4 < 4

൜𝑝 ≥ 4𝑝 < 8

∪ ቊ𝑝 < 4

−𝑝 < 0

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 < 8

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 > 0

p ∈ 4,8 ∪ 0,4 ⇒ 𝑝 ∈ (0,8)

Esercizi

• Stabilisci per quali valori di 𝑝, la funzione 𝑓 𝑝 = |𝑝 − 4| assume valori minori o uguali a 3.

𝑓 𝑝 ≤ 3 ⇒ 𝑝 − 4 ≤ 3

൜𝑝 − 4 ≥ 0𝑝 − 4 ≤ 3

∪ ቊ𝑝 − 4 < 0

− 𝑝 − 4 ≤ 3

ቊ𝑝 ≥ 4

𝑝 ≤ 4 + 3∪ ቊ

𝑝 < 4−𝑝 + 4 ≤ 3

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 ≤ 7

∪ ቊ𝑝 < 4

−𝑝 ≤ 3 − 4

ቊ𝑝 ≥ 4𝑝 ≤ 7

∪ ቊ𝑝 < 4𝑝 ≥ 1

p ∈ 4,7 ∪ 1,4 ⇒ 𝑝 ∈ [1,7]

Esercizi

• Disegnare le seguenti funzioni:

𝑓 𝑥 = | − 3𝑥 + 6|, con 𝑥 ∈ (−7,10)

𝑧 𝑡 = |𝑡 − 3|, con 𝑡 ∈ (−4,7)

• Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni:

(𝑥−4)(𝑥+2)

𝑥+1≤ 0

2𝑥+1

3𝑥> 𝑥

−𝑥2 + 2𝑥 − 1 𝑥 − 5 < 0 −𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥2 − 5 ≥ 0

𝑥2 − 3𝑥 = 𝑥2 − 1 2 = 2𝑥2 + 3𝑥 𝑥2 − 3 = 2𝑥 + 1

𝑥2 − 3𝑥 ≥ 1 2 > 2𝑥2 + 3𝑥 𝑥 − 3 ≤ 2𝑥2 + 1

Esercizi

• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅: −𝑥2 + 4 ≤ 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅: 4 + 3𝑥 > 3 − 𝑥

Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵

• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2

3−𝑥≤ 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:

4𝑥−2

3−𝑥> 0

Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵

• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2

3−𝑥= 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:

4𝑥−2

3−𝑥< 0

Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵

• Siano 𝐴 = 𝑥 ∈ 𝑅:−𝑥2−2

3−𝑥< 0 e 𝐵 = 𝑥 ∈ 𝑅:

4𝑥−2

3−𝑥≥ 0

Si determini 𝐴 ∩ 𝐵, 𝐴 ∪ 𝐵

14

Ancora sul valore assoluto

𝑓: 𝑅 → 𝑅

𝑥 ↦ |𝑥2 − 4𝑥 + 3|

𝑓 𝑥 = ቊ𝑥2 − 4𝑥 + 3 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 ≥ 0

−(𝑥2 − 4𝑥 + 3) 𝑠𝑒 𝑥2 − 4𝑥 + 3 < 0

Il grafico rosso è quello della funzione 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4𝑥 + 3 (senza valore assoluto).

Il grafico verde è quello della funzione 𝑓 𝑥 = |𝑥2 − 4𝑥 + 3|

Funzioni definite a tratti

𝑓 𝑥 =

2𝑥 − 1 𝑠𝑒 𝑥 < 23 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 5

−𝑥2

2+ 7𝑥 −

39

2𝑠𝑒 𝑥 ≥ 5

Esempio

Si disegni il grafico della funzione

𝑓 𝑥 = ቊ|𝑥2 − 4| 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 412 𝑠𝑒 𝑥 > 4

Esercizio

• Si determini per quali valori di 𝑥 ∈ 𝑅 il grafico della funzione 𝑓 𝑥 = |1 − 𝑥| è al di sopra del grafico della funzione 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4.

Per risolvere il problema si deve risolvere

𝑓 𝑥 > 𝑔 𝑥

ovvero 1 − 𝑥 > 𝑥2 − 4

• Sol: x ∈−1− 21

2,

1+ 13

2