Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

7/24/2019 Moto Rettilineo Uniformemente Accelerato

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Prof. A. Di Muro

Moto retti l ineo uniformemente accelerato ( m.r.u.a. )

Il moto rettilineo uniformemente accelerato un moto che avviene su una retta con accelerazione

costante.

Dalla definizione di accelerazione 0

0

v vva

t t t

si ricava la legge oraria della velocit:

con a= costante e con t0= 0

Consideriamo la rappresentazione grafica del moto:

Partiamo questa volta prima dalla legge oraria della velocit:

La semiretta rossa ha una pendenza, il coefficiente angolare di questa

retta proprio laccelerazione infatti

tan

vm a

t

la tangente goniometrica dellangolo alpha

proprio laccelerazione.

Maggiore langolo maggiore laccelerazione.Larea A sottesa

dalla retta e lasse dei tempi, come visto prima, lo spazio p ercorso.

Questarea costituita da due parti, larea del rettangolo giallo che

corrisponde allo spazio percorso procedendo alla velocit iniziale costante pi lo spazio dellarea del

triangolo che corrisponde al contributo dellaccelerazione. Lo spazio totale quindi larea del trapezio:

20 0 00

1

2 2 2

( v v )t ( v a t v )t x v t a t

.

In generale se la posizione iniziale x0si ha:

Consideriamo ora la legge oraria della posizione:

questa legge rappresentata da una parabola in quanto la

x=x0+ v0t+1

2at2

una curva di secondo grado.la pendenza della retta tangentex0 la velocit iniziale.

Larea del trapezio vista prima corrisponde al tratto x.

La linea oraria tratteggiata costituisce landamento del

moto prima di t0che stato posto uguale a zero.

a= costante

0 v v a t

O t(s)

v( m / s)

v

v0

v0t

v

t

x=x0+ v0t+1

2at2

tan = v0

t(s)

x( m)

x0

O

x

t


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Consideriamo infine la legge oraria dellaccelerazione:

essendo laccelerazione costante la retta ha pendenza nulla ed ha equazione a= tan .

Riassumendo le leggi del moto sono:

Se dalla prima ricaviamo te lo sostituiamo nella seconda si ha:

0v v

ta

e 20 00 0

1 ( )

2

v v v vx x v a

a a

e dopo semplici passaggi ricaviamo:

questa una relazione priva del tempo ed particolarmente importante anche

nella risoluzione degli esercizi.

Moti accelerati e decelerati

Consideriamo un vettore velocit v, se il vettore accelerazione si proietta nello stesso verso di v,

come a1, il moto accelerato perch laccelerazione favorisce il moto ed aumenta il valore della

velocit.

Se il vettore accelerazione si proietta nel verso opposto di v, come a2, il moto decelerato perch

laccelerazione ostacola il moto e diminuisce il valore della velocit.

Se infine il vettore accelerazione perpendicolare a v, come a3, il moto non n accelerato n

decelerato.

Un criterio per stabilire se un moto accelerato o meno quello di

fare il prodotto scalare tra i vettori velocit ed accelerazione:

va > 0 il moto accelerato

va < 0 il moto decelerato

va = 0 il moto non n accelerato n decelerato

per il moto rettilineo, visto che ved ahanno la stessa direzione, sufficiente fare il prodotto tra lavelocit e laccelerazione.

t(s)

a( m / s )

O

a1

v

a2

a3

0 v v a t x=x0+ v0t+12

at2

2 2

0 02 ( )a x x v v


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Esempio:

Nel tratto AB il moto m.r.u. lo spostamento 2.0 2.0 4.0AB Ax v t m che corrisponde allarea del

quadrato azzurro. ( consideriamo 2 cifre significative )

Nel tratto BC il moto decelerato fino ad F perch il corpo con una velocit iniziale di 2.0 m / ssi ferma

in F, poi aumenta il modulo della sua velocit fino a C per cui il moto accelerato, la velocit tuttavia

diventa negativa, ci significa che il corpo sta tornando indietro percorrendo uno spazio negativo.

Laccelerazione data da 20

0

3.0 2.0 2.5 /4.0 2.0

BCv va m st t

mentre lo spostamento totale dato da

2 2

0 0 0

1 1( ) ( ) 2.0(4.0 2.0) ( 2.5)(4.0 2.0) 1.0

2 2BCx v t t a t t m ;

per trovare il tempoFt applichiamo la legge del moto al tratto BF:

0 0( )Fv v a t t cio 0 2.0 ( 2.5)( 2.0)Ft da cui 2.8Ft s

lo spostamento nel tratto BF

2 2

0 0 0

1 1( ) ( ) 2.0(2.8 2.0) ( 2.5)(2.8 2.0) 0.80

2 2BFx v t t a t t m che corrisponde allarea del

triangolo verde;

lo spostamento nel tratto BF

2 2

0 0 0

1 1( ) ( ) 0 ( 2.5)(4.0 2.8) 1.8

2 2FCx v t t a t t m

che corrisponde allarea del triangolo arancione;

vediamo che 0.80 1.8 1.0BC BF FCx x x m .

v( m / s)

t(s)

A B

C D

E

F

O

2

3

2 4 6 8


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Nel tratto CD il moto m.r.u. lo spostamento 0( ) 3.0(6.0 4.0) 6.0CD Cx v t t m

che corrisponde allarea del quadrato rosa.

Nel tratto DE il moto decelerato perch alla fine il corpo si ferma, laccelerazione

20

0

0 ( 3.0) 1.5 /8.0 6.0

DE v va m st t

; lo spostamento

2 2

0 0 0

1 1( ) ( ) 3.0(8.0 6.0) 1.5(8.0 6.0) 3.0

2 2DEx v t t a t t m

che corrisponde allarea del triangolo giallo.

Lo spazio totale percorso dato da 15.6 16AB BF FC CD DEs x x x x x m mentre lo spostamento

totale dato da 6.0AB BC CD DEx x x x x m .

La velocit media sullintero percorso data da: 0

0

6.0 00.75 /

8.0 0M

x xxv m s

t t t

Segue la legge oraria dellaccelerazione:

Come si vede nel tratto BF laccelerazione negativa mentre la velocit positiva per cui il prodotto tra

le due negativo ed il moto rettilineo uniformemente decelerato, mentre nel tratto FC laccelerazione e

la velocit sono entrambe negative per cui il prodotto tra le due positivo ed il moto rettilineo

uniformemente accelerato.

Nel tratto DE invece laccelerazione positiva mentre la velocit negativa per cui il prodotto tra le due

negativo ed il moto rettilineo uniformemente decelerato.

a( m / s2)

t(s)AB

FC

CD

DE

O

2

3

2 4 6 8

BF


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Vediamo ora la legge oraria della posizione sovrapposta a quella della velocit.

Nel tratto AB il moto rettilineo uniforme, si ha la retta di equazione:

0( ) 2.0( 0) 2.0ABx v t t t t

Nel tratto BC il moto accelerato e si ha la parabola di equazione:

2 2 2

0 0 0 0

1 1( ) ( ) 4.0 2.0( 2.0) 2.5( 2.0) 1.3 7.0 5.0

2 2BCx x v t t a t t t t t t

Nel tratto CD il moto rettilineo uniforme, si ha la retta di equazione:

0 0( ) 3.0 3.0( 4.0) 3.0 15CDx x v t t t t

Nel tratto DE il moto accelerato e si ha la parabola di equazione:

2 2 2

0 0 0 0

1 1( ) ( ) 3.0 3.0( 6.0) 1.5( 6.0) 0.75 12 42

2 2DEx x v t t a t t t t t t

ricordando che la pendenza della parabola corrisponde alla velocit, si vede che nel tratto BF la pendenza

positiva, la pendenza si annulla nel vertice della parabola ( infatti la velocit in quellistante nulla ) e

quindi nel tratto FC diventa negativa.

Nel tratto DE la pendenza dellaltra parabola negativa e si annulla a fine percorso.

Il moto del punto materiale avviene lungo lasse delle ordinatexcon gli spazi percorsi e lo spostamento

totale come in figura.

x( m)

t(s)

A B

F

C

E

D

4

3

3

6

4.8

O

Spazio percorso:

4.0 + 0.80 + 1.8 + 6.0 + 3.0 = 16 m

Spostamento:r=6.0 m

r


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Il problema dellinseguimento:

Due punti materiali A e B distanti 800 msi muovono sulla stessa retta e nello stesso verso.

A precede B e si muove con velocit iniziale di 20.0 m / sed accelerazione costante di 2.00 m / s2.

B parte da fermo con accelerazione costante di 4.00 m / s2.

Dopo quanto tempo B raggiunge A?

Quanto spazio hanno percorso i due corpi quando B raggiunge A?

Questi tipi di problemi si possono risolvere agevolmente con il diagramma velocit-tempo.

Se tx listante del raggiungimento, lospazio percorso da A larea del trapezio verde mentre lo spazio

percorso da B larea del triangolo azzurro.

La differenza delle due aree deve essere evidentemente uguale a 800 m.

Per cui 01 1800 (2 )2 2

x B x A A x xt a t v a t t

da cui2

20.0 800 0x xt t e la soluzione positiva d t x= 40.0s conx A= 2400 medx B= 3200 m.

Da notare che lintersezione tra le due leggi orarie della velocit ha solo il significato che in quellistante i

due punti hanno la stessa velocit.

AB incontro

800 m

A

B

tx t(s)

v( m / s)

20

O


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Esercizio :

Risolviamo ora un problema simile senza lausilio del diagramma.

Due punti materiali A e B distanti 1200 msi muovono sulla stessa retta, ma in verso opposto.

A si muove con velocit iniziale di 30.0 m / se sta frenando con decelerazione costante

di 2.00 m / s2.

B si muove con velocit iniziale di 20.0 m / scon accelerazione costante di 4.00 m /s 2.

Dopo quanto tempo B raggiunge A?

Quanto spazio hanno percorso i due corpi quando B raggiunge A?

Scelto p. es. un sistema di coordinate con lassexpositivo nel verso di v0B, la velocit

v0Asar negativa, ma la sua decelerazione positiva.

Occorre innanzitutto chiedersi se B raggiunge A quando questo fermo o in moto.

Il corpo A si ferma dopo 00 ( 30.0)

15.02.00

A

A

v vt s

a

e percorre2 2

0 0 900 2252 4.00

AA

A

v vx m

a

lo spazio negativo perch contato nel verso negativo dellex.

Il corpo B in 15.0spercorre

2

0

1

300 450 7502B Bs v t a t m

Visto che la somma dei moduli degli spazi minore di 1200, B raggiunger A quando questultimo

fermo.

La somma delle due aree deve essere evidentemente uguale a 1200 m.

Il corpo B percorre in definitiva x B= 1200225 = 975 m,

la velocit finale di B, dalla2 2

0

2

BB

B

v vx

a

sar:

v= 90.55 = 90.6 m / s ed il tempo necessario 090.55 20.0

17.64 17.64.00

B

B

v vt s

a

AB incontro

1200 m

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