RECUPERARE IN MATEMATICARiflessioni, strategie, materiali per progettare interventi di

recupero in matematica

Rosetta Zan

rosetta.zan@unipi.it

Como, 8-9 maggio 2019

3.2 L’approccio inadeguato alla

matematica

Non regola i propri comportamenti sulle caratteristiche della matematica:• L’organizzazione della matematica: definizioni, teoremi, assiomi,

convenzioni,…• I problemi• La specificità del linguaggio matematico e le sue funzioni• La specificità della razionalità matematica

Approccio inadeguato alla matematica

Obiettivi delle attività proposte

• Favorire la costruzione di una visione adeguata: – della matematica

– del linguaggio matematico

– della razionalità matematica

• Insegnare a ‘studiare’:– a comprendere una definizione, un teorema

• Insegnare ad affrontare un problema

• Insegnare a utilizzare il linguaggio e la razionalità tipici della matematica

Incontro 3: Parte 1

3.3 Il metodo di studio

3.4 Le definizioni

3.5 I teoremi

Incontro 4: Parte 2

4.1 I problemi

• Il metodo di studio: ➢Questionario

➢Scheda per l’autovalutazione sullo studio

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

➢Dall’immagine mentale alla definizione

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato

➢La ‘scoperta’ di un teorema

➢La comprensione della dimostrazione

QUESTIONARIO SUL METODO DI STUDIO

1. Dedichi lo stesso tempo allo studio di tutte le materie? Se no, quali sono le materie che studi di più? Perché?Quali sono le materie che studi di meno? Perché?2. Quante ore studi in genere al giorno?Studi sempre nello stesso orario? Se sì, quale? Perché?3. Hai degli impegni fissi (sport o altro) nell'arco della settimana?Quanto tempo ti occupano? In quali orari?4. In genere studi da solo, o con qualcuno?Trovi utile studiare con qualcuno? Perché?Se studi con qualcuno, lo fai in tutte le fasi dello studio, o solo in alcune fasi particolari? (ripassare, studiare argomenti particolarmente difficili, ecc.) Se studi con qualcuno, come procedete? (leggete insieme a voce alta, vi fate domande,...)5. In quale ambiente sei abituato a studiare? (in camera tua, in sala, in cucina,...) Perchè?Sei abituato a studiare con altre persone intorno?

6. Studi in un ambiente silenzioso?Oppure con un sottofondo: la musica, la televisione...Se sì, quale?In quel caso: sei tu che decidi di studiare con un sottofondo, o ti è imposto da altri?Studi sempre così, o in certe occasioni hai bisogno di silenzio? Se sì, in quali?7. Fai fatica a metterti a studiare?

Quando studi, fai spesso interruzioni?Se sì, di che genere?Se no, ti disturba essere interrotto da altri (anche per poco)?8. Ci sono delle materie che studi più volentieri di altre? Se sì, quali? Perchè?E quali sono le materie che studiavi meno volentieri? Perché?9. Ti stanchi a studiare?Se sì, cosa fai poi per "recuperare”?10. Ti riesce difficile studiare più materie diverse nello stesso giorno, oppure il fatto di cambiare ti alleggerisce la fatica?11. Ti capita di sentirti soddisfatto dopo aver studiato?Se sì, in quali occasioni?

12. Quando studi matematica, quali di questi comportamenti adotti? (puoi scegliere più di una voce) studi prendendo appunti su un foglio leggi a voce alta leggi, ma mentalmente leggi una prima volta globalmente e poi rileggi lentamente soffermandoti sui vari punti se si tratta di un teorema, cerchi di comprendere bene l'enunciato prima di passare allo studio della dimostrazione ALTRO (specificare):13. Dopo aver studiato un teorema (una proprietà, una definizione, un algoritmo...) cerchi di verificare se l'hai imparato?14. Se hai risposto sì, come lo verifichi? lo ripeti a voce alta, scrivendo i passaggi su un foglio ti fai domande da solo, facendo anche la parte di chi interroga lo ripeti mentalmente, non a voce alta lo ripeti a voce alta, ma senza scrivere niente ALTRO (specificare)

15. Quali difficoltà incontri nello studiare matematica?16. Fai un esempio di un risultato che non riesci ad imparare, e prova a dire perché:17. Quando assisti alle interrogazioni dei tuoi compagni, in genere capisci le osservazioni fatte dal professore?18. Se lo ritieni opportuno, aggiungi altre osservazioni sul tuo modo di studiare.

SCHEDA PER L’AUTOVALUTAZIONE DELLO STUDIO

L’insegnante individua un argomento molto circoscritto che intende far studiare studenti. Se l’argomento è troppo vasto lo divide in segmenti molto circoscritti.

Predispone quindi un foglio di domande numerate, scelte con cura in modo che:- vertano tutte sul segmento di argomento scelto;- per rispondere alla domanda sia necessario e sufficiente possedere una conoscenza acquisibile attraverso lo studio; - le domande coprano le conoscenze relative al segmento scelto.

Ad esempio per la scheda presentata come esempio l’argomento era i primi elementi di geometria dello spazio, e le domande erano del tipo:- Calcola nello spazio la distanza fra i due punti A= (7,-2, 1) e B=(-5, 0, -8) - Calcola il prodotto scalare fra i vettori e

Successivamente si predispone una scheda come quella che segue, dove la colonna di destra riporta ognuna delle conoscenze in gioco, e la colonna sinistra riporta gli esercizi in cui è coinvolta tale conoscenza.

L’attività prevede che lo studente non possa passare al foglio successivo di esercizi (che riguarda il segmento o l’argomento successivo) finché non completa correttamente la scheda.

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

Attività

Leggi con attenzione la seguente DEFINIZIONE:

Definizione: Due numeri interi si dicono primi tra loro, o coprimi, se il loro M.C.D. è 1.

Ti sembra di aver capito la definizione?Se non l'hai capita:Ci sono simboli che non conosci? Quali?

Ci sono parole che non conosci? Quali?

Ci sono espressioni che non capisci? Quali?

Rileggi la definizione e scrivi qui di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio:

Se pensi di aver capito la definizione data:

Scrivi due numeri che sono primi fra loro:

Scrivi due numeri che non sono primi fra loro:

Svolgi ora gli esercizi che seguono, che riguardano la definizione di numeri primi fra loro.Attenzione! Tutte le volte che hai un dubbio rileggi la DEFINIZIONE!

Esercizio 2.1

Martina dice: 11 e 10 non sono primi fra loro perché 10 non è un numero primo.Andrea dice: 11 e 10 sono primi tra loro perché 11 è primo.Marco dice: 11 e 10 non sono primi tra loro, però sono coprimi.

A chi dai ragione?Perché?

Esercizio 2.2

Francesco dice: Due numeri interi sono primi tra loro se non hanno altri divisori in comune oltre l’1.Angela dice: Non è vero. La definizione dice che sono primi quando il loro massimo comun divisore è uguale a 1.

A chi dai ragione?Perché?

Adesso prova a scrivere qui sotto la definizione di numeri primi fra loro, senza guardare la definizione scritta all’inizio:

Leggi con attenzione la seguente DEFINIZIONE:

Definizione 1: Un numero si dice razionale se si può scrivere come rapporto di due numeri interi, cioè se si può scrivere come m/n, con m e n interi.

Ti sembra di aver capito la definizione?Se non l'hai capita:Ci sono simboli che non conosci? Quali?

Ci sono parole che non conosci? Quali?

Ci sono espressioni che non capisci? Quali?

Rileggi la definizione e scrivi qui di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio:

Se pensi di aver capito la definizione data: Scrivi 4 numeri razionali:Scrivi 4 numeri non razionali:

Svolgi ora gli esercizi che seguono, che riguardano la definizione di numero razionale.Attenzione! Tutte le volte che hai un dubbio rileggi la DEFINIZIONE!

Esercizio 1.1Andrea dice: 7 non è un numero razionale perché è un solo numero e non è un rapporto.Ilaria dice: 7 è razionale perché si può scrivere come rapporto di due interi: 7 e 1.

A chi dai ragione?Perché?

Esercizio 1.2

Silvia dice: 3,14 è razionale perché si può scrivere come 314/100.

Valerio dice: 3,14 non è razionale perché è un numero con la virgola.

A chi dai ragione?Perché?

Esercizio 1.3

Barbara dice: √25 non è un numero razionale perché c’è la radice quadrata.

Francesco dice: √25 è un numero razionale perché è uguale a 5, che è razionale.

A chi dai ragione e perché?

Esercizio 1.4

Alice dice: √3/2 è razionale perché è il rapporto di due numeri.

Sei d’accordo con Alice? Spiega perché.

Adesso prova a scrivere qui sotto la definizione di numero razionale, senza guardare la definizione scritta all’inizio:

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

La richiesta di produrre esempi e controesempi:– Permette al docente di capire quale interpretazione di

un concetto (definizione, teorema,…) ha costruito lo studente

– Favorisce la comprensione dell’assetto teorico della matematica

– Favorisce lo sviluppo delle competenze logiche

– Permette di lavorare su definizioni e teoremi in modo indiretto mettendo in gioco una loro effettiva comprensione

– Sviluppa la capacità di argomentare

Produzione di esempi

→ Samuele Antonini:http://www.umi-ciim.it/wp-content/uploads/2013/12/Antonini.pdf

Esempi: richiesta di produzione

Esiste un x che gode della proprietà P?Se sì, fai un esempio.Se no, spiega perché.

Fai un esempio [se possibile] di un x che gode della proprietà P.Se non è possibile, spiega perché.

o più semplicemente

Trova, se è possibile, un numero divisibile per 12 ma non per 3. Se non è possibile, spiega perché.

Esiste una funzione definita su tutto R che è limitata ma non ha né massimo né minimo?Se sì, fai un esempio.Se no, spiega perché.

la richiesta di produrre un esempio mette in gioco la conoscenza di definizioni, di proprietà (teoremi)…

Trova un numero di 5 cifre che diviso per 3 dà resto 1.

• Trova un esempio di funzione continua su tutto R, invertibile, e tale che f(0)=2.• Trova un esempio di funzione definita su tutto R periodica di periodo 4 e avente

valore minimo uguale a 2.• Trova un esempio di funzione dispari definita su tutto R avente come asintoto

orizzontale la retta y=-2.• Trova un esempio di funzione definita su tutto R e discontinua in x=-5.• Trova un esempio di funzione periodica definita su tutto R tale che .• Trova un esempio di funzione pari definita su tutto R e avente come insieme

immagine l’intervallo [1, 3[.• Trova un esempio di funzione pari definita su tutto R che abbia come asintoto

orizzontale la retta y=1.• Trova un esempio di funzione definita su tutto R periodica di periodo 2 e avente

valore massimo uguale a 5.• Trova un esempio di funzione avente come asintoto verticale la retta x=-1 e come

asintoto orizzontale la retta y=2.• Trova un esempio di funzione dispari definita su tutto R senza né massimo né

minimo e tale che f(1)=3.• …

f (0) = f (p

2) = 0

Ancora sulle funzioni…

Ancora sulle funzioni…

Consegna aggiuntiva (dopo alcuni problemi):

• Spiega a un compagno come hai fatto a trovare l’esempio xxx

• Spiega a un compagno come hai fatto a trovare gli esempi richiesti

riflessione sui processi

Un altro esempio: lavoro di gruppo con gli integrali

FASE 1:Si chiede a ogni gruppo di fare un esempio per ognuna delle seguenti strategie di soluzione:• immediati• per parti• del tipo g(f(x))f’(x)• per sostituzione

FASE 2:L’insegnante propone (in ordine sparso) gli esempi fatti da un gruppo ad un altro gruppo chiedendo di risolverli.Variante: l’insegnante prima controlla che effettivamente gli esempi corrispondano alla consegna data.

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

→OBIETTIVO: • far emergere misconcetti sulla

misura degli angoli… • …ma anche sul numero π• favorire un’effettiva

comprensione di questi concetti→ Si può proporre come lavoro di

gruppo→ Seguito poi da una discussione

e un confronto per tirare le fila

R. Zan: Piacenza, gruppo recupero, 30nov/1dic18

1

GRADI , RADIANTI e dintorni…

1. Esiste un angolo che misura 30 radianti?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

2. Esiste un angolo che misura 2p gradi?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

3. Esiste un angolo che misura Ö2 gradi?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

4. Esiste un angolo che misura Ö2 radianti?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

5. Esiste un angolo che misura p/4 gradi?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

6. Esiste un angolo che misura 90 radianti?

Se no, perché?

Se sì, fanne un disegno approssimato.

7. Esiste un segmento lungo p/4 chilometri?

Perché?

8. Esiste un segmento lungo p2

metri ?

Perché?

Eventuali osservazioni, dubbi, ecc.:

GRADI, RADIANTI …E DINTORNI

R.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#!

Continuità(e(derivabilità(!1. Cosa!vuol!dire!che!una!funzione!f!è!continua!in!un!punto!x0?!

!2. Il!punto!x0!deve!appartenere!al!dominio!di!f!oppure!non!è!necessario?!

Il!punto!x0!!deve!godere!di!particolari!proprietà?!!

3. Quand’è!che!una!discontinuità!si!dice!eliminabile?!!

4. La!funzione! f (x) =1

x!è!continua!in!tutto!il!suo!dominio?!

!5. Fai!l’esempio!di!una!funzione!discontinua!in!x=0.!!6. Cosa!vuol!dire!che!una!funzione!f#è!derivabile!in!un!punto!x0?!!7. Il!punto!x0!deve!appartenere!al!dominio!di!f!oppure!non!è!necessario?!

Il!punto!x0!!deve!godere!di!particolari!proprietà?!!

8. Che!relazione!c’è!fra!continuità!e!derivabilità?!!

9. Supponiamo!che!f!sia!continua!in!x0!ma!non!derivabile!in!x0.!

Cosa!può!accadere!di!x®x0

limf (x)- f (x0 )

x - x0

?!

!!!!!!!!Individua!tutte!le!possibilità!e!per!ognuna!di!esse!fai!un!esempio!grafico.!!10. Osserva!i!seguenti!grafici!di!funzioni!definiti!in!un!intervallo![a.!b].!

Per!ognuno!riconosci!eventuali!punti!di!discontinuità!e/o!di!non!derivabilità.!!

!

Questionario su continuità e derivabilità

R.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#!

Continuità(e(derivabilità(!1. Cosa!vuol!dire!che!una!funzione!f!è!continua!in!un!punto!x0?!

!2. Il!punto!x0!deve!appartenere!al!dominio!di!f!oppure!non!è!necessario?!

Il!punto!x0!!deve!godere!di!particolari!proprietà?!!

3. Quand’è!che!una!discontinuità!si!dice!eliminabile?!!

4. La!funzione! f (x) =1

x!è!continua!in!tutto!il!suo!dominio?!

!5. Fai!l’esempio!di!una!funzione!discontinua!in!x=0.!!6. Cosa!vuol!dire!che!una!funzione!f#è!derivabile!in!un!punto!x0?!!7. Il!punto!x0!deve!appartenere!al!dominio!di!f!oppure!non!è!necessario?!

Il!punto!x0!!deve!godere!di!particolari!proprietà?!!

8. Che!relazione!c’è!fra!continuità!e!derivabilità?!!

9. Supponiamo!che!f!sia!continua!in!x0!ma!non!derivabile!in!x0.!

Cosa!può!accadere!di!x®x0

limf (x)- f (x0 )

x - x0

?!

!!!!!!!!Individua!tutte!le!possibilità!e!per!ognuna!di!esse!fai!un!esempio!grafico.!!10. Osserva!i!seguenti!grafici!di!funzioni!definiti!in!un!intervallo![a.!b].!

Per!ognuno!riconosci!eventuali!punti!di!discontinuità!e/o!di!non!derivabilità.!!

!

Integrali e areeR.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#

!

Integrali*e*aree**

1.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dal!grafico!di!una!funzione!f(x)!fra!x=a!e!x=b!e!

f (x)dxa

b

ò !?!

!!

2.!Che!segno!avrà! sin x dx-

p

2

0

ò !?!!!Perché?!

!

Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!da! f (x) = sin x !!fra!x = -p

2e!x = 0 !e! sin x dx

-p

2

0

ò ?

!

!

3.!Disegna! f (x) = sin x !fra!!x = -p

2e!x =

p

2:!!

!!!!

Quanto!vale! sin x dx-

p

2

p

2

ò ?!!!!!!!!!Perché?!

Quanto!vale!l’area!delimitata!da! f (x) = sin x !fra!!x = -p

2e!x =

p

2?!

!4.!Fai!un!esempio!di!una!funzione!per!cui!valgono!le!stesse!considerazioni!della!domanda!precedente:!f(x)=!…..!!!!!!!!!!!fra!x=…!!e!x=…!!5.!Come!puoi!esprimere!in!generale!quella!proprietà?!!6.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dai!grafici!di!due!funzioni!f!e!g!fra!x=a!e!x=b,!e!gli!integrali!delle!due!funzioni!fra!a!e!b?!

R.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#

!

Integrali*e*aree**

1.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dal!grafico!di!una!funzione!f(x)!fra!x=a!e!x=b!e!

f (x)dxa

b

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2.!Che!segno!avrà! sin x dx-

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3.!Disegna! f (x) = sin x !fra!!x = -p

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p

2:!!

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Quanto!vale! sin x dx-

p

2

p

2

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Quanto!vale!l’area!delimitata!da! f (x) = sin x !fra!!x = -p

2e!x =

p

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!4.!Fai!un!esempio!di!una!funzione!per!cui!valgono!le!stesse!considerazioni!della!domanda!precedente:!f(x)=!…..!!!!!!!!!!!fra!x=…!!e!x=…!!5.!Come!puoi!esprimere!in!generale!quella!proprietà?!!6.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dai!grafici!di!due!funzioni!f!e!g!fra!x=a!e!x=b,!e!gli!integrali!delle!due!funzioni!fra!a!e!b?!

Integrali e areeR.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#

!

Integrali*e*aree**

1.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dal!grafico!di!una!funzione!f(x)!fra!x=a!e!x=b!e!

f (x)dxa

b

ò !?!

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2.!Che!segno!avrà! sin x dx-

p

2

0

ò !?!!!Perché?!

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2e!x = 0 !e! sin x dx

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3.!Disegna! f (x) = sin x !fra!!x = -p

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!4.!Fai!un!esempio!di!una!funzione!per!cui!valgono!le!stesse!considerazioni!della!domanda!precedente:!f(x)=!…..!!!!!!!!!!!fra!x=…!!e!x=…!!5.!Come!puoi!esprimere!in!generale!quella!proprietà?!!6.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dai!grafici!di!due!funzioni!f!e!g!fra!x=a!e!x=b,!e!gli!integrali!delle!due!funzioni!fra!a!e!b?!

R.#Zan:#Piacenza,#gruppo#recupero,#30nov/1dic18#

!

Integrali*e*aree**

1.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dal!grafico!di!una!funzione!f(x)!fra!x=a!e!x=b!e!

f (x)dxa

b

ò !?!

!!

2.!Che!segno!avrà! sin x dx-

p

2

0

ò !?!!!Perché?!

!

Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!da! f (x) = sin x !!fra!x = -p

2e!x = 0 !e! sin x dx

-p

2

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ò ?

!

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3.!Disegna! f (x) = sin x !fra!!x = -p

2e!x =

p

2:!!

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Quanto!vale! sin x dx-

p

2

p

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ò ?!!!!!!!!!Perché?!

Quanto!vale!l’area!delimitata!da! f (x) = sin x !fra!!x = -p

2e!x =

p

2?!

!4.!Fai!un!esempio!di!una!funzione!per!cui!valgono!le!stesse!considerazioni!della!domanda!precedente:!f(x)=!…..!!!!!!!!!!!fra!x=…!!e!x=…!!5.!Come!puoi!esprimere!in!generale!quella!proprietà?!!6.!Che!relazione!c’è!fra!l’area!delimitata!dai!grafici!di!due!funzioni!f!e!g!fra!x=a!e!x=b,!e!gli!integrali!delle!due!funzioni!fra!a!e!b?!

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

Il concetto di funzione

1. Esiste una funzione in cui ogni numero diverso da 0 è associato al

suo quadrato, e allo 0 è associato 1?

2. Esiste una funzione in cui ogni numero positivo è associato a1,

ogni numero negativo è associato a -1, e 0 è associato a 0?

3. Esiste una funzione il cui grafico è il seguente?

4. Secondo te cos’è una funzione?

Molti studenti che alla domanda 4 danno una definizione corretta di

funzione non la utilizzano per rispondere alle domande 1-3.

DEFINIZIONE

IMMAGINE MENTALE

è importante educare gli studenti ad attivare processi di controllo

Risposta intuitiva• l’immagine mentale agisce perciò come un ‘tunnel della

mente’ • …emerge soprattutto in situazioni non standard, un po’

diverse dall’usuale

Un esempio di attività sulle altezze di un triangolo

1) Nel triangolo ABC disegna l’altezza relativa al vertice A.

2) Controlla!

Rileggi con attenzione la definizione di altezza.

Quello che hai disegnato ha effettivamente tutte le proprietà descritte nella definizione? ☐È un segmento? ☐Uno dei suoi estremi è il vertice A? ☐L’altro estremo sta sul lato opposto al vertice A?☐È perpendicolare al lato opposto al vertice A?

Come puoi fare per controllare?

A

B

C Altezza di un triangolo è il segmento di perpendicolare condotto da un vertice al lato opposto.

Se hai risposto NO a qualcuna di queste domande, vuol dire che quella che hai disegnato non è l’altezza richiesta.Prova a ricominciare da capo.

Quello che hai disegnato ha effettivamente tutte le proprietà descritte nella definizione? ☐È un segmento? ☐Uno dei suoi estremi è il vertice A? ☐L’altro estremo sta sul lato opposto al vertice A?☐È perpendicolare al lato opposto al vertice A?

Come puoi fare per controllare?

Possiamo costruire attività analoghe con altre situazioni non standard:

a

a

1) Disegna l’altezza relativa al lato a.

1) Disegna l’altezza relativa al lato a.

DEFINIZIONE IMMAGINE MENTALE

PROCESSI DI CONTROLLO

DEFINIZIONE

PROCESSI DI CONTROLLO

PROPOSTA

Predisporre un’attività sulla definizione di funzione del tipo di quella presentata per la definizione di altezza (eventualmente utilizzando la prova descritta e i suoi risultati).

• Le definizioni:➢Comprensione di una definizione

• Attività varie:– Definizione di numeri primi fra loro

– Definizione di numero razionale

• La richiesta di produzione di esempi

• Questionari sulla comprensione di varie definizioni:– Misura di un angolo in gradi e radianti

– Derivabilità e continuità

– Integrale definito e area

➢Dall’immagine mentale alla definizione– Un’attività sulla definizione di altezza

➢Introduzione di una definizione attraverso un problema

• Il minimo comune multiplo

Il m.c.m. fra due numeri

livello 5 (2016)

livello 6 (2013)

livello 8 (2010)

livello 10 (2013)

29%

26,6%

47,5%

29,3%

RISPOSTE CORRETTE

…fragilità della definizione di m.c.m. data e dei numerosi esercizi proposti

È una definizione cui si dedica tanto tempo……ma:

PROVEINVALSI

Il m.c.m. fra due numeri

1. Si parte da un problema, da risolvere a gruppi:→ Le amiche hostess

Maria e Sara sono due hostess: si incontrano all’aereoporto di Pisa e fanno subito amicizia.Decidono allora di ritrovarsi e pranzare insieme quando ritorneranno a Pisa.Maria guarda i suoi turni e vede che passa da Pisa ogni 14 giorni.Sara guarda i suoi turni e vede che passa da Pisa ogni 6 giorni.Maria dice: “Ma allora non ci potremo incontrare mai!”Sara dice: “Ma no, dai! Secondo me succederà che capiteremo a Pisa nello stesso giorno!”

Secondo te chi ha ragione? Come possono fare a capire se i loro turni le porteranno a Pisa in uno stesso giorno?

La prima versione…

Maria e Sara sono due hostess.

Un giorno che sono entrambe a Pisa, vanno a pranzo al ristorante dell’aereoporto. Siccome non ci sono tavoli liberi, Sara si siede allo stesso tavolo di Maria e così si conoscono e fanno subito amicizia.

Al momento di salutarsi Maria dice: “Troviamoci a pranzo insieme anche la prossima volta che siamo tutte e due a Pisa! Io torno fra 14 giorni, e tu?”

Sara risponde: “Mi piacerebbe molto! Però io torno fra 6 giorni. O meglio, fra 6 giorni, e poi ancora dopo 6 giorni: insomma, con i miei turni sono a Pisa ogni 6 giorni.”

Maria dice: “Anch’io torno fra 14 giorni, e poi ancora dopo 14 giorni, …insomma sono a Pisa ogni 14 giorni. Ho paura che non ci potremo incontrare mai!”

Sara: “Ma no, dai! Secondo me succederà che capiteremo a Pisa nello stesso giorno!”

Secondo te chi ha ragione? Come possono fare a capire se i loro turni le porteranno a Pisa in uno stesso giorno?

Il m.c.m. fra due numeri

1. Si parte da un problema, da risolvere a gruppi:→ Le amiche hostess

2. Si confrontano le risposte e i processi risolutivi dei gruppi.Si discute.Si arriva a riconoscere come risposta corretta:

Si incontreranno di nuovo a Pisa dopo 42 giorni

Si può chiedere: ‘E poi? Si incontreranno ancora? Quando?’

Il m.c.m. fra due numeri

14 28 42

6 12 18 24 30 36 42

3. Si apre il confronto sui seguenti punti:‘Come avete trovato il numero 42?’

4. ‘Che proprietà ha?’‘Come lo chiamereste?’ Si arriva a un modo di definire il m.c.m. condiviso dalla classe.Il docente poi introduce la definizione usuale.

In generale questi esempi fanno vedere come una strategia potente per dare senso è quella di invertire i tempi

L’insegnante introduce un concetto, una procedura…

COMPITO

PROBLEMA ESERCIZIO

Obiettivi delle attività proposte

• Favorire la costruzione di una visione adeguata: – della matematica

– del linguaggio matematico

– della razionalità matematica

• Insegnare a ‘studiare’:– a comprendere una definizione, un teorema

• Insegnare ad affrontare un problema

• Insegnare a utilizzare il linguaggio e la razionalità tipici della matematica

Incontro 3: Parte 1

3.3 Il metodo di studio

3.4 Le definizioni

3.5 I teoremi

Incontro 4: Parte 2

4.1 I problemi

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

PARTE 1: L’ENUNCIATOQui di seguito è riportato l’ENUNCIATO di un teorema importante: il teorema del resto.Leggilo con attenzione.

Teorema del restoSia P(x) un polinomio di grado maggiore o uguale a 1, e B(x) = x-c.Il resto della divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è P(c).

Ti sembra di aver capito l’enunciato del teorema?Se non l'hai capito:Ci sono simboli che non conosci? Quali?Ci sono parole che non conosci? Quali?Ci sono espressioni che non capisci? Quali?

Rileggi l’enunciato e scrivi qui di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio:

Rispondi ora alle seguenti domande:

1. Quali sono le ipotesi?

2. Qual è la tesi?

3. Cosa sta a indicare P(c)?

• Qual è il resto? • P(c) è uguale al resto che hai

trovato?

Teorema del restoSia P(x) un polinomio di grado maggiore o uguale a 1, e B(x) = x-c.Il resto della divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è P(c).Strategie(per(il(recupero(

! 71!

La divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è riportata qui sotto:

Qual è il resto? P(c) è uguale al resto che hai trovato?

5. Considera il caso in cui: P(X ) = 2x + 8

B(X) = x -1

2

P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? & sì & no Perché? Se hai risposto sì:

Quanto vale c? Calcola P(c) = Cosa ti permette di concludere il teorema? La divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è riportata qui sotto:

Qual è il resto? P(c) è uguale al resto che hai trovato?

6. Considera il caso in cui:

P(X) = x2 - x +1 !

B(X) = x + 3

P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? & sì & no Perché? Se hai risposto sì:

Quanto vale c? Calcola P(c) = Cosa ti permette di concludere il teorema? La divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è riportata qui sotto:

2x -1 ! x - 3!!-2x + 6 ! 2!!!!!!!!!!!!!5 !!!!

2x + 8 !x -

1

2!

!-2x + 4 ! 2!

!!!!!!!!!!!12 !!!!!

x2 - x +1 ! x + 3 !

!-x2 - 3x ! x - 4 !

!!!!!!!!-4x +1 !!!!!!!!!!4x +12 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!13 !!!!!

6x2 - x + 3 ! 2x -1 !

!-6x2 + 3x ! 3x +1 !

!!!!!!!!!!!!!2x + 3 !!!!!!!!!!!!-2x +1 !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4 !!!!!

6x2 - x + 3 ! x2 -1!

!-6x2 +6 ! 6!

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x2 -1 ! x -1!

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6x2 - x + 3 ! 2x -1 !

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• Qual è il resto? • P(c) è uguale al resto che hai

trovato?

Strategie(per(il(recupero(

! 72!

Qual è il resto? P(c) è uguale al resto che hai trovato?

7. Considera il caso in cui:

P(X) = 6x2 - x+3 !

B(X ) = 2x -1

P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? & sì & no Perché? Se hai risposto sì:

Quanto vale c? Calcola P(c) = Cosa ti permette di concludere il teorema? La divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è riportata qui sotto:

Qual è il resto? P(c) è uguale al resto che hai trovato?

8. Considera il caso in cui:

P(X) = 6x2 - x+3 !

B(X) = x2 -1

P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? & sì & no Perché? Se hai risposto sì:

Quanto vale c? Calcola P(c) = Cosa ti permette di concludere il teorema? La divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è riportata qui sotto:

Qual è il resto? P(c) è uguale al resto che hai trovato?

9. Considera il caso in cui:

P(X) = x2 -1 !

B(X ) = x -1

P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? & sì & no

2x -1 ! x - 3 !!-2x + 6 ! 2!!!!!!!!!!!!!5 !!!!

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!!!!!!!!!!!!!2x + 3 !!!!!!!!!!!!-2x +1 !

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6x2 - x + 3 ! x2 -1!

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x2 -1 ! x -1!

!-x2 + x ! x +1!

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2x -1 ! x - 3 !!-2x + 6 ! 2!!!!!!!!!!!!!5 !!!!

2x + 8 !x -

1

2!

!-2x + 4 ! 2!

!!!!!!!!!!!12 !!!!!

x2 - x +1 ! x + 3 !

!-x2 - 3x ! x - 4 !

!!!!!!!!-4x +1 !!!!!!!!!!4x +12 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!13 !!!!!

6x2 - x + 3 ! 2x -1 !

!-6x2 + 3x ! 3x +1 !

!!!!!!!!!!!!!2x + 3 !!!!!!!!!!!!-2x +1 !

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!4 !!!!!

6x2 - x + 3 ! x2 -1!

!-6x2 +6 ! 6!

!!!!!!!!!!!!!-x + 9 !!!!!

x2 -1 ! x -1 !

!-x2 + x ! x +1 !

!!!!!!!!!!!!!x -1 !!!!!!!!!!!-x +1 !

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Teorema del restoSia P(x) un polinomio di grado maggiore o uguale a 1, e B(x) = x-c.Il resto della divisione del polinomio P(x) per il polinomio B(x) è P(c).

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

Strategia generale: richiesta di congetture

La somma di due numeri pari è un numero pari.

In matematica un ‘teorema’ è un qualsiasi ‘fatto’ che si dimostra:ad esempio anche semplici proprietà aritmetiche

1. Quando è possibile è opportuno partire da problemi in cui si congettura un certo risultato.Ad esempio:

Che tipo di numero è la somma di numeri pari?

3. Si chiede quindi di argomentarla, dimostrarla.Uno stesso teorema può essere argomentato/dimostrato in modi diversi a seconda del livello scolare.

2. Solo successivamente si arriva a una formulazione condivisa della congettura.

La somma di due numeri pari è un numero pari.

Le fasi 1 e 2 facilitano la comprensione dell’enunciato, in quanto viene prodotto dagli studenti

Strategia generale: richiesta di produzione di esempi impossibili

Esiste un x che gode della proprietà P?Se sì, fai un esempio.Se no, spiega perché.

Fai un esempio, se possibile, di un x che gode della proprietà P.Se non è possibile, spiega perché.

o più semplicemente

Questa richiesta si può utilizzare:• per fare intuire il risultato di un

teorema prima di presentarlo e di dimostrarlo

• per far cogliere la necessità di alcune ipotesi

Se il teorema è della forma P→ Qla richiesta sarà:Esiste un x (numero, funzione, insieme, …) che ha la proprietà Pma non ha la proprietà Q?

Questa richiesta si può utilizzare:• per fare intuire il risultato di un

teorema prima di presentarlo e di dimostrarlo

• per far cogliere la necessità di alcune ipotesi

Se il teorema è della forma P→ Qla richiesta sarà:Esiste un x (numero, funzione, insieme, …) che ha la proprietà Pma non ha la proprietà Q?

Fai un esempio, se possibile, di una funzionecontinua, che assume sia valori positivi che negativi, ma che non si annulla mai. Se non ti riesce, prova a spiegare il perché.

Fai un esempio, se possibile, di una funzione continua definita su un intervallo [a,b], che assume sia valori positivi che negativi, ma che non si annulla mai. Se non ti riesce, prova a spiegare il perché.

Costruisci, se possibile, una funzione f definita nell’intervallo [a, b] tale che:• f sia continua su [a, b]• f sia derivabile in ]a, b[• f(a)=f(b)• f’(x) sia diversa da zero per ogni x.Se non ti riesce, prova a spiegare il perché.

Fai un esempio, se possibile, di una funzione continua in [0, 2] senza massimo.Se non ti riesce, prova a spiegare il perché.

Questa richiesta si può utilizzare:• per fare intuire il risultato di un

teorema prima di presentarlo e di dimostrarlo

• per far cogliere la necessità di alcune ipotesi

Se il teorema è della forma P→ Qla richiesta sarà:Esiste un x (numero, funzione, insieme, …) che ha la proprietà Pma non ha la proprietà Q?

Costruisci, se possibile, una funzione f definita nell’intervallo [a, b] tale che:• f sia continua su [a, b]• f sia derivabile in ]a, b[• f(a)=f(b)• f’(x) sia diversa da zero per ogni x.Se non ti riesce, prova a spiegare il perché.

intuizione del Teorema di Rolle

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

Alla scoperta del teorema fondamentale dell’aritmetica

tutti numeri primi

INVALSI, 2010, livello 6

Il teorema fondamentale dell’aritmetica

Ogni numero naturale maggiore di 1 si può scrivere in uno e un sol modo (a meno dell’ordine) come prodotto di numeri primi.

• È un risultato importantissimo dal punto di vista teorico• Ma spesso viene sottovalutato…• … ridotto a una breve introduzione per presentare la

scomposizione in fattori primi

1. Si propone a livello individuale la consegna:Scrivi il numero ___ come prodotto di due numeri(si scelgono numeri con diversi divisori, ad esempio 120, così da poter contare su risposte diverse).

2.Si ripropone la consegna nella forma: Scrivi il numero ___ come prodotto di numeri(senza vincoli su quanti debbano essere).

Si scrivono alla lavagna le diverse risposte, e si chiede se se ne possono trovare altre. Si discutono le risposte.

120

Si scrivono alla lavagna le diverse risposte, e si chiede se se ne possono trovare altre. Si discutono le risposte.

120

3.Si ripropone la consegna nella forma:Scrivi il numero 120 come prodotto di numeri primi. Si scrivono alla lavagna le diverse risposte e si osserva cosa succede in questo caso (la diversità dipende solo dall’ordine in cui sono scritti i fattori).Si chiede se se ne possono trovare altre. Si discutono le risposte.

4.Si chiede agli allievi in gruppi di scrivere quanto osservato.Si confrontano e si discutono le diverse formulazioni.Si arriva quindi a un enunciato condiviso del Teorema fondamentale dell’aritmetica.

Alla scoperta del teorema di Pitagora

1. Si propone agli allievi la visione del video in cui il teorema è illustrato in modo idraulicoattraverso un dispositivo posto su una piattaforma girevole: https://www.youtube.com/watch?v=o7vsBSP64N4

2.

Si chiede agli allievi divisi in gruppi di produrre un testo scritto per descrivere quanto osservato. Si confrontano e discutono i testi prodotti.

3.

Si chiede agli stessi gruppi di produrre un testo scritto per descrivere quanto osservato utilizzando il linguaggio matematico.

Si confrontano e discutono i testi prodotti.

4. Si conclude con un enunciato condiviso del Teorema di Pitagora.

5. ecc.L’attività può proseguire sulla dimostrazione (chiedendo agli allievi di trovare su internet dimostrazioni diverse del teorema, confrontandole, discutendo ecc.

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

Le dimostrazioni nella pratica didattica

Anche se si è convinti del ruolo delle dimostrazioni in matematica, sempre più si rinuncia a proporle:

• se si fa una dimostrazione alla lavagna, 5 seguono, 2 capiscono, 1 apprende…

• e poi cosa si chiede di tale dimostrazione?

• d’altra parte se non si chiede niente passa l’idea che non è importante

Invece bisognerebbe educare all’argomentazione e poi alla dimostrazione fin dalla scuola primaria.

Le dimostrazioni nella pratica didattica

• Una strategia è quella di proporre specifiche attività sulla dimostrazione in classe, a gruppi, senza i vincoli della valutazione

• Gli obiettivi di tali attività:– dare un’idea di cos’è una dimostrazione e di come

funzionano i processi dimostrativi– ma anche far emergere dai passaggi proprietà

rilevanti degli oggetti matematici in gioco su cui ragionare e discutere

– quindi restituire vitalità a conoscenze che altrimenti rischiano di rimanere inerti

• I teoremi:➢La comprensione dell’enunciato di un teorema

- Il teorema fondamentale del resto

➢La ‘scoperta’ di un teorema- Strategie generali:

✓ la richiesta di congetturare

✓ la richiesta di produzione di esempi impossibili

- Il teorema fondamentale dell’aritmetica

- Il teorema di Pitagora

➢La comprensione di una dimostrazione- L’irrazionalità di radice di √2

- Una proprietà aritmetica

- Il teorema del resto

- Il teorema di Rolle

L’irrazionalità di radice di √2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema. Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: √2 è un numero irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due numeri interi.

Qual è l’enunciato del teorema?Ti sembra di averlo capito?Se non l'hai capito:Ci sono simboli che non conosci? Quali?

Ci sono parole che non conosci? Quali?

Ci sono espressioni che non capisci? Quali?

Rileggi l’enunciato e scrivi qui di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio:

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

Strategie(per(il(recupero(

! 67!

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema?

RISPONDI ORA ALLE DOMANDE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

a) Cosa vuol dire dimostrare per assurdo?b) Hai visto altre dimostrazioni per assurdo?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

c) Perché al punto 2 della dimostrazione si scrive ?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

d) Perché al punto 3 della dimostrazione si dice che si può sempre supporre che m e nsiano primi tra loro?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

e) Perché al punto 4 della dimostrazione si scrive che m2=2n2?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

f) Perché se m2 è pari, anche m è pari?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n

tali che: 2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè

che la frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

DIMOSTRAZIONE

g) Perché n deve essere dispari?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

h) Perché si può scrivere m=2k?

i) Perché si deduce che m2=4k2?

DIMOSTRAZIONE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

l) Perché si scrive che 2n2=4k2?

DIMOSTRAZIONE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

m) Perché si afferma che n2 è pari?

DIMOSTRAZIONE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

n) Perché si deduce che anche n è pari ?

DIMOSTRAZIONE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

o) Perché si afferma che n doveva essere dispari?

DIMOSTRAZIONE

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

p) Perché si afferma che si è arrivati a un assurdo?

ATTIVITÀ 2: L’irrazionalità di 2

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema.

Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: Il numero 2 è irrazionale, cioè non si può scrivere come rapporto fra due

numeri interi.

Dimostrazione:

1. Dimostriamo per assurdo.

2. Se

2 fosse razionale allora esisterebbero due numeri interi m e n tali che:

2 =m

n!!!!!

3. Osserviamo che si può sempre supporre che m e n siano primi tra loro, cioè che la

frazione m

n sia ridotta ai minimi termini.

4. Dall’uguaglianza 2 =m

n! segue che m2 = 2n2 .

5. Poiché m2 è pari, anche m è pari.

6. Quindi n deve essere dispari.

7. D’altra parte se poniamo m = 2k segue che m2 = 4k2 .!

8. Quindi: 2n2 = 4k2 ,!cioèn2 = 2k2 .

9. Da cui segue che n2 !è!pari.

10. Quindi anche n è pari.

11. Ma avevamo visto che n doveva essere dispari.

12. Quindi siamo arrivati ad un assurdo.

13. Quindi il teorema è dimostrato.

Qual è l’enunciato del teorema? Ti sembra di averlo capito? Se non l'hai capito:

• Ci sono simboli che non conosci? Quali?

q) Perché si afferma che il teorema è dimostrato?

DIMOSTRAZIONE

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

o) Perché al punto 11 della dimostrazione si afferma che n doveva essere dispari?

p) Perché al punto 12 della dimostrazione si afferma che si è arrivati a un assurdo?

q) Perché al punto 13 della dimostrazione si afferma che il teorema è dimostrato?

Ecco alcuni commenti al teorema dato sopra, leggili attentamente e rispondi alla domanda finale:

Ludovico dice : “Secondo me il teorema non è dimostrato, non vedo infatti cosa c’entri che

n sia contemporaneamente pari e dispari con il fatto che 2 sia irrazionale”

Mirko dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Infatti con la calcolatrice ho trovato che 2 è uguale a 1,4142135623, quindi è uguale alla

frazione 14142135623

10000000000.

Nadia dice : “Il teorema è falso, perché 2 si può scrivere come m

n !!

Basta prendere

n = 2

m = 2 !!

e così!m

n=

2

2= 2

Cosa pensi di tali commenti?

!!!

Una proprietà aritmetica

Qui di seguito sono riportati l’ENUNCIATO e la DIMOSTRAZIONE di un teorema. Leggi entrambi molto attentamente.

TEOREMA: La somma di due numeri dispari consecutivi è un multiplo di 4.

Qual è l’enunciato del teorema?Ti sembra di averlo capito?Se non l'hai capito:Ci sono simboli che non conosci? Quali?

Ci sono parole che non conosci? Quali?

Ci sono espressioni che non capisci? Quali?

Rileggi l’enunciato e scrivi qui di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio:

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Pensi di aver capito la dimostrazione?

Ci sono passi che non sono chiari? Quali? Cos’è che non ti è chiaro?

Scrivi di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio la dimostrazione:

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Cosa vuol dire che due numeri dispari sono consecutivi?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché si dice che si può supporre n<m?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché m=n+2?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché si può scrivere n=2k+1?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché si scrive m=2k+3?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)?

Dimostrazione:

1. Siano n e m due numeri dispari consecutivi2. Possiamo supporre n<m3. e quindi m= n+24. Possiamo inoltre scrivere n=2k+15. quindi m=2k+36. Allora m+n=(2k+1)+(2k+3)=4(k+1)7. Quindi m+n è divisibile per 4, e il teorema è dimostrato.

Perché si dice che m+n è divisibile per 4?

Perché il teorema è dimostrato?

Il teorema del resto

FASE 1: esplorazione e congetturaDare la consegna:

Costruite, se possibile, una funzione f definita nell’intervallo [a, b] tale che:• f sia continua su [a, b]• f sia derivabile in ]a, b[• f(a)=f(b)• f’(x) sia diversa da zero per ogni x.Se non vi riesce, provate a spiegare il perché.

Nota: Si può proporre invece dell’intervallo [a, b] generico, l’intervallo [1.5] o simili.

FASE 2: studio dell’enunciato e della dimostrazione del teorema di Rolle

FASE 3: attività sulla comprensione del teorema di Rolle

Parte 2: La DIMOSTRAZIONELeggi ora con attenzione la DIMOSTRAZIONE del Teorema del resto.Per facilitare la comprensione abbiamo numerato i passaggi.

Pensi di aver capito la dimostrazione?

Ci sono passi che non sono chiari? Quali? Cos’è che non ti è chiaro?

Scrivi di seguito tutto quello che vorresti chiedere al professore per capire meglio la dimostrazione:

c) Cosa vuol dire che R(x) ha grado 0 (vedi punto 3)?

d) Perché al punto 3 si dice che R(x) è una costante?

e) Cosa vuol dire che R(x) è una costante?

g) Perché al punto 5 si deduce che P(c)=R?

h) Perché al punto 6 si conclude che il teorema è dimostrato?

i) Se il polinomio B(x) invece che x-c fosse ax-c, dove a è un numero diverso da 1, cosa cambierebbe nei passaggi della dimostrazione?Ad esempio se B(x) fosse 2x-c?

l) Controlla cosa hai risposto alla domanda 7 della prima parte. Cambieresti la tua risposta?

7. Considera il caso in cui:P(x)=6x2-x+3B(x)=2x-1P(x) e B(x) soddisfano le ipotesi del Teorema del resto? sì noPerché?

Il teorema di Rolle

1. Scrivi l'enunciato del teorema.2. Quali sono le ipotesi?3. Qual è la tesi?4. L'ipotesi che la funzione sia continua in un intervallo chiuso è necessaria?Perché ? Cosa succede se si suppone che f sia continua nell'intervallo aperto?5. L'ipotesi che f(a)=f(b) è necessaria? Perché?6. L'ipotesi che f sia derivabile nell'intervallo aperto è necessaria? Perché?7. In quali punti della dimostrazione viene utilizzato il fatto che f è continua in [a,b] ?8. In quali punti della dimostrazione viene utilizzata l'ipotesi che f è derivabile in

(a,b) ?9. In quali punti della dimostrazione viene utilizzata l'ipotesi che f(a)=f(b)?

Attività sul teorema di Rolle

10. La dimostrazione è diretta o è per assurdo?

11. Quali teoremi si sfruttano nella dimostrazione?

12. Osserva le seguenti figure: cosa ti suggeriscono, in relazione al teorema di Rolle?

a b a b a b

°

Attività sul teorema di Rolle