Ottica geometrica 1 18 gennaio 2013

Definizioni

Approssimazioni

Stigmatismo

Specchio concavo, fuoco

Invertibilita` del cammino ottico

Immagini e oggetti virtuali

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Definizioni

• Si dice oggetto un corpo che emette luce propria o diffonde luce di un’altro corpo

• Strumento ottico e` un apparato, semplice o complesso, che riflette o rifrange la luce emessa da un oggetto

• Esempi ne sono uno specchio, una lente, l’occhio, un telescopio• Immagine e` la luce emessa dall’oggetto dopo essere stata

trasformata dallo strumento ottico e raccolta su uno schermo (torneremo sul concetto)

• L’ottica geometrica (OG) studia la formazione di immagini mediante strumenti ottici, considerando la luce emessa dall’oggetto come un insieme di raggi

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Approssimazioni dell’OG

• Nell’OG si considera la luce come formata da particelle che si muovono in line retta e interagiscono con le superfici dello strumento ottico secondo le leggi della riflessione e della rifrazione

• Nell’OG non entra mai in gioco la natura ondulatoria della luce

• Tale approssimazione e` generalmente ben soddisfatta, perche’ le dimensioni delle superfici degli strumenti ottici sono molto maggiori della lunghezza d’onda della luce

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Forma dello strumento ottico

• Ci limiteremo a studiare il caso in cui – gli strumenti ottici abbiano un asse di simmetria cilindrica– gli elementi dello strumento siano costituiti solo da

porzioni di superfici piane o sferiche

• In tal modo rimangono definiti per ciascuna superficie – un centro C e un raggio di curvatura R– un vertice V come intersezione tra la superficie e l’asse

V C

R

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Stigmatismo

• Uno strumento ottico e` detto stigmatico se trasforma un punto oggetto in un unico punto immagine: e` una condizione essenziale per una buona definizione dell’immagine

• Lo strumento puo` essere stigmatico per uno o alcuni punti oppure puo` esserlo per tutti i punti dello spazio oggetto

• Lo stigmatismo e` difficile da ottenere

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Ottica gaussiana

• Si puo` ottenere stigmatismo in modo approssimato a condizione di usare raggi parassiali, cioe` poco inclinati rispetto all’asse ottico dello strumento e poco distanti da esso

• La piccola inclinazione permette di approssimare la tangente e il seno di un’angolo con l’angolo stesso (espresso in radianti)

• In questa approssimazione gaussiana gli angoli ’ sono tutti piccoli e la sagitta HV, relativa al semi-arco NV si puo` considerare nulla

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VCP Q

N

H ’

Aberrazioni

• Le eqq. che ricaveremo per le immagini formate da uno strumento ottico sono valide solo nell’approssimazione parassiale

• Non sono più accurate quando consideriamo– raggi con grandi angoli rispetto all’asse – raggi lontani dall’asse– luce non monocromatica per elementi ottici rifrattivi

• Questo fenomeno ha diversi aspetti, chiamati nell’insieme aberrazioni

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Tipi di elemento ottico

• Una superficie di uno strumento che presenta solo riflessione e` detta superficie catottrica o specchio

• Una superficie di uno strumento che presenta rifrazione e` detta superficie diottrica o diottro

• Le superfici rifrangenti presentano anche riflessione, ma in approssimazione parassiale (piccoli angoli di incidenza) l’onda riflessa ha intensità piuttosto piccola e viene trascurata (o considerata parassita)

• Una lente è l’insieme di due diottri

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Formazione delle immagini

• Studieremo dapprima la formazione dell’immagine per un punto sull’asse

• In un secondo momento studieremo cosa succede per un punto fuori asse

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Formazione delle immagini

• Dopo aver interagito con un elemento ottico i raggi possono convergere sul punto immagine, e raggiungerlo

• Dopo di che ne divergono come se l’immagine fosse un oggetto e non è possibile distinguere la luce proveniente da un’immagine da quella proveninente da un oggetto

• L’immagine di un elemento ottico diventa così l’oggetto dell’elemento successivo

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Specchio concavo (1)

• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente sull’asse a sinistra di C

• Consideriamo un raggio (luminoso) PN emesso da P e incidente sul punto N dello specchio

• Tracciamo il raggio (geometrico) CN dal centro dello specchio a N: l’angolo PNC e` l’angolo d’incidenza i

• Il raggio PN viene riflesso secondo l’angolo di riflessione CNQ=r

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VCP Q

Ni r

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Specchio concavo (1)

• Con riferimento alla figura, abbiamo le seguenti due uguaglianze geometriche

• Sommando membro a membro ed eliminando i ed r

• Esprimiamo le tangenti degli angoli

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C VP Q

N

H ’

i r

r ' i

2'

CHNHtg QHNHtg 'PHNHtg

• Diciamo y la distanza trasversale NH

• o la distanza dell’oggetto dal vertice

• i la distanza dell’immagine dal vertice

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Specchio concavo (1)

• Nell’approssimazione di Gauss le tangenti sono assimilabili agli angoli, HV ~ 0 e quindi

• E sostituendo in otteniamo

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Rio

211

2'

VCP Q

N

o

iR

Rytg / iytg /'' oytg /

Il valore di i non dipende dalparticolare raggio, ovvero da o y, quindi si ha stigmatismo

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Stigmatismo approssimato• Se non facessimo approssimazioni, detto • otterremmo

• E siccome otteniamo

• E infine

• Poiche’ la posizione dell’immagine dipende da y, non avremmo stigmatismo

• L’AG consiste nel fermarsi al primo ordine in y, ottenendo cosi’ stigmatismo approssimato

cos12

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2' 2

2

R

tgtgtgtg

tgtgtgyx

tg

yx

tg

yi

i1

2

R1

o

cos1 RHVx

2

2

2

11112

121

R

yR

oRy

oR

oR

Ry

i

)cos( Rytg 21cos Ry

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Fuoco

• Se facciamo tendere P all’infinito ( ) il raggio PN diventa parallelo all’asse e il raggio riflesso interseca l’asse in un punto F detto fuoco

• Dall’eq. dello specchio ricaviamo la posizione del fuoco (i = f)

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VC F

N

f R

2

o

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Invertibilità dei raggi

• In ottica esiste il principio di invertibilità del raggio luminoso (o cammino ottico), secondo cui invertendo il verso di un raggio, si ottiene ancora un possibile raggio

• Applicato al caso precedente possiamo allora affermare che un raggio emesso dal fuoco viene riflesso parallelamente all’asse

• Allora o = f e

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VC F

N

i

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Specchio concavo (2)

• Anche per punti oggetto P compresi tra C e F possiamo ripetere la costruzione già vista e ottenere la stessa equazione

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Rio

211

VC F

N

PQ

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Specchio concavo (3)• Cerchiamo l’immagine Q di un punto oggetto P giacente

sull’asse a destra di F• Il raggio riflesso e l’asse sono ora divergenti e non esiste un

punto in cui i raggi convergano• Se prolunghiamo il raggio riflesso al di là dello specchio, esiste

però un’intersezione Q con l’asse che viene detta immagine virtuale di P: non sono i raggi, ma i loro prolungamenti geometrici che si incontrano

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VC P Q

N

F

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Specchio concavo (3)

• In tal caso valgono le relazioni geometriche

• Sommando membro a membro e semplificando

• Come nel caso precedente approssimiamo l’angolo con la tangente, ottenendo

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r '

i

'2

1

o1

i2

R

VC P Q

N

F

'

ri

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Immagini virtuali• A differenza delle immagini reali, nelle immagini virtuali i

raggi luminosi non convergono in un punto e quindi non possono essere raccolte su uno schermo

• Mediante un sistema ottico, possono però essere focalizzati su uno schermo ove formano un’immagine reale

• Anche l’occhio può svolgere tale funzione, in questo caso lo schermo è la retina dell’occhio

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VC P Q

N

F

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Oggetti virtuali• Supponiamo che un elemento ottico faccia convergere i raggi

che lo colpiscono• Se questi raggi colpiscono successivamente un altro elemento

ottico, l’immagine del primo elemento non si forma• Ciononostante l’immagine che si formerebbe può essere

considerata come un oggetto virtuale per il secondo elemento ottico

• Possiamo p.e. considerare il caso di un oggetto posto dietro uno specchio come oggetto virtuale per lo specchio, creato da un elemento ottico convergente precedente, p.e. una lente

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