Ottica geometrica

Studio dei fenomeni dell’ottica che possono essere spiegati con semplici regole geometriche

La riflessione

� Leggi della riflessione

1. Raggio incidente, raggio riflesso e normale (perpendicolare) allo specchio nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano

2. Angolo di incidenza e angolo di riflessione sono uguali tra loro.

i r

ir

ri ˆˆ =

Immagine formata da uno specchio

� Immagine speculare

� Lo specchio riflette i raggi luminosi uscenti dalla sorgente S

� I raggi escono dallo specchio lungo delle direzioni che si intersecano nel punto I

� Quindi i raggi escono come sefossero partiti dal punto I

� I è la immagine speculare di S1. I si trova lungo la perpendicolare

inviata da S verso lo specchio

2. I si trova a una distanza q dallo specchio identica alla distanza pdi S dallo specchio

i r

p

q

S

I

Immagine virtuale

� L’immagine virtuale è individuata dalla intersezionedei prolungamenti dei raggi uscenti dallo specchio

� Quindi i raggi escono dallo specchio come se fossero partiti dalla immagine virtuale I

� Molti sistemi ottici formano immagini virtuali (oltre agli specchi, le lenti degli occhiali, la lente di ingrandimento, il microscopio)

� Per acquisire una immagine virtuale occorre un sistema ottico convergente come gli occhi o la macchina fotografica

i r

p

q

S

I

La rifrazione

� Il fenomeno della rifrazione avviene quando la luce attraversa una superficie di separazione tra due mezzi trasparenti nei quali la velocità di propagazione è diversa (ad esempio aria – acqua)

� Leggi della rifrazione

1. Raggio incidente, raggio rifratto e normale alla superficie di separazione nel punto di incidenza giacciono sullo stesso piano

2. Il rapporto tra il seno dell’angolo di incidenza e il seno dell’angolo di rifrazioneè costante. Questo rapporto prende il nome di indice di rifrazione. Questa legge è detta legge di Snell

i

r

( )( ) nr

i =ˆsin

ˆsin

aria

acqua

L’indice di rifrazione relativo� L’indice di rifrazione è legato alla

velocità della luce nei due mezzi

� L’indice di rifrazione n12 (detto indice

di rifrazione del secondo mezzo rispetto al primo) è uguale al rapporto tra le velocità della luce nei due mezzi

� L’indice di rifrazione n12 è tanto

maggiore quanto minore è la velocità della luce nel secondo mezzo

� I mezzi con minore velocità sono indicati come mezzi più rifrangenti

� L’acqua è più rifrangente dell’aria

� Il raggio luminoso che passa dall’aria all’acqua si avvicina dalla normale

1α

( )( ) 12

2

1

2

1

sin

sinn

v

v ==αα

mezzo 1

velocità v1

2α

mezzo 2

velocità v2

v2 < v1

L’indice di rifrazione assoluto

� L’indice di rifrazione assoluto è l’indice di rifrazione relativo al vuoto

� L’indice di rifrazione assoluto è uguale al rapporto tra la velocità della luce nel vuoto e la velocità della luce nel mezzo considerato

� La velocità della luce nel vuoto è

circa c = 3*108 m/s� La velocità della luce nel vetro è circa

v = 2*108 m/s� L’indice di rifrazione assoluto del

vetro è

1α

( )( ) n

v

c ==2

1

sin

sin

αα

vuoto

velocità c

2α

mezzo

velocità v

v< c

5,1/102

/1038

8

=⋅⋅==

sm

sm

v

cn

La rifrazione acqua-aria

� Se la luce proviene dal mezzo più rifrangente (l’acqua) e va verso il mezzo meno rifrangente (l’aria) il raggio luminoso si allontana dalla normale

� La formula della legge di rifrazione (legge di Snell) assume sempre la stessa forma

1αaria

velocità v1

2α

acqua

velocità v2

v2 <v1

( )( ) 12

2

1

2

1

sin

sinn

v

v ==αα

La immagine virtuale di un oggetto sotto l’acqua

� Gli oggetti posti sotto l’acqua appaiono in posizione diversa rispetto alla realtà

� La intersezione dei prolungamenti dei raggi luminosi individua la posizione

della immagine virtuale I� Chi osserva vede i raggi

luminosi uscire dall’acqua come se fossero partiti dalla

immagine I e non dalla

sorgente S� L’immagine I è spostata e

ravvicinata alla superficie di separazione acqua-aria.

S

I

Non solo rifrazione

� La rifrazione è sempre accompagnata dalla riflessione

� La intensità luminosa del raggio incidente (rappresentata nel disegno dallo spessore) si ripartisce tra la intensità del raggio rifratto e del raggio riflesso

� All’aumentare dell’angolo di incidenza diminuisce la intensità del raggio rifratto e aumenta la intensità del raggio riflesso, finché …

S

La riflessione totale� Al crescere dell’angolo di

incidenza si arriva ad un condizione per la quale l’angolo di rifrazione raggiunge i 90°

� La intensità del raggio rifratto si azzera e la intensità del raggio riflesso è massima: è la condizione di riflessione totale

� L’angolo di incidenza prende il nome di angolo limite

� Il valore dell’angolo limite si ricava dalla legge della rifrazione

α1=90°

( )( ) ( )

( )

=⇒=

==°

nn

n

1arcsinlim

1limsin

limsin

1

limsin

90sin

α2=lim

vuoto o aria

vetro o acqua

Strumenti che sfruttano il fenomeno: il prisma a riflessione totale

� L’indice di rifrazione del vetro è circa 1,5

� Calcolando il valore dell’angolo limite si ottiene:

� Il raggio che incide sulla superficie inclinata

forma un angolo di 45° che è maggiore dell’angolo limite

� Di conseguenza si ha riflessione totale

� Ci sono vantaggi rispetto agli specchi metallizzati:

a) Non c’è deterioramento

b) Non c’è sdoppiamento della immagine come negli specchi tradizionali

α=45° ( ) ( ) °==

=⇒= 81,41666,0arcsin5,1

1arcsinlim

1limsin

n

Strumenti che sfruttano il fenomeno della riflessione totale: il binocolo

� Un sistema multiplo di prismi a riflessione totale è presente all’interno dei binocoli

� I prismi sono inseriti all’interno della impugnatura del binocolo

� Si ha un doppio effetto:

1. Si allunga il percorso ottico e così si ha un ingrandimento maggiore

2. L’immagine viene raddrizzata, senza i prismi apparirebbe rovesciata come nel cannocchiale

Strumenti che sfruttano il fenomeno della riflessione totale: la fibra ottica, endoscopio

� La fibra ottica è un sottile in vetro, poiché è molto sottile è anche flessibile

� Gli endoscopi sono costituiti da un fascio di migliaia di fibre ottiche sottilissime

� Quando la luce entra nella fibra ottica colpisce le pareti interne formando angoli sempre superiori all’angolo limite, avviene il fenomeno della riflessione totale

� Quindi la fibra ottica funziona come guida di luce

� (Le fibre ottiche sono usate anche nelle lampade multicolori natalizie …)

Lastra a facce piane e parallele

� Un raggio che attraversa una lastra a facce piane e parallele non viene deviato nella sua traiettoria

� Il raggio viene spostato in una direzione parallela a quella originaria

� Gli angoli α2 e α’2 sono uguali tra loro (angoli alterni interni …)

� Di conseguenza sono uguali tra loro anche gli angoli α1 e α’1

1α

2'α

1'α

2α

Il principio di Fermat

� Quale percorso farà il bagnino per andare a salvare la ragazza che sta annegando?

� Cercherà di ridurre il percorso in acqua perché la velocità nel nuoto è inferiore alla corsa sulla sabbia, quindi

esclude i percorsi 1 2 3

� Il percorso ottimale è 4 e non

5 perché il tragitto in acqua è

simile ma il tratto 5 nella sabbia è molto maggiore

� Il bagnino fa un calcolo del percorso cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza

Help!

1 2 3 4 5

La rifrazione spiegata con il principio di Fermat

� Il principio di Fermat afferma che: la luce

per andare dal punto A al punto B segue il percorso a cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza

� Occorre calcolare i tempi di percorrenza nei due mezzi, il tempo dipende dalla distanza percorsa e dalla velocità

� Risolvendo matematicamente il problema si trova la legge di Snell

� Il raggio è più vicino alla normale nel mezzo dove la velocità della luce è minore

1αaria

acqua

A

B

( )( ) 2

1

2

1

sin

sin

v

v=αα

2α

x1

x2

y1

y2

2

22

22

1

21

21

2

2

1

121 v

yx

v

yx

v

d

v

dttt

++

+=+=+=

La lente convergente

S

� La lente convergente è un sistema ottico in grado di far

convergere in un punto I raggi luminosi uscenti da una

sorgente luminosa S� I raggi luminosi che

attraversano la lente seguono le leggi della rifrazione

� Il punto I è detto punto immagine

� L’immagine fornita da una lente convergente è una immagine reale, perché i raggi luminosi uscenti dalla lente convergono effettivamente nella immagine

I

La lente vìola il principio di Fermat?

S

� I raggi luminosi per andare dal punto S al punto I compiono

percorsi differenti.

� Il principio di Fermat afferma che la luce dovrebbe seguire un unico percorso: quello a cui corrisponde il tempo minimo di percorrenza

r1

r0

� In realtà tutti i raggi uscenti dal punto S e che convergono nel punto Iimpiegano lo stesso tempo. Il principio di Fermat è rispettato

� Il raggio r0 fa il percorso geometrico più breve ma attraversa lo spessore

maggiore della lente che è fatta di vetro e nel vetro la luce ha velocità minore

� Il raggio r1 fa il percorso geometrico più lungo ma attraversa lo spessore

sottile della lente, in conclusione i tempi di percorrenza di r0 e r1 sono uguali

I

Elementi geometrici della lente: l’asse ottico

C1

C2

� La lente è individuata geometricamente dalla intersezione di duesfere

� La retta passante per i centri di curvatura delle due sfere è l’asse ottico principale della lente

Elementi geometrici della lente: Il centro ottico della lente

O

� Il centro ottico è un punto che ha una caratteristica particolare: i raggi passanti per esso non vengono deviati (ma solo spostati lateralmente)

� Se la lente è sottile si può considerare che il raggio non venga né deviato né spostato

� I raggi passanti per il centro ottico attraversano la lente come se fosse una lastra a facce piane e parallele.

Punti caratteristici della lente: il fuoco

S� I raggi luminosi che arrivano sulla lente

da direzioni parallele all’asse ottico convergono in un punto detto fuoco

� La distanza tra centro ottico e fuoco è detta distanza focale ed è indicata con la lettera f

� Se la sorgente luminosa è molto lontana (si dice è posta all’infinito) i raggi arrivano sulla lente paralleli tra loro e convergono tutti nel fuoco

� Possiamo formulare due regole semplici:

1. I raggi passanti per il centro ottico non vengono deviati

2. I raggi paralleli all’asse ottico convergono nel fuoco

F

f

F

Il potere diottrico

S

� Il potere diottrico, ovvero la capacità di far convergere i raggi, dipende dalle caratteristiche geometriche della lente e dal tipo di vetro utilizzato

� La unità di misura del potere diottrico è la diottria

� Il potere diottrico della lente è pari all’inverso della distanza focale espressa in metri

S I

diottrie 2PD 5,0

diottrie 5,0PD 2

diottria 1PD 1

=⇒==⇒==⇒=

mf

mf

mf

I

La lente divergente

S

� La lente divergente è un sistema ottico che fa allontanare tra loro (fa divergere) i raggi luminosi uscenti da una sorgente

luminosa S e che hanno

attraversato la lente

� I raggi luminosi escono dalla lente escono dalla lente come

se provenissero da un punto Iposto sulla intersezione dei prolungamenti

� L’immagine fornita da una lente divergente è una immagine virtuale

I

Il fuoco della lente divergenteS � I raggi luminosi che arrivano sulla

lente da direzioni parallele all’asse ottico escono dalla lente come se provenissero da un punto detto fuoco virtuale

� La distanza tra centro ottico e fuoco è detta distanza focale ed è indicata con la lettera f

� Anche per la lente divergente possiamo formulare due regole semplici:

1. I raggi passanti per il centro ottico non vengono deviati

2. I raggi paralleli all’asse ottico escono dalla lente come se fossero partito dal fuoco virtuale

F

fF

Costruzione geometrica della immagine formata dalla lente convergente

� La posizione della immagine I formata da una lente convergente viene individuata dal punto di intersezione di due raggi:

1. Il primo raggio arriva sulla lente in direzione parallela all’asse ottico e prosegue passando per il fuoco

2. Il secondo raggio passa per il centro ottico e prosegue senza essere deviato

� Tutti gli altri raggi uscenti da S convergono nel punto I

S

f

F

I

Costruzione della immagine di un oggetto esteso con la lente sottile

� Una lente sottile è schematizzata da un segmento con frecce agli estremi rivolte verso l’esterno

� La distanza dell’oggetto dalla lente è indicata con la lettera p� La distanza della immagine dalla lente è indicata con la lettera q� La costruzione della immagine dell’intero oggetto è ottenuta costruendo la

immagine di ogni punto dell’oggetto, nel disegno è riportata solo la costruzione dell’estremità dell’oggetto

� L’immagine ottenuta è reale e capovolta

� L’immagine è ingrandita o rimpicciolita a seconda della posizione dell’oggetto

f Fp

q

Immagine rimpicciolita, ingrandimento G < 1

� Le lenti convergenti sono utilizzate in molti strumenti ottici come lente obiettivo per produrre immagini reali

� Il proiettore cinematografico o il proiettore di diapositive forniscono una immagine reale ingrandita rispetto all’oggetto

� La macchina fotografica fornisce una immagine reale più piccola rispetto all’oggetto fotografato

� L’ingrandimento, indicato con al lettera G, è dato dal rapporto tra la dimensione dell’immagine e la dimensione dell’oggetto G = y’/y

� L’ingrandimento G dipende dalla distanza p dell’oggetto dalla lente

f Fp

qy

y’

Relazione tra p q f y y’ Gformula dei punti coniugati

� I due triangoli rettangoli sono simili e i cateti sono proporzionali tra loro

� Il rapporto tra i cateti y’ e ycorrisponde all’ingrandimento G

� Dalla proporzione risulta che l’ingrandimento è dato anche dal rapporto tra le distanze dell’immagine q e dell’oggetto p

f Fp

q

y

y’

q - f

p

q

y

yG

p

q

y

y

==

=

'

'

Relazione tra p q f y y’ Gformula dei punti coniugati

� Dalle relazioni ricavate da due coppie di triangoli simili si ottiene la formula dei punti coniugati:

f Fp

q

y

y’

q - f

precedente relazione dalla '

p

q

y

y =

qpfpqf

q

p

q

f

q

p

q

f

f

f

q

p

q

f

fq

y

y

111

111

:ottiene si per tuttodividendo

1

'

+=⇒=−

=−⇒=−

=−=

qpf

111 +=

Ingrandimento in funzione della distanza p dell’oggetto

� L’ingrandimento G = 1 se la distanza dell’oggetto p = 2f� L’ingrandimento G < 1 se la distanza dell’oggetto p > 2f� L’ingrandimento G > 1 se la distanza dell’oggetto p < 2f� L’ingrandimento G tende a infinito se la distanza dell’oggetto p = f� Cosa succede se p < f ?

qpf

111 +=

1 2

1

2

1

1

2

11

1

2

11 2

=⇒=⇒=

⇒=⇒=−

+=⇒=

Gpqfq

qfqff

qfffp

3

1

3

3

4

1

4

3

1

4

11

1

4

11 4

=⇒=⇒=

⇒=⇒=−

+=⇒=

Gp

qfq

qfqff

qfffp

∞=⇒∞=⇒=

⇒=⇒=−

+=⇒=

Gqq

qqff

qfffp

0

1

1

0 111

111

Costruzione della immagine di un oggetto posto più vicino della distanza focale

� Se l’oggetto è posto ad una distanza p inferiore alla distanza focale f , i raggi uscenti dalla lente sono divergenti, si incontrano i prolungamenti dei raggi

� L’immagine che si ottiene ha le caratteristiche:

1. Virtuale

2. Diritta

3. Ingrandita

4. Più lontana

� Dalla formula dei punti coniugati si ottiene che:

� q < 0 - G < 0

f F

p

q

f

2

2

11

1211

2

11

2 es. ad

−=⇒−==⇒−=⇒=−

⇒=−⇒+=⇒=<

Gff

p

qGf q

qf

qffqff

fpfp

Costruzione della immagine formata da una lente divergente

� Una lente sottile divergente è schematizzata da un segmento con frecce agli estremi rivolte verso l’interno

� I raggi uscenti dalla lente sono divergenti, si incontrano i prolungamenti dei raggi

� L’immagine che si ottiene ha le caratteristiche:

1. Virtuale

2. Diritta

3. Più piccola

4. Più vicina

q

p

f

La formula dei punti coniugati per la lente

divergente, fuoco virtuale: f < 0

� La formula dei punti coniugati vale anche per le lenti divergenti, posto che la distanza focale è negativa:

f < 0� Dalla formula dei punti

coniugati si ricava che la posizione della immagine ha

valore negativo: q < 0� Anche l’ingrandimento ha

valore negativo: G < 0� Risulta anche che il valore

assoluto di G è minore di 1, cioè risulta che l’ immagine è più piccola dell’oggetto

q

p

f

1 ; 0

; 00 ; 0

1

11

1

011111

0 ; 0

<⇒>−<⇒−

==

<⇒>−<⇒>−<−

=⇒−=⇒−=

⇒<+⇒+=⇒><

GffpGfp

f

p

qG

f qpfp qfpfp

fp

fp q

fp

fp

q

pfq

qpqpfpf

Focalizzazione nell’occhio� La focalizzazione della

immagine sulla retina avviene per la combinazione di due sistemi ottici:

1. La cornea che agisce come una lente sferica (un diottro)

2. Il cristallino che accresce il potere di focalizzazione dell’occhio

� La regolazione del potere diottrico del cristallino consente di produrre una immagine reale sulla retina

Potere di accomodamento del cristallino

� L’occhio è in grado di vedere distintamente oggetti posti a distanze diverse

� L’accomodamento del potere di convergenza avviene modificando il cristallino

� Per mettere a fuoco oggetti vicini il cristallino viene compresso dai muscoli ciliari aumentando il potere

diottrico (a)

� Per mettere a fuoco oggetti lontani il cristallino viene allungato e i muscoli ciliari

sono rilassati (b)

a

b

Punto prossimo e punto remoto

� La distanza minima a cui può essere posto un oggetto per poter essere visto nitidamente è detta distanza

del punto prossimo (a)

� La distanza massima a cui può essere posto un oggetto per poter essere visto nitidamente è detta distanza

del punto remoto (b)

� Per l’occhio sano (personaemmetrope) la distanza del punto prossimo è di circa 20 cm

� Per l’occhio sano il punto remoto è posto all’infinito

a

b

Punto remoto per la personamiope

� La persona miope ha il globo oculare allungato

� L’immagine si forma prima della retina con i muscoli ciliari rilassati e con il cristallino nella configurazione di minimo potere diottrico adattato per la visione di oggetti lontani (all’infinito)

� La distanza del punto remotoper la persona miope è ravvicinata

� Il miope non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza superiore alla distanza del punto remoto

Distanza del punto remoto

Lente correttiva per la persona miope: la lente divergente

� La lente divergente forma immagini virtuali ad una distanza inferiore alla distanza focale

� La persona miope deve usare lenti divergenti con distanza focale uguale alla distanza del punto remoto

� L’immagine è più piccola ma più vicina, questi due effetti si compensano e la dimensione che si forma sulla retina è uguale a quella che si avrebbe per un occhio sano senza l’uso della lente divergente

F

Distanza del punto remoto

Punto prossimo per la personaipermetrope

� La persona ipermetrope ha il globo oculare compresso

� L’immagine si forma oltre la retina con i muscoli ciliari compressi e con il cristallino nella configurazione di massimo potere diottrico adattato per la visione di oggetti vicini, posti alla distanza del punto prossimo per l’emmetrope

� La distanza del punto prossimo per la persona ipermetrope è più lontana del normale

� L’ipermetrope non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza inferiore alla distanza del punto prossimo

Distanza del punto prossimo per la persona emmetrope

Distanza del punto prossimo per la persona ipermetrope

Lente correttiva per la persona ipermetrope: la lente convergente

� La lente convergente forma immagini virtuali ad una distanza superiore alla distanza dell’oggetto

� La distanza della immagine è tanto maggiore quanto maggiore è il potere diottrico della lente (cioè minore distanza focale)

� L’immagine è più grande e più lontana: i due effetti si compensano

f F

p

q

f

Punto prossimo per la personapresbite

� La persona presbite ha il globo oculare normale ma ha i muscoli ciliari deteriorati

� Il presbite non è in grado di comprimere i muscoli ciliari per adattare la vista alla osservazione di oggetti vicini

� La distanza del punto prossimoper la persona presbite è più lontana del normale

� Il presbite non riesce a focalizzare sulla retina oggetti posti a distanza inferiore alla distanza del punto prossimo

� La presbiopia è un difetto della vista che compare oltre i 40-50 anni e peggiora con l’avanzare della età

Distanza del punto prossimo per la persona presbite

Lente correttiva per la persona presbite: la lente convergente

� La lente per la correzione della presbiopia è la lente convergente che allontana l’immagine

� Con l’avanzare dell’età il difetto peggiora e la distanza del punto prossimo aumenta

� Utilizzando lenti con distanza focale inferiore si ottiene una immagine a distanza maggiore

� Se p è la distanza a cui si pone il giornale da leggere, la distanza q alla quale si forma l’immagine deve corrispondere alla distanza del punto prossimo

f F

p

f

f F

p

f

q

q = distanza delpunto prossimo

q

Presbite di 50 anni:f = 1 m

Presbite di 60 anni:f = 0,5m

Calcolare il potere diottricodelle lenti per il presbite

� Il presbite vuole leggere il giornale tenendolo in mano alla distanza di circa 30 cm

� A causa della presbiopia la distanza del punto prossimo è di 1,2 m

� Occorre calcolare la distanza focale delle lenti da utilizzare per consentire al presbite di leggere il giornale

� Usando la formula dei punti coniugati si calcola la distanza focale e il potere diottrico

� Nel fare i calcoli occorre ricordare che la immagine è virtuale e quindi la distanza q è negativa

Dmf

PD

mm

f

mmmmf

mq

mp

qpf

5,24,0

11 :diottrico potere

4,03

2,1

2,1

3

2,1

14

2,1

1

3,0

11

virtualeimmagine della distanza : 2,1

giornale) (il oggettodell' distanza : 3,0

111

===

==

⇒=−=−

+=

−==

+=

Operazione chirurgica per la correzione della miopia

� Per curare in modo definitivo la miopia si può modificare il potere diottrico della cornea

� La cornea viene abrasa per renderla meno convergente e portare il raggio di curvatura al valore normale dell’occhio emmetrope

� In modo analogo ma con procedimento opposto si può curare la ipermetropia

� Non c’è un metodo chirurgico per curare la presbiopia