Post on 01-May-2015
Modulazioni NumericheLaboratorio di El&Tel
Mauro Biagi
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 2
Outline
• Modulazione numerica in banda base
• Criterio di Nyquist
• Modulazione numerica in banda traslata
• Simulatore
11/04/23Modulazioni Numeriche Pagina 3
Modulazione e demodulazione numerica:schema
modulatore numerico
demodulatore numerico
mezzo trasmissivo
segnale analogico
segnale numerico
segnale numerico
segnale analogico
...0010111001...
...0010011001...
affetto da errori
affetto da distorsioni e rumore
11/04/23Modulazioni Numeriche Pagina 4
Modulazione Numerica: banda base vs. b. traslata
4
banda base
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier contenutain un intervallo di frequenzacontiguo all’origine
Mezzi trasmissivi in banda base(es.: linea bifilare)
banda traslata
utilizza segnali analogicicon trasformata di Fourier contenutain un intervallo di frequenzanon contiguo all’origine
Mezzi trasmissiviin banda traslata(es.: trasmissioni radio)
f
X(f)
f
X(f)
Modulazione numerica: schema di b.traslata
modulatore numerico in banda traslata
demodulatore numerico(banda traslata)
mezzo trasmissivo
segnale numerico
segnale analogicoin banda traslata
segnale analogicoin banda traslata
segnale numerico
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6
Un segnale numerico è rappresentato da un segnale fisico analogico:
Segnali con fronti ripidi di salita e di discesa: banda troppo larga, impiego
inefficiente della banda passante del mezzo trasmissivo
Tecniche di MODULAZIONE IN BANDA BASE
t
- 5 V
0 1 0 0 0 1 0 1 …
Tensione elettrica sul filo, dalla tastiera alla CPU
Potenza luminosa entrante in una fibra ottica
0 1 0 0 0 1 0 1 …
P0
0
+ 5 V
t
Rappresentazione dei segnali numerici (1/7)
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7
... 0 1 0 0 0 1 0 1 …segnale numerico b(n) (sequenza di simboli)
sequenza di ampiezze a(n) (valori associati ai simboli secondo una corrispondenza biunivoca: Es. +5 -> 0 ; -5 -> 1 )
...+5 -5 +5 +5 +5 -5 +5 -5 …
impulsi di forma g(t) di ampiezza a(n) trasmessi negli istanti nT
asse dei tempi 0 T 2T 5T
+5
-5
a(0)g(t)
a(1)g(t-T)
a(2)g(t-2T)
a(3)g(t-3T)
)nTt(g )n(atxn
t1
t
Rappresentazione dei segnali numerici (2/7)
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8
Sia {b(n)} una qualsiasi sequenza numerico avente:
alfabeto di ordine α, cioè costituito da α simboli
arbitrari rappresentabili,
senza perdita di generalità, con i numeri naturali
{0, 1, 2, ..., α–1}intervallo di tempo tra simboli consecutivi : Tvelocità di emissione dei simboli: fs=1/T
Rappresentazione dei segnali numerici (3/7)
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Esso è rappresentabile mediante il segnale
analogico
9
)nTt(g )n(atxn
dove g(t) è un segnale impulsivo, in molti casi limitato
all’intervallo (-T/2 , +T/2), detto impulso sagomatore i valori a(n) sono estratti da un insieme di α ampiezze di
impulso (numeri reali arbitrari), biunivocamente associati
agli α simboli dell’alfabeto
[ a0 , a1 , a2 , ... , aα-1 ]
Rappresentazione dei segnali numerici (4/7)
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Criteri di scelta dei valori di ampiezza: ugualmente spaziate e simmetriche rispetto
allo 0.
a
+1
-1
a
+1
-1
0
1 - , ... 2, 1, 0,i 1
i21ai
Un segnale numerico {b(n)} è univocamente associato ad una sequenza di
valori reali mediante una corrispondenza biunivoca fra simboli e ampiezze {a(n)}.
a
+1
-1
+1/3
-1/3
simboli ampiezze di impulso 0 a0
1 a1
... ... α -1 aα-1
Esempi: = 2 = 3 = 4
Senza perdita di generalità,nel caso di =2
assumeremo a0 =1, a1=-1.
b(n) a(n)
Rappresentazione dei segnali numerici (5/7)
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onda PAM
)nTt(g )n(atxn
PAM : Pulse Amplitude Modulation, (Modulazione di Ampiezza di Impulso)
simboli diversi -> differenti valori della ampiezza degli impulsi
larghezza di banda dell’onda PAM
larghezza di banda del segnale g(t)->
Rappresentazione dei segnali numerici (6/7)
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Esempi di segnali PAM
Ordine dell’alfabeto
Ampiezze di impulso ai (i=0,1,...,-1)
Forma di impulso g(t)
segnale PAM x(t)
2 [+1 , -1]
3 [+1, 0, -1]
4 [+1, +1/3, -1/3, -1]
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
-T/2 0 +T/2
1
0 T 2T
0 0 1 0
0 T 2T
0 0 1 2
0 T 2T
0 1 0 3
Rappresentazione dei segnali numerici (7/7)
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Obiettivi: • trasmettere un segnale numerico facendo uso di un canale avente
banda passante (fisica) limitata tra 0 ed un valore massimo fm;
• ottenere elevata efficienza di banda, definita come:
velocità di simbolo [(simboli/sec)/Hz]
larghezza di banda del segnale modulatos
m
f
f
Gli esempi di segnali PAM esaminati, occupano una banda troppo
estesa in relazione alla velocità di simbolo fs, a causa delle rapide
transizioni ideali (discontinuità matematiche) o approssimate (fronti di
salita e di discesa di durata finita) nella forma d’impulso g(t).
Efficienza spettrale
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Segnale dalla sorgente(rappres. PAM ideale)
Filtroformatore di impulso con risposta impulsiva g(t)
Segnale PAM ideale
)nTt( )n(atun
tgtu)t(x
Segnale PAM a banda limitata(in uscita dal modulatore)
)nTt(g )n(atxn
0 T 2T
0 0 1 0
0 t
0 0 1 0
t
Schema di un modulatore PAM
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Canalelineare e permanenteC(f) = FT [c(t)]passa-bassoC(f) = 0 per |f | > fm
+
rumore additivo gaussiano n(t) con spettro di densità di potenzauniforme Wn(f) = N0 (Watt/Hz)“rumore Gaussiano bianco”
z(t) = y(t) + n(t) segnale in uscitadal canaleSegnale PAM a banda limitata
(in uscita dal modulatore)
)nTt(g )n(atxn
0 T 2T
0 0 1 0
y(t) = x(t) * c(t)
n(t)
Canale (lin e perm) con rumore additivo gaussiano
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z(t)segnale in uscitadal canale
Filtro di ingressoal demodulatoreGR(f)
Campionamentonegli istantit = kT
Decisione
criterio di decisione
â(k) sequenza stimata delle ampiezzetrasmesse
w(t) = y(t) * gR(t) + (t)
= r(t) + (t)w(kT)
rumore filtrato
componenteutile
Il criterio qui applicato è il seguente:
w(kT) > 0 -> a(k) = +1 ;
w(kT) < 0 -> a(k) = -1
Nel segnale numerico ricevuto possono comparire errori dovuti a decisione errata.
Esempio: w(kT) +1,21 +0,66 -1,35 +1,17
a(k) +1 +1 -1 +1
b(k) 0 0 1 0^
^
( )* ( )Rn t g t
^^
Demodulatore PAM
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Segnaledalla sorgente
Filtro formatore di impulso G(f)
)nTt( )n(atun
tgtu)t(x
Canalelineare e permanenteC(f)
+ z(t) = y(t) + n(t) == x(t)*c(t) + n(t)
Filtro di ingresso al demodulatore GR(f)
Campionamentonegli istanti t = kT
Decisione
sequenza â(k)
w(t) = y(t) * gR(t) + (t)
w(kT)
n(t)
MODULATORE DEMODULATORE
CANALE
y(t)
Schema riassuntivo
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n
R
R
R
nTtnath
tgtctgtu
tgtctx
tgtytr
)( )(
)(
con
risposta impulsiva della cascata di tre filtri: formatore di impulso, canale, filtro di ingresso al demodulatore
Per le funzioni di trasferimento: H(f) = G(f) C(f) GR(f)
tgtctgth R
)nTt(h )n(atrn
Il segnale utile r(t) èancora un segnale PAMcon forma di impulsoh(t)
w(t) = y(t)*gR(t) + n(t)*gR(t) = r(t) + (t)
segnale utilerumore(filtrato)
Ricezione del segnale
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Obiettivo: ricavare una “stima” {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: assenza di rumore n(t)=0-> η(t)=0
)( )( nTthnatrttrtwn
n
n
nTkThnahka
nTkThnakTw
)( )()0( )(
)( )(
, n≠k
coincide con a(k) a meno della costante (guadagno) h(0)
componente dipendente dalle ampiezze trasmesse prima e dopo l’ampiezza k-esima e dalla funzione h(t) (ISI)
Interferenza intersimbolica (ISI)
Ricezione del segnale
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1, k 0( )
0, k 0
perh kT
per
Ponendo le condizioni seguenti, dette condizioni di Nyquist:
si ha sempre
w(kT) = a(k)
Il termine di ISI si annulla e la sequenza demodulata
coincide con quella trasmessa (in assenza di rumore).
nnTkThnahkakTw )( )()0( )(
Interferenza Intersimbolica: criterio di Nyquist
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Esempio:
Il segnale ricevuto all’uscita del filtro di ricezione è costituito da
una sequenza di impulsi separati tra loro.
Le condizioni di Nyquist risultano soddisfatte, in particolare,
quando la forma di impulso in ricezione, h(t), è limitata nel tempo
tra i valori +/- T/2.
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
h(t)
-T -T/2 +T/2 +T +2T
1
w(t)
Criterio di Nyquist: forme d’onda (1/2)
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PROBLEMA
22
Un impulso h(t) di durata limitata nel tempo ha
trasformata di Fourier H(f), illimitata in frequenza
(banda infinita). Il canale ha banda limitata (C(f) è limitata in
frequenza) e,quindi, H(f) = G(f) C(f) GR(f) deve
necessariamente essere limitata in frequenza
ossia nulla per .mf >f
Criterio di Nyquist: forme d’onda (2/2)
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1 0 ( )
0 per 0
per kh kT
k
Se h(t) soddisfa le condizioni di Nyquist nel dominio del tempo
la sua trasformata di Fourier H(f) soddisfa la seguente condizione di Nyquist nel dominio della frequenza
Tm
mH f
T
f
H(f)
-1/2T 0 +1/2T f-2/T -1/T 0 +1/T +2/T
H(f) H(f-1/T) H(f-2/T)H(f+1/T) costante
Esempio:
T
Criterio di Nyquist: dominio della frequenza
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Dalle condizioni di Nyquist nel dominio della frequenza si
deduce che non è possibile avere forme di impulso h(t) senza
interferenza intersimbolo se H(f) occupa una banda minore di:
f
-1/2T 0 +1/2T
H(f)La somma delle repliche traslate di una H(f) di frequenza massima minore di fN non può mai dare luogo a una costante.
Banda di Nyquist
2
simbolo di velocità
2
f
T2
1f s
N
Banda minima per criterio di Nyquist
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Una particolare forma di impulso h0(t)
i. limitato in banda
ii. che soddisfa le condizioni di Nyquist
è quella la cui trasformata di Fourier H0(f) è la funzione di trasferimento di
un filtro passa-basso ideale (moltiplicata per il fattore costante T):
H0(f)
f
T
-1/2T 0 +1/2T
2T1
fper 0
2T1
fper 0
TfH
h0(t)
t 0 T 2T 3T 4T 5T 6T
Forma d’onda di Nyquist (passa basso)
0
sin( )
tT
h ttT
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Esempio:
Segnale PAM privo di ISI nel caso di forma di impulso h0(t)
h0(t)
t
t
r(t)
T0
+1
+1
-1
0
f
H0(f)
T
-1/2T 0 +1/2T
Forma d’onda di Nyquist: a banda limitata
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0 fN 2fN
H(f)
T = 0.3
= 0.6 = 1
= 0
T, per 0 (1 )
T 1 sin( ( )) , per 1 1 ( )
2
0 per 1
N
n N N
N
f f
Tf f f f fH f
f f
fattore di roll-off, 0 < γ < 1
Forme d’onda a coseno rialzato (1/3)
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All’aumentare del fattore di roll-off g da 0 (filtro passa-basso ideale) a 1
Le oscillazioni della h(t) ai due lati del picco dell’impulso si smorzano più
rapidamente.
La banda occupata aumenta da fN a fN(1 + γ)
Minore criticità nel campionamento in ricezione.
= 0.6
=0
0 T 2T 3T 4T
h(t)
t
1
-4T -3T -2T -T
γ=1
γ= 0.3
Forme d’onda a coseno rialzato (2/3)
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Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli
29
h(t)
T0
+1
t
h(t)
t
T0
+1
r(t)+1
-1
0 t
r(t)+1
-1
0 t
Esempio:
Segnali PAM privo di ISI per forma di impulso h (t) a coseno rialzato,( γ = 0 e γ = 1 )
= 0 = 1
Valori di di interesse operativo: 0,2 < < 0,6
Forme d’onda a coseno rialzato (3/3)
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Baccarelli, Cordeschi, Patriarca, Polli
30
Se la forma dell’impulso h(t) non rispetta le condizioni di Nyquist, i campioni del
segnale ricevuto sono affetti da interferenza intersimbolo (anche in
assenza di rumori di canale).
Esempio:Impulso h(t) che non soddisfa le condizioni di Nyquist [in neretto i valori non nulli
di h(kT), per k ≠ 0]
Corrispondente segnale PAM [i valori campionati sono diversi dai valori di
ampiezza trasmessi ≠1]
T
+1
-1
T
Ricezione in presenza di ISI
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I simboli sono associati ad ampiezze diverse (segnale PAM multilivello ad livelli)
velocità di simbolo binario fb
velocità di simbolo
sorgente binaria
conversione di alfabeto 2->
modulatore PAM ad livelli
canale in banda base(freq. max. fm)
s sm
2
f ff =
2 2log αbs2
ff =
log α
Minima banda di canale per trasmissione priva di
interferenza intersimbolo (condizione di Nyquist).
PAM multilivello
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i. Aumento dell’efficienza spettrale
Velocità di trasmissione dei simboli binari fb più alta, a parità
di banda fm occupata dal segnale PAM,ovvero riduzione
della banda fm occupata dal segnale PAM a parità di
frequenza di simbolo binario fb.
ii. Aumento della probabilità di errore
in presenza di interferenza intersimbolo e/o rumore, a
causa della minore differenza tra valori adiacenti di
ampiezza di impulso.
All’aumentare del numero di livelli a del segnale PAM utilizzato abbiamo che:
Vantaggi e svantaggi del M-PAM
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kTkakTkTrkTw )(
t)nTt(h )n(attrtwn
Supponendo che la forma di impulso in ricezione, h(t), sia priva di interferenza intersimbolo, e con h(0) =1, agli istanti di campionamento kT si ha
Variabile con valori possibili
Variabile aleatoria Gaussiana con valore atteso nullo e varianza
2
df fG N
2R
-
0
2
Obiettivo: ricavare una stima {â(k)} della sequenza di ampiezze
trasmessa {a(k)} dalla sequenza di valori campionati in ricezione
{w(kT) , k = ..., -2, -1, 0, +1, +2, +3, …}Ipotesi: rumore additivo Gaussiano bianco
(Segnale all’ingresso del campionatore di ricezione)
Demodulazione PAM in presenza di rumore
34
w(kT)=a(k)+(kT)
Problema: Misurato w(kT) w* all’ uscita del campionatore di ricezione, di possiamo calcolare una “buona” decisione (stima) a(k) del simbolo trasmesso sulla base di w* ?
Misurato w(kT) w*, si decide a favore della più verosimile tra le ampiezze {a0 .. aα-1} assumibili dal simbolo a(k), ossia a favore di quell’ampiezza a alla quale corrisponde la più grande del seguente insieme di probabilità condizionate {p[w* a(k)= a0 ],…, p[w* a(k)= aa-1]}.In formule,la decisione MLD a(k) sul simbolo a(k) è quindi definita come segue: a(k) argmax{p[w* a(k)= ai]}
0 1i
Criterio della Massima Verosimiglianza (MLD)
Criterio di decisione (1/4)
35
a(k)=argmin{(w*- ai) }
w(kT)=a(k)+(kT), Poiché la componente di rumore η(kT) è Gaussiana e a media nulla, si può provare che la decisione MLD a(k) precedentemente definita è equivalente a scegliere come decisione a(k) quello tra i possibili α valori {a0… aa-1} assumibili da a(k) che è più vicino (ossia, dista di meno) dal valore misurato w(kT) w*. Quindi, per la decisione MLD a(k) vale la seguente proprietà:
2
0 i 1
IL Decisore MLD è un decisore a minima distanza Euclidea
Criterio di decisione (2/4)
36
w(kT)=a(k)+(kT) Supponiamo che a(k) possa assumere i due valori a(k)= 1 (caso di modulazione PAM binario).
Allora il decisore a minima distanza Euclidea si riduce (ossia, è equivalente) ad un decisore “a soglia” che decide a(k)=+1 quando w(kT) 0 e decide a(k)=-1 quando w(kT)<0, in accordo alla relazione
+1, -1,
per w(kT) 0per w(kT) 0
Ovviamente, non sempre la decisione a(k) è esatta. Quindi, definiamo
come probabilità d’errore Pe del decisore MLD la quantità:
Pe P(a(k) a(k)).
a(k)= (2-PAM)
Criterio di decisione (3/4)
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 36
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p [w(kT) | a(k) = -1]=
+1
-1
0
w(kT)
p [w(kT) | a(k) = +1]=
w(k) > 0
a(k) = -1
(kT) > +1
w(kT) = a(kT) (kT) > 0,â(kT) = +1 a(kT) “errore”
a(k)
| 1
0
| 1 eP p w a k dw
ee PPdp
1|1
Probabilità di errore(area tratteggiatain figura)
Densità di probabilità gaussiana
p [=w(kT)-1]
p [=w(kT)+1]
Criterio di decisione (4/4)
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 37
38
Sistemi di Modulazione Numerica
in banda traslata
Modulazione QAM (analogica)
Modulazione QAM (Quadrature Amplitude Modulation; modulazione di
ampiezza con portanti in quadratura) è un tipo di modulazione analogica
di ampiezza definito dallo schema seguente:
oscillatore frequenza f0
sfasatore /2
cos(2f0t) (portante in fase)
cos(2f0t + /2) (portante in quadratura)
+
2 segnali modulanti, in banda base [- fm,fm]
x(t)
y(t)
x(t) cos(2f0t)
y(t) cos(2f0t + /2)
segnale modulato QAM :
s(t) = x(t) cos(2f0t) ++ y(t) cos(2f0t + /2)
somma di due segnali che occupano la stessa banda: f0 ±fm
s(t)
Demodulazione del segnale QAM in assenza di rumore (1/2)
ricostruzione portante f0
sfasatoreπ/2
x
Segnale QAM s(t)
2s(t) cos(2f0t)
x2s(t) cos(2f0t + /2)
x(t)
y(t)passa-basso ideale [- fm,fm]
2cos(2f0t)
2cos(2πf0t+)
passa-basso ideale [- fm,fm]
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Demodulazione del segnale QAM (2/2)
22cos2cos 00
tftytftxts
2
0 0 0 02 cos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 22
s t f t x t f t y t f t f t
0 0
1 1 1 12 cos 4 2 cos 4 cos
2 2 2 2 2 2x t f t y t f t
Segnale all’ingresso del demodulatore:
Segnale all’uscita del moltiplicatore (relativo al segnale x(t)):
0 0 cos 4 cos 4 cos2 2
x t x t f t y t f t y t
Termine proporzionale al segnale modulante x(t) Termini che occupano la
banda 2f0 = fm (eliminati dal filtraggio)
termine nullo
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 41
42
Modulazione QAM numerica
Si ottiene utilizzando due modulatori PAM numerici, i cui segnali di uscita x(t) e y(t) costituiscono i due segnali modulanti di un modulatore QAM analogico:
segnale binario(velocità di simbolo binario fb)
conversione serie/parallelo
segnali binarifb/2
velocità di simbolo:
2
1 bf
T
PAM ad livelli
PAM ad livelli
nTtgnatx xn
nTtgnaty yn
modulatore QAM analogico
s(t)=x(t)cos(2f0t)+y(t)cos(2f0t+/2)segnale modulato QAM
conversionedi alfabeto2 -> = 2
conversionedi alfabeto2 -> = 2
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 42
43
Costellazione di Segnale (Signal Set) (1/6)
•Sia (x(t),y(t)) il punto del piano avente come coordinate i valori assunti dai due segnali PAM. Al variare di t il punto seguirà un percorso curvilineo nel piano.
•Negli istanti caratteristici di campionamento t = kT ciascuna delle due coordinate di (x(kT),y(kT)) assume una delle ampiezze di impulso possibili.
Risulta così individuato un insieme di 2 punti, detto costellazione di segnale (signal set) relativa al segnale QAM.
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 43
Costellazione di Segnale (Signal Set) (2/6)
y
-1 -1/3 0 +1/3 +1
-1
-1/3
+1/3
+1
x
modulazione
16-QAM
Esempio 1: = 22 = 4 livelli, con ampiezze di impulso +1, +1/3, -1/3, -1.La costellazione è costituita da un insieme di 16 punti disposti a forma di reticolo regolare a maglie quadrate.
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 44
Modulazione 4-QAM
( 4-PSK, QPSK )
-1 0 +1
-1
+1
y
xx
-1 0 +1
-1
+1
y
Esempio 2:
= 21 = 2 livelli.Esempio 3:
= 23 = 8 livelli.
Modulazione 64-QAM
Costellazione di Segnale (Signal Set) (3/6)
24/04/12Modulazioni Numeriche Pagina 45
Ogni T secondi vengono trasmessi 2 bit del segnale di ingresso.
bit
una ampiezza di impulso PAM ( = 2 livelli)x(kT)
bit
una ampiezza di impulso PAM ( = 2 livelli)y(kT)
un punto della costellazione(x(kT),y(kT))
Gli 2 = 22 punti della costellazione QAM sono in corrispondenza biunivoca con le 22 parole binarie distinte formate da 2 bit.
Costellazione di Segnale (Signal Set) (4/6)
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Esempio 4:codifica di costellazione:
parolabinaria ax ay
00000 -1,5 d +2,5 d00001 -0,5 d +2,5 d00010 +0,5 d +2,5 d00011 +1,5 d +2,5 d00100 -2,5 d +1,5 d00101 -1,5 d +1,5 d... ... ...11110 +0,5 d -2.5 d11111 +1,5 d -2,5 d
Modulazione32-QAM
y
x
d
d
00000 00001 00010 00011
00100 00101
11110 11111
Costellazione di Segnale (Signal Set) (5/6)
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Modulazione 8-PSK
Modulazione QAM numerica con signal set a 8 punti disposti su una circonferenza di raggio 1, equidistanziati.
Il nome 8-PSK (analogamente al 4-PSK) deriva dal fatto che le posizioni dei punti, in coordinate polari (r,) sono differenziate soltanto in base alla fase (r = 1 = cost).
Una possibile codifica di costellazione è:parola di ingresso ax ay
000001011010110111101100
21 21 1 0
0 1
1 0
0 1
21 21
000
001011
010
110
111101
100
Costellazione di Segnale (Signal Set) (6/6)
1
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Schema per la trasmissione di segnale numerico in banda traslata
canale lin. e perm.passa-banda ideale(banda f0 fm)
segnale modulato:s(t) = x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2)
nTtgnatx xn
nTtgnaty yn
+
n(t)rumore gaussiano biancocon spettro di densità di potenza Wn(f) = N0 costante
s(t) filtro di ingresso al demodulatorepassa-banda ideale(banda f0 fm)
CANALE DI TRASMISSIONE
al demodulatore
segnale ricevuto:z(t) = s(t) + (t)
rumore gaussiano filtrato
banda: [-fm,fm]
banda: [f0 ± fm]U [-f0 ± fm]
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Per il rumore gaussiano limitato in banda, n(t) , di spettro di densità di potenza N0
vale la seguente decomposizione:
(t) =x(t) cos(2f0t) + y(t) cos(2f0t + /2)
x(t) e y(t) due processi aleatori Gaussiani statisticamente indipendenti tra loro detti componenti
analogiche di bassa frequenza di n(t) , aventi uguale spettro di densità di potenza, uniforme nella banda [-fm,fm] (banda base);
uguale potenza 2, uguale a sua volta alla potenza di (t).
Componenti del rumore gaussiano
W(f)
f
N0
- (f0 + fm) - f0 - (f0 - fm) 0 (f0 - fm) f0 (f0 - fm)
ll rumore gaussiano (t) è interpretabile come segnale modulato QAM, in cui x(t) e y(t) sono i segnali modulanti.
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Demodulazione in presenza di rumore gaussiano
Il segnale ricevuto ha l’espressione:
z(t) = s(t) + (t) = [x(t) + x(t)] cos(2f0t) + [y(t) + y (t)] cos(2f0t + /2)
All’uscita dei due demodulatori sono presenti i segnali:
dx(t) = x(t) + x(t), dy(t) = y(t) + y(t)
Negli istanti di campionamento t=kT (e in assenza di ISI) si ha
dx(kT) = ax(k) + x(kT), dy(kT) = ay(k) + y(kT)
Sul piano della costellazione di segnale il punto ricevuto
R=( dx(kT) , dy(kT))
differisce in generale dal punto trasmesso
T=(ax(k) , ay(k) )
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Maximum Likelihood Decision Criterion( MLD)
Ricevuto il punto R, si decide in favore del “più verosimile” punto trasmesso T ovvero quello a
cui corrisponde la massima probabilità condizionata Max {p [R | Ti], i=0, .. -1 }.
Ancora una volta si può dimostrare che ciò corrisponde ad assumere come trasmesso quel punto
della costellazione che ha la minima distanza di Euclide dal punto ricevuto R.
y
x
R
O
T
T vettore rappresentativo del punto trasmesso T R vettore rappresentativo del punto ricevuto R TR vettore rappresentativo del rumore
Decisione in presenza di rumore gaussiano
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• L’applicazione del criterio di decisione MLD individua nel piano del
signal set delle regioni di decisione associate ai punti della
costellazione.• La generica regione di decisione associata a un punto T è costituita
da tutti i punti del piano più vicini a T che a tutti gli altri punti del signal
set.
Esempio:y
x
Regioni di decisione
Modulazione QAM
Punto P(regione illimitata)
Punto Q
P
Q
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Regioni di decisione e probabilità di errore
Si ha una decisione errata (corrispondente a uno o più bit errati nel segnale binario demodulato)
quando il vettore di rumore è tale da far cadere il punto ricevuto R al di fuori della regione di
decisione relativa al punto trasmesso T.
Esempio:Punto trasmesso: TVettore rumore: TR Punto ricevuto RRegione a cui appartiene R: Punto ipotizzato come trasmesso: T(decisione errata)
y
x
T
RT
La probabilità di decisione errata diminuisce con l’ampliamento delle regioni di decisione (maggiore potenza trasmessa e/o minore potenza di rumore).
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Cosa vedremo in laboratorio?
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Agilent Vector Signal AnalyzerAgilent Vector Signal Analyzer
• Software per PC che consente di emulare diversi sistemi
• In linea di principio consente l’interazione con dispositivi hardware (ma solo di certi produttori)
• Richiede schede di acquisizione o software in grado di convertire i formati “proprietari” dei dispositivi hardware in formati “leggibili”
• Presenta dei “preset” di visualizzazione in grado di analizzare diverse “features” dei segnali.
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Schema Q-PSKSchema Q-PSK
Diagramma di costellazione
Spettro del segnale
Spettro dell’errore Diagramma ad occhio
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Ricezione in presenza di un basso livello di rumoreRicezione in presenza di un basso livello di rumore
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canale dispersivo in tempocanale dispersivo in tempo
Un canale dispersivo in tempo introduce una perdita significativa della qualità del segnale.
Quando la risposta impulsiva è molto lunga si ha il fenomeno dell’ISI e di fatto il numero di errori introdotti è elevato
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Canale dispersivo in tempoCanale dispersivo in tempo
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Tono interferente sinusoidaleTono interferente sinusoidale
Sotto l’ipotesi di canale ideale (h(k)=1), si considera cosa accade se si presenta un segnale (dovuto ad un servizio diverso di TLC) con una portante a 2.000025 GHz (spostato di 25 KHz rispetto alla frequenza centrale 2GHz).
Si suppone inoltre che la potenza del tono interferente sia notevolmente più elevata del segnale “utile)
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Tono interferente sinusoidaleTono interferente sinusoidale
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Segnale di Jam modulato in frequenzaSegnale di Jam modulato in frequenza
Al fine di valutare cosa accade in presenza di un segnale (volontariamente generato) di disturbo (jam) si considera un segnale modulato in frequenza con variazione lineare (chirp) che generi quindi problemi di corretta decisione sul simbolo ricevuto.
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Segnale di Jam modulato in frequenzaSegnale di Jam modulato in frequenza
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Generazione di segnaliGenerazione di segnali
Per la generazione di segnali ci avvaliamo di Matlab ed esportiamo i valori (fase e quadratura) contenuti in una matrice Mx2 in un file di testo con tabulazione
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