Post on 12-Nov-2014
MECCANICA DEI SOLIDI ELASTICI
CINEMATICA E DINAMICA
Quantita di moto:
P =
Z
V
ρv dV
Momento della quantita di moto:
L =
Z
V
ρr × v dV
Equazioni di bilancio in forma integrale:
F (∂V ) + F (V ) =dP
dt−→
Z
∂V
t dS +
Z
V
(f − ρv) dV +X
i
F i = 0
M(∂V ) + M(V ) =dL
dt−→
Z
∂V
r × t dS +
Z
V
r × (f − ρv) dV +X
i
ri × F i = 0
Equazioni di equilibrio (equazioni cardinali della statica):Z
∂V
t dS +
Z
V
f dV +X
i
F i = 0
Z
∂V
r × t dS +
Z
V
r × f dV +X
i
ri × F i = 0
ANALISI DELLA TENSIONE
Tensione:
tS(P ) = limS→P
F (S)
S
Principio di azione e reazione:
t+S (P ) = −t−S (P )
Ipotesi di Cauchy:
tS(P ) = t(P, n)
Equazione di Cauchy:
t = σ n
Divergenza di σ:
divσ = limV→x
R∂V
σ n dS
V
(divσ)i =X
j
∂σij
∂xj=
∂σix
∂x+
∂σiy
∂y+
∂σiz
∂z
Equazione del moto:
divσ + f = ρv
1
Equazione indefinita di equilibrio:
divσ + f = 0
Equazione di equilibrio al contorno:
σ n = p su ∂B
Significato fisico delle componenti del tensore degli sforzi di Cauchy:
[σ] =
24
σx τxy τxz
σxy σy τyz
σxz σyz σz
35
σz = ez · t(ez)
τxz = ex · t(ez)
τyz = ey · t(ez)
ANALISI DELLA DEFORMAZIONE
Gradiente degli spostamenti:
[Gradu] =
24
∂u/∂X ∂u/∂Y ∂u/∂Z∂v/∂X ∂v/∂Y ∂v/∂Z∂w/∂X ∂w/∂Y ∂w/∂Z
35
[Gradu] = ε + ω
Tensore di deformazione infinitesima:
ε =1
2
nGrad u + (Grad u)T
o
εij =1
2
�∂ui
∂xj+
∂uj
∂xi
�
Tensore di rotazione infinitesima:
ω =1
2
nGrad u− (Grad u)T
o
ωij =1
2
�∂ui
∂xj− ∂uj
∂xi
�
ω a = ϕ× a
[ω] =
24
0 −ϕz ϕy
ϕz 0 −ϕx
−ϕy ϕx 0
35
[ϕ] =
8<:
ωzy
ωxz
ωyz
9=;
Dilatazione di una linea:
εr ≈ r0 · ε r0
Scorrimento tra due linee inizialmente ortogonali:
γrs ≈ 2(r0 · ε s0)
2
Siginificato fisico delle componenti del tensore di deformazione:
[ε] ≈24
εx 1/2γxy 1/2γxz
1/2γxy εy 1/2γyz
1/2γxz 1/2γyz εz
35
Vettore di deformazione:
ε r0 = εrr0 + γr/2
Coefficiente di dilatazione cubica:
θ =dV − dV0
dV0≈ εx + εy + εz = tr ε = div u
PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI
Principio dei lavori virtuali:
Lve =
Z
∂B
p · u dS +
Z
B
f · u dV =
Z
B
σ · ε dV = Lvi
Principio dei lavori virtuali nell’ipotesi di piccoli spostamenti:
Lve =
Z
∂B0
p · u dS +
Z
B0
f · u dV =
Z
B0
σ · ε dV = Lvi
DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE
Equazione caratteristica del tensore degli sforzi:
det
24
σx − λ τxy τxz
τxy σy − λ τyz
τxz τyz σz − λ
35 = 0
λ3 − σIλ2 + σIIλ− σIII = 0
Invarianti di tensione:
σI = tr σ = σx + σy + σz
σII = (σxσy − τ2xy) + (σyσz − τ2
yz) + (σxσz − τ2xz)
σIII = det σ
Equazione caratteristica del tensore di deformazione:
det
24
εx − λ γxy 1/2γxz
1/2γxy εy − λ 1/2γyz
1/2γxz 1/2γyz εz − λ
35 = 0
λ3 − εIλ2 + εIIλ− εIII = 0
Invarianti di deformazione:
εI = tr ε = εx + εy + εz
εII =
�εxεy − γ2
xy
4
�+
�εyεz − γ2
yz
4
�+
�εxεz − γ2
xz
4
�
3
εIII = det ε
Valori principali di tensione:
�σξ
σµ
�=
σx + σy
2± 1
2
q(σx − σy)2 + 4τ2
xy
Valori principali di deformazione:
�εξ
εµ
�=
εx + εy
2± 1
2
q(εx − εy)2 + γ2
xy
Direzioni principali di tensione:
tan αξ =σξ − σx
τxy
Direzioni principali di deformazione:
tan αξ = 2 · εξ − εx
γxy
Componenti di un vettore:
{v∗} = [R]T {v}
Componenti di un tensore:
[A∗] = [R]T [A][R]
Componenti del tensore rotazione:
Rij = ei ·R ej = cos cij∗
STATI ELEMENTARI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE
Trazione (compressione) semplice:
σ ≡24
0 0 00 0 00 0 p
35
Dilatazione semplice:
ε ≡24
0 0 00 0 00 0 εz
35
Compressione (trazione) uniforme:
σ ≡24
p 0 00 p 00 0 p
35 = p I
Dilatazione uniforme:
ε ≡24
ε 0 00 ε 00 0 ε
35 = ε I
4
Taglio semplice:
σ ≡24
0 0 00 0 T0 T 0
35
Scorrimento semplice:
ε ≡24
0 0 00 0 1/2γ0 1/2γ 0
35
Stato di tensione piano:
σ ≡24
σx τxy 0τxy σy
0 0 0
35
Stato di deformazione piano:
ε ≡24
εx 1/2γxy 01/2γxy εy 0
0 0 0
35
ELASTICITA LINEARE
Legame costitutivo elastico lineare:
σ = E [ε]
σij =X
hk
Eijhk εhk
Eijhk = Ejihk
Eijhk = Eijkh
{σ} = [E]{ε}σ = {σx σy σz τyz τxz τxy}T
ε = {εx εy εz γyz γxz γxy}T
Equazione fondamentale:
div
�E�1
2
�grad u + (grad u)T
���+ f = 0
Lavoro di deformazione:
dLd =
Z
∂B0
p · du dS +
Z
B0
f · du dV =
Z
B0
σ · ε dV
Energia elastica di deformazione per unita di volume:
dφ = σ · dε
φ =
Z ε
0
σ∗ · dε =
�Z 1
0
λ dλ
�σ · ε =
1
2σ · ε =
1
2ε · E[ε]
Energia elastica di deformazione:
dLd = dΦ =
Z
V0
dφ dV
5
Ld = Φ =1
2
Z
V0
σ · ε dV =1
2
Z
V0
ε · E[ε] dV
Teorema di Betti:
Lab =
Z
∂B0
p(a)·u(b) dS0+
Z
B0
f (a)·u(b) dV0 =
Z
∂B0
p(b)·u(a) dS0+
Z
B0
f (b)·u(a) dV0 = Lba
Energia complementare elastica per unita di volume:
dψ = ε · dσ = d(σ · ε− φ)
ψ(σ) = σ·ε− σ = σ · C[σ]− φ(C[σ]) =1
2σ · C[σ] = φ(C[σ])
Potenziale delle forze:
V (u) =
Z
B0
f · u dV +
Z
∂B0
p · u dS
Energia potenziale totale:
π(u) = Φ(ε)− V (u) =
Z
B0
φ(ε) dV −Z
B0
f · u dV −Z
∂B0
p · u dS
Incremento dell’energia potenziale totale:
∆π(δu) = π(u + δu)− π(u)
Variazione prima dell’energia potenziale totale:
π = π(u + δu)
δπ =dπ
dα
����α=0
= −δV + δΦ =
Z
B0
δφ(ε) dV0 −Z
B0
f · δu dV0 −Z
∂B0
p · δu dS0
δφ = σ · δε = δε · E[ε]
δε =1
2
ngradδu + (gradδu)T
o
ELASTICITA LINEARE ISOTROPA
Legge di Hooke (in termini di costanti di Lame):
σ = λ(trε)I + 2µε
[σ] = λ(εξ + εη + εζ)
24
1 0 00 1 00 0 1
35+ 2µ
24
εξ 0 00 εη 00 0 εζ
35
σij = λ(trε)δij + 2µεij
Tensore di elasticita lineare isotropa espresso mediante le costanti di Lame:
[E] =
26666664
λ + 2µ λ λ 0 0 0λ λ + 2µ λ 0 0 0λ λ λ + 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ
37777775
Moduli tecnici:
σz = Eεz
6
εx = εy = −νεz
τxy = Gγxy
Legge di Hooke (in termini di moduli tecnici):
σ = 2G
�ε +
ν
1− 2ν(trε)I
�
Alcune relazioni:
G = ν
λ = 2Gν
1− 2ν
3λ + 2µ =E
1− 2ν
G =E
2(1 + ν)
Rappresentazione principale di σ mediante le costanti di Lame:
σs = (3λ + 2µ)εs
σd = 2µεd
Rappresentazione principale di σ mediante i moduli tecnici:
trσ =E
1− 2νtrε I
σd = 2Gεd
Modulo di elasticita volumetrica:
E
3(1− 2ν)
Legge di Hooke inversa (in termini di moduli tecnici):
ε =1
E{(1 + ν)σ − ν(trσ)I}
Limitazioni dei moduli tecnici:
E > 0
G > 0
−1 < ν <1
2Energia elastica di deformazione:
φ =1
2ε · E[ε] = G
�ε · ε +
ν
1 + 2ν(trε)2
�
φ = G
�1− ν
1− 2ν(ε2
x + ε2y + ε2
y) +2ν
1− 2ν(εyεz + εxεz + εxεy) +
1
2(γ2
yz + γ2xz + γ2
xy)
�
Energia complementare elastica:
ψ =1
2σ · C[σ] =
1
2E
�(1 + ν)σ · σ − ν(trσ)2
ψ =1
2E(σ2
x + σ2y + σ2
z+)− ν
E(σyσz + σxσz + σxσy) +
1
2G(τ2
yz + τ2xz + τ2
xy)
7
CRITERI DI SNERVAMENTO
Asse idrostatico (o ottaedrico):
σξ = ση = σζ
Piano deviatorico:
σξ + ση + σζ = 0
Piano individuato da un generico tensore σ∗:
σξ + ση + σζ = tr σ∗
Coordinate sul piano deviatorico:8>>><>>>:
q32
�σξ ∗ 2− 1
3trσ∗
�q
32
�σ∗η − 1
3trσ∗
�q
32
�σ∗ζ − 1
3trσ∗
�
Criterio di Rankine (o della massima tensione normale):�
max {σxu, ση, σζ} = σ′smax {σxu, ση, σζ} = −σ′′s
Criterio di Grashof (o della massima dilatazione):�
maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = σ′smaxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = −σ′′s
Criterio di Huber - von Mises:
(tr σ)2 − 3σII = σ2s
Criterio di Tresca:
max {|σξ − ση|, |σζ − ση|, |σxi− σζ |} = σs
Criterio di Hill:
max
�����σξ − 1
2(ση + σζ)
���� ,����ση − 1
2(σξ + σζ)
���� ,����σζ − 1
2(ση + σξ)
�����
= σs
Criterio di Drucker - Prager:
αtr σ +p
(tr σ)2 − 3σII = (α + 1)σs
Criterio di Mohr - Coulomb:
|τn| = c− σn tan φ
Verifiche di sicurezza alle tensioni ammissibili:
σa =σs
s�
max {σxu, ση, σζ} ≤ σ′amax {σxu, ση, σζ} ≤ −σ′′a�maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ σ′amaxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ −σ′′ap
(tr σ)2 − 3σII = σ2x + σ2
y + σ2z − σxσy − σxσz − σyσz + 3(τ2
xy + τ2xz + τ2
yz) ≤ σa
max {|σxi− ση|, |σζ − ση|, |σξ − σζ |} ≤ σa
8