MECCANICA DEI SOLIDI ELASTICI

CINEMATICA E DINAMICA

Quantita di moto:

P =

Z

V

ρv dV

Momento della quantita di moto:

L =

Z

V

ρr × v dV

Equazioni di bilancio in forma integrale:

F (∂V ) + F (V ) =dP

dt−→

Z

∂V

t dS +

Z

V

(f − ρv) dV +X

i

F i = 0

M(∂V ) + M(V ) =dL

dt−→

Z

∂V

r × t dS +

Z

V

r × (f − ρv) dV +X

i

ri × F i = 0

Equazioni di equilibrio (equazioni cardinali della statica):Z

∂V

t dS +

Z

V

f dV +X

i

F i = 0

Z

∂V

r × t dS +

Z

V

r × f dV +X

i

ri × F i = 0

ANALISI DELLA TENSIONE

Tensione:

tS(P ) = limS→P

F (S)

S

Principio di azione e reazione:

t+S (P ) = −t−S (P )

Ipotesi di Cauchy:

tS(P ) = t(P, n)

Equazione di Cauchy:

t = σ n

Divergenza di σ:

divσ = limV→x

R∂V

σ n dS

V

(divσ)i =X

j

∂σij

∂xj=

∂σix

∂x+

∂σiy

∂y+

∂σiz

∂z

Equazione del moto:

divσ + f = ρv

1

Equazione indefinita di equilibrio:

divσ + f = 0

Equazione di equilibrio al contorno:

σ n = p su ∂B

Significato fisico delle componenti del tensore degli sforzi di Cauchy:

[σ] =

24

σx τxy τxz

σxy σy τyz

σxz σyz σz

35

σz = ez · t(ez)

τxz = ex · t(ez)

τyz = ey · t(ez)

ANALISI DELLA DEFORMAZIONE

Gradiente degli spostamenti:

[Gradu] =

24

∂u/∂X ∂u/∂Y ∂u/∂Z∂v/∂X ∂v/∂Y ∂v/∂Z∂w/∂X ∂w/∂Y ∂w/∂Z

35

[Gradu] = ε + ω

Tensore di deformazione infinitesima:

ε =1

2

nGrad u + (Grad u)T

o

εij =1

2

�∂ui

∂xj+

∂uj

∂xi

�

Tensore di rotazione infinitesima:

ω =1

2

nGrad u− (Grad u)T

o

ωij =1

2

�∂ui

∂xj− ∂uj

∂xi

�

ω a = ϕ× a

[ω] =

24

0 −ϕz ϕy

ϕz 0 −ϕx

−ϕy ϕx 0

35

[ϕ] =

8<:

ωzy

ωxz

ωyz

9=;

Dilatazione di una linea:

εr ≈ r0 · ε r0

Scorrimento tra due linee inizialmente ortogonali:

γrs ≈ 2(r0 · ε s0)

2

Siginificato fisico delle componenti del tensore di deformazione:

[ε] ≈24

εx 1/2γxy 1/2γxz

1/2γxy εy 1/2γyz

1/2γxz 1/2γyz εz

35

Vettore di deformazione:

ε r0 = εrr0 + γr/2

Coefficiente di dilatazione cubica:

θ =dV − dV0

dV0≈ εx + εy + εz = tr ε = div u

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI

Principio dei lavori virtuali:

Lve =

Z

∂B

p · u dS +

Z

B

f · u dV =

Z

B

σ · ε dV = Lvi

Principio dei lavori virtuali nell’ipotesi di piccoli spostamenti:

Lve =

Z

∂B0

p · u dS +

Z

B0

f · u dV =

Z

B0

σ · ε dV = Lvi

DIREZIONI PRINCIPALI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE

Equazione caratteristica del tensore degli sforzi:

det

24

σx − λ τxy τxz

τxy σy − λ τyz

τxz τyz σz − λ

35 = 0

λ3 − σIλ2 + σIIλ− σIII = 0

Invarianti di tensione:

σI = tr σ = σx + σy + σz

σII = (σxσy − τ2xy) + (σyσz − τ2

yz) + (σxσz − τ2xz)

σIII = det σ

Equazione caratteristica del tensore di deformazione:

det

24

εx − λ γxy 1/2γxz

1/2γxy εy − λ 1/2γyz

1/2γxz 1/2γyz εz − λ

35 = 0

λ3 − εIλ2 + εIIλ− εIII = 0

Invarianti di deformazione:

εI = tr ε = εx + εy + εz

εII =

�εxεy − γ2

xy

4

�+

�εyεz − γ2

yz

4

�+

�εxεz − γ2

xz

4

�

3

εIII = det ε

Valori principali di tensione:

�σξ

σµ

�=

σx + σy

2± 1

2

q(σx − σy)2 + 4τ2

xy

Valori principali di deformazione:

�εξ

εµ

�=

εx + εy

2± 1

2

q(εx − εy)2 + γ2

xy

Direzioni principali di tensione:

tan αξ =σξ − σx

τxy

Direzioni principali di deformazione:

tan αξ = 2 · εξ − εx

γxy

Componenti di un vettore:

{v∗} = [R]T {v}

Componenti di un tensore:

[A∗] = [R]T [A][R]

Componenti del tensore rotazione:

Rij = ei ·R ej = cos cij∗

STATI ELEMENTARI DI TENSIONE E DEFORMAZIONE

Trazione (compressione) semplice:

σ ≡24

0 0 00 0 00 0 p

35

Dilatazione semplice:

ε ≡24

0 0 00 0 00 0 εz

35

Compressione (trazione) uniforme:

σ ≡24

p 0 00 p 00 0 p

35 = p I

Dilatazione uniforme:

ε ≡24

ε 0 00 ε 00 0 ε

35 = ε I

4

Taglio semplice:

σ ≡24

0 0 00 0 T0 T 0

35

Scorrimento semplice:

ε ≡24

0 0 00 0 1/2γ0 1/2γ 0

35

Stato di tensione piano:

σ ≡24

σx τxy 0τxy σy

0 0 0

35

Stato di deformazione piano:

ε ≡24

εx 1/2γxy 01/2γxy εy 0

0 0 0

35

ELASTICITA LINEARE

Legame costitutivo elastico lineare:

σ = E [ε]

σij =X

hk

Eijhk εhk

Eijhk = Ejihk

Eijhk = Eijkh

{σ} = [E]{ε}σ = {σx σy σz τyz τxz τxy}T

ε = {εx εy εz γyz γxz γxy}T

Equazione fondamentale:

div

�E�1

2

�grad u + (grad u)T

���+ f = 0

Lavoro di deformazione:

dLd =

Z

∂B0

p · du dS +

Z

B0

f · du dV =

Z

B0

σ · ε dV

Energia elastica di deformazione per unita di volume:

dφ = σ · dε

φ =

Z ε

0

σ∗ · dε =

�Z 1

0

λ dλ

�σ · ε =

1

2σ · ε =

1

2ε · E[ε]

Energia elastica di deformazione:

dLd = dΦ =

Z

V0

dφ dV

5

Ld = Φ =1

2

Z

V0

σ · ε dV =1

2

Z

V0

ε · E[ε] dV

Teorema di Betti:

Lab =

Z

∂B0

p(a)·u(b) dS0+

Z

B0

f (a)·u(b) dV0 =

Z

∂B0

p(b)·u(a) dS0+

Z

B0

f (b)·u(a) dV0 = Lba

Energia complementare elastica per unita di volume:

dψ = ε · dσ = d(σ · ε− φ)

ψ(σ) = σ·ε− σ = σ · C[σ]− φ(C[σ]) =1

2σ · C[σ] = φ(C[σ])

Potenziale delle forze:

V (u) =

Z

B0

f · u dV +

Z

∂B0

p · u dS

Energia potenziale totale:

π(u) = Φ(ε)− V (u) =

Z

B0

φ(ε) dV −Z

B0

f · u dV −Z

∂B0

p · u dS

Incremento dell’energia potenziale totale:

∆π(δu) = π(u + δu)− π(u)

Variazione prima dell’energia potenziale totale:

π = π(u + δu)

δπ =dπ

dα

����α=0

= −δV + δΦ =

Z

B0

δφ(ε) dV0 −Z

B0

f · δu dV0 −Z

∂B0

p · δu dS0

δφ = σ · δε = δε · E[ε]

δε =1

2

ngradδu + (gradδu)T

o

ELASTICITA LINEARE ISOTROPA

Legge di Hooke (in termini di costanti di Lame):

σ = λ(trε)I + 2µε

[σ] = λ(εξ + εη + εζ)

24

1 0 00 1 00 0 1

35+ 2µ

24

εξ 0 00 εη 00 0 εζ

35

σij = λ(trε)δij + 2µεij

Tensore di elasticita lineare isotropa espresso mediante le costanti di Lame:

[E] =

26666664

λ + 2µ λ λ 0 0 0λ λ + 2µ λ 0 0 0λ λ λ + 2µ 0 0 00 0 0 µ 0 00 0 0 0 µ 00 0 0 0 0 µ

37777775

Moduli tecnici:

σz = Eεz

6

εx = εy = −νεz

τxy = Gγxy

Legge di Hooke (in termini di moduli tecnici):

σ = 2G

�ε +

ν

1− 2ν(trε)I

�

Alcune relazioni:

G = ν

λ = 2Gν

1− 2ν

3λ + 2µ =E

1− 2ν

G =E

2(1 + ν)

Rappresentazione principale di σ mediante le costanti di Lame:

σs = (3λ + 2µ)εs

σd = 2µεd

Rappresentazione principale di σ mediante i moduli tecnici:

trσ =E

1− 2νtrε I

σd = 2Gεd

Modulo di elasticita volumetrica:

E

3(1− 2ν)

Legge di Hooke inversa (in termini di moduli tecnici):

ε =1

E{(1 + ν)σ − ν(trσ)I}

Limitazioni dei moduli tecnici:

E > 0

G > 0

−1 < ν <1

2Energia elastica di deformazione:

φ =1

2ε · E[ε] = G

�ε · ε +

ν

1 + 2ν(trε)2

�

φ = G

�1− ν

1− 2ν(ε2

x + ε2y + ε2

y) +2ν

1− 2ν(εyεz + εxεz + εxεy) +

1

2(γ2

yz + γ2xz + γ2

xy)

�

Energia complementare elastica:

ψ =1

2σ · C[σ] =

1

2E

�(1 + ν)σ · σ − ν(trσ)2

ψ =1

2E(σ2

x + σ2y + σ2

z+)− ν

E(σyσz + σxσz + σxσy) +

1

2G(τ2

yz + τ2xz + τ2

xy)

7

CRITERI DI SNERVAMENTO

Asse idrostatico (o ottaedrico):

σξ = ση = σζ

Piano deviatorico:

σξ + ση + σζ = 0

Piano individuato da un generico tensore σ∗:

σξ + ση + σζ = tr σ∗

Coordinate sul piano deviatorico:8>>><>>>:

q32

�σξ ∗ 2− 1

3trσ∗

�q

32

�σ∗η − 1

3trσ∗

�q

32

�σ∗ζ − 1

3trσ∗

�

Criterio di Rankine (o della massima tensione normale):�

max {σxu, ση, σζ} = σ′smax {σxu, ση, σζ} = −σ′′s

Criterio di Grashof (o della massima dilatazione):�

maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = σ′smaxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} = −σ′′s

Criterio di Huber - von Mises:

(tr σ)2 − 3σII = σ2s

Criterio di Tresca:

max {|σξ − ση|, |σζ − ση|, |σxi− σζ |} = σs

Criterio di Hill:

max

�����σξ − 1

2(ση + σζ)

���� ,����ση − 1

2(σξ + σζ)

���� ,����σζ − 1

2(ση + σξ)

�����

= σs

Criterio di Drucker - Prager:

αtr σ +p

(tr σ)2 − 3σII = (α + 1)σs

Criterio di Mohr - Coulomb:

|τn| = c− σn tan φ

Verifiche di sicurezza alle tensioni ammissibili:

σa =σs

s�

max {σxu, ση, σζ} ≤ σ′amax {σxu, ση, σζ} ≤ −σ′′a�maxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ σ′amaxi=ξ,η,ζ {(1 + ν)σi − νtr σ} ≤ −σ′′ap

(tr σ)2 − 3σII = σ2x + σ2

y + σ2z − σxσy − σxσz − σyσz + 3(τ2

xy + τ2xz + τ2

yz) ≤ σa

max {|σxi− ση|, |σζ − ση|, |σξ − σζ |} ≤ σa

8