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Corso di laurea Magistrale in Biologia sperimentale ed applicata
A. A. 2009/2010
Lucia Della Croce
Dipartimento di Matematica -
Università di Pavia
MATEMATICA APPLICATA
ALLA BIOLOGIA(II MODULO)
Matematica applicata alla Biologia –
Lucia Della Croce
L’incubo della matematica
NUOVO utilizzo dello strumento matematico
attraverso la costruzione di MODELLI
MATEMATICA = Strumento investigativo -
indagine multidisciplinare
MODELLIZZAZIONE = interazione dinamica tra mondo reale
MATEMATICA e mondo matematico
Matematica applicata alla Biologia –
Lucia Della Croce
Processo interdisciplinare con cui si intende
interpretare, simulare, predire
i fenomeni reali
MODELLIZZAZIONE MATEMATICA
PROBLEMA
REALE
PROBLEMA
MATEMATICO
SOLUZIONE
MATEMATICA
INTERPRETAZIONE
In realtà spesso è necessario idealizzare e/o semplificare …
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Della Croce
Idealizzazione e Approssimazionebasate sull’esperienza e sulla
comprensione del fenomeno
MONDO
REALE
MODELLO del
mondo reale
CONCLUSIONI MODELLO
MATEMATICO
Rappresentazione
simbolica: operatori,
equazioni,variabili
parametri etc…
Soluzioni basate sull’
esperienza matematica
Confronto e
validazione
Passare dal fenomeno reale al suo modello matematico comporta un processo di
astrazione che consente di analizzare e descrivere il problema in modo oggettivo
utilizzando un linguaggio simbolico universale.Matematica applicata alla Biologia –
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DATI
SPERIMENTALI
OPPORTUNE
EQUAZIONI
FORMULAZIONE
DEL
PROBLEMA
ANALISI
MATEMATICA
DEL
MODELLO
UNICITA’
ESISTENZA
RISOLUBILITA’
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SVILUPPO
DI UN
ALGORITMO
IMPLEMENTAZIONE
VALIDAZIONE
DEL
MODELLO
SIMULAZIONE
NUMERICA
TEST SU CASI
NOTI
*
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Modelli matematici
in medicina
comprendere la natura di certe malattie
studiare delle strategie per il loro
trattamentoMatematica applicata alla Biologia - Lucia
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MODELLO
DELLE CELLULE
DEL SANGUEMatematica applicata alla Biologia - Lucia
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FORMAZIONE E DISTRUZIONE DELLE CELLULE
DEL SANGUE
CELLULE PRIMITIVE
(pluripotenziali)
CELLULE FORMATIVE SPECIALIZZATE
(proliferanti)
MATURAZIONE
(non proliferanti)
CIRCOLAZIONE SANGUIGNA
MORTE
CONTROLLO
FEEDBACK
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it 1it
ix 1ix
T0 unità di tempoii tt 1
n° di cellule al tempo tiix
MODELLO MATEMATICO
La popolazione di cellule del sangue
varia nel tempo
)()(1 iiii
xpxdxx
)(i
xd
)(i
xp
n° di cellule distrutte
n° di cellule prodotte
nell’intervallo di tempo
[ti , ti+1]Matematica applicata alla Biologia –
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La funzione deve essere “identificata”
sulla base di dati sperimentali
)(xd
iixcxd )(
c coefficiente di distruzione
Ad ogni intervallo di tempo viene distrutta una
frazione costante di popolazione
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La velocità di produzione aumenta quando
il numero di cellule è basso
La funzione deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
p(x) cresce inizialmente e raggiunge un
massimoMatematica applicata alla Biologia - Lucia
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Esiste un livello critico al di sotto del quale
l’organismo non recupera
La funzione deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
p(0) = 0
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La funzione deve essere “identificata”
sulla base di considerazioni fisiologiche
)(xp
La produzione diminuisce se il numero di cellule è
elevato.
Non è necessaria a livelli “super elevati” di cellule
0)(xp
p(x) decresce per x grande
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mm
m
x
xbxp )( Mackey-Glass
1971
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120Modello di Mackey-Glass
b=20
theta=10
m=3
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rsxsexbxp )( Lasota
1977
0 5 10 150
5
10
15
20
25
30
35
40
45Modello di Lasota
b=2
r=5
s=5
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b, r, s, m sono parametri da identificare
0 200 400 600 8000
50
100
150b=20theta=10
m=3
0 200 400 600 8000
2
4
6
b=2theta=5
m=3
0 200 400 600 8000
100
200
300
b=10theta=50m=3
0 200 400 600 8000
50
100
150
200
250b=30
theta=15
m=5
MODELLO
DI
MACKEY
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b, r, s, m sono parametri da identificare
0 20 40 600
50
100
150
200b=20
r=10
s=3
0 20 40 600
5000
10000
15000
b=2r=15
s=5
0 50 1000
5
10
15x 10
5
b=10r=50s=4
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5x 10
-4
b=3
r=1
s=10
MODELLO
DI LASOTA
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IL MODELLO DIVENTA
)(1 iiii
xpxcxx
)(1 ii
xfx
)()1()( xpcxxf
che è della forma
Dove la funzione d’iterazione f è:
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LIVELLO STAZIONARIO
In condizioni normali, le cellule raggiungono un
livello stazionario al quale produzione e distruzione
avvengono alla stessa velocità
)()(: xpxdx
)(xfxMatematica applicata alla Biologia –
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LIVELLI STAZIONARI DI MACKEY
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
tempo
num
ero
di cellu
leLivelli stazionari di Mackey - Glass
o
o
o
p(x) = d(x)
p(x)
d(x)
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LIVELLI STAZIONARI DI LASOTA
0 5 10 150
20
40
60
80
100
120
tempo
num
ero
di cellu
le
Livelli stazionari di Lasota
o
o
oo
o
o
p(x) = d(x)
p(x)
d(x)
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Una malattia corrisponde, dal punto di vista
matematico, al fatto che alcuni dei
parametri del modello hanno valori che si
discostano da quelli che definiscono un
livello stazionario
Analisi della stabilità del
modello
Biomatematica .mhtMatematica applicata alla Biologia
- Lucia Della Croce
Livelli stazionari possono essere stabili o instabili
Posizioni stazionarie di una pallina su un percorso collinare
Stabile ( Attrattori) esiste una zona tale che se la pallina viene spostata
in uno qualunque dei punti ritorna al punto iniziale
Instabile
Interpretazione intuitiva della stabilità di un sistema
Regione di attrazione
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