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Il prodotto scalare

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Vettoriil prodotto scalare

Attenzione: il nome di “prodotto” può trarre in inganno

Si tratta di sempre operazioni nuove, su enti nuovi, le cui proprietà vengono definite caso per caso

Ci sono solo analogie superficiali col prodotto fra numeri reali!

Definizione

x x y y z zv w v w v w v w

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Vettoriil prodotto scalare

Il risultato è uno scalare Numero indipendente dal sistema di

riferimento! La dimostrazione è un po’ lunga e non la

facciamo

Comunque il prodotto scalare fornisce un

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Vettoriil prodotto scalare

numero indipendente dal sistema di

riferimento È detto prodotto scalare o interno

Inner product, dot product

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Vettoriil prodotto scalare

Si dà significato al prodotto scalare di un vettore per sé stesso

Questo è detto il quadrato del vettore

2 2 2 2x y zv v v v v v

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Vettoriil prodotto scalare

Si definisce come modulo del vettore il numero

Attenzione: non confondete un vettore col suo modulo!

Questa è una ragione per cui i vettori vengono segnalati in modo tipograficamente diverso dacli scalari o dai numeri in generale

2 2 2x y zv v v v v v

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Vettoriil prodotto scalare

Un vettore con modulo unitario viene detto versore

unit vector

Viene indicato con un simbolo che lo distingue Di solito

Prendiamo ora un vettore generico...

V̂

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Vettoriil prodotto scalare

Dato un vettore potremo Calcolare il suo modulo

Definire il vettore

Per definizione questo ha modulo unitario

x y zv v vv

2 2 2x y zv v v v v

ˆ yx zvv v

v v v v

vv

ˆ 1v

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Vettoriil prodotto scalare

Chiameremo questo vettore un versore, e precisamente il versore del vettore

Unit vector in inglese Quindi il vettore potrà essere scritto

sempre come ˆ ˆv v v v v

v

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Vettoriil prodotto scalare

Sono importanti i versori degli assi coordinati

Ogni vettore può sempre essere scritto come

ˆˆ 1 0 0

ˆˆ 0 1 0

ˆˆ 0 0 1

x i

y j

z k

ˆ ˆ ˆx y zV V V V x y z

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Ecco i versori coordinati

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Vettoriil prodotto scalare

Vediamo ora il significato geometrico del prodotto scalare Mettiamoci in 2D Scegliamo un sistema di riferimento

speciale Dato che si tratta di vettori…

ˆ ˆ0 0

ˆ ˆx y x y

V V

W W W W

V x y

W x y

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V

W

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Vettoriil prodotto scalare

Calcoliamo il prodotto scalare

E quindi x x y y xVW V W VW V W

2 2

2 2 2 2

cos

x y xx

x y x y

VW

W W WV W VWW W W W

VW

V W

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Vettoriil prodotto scalare

Attenzione: è il prodotto dei moduli per il coseno dell’angolo compreso...

Se usiamo l’interpretazione tramite “freccette” Utile, però da prendere con le molle…

…non il modulo del primo per la componente del secondo nella direzione del primo

E perché non viceversa?

Questione NON banale La ritroveremo!

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Vettoriil prodotto scalare

Proprietà del prodotto scalare Commutativa Distributiva rispetto alla somma di vettori NON associativa!

Attenzione: il prodotto scalare viene definito solo fra DUE operandi! Ecco una differenza dal prodotto

numerico!

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Vettoriil prodotto scalare

Ogni vettore si può sempre scrivere come

Notate che

Etc...

ˆ ˆ ˆx y zV V V V x y z

ˆxVV x

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Vettoriil prodotto scalare

Dato il significato geometricoapplichiamolo ad un versore generico e

ad un versore fondamentale

LE COMPONENTI DI UN VERSORE SONO I COSENI DEGLI ANGOLI

FRA IL VERSORE E L’ASSE CORRISPONDENTE

cosVW V W

ˆ ˆˆ ˆ cos cos x V x V x

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Ecco gli angoli in questione

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Vettoriil prodotto scalare

Si chiamano

COSENI DIRETTORI