Logica della vaghezzaLogica della vaghezza

Carattere “vero-funzionale” dei Carattere “vero-funzionale” dei connettivi classici.connettivi classici.

““non”: “non”: “¬”¬”

pp ¬p¬p

11 00

00 11

Tavola di verità del connettivo “e”: Tavola di verità del connettivo “e”: “&”“&”

pp qq p&qp&q

11 11 11

00 11 00

11 00 00

00 00 00

““Se p allora q”: “p q” Se p allora q”: “p q”

pp qq p qp q

11 11 11

11 0 0

00

00 11 11

00 00 11

PARADOSSO DEL SORITEPARADOSSO DEL SORITE

Esempio di ‘sorite’ Esempio di ‘sorite’ [da ‘[da ‘σοροςσορος’ = ‘mucchio’]’ = ‘mucchio’]

1) Un chicco di grano non è un mucchio;1) Un chicco di grano non è un mucchio; 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due 2) Se un chicco di grano non è un mucchio, allora due

chicchi di grano non sono un mucchio;chicchi di grano non sono un mucchio;

n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n n) Se n-1 chicchi di grano non sono un mucchio, allora n chicchi di grano non sono un mucchiochicchi di grano non sono un mucchio

n chicchi di grano non sono un mucchio. n chicchi di grano non sono un mucchio.

1) Fa1) Fa11

2) Fa2) Fa11 Fa Fa22

.. .. ..

n) Fan) Fan-1n-1 Fa Fann

FaFann

1) Fa1) Fa11

2) Fa2) Fa11 Fa Fa22

.. .. ..

100.000100.000) Fa) Fa99.99999.999 Fa Fa100.000100.000

FaFa100.000100.000

1) Fx1) Fx11

2) Per ogni 2) Per ogni i, i, FxFxii FxFxi+1i+1

3) 3) FxFxnn

ArgomentoArgomento

VeritàVerità

ValiditàValidità

Concetto di Concetto di validitàvalidità..

Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che, Un argomento è valido quando non si dà mai il caso che, essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione.essendo vere le premesse, sia falsa la sua conclusione.

Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella Si può paragonare un argomento valido a una macchina, nella quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere quale si inseriscono come input enunciati veri per ottenere come output enunciati veri. come output enunciati veri.

La validità è una proprietà della La validità è una proprietà della strutturastruttura di un argomento; di un argomento; mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le mentre la verità concerne il rapporto di un enunciato con le ‘cose’ cui l’enunciato stesso si riferisce.‘cose’ cui l’enunciato stesso si riferisce.

Un argomento valido può essere formato da Un argomento valido può essere formato da enunciati veri, nel qual caso è anche enunciati veri, nel qual caso è anche correttocorretto..

Se invece almeno una delle premesse è falsa, è Se invece almeno una delle premesse è falsa, è scorrettoscorretto..

Valido: proprietà della strutturaValido: proprietà della struttura

Vero: proprietà dei singoli ‘pezzi’ che Vero: proprietà dei singoli ‘pezzi’ che compongono l’argomento compongono l’argomento (proposizioni, enunciati)(proposizioni, enunciati)

Esempio di argomento valido, ma Esempio di argomento valido, ma falso (non corretto)falso (non corretto)

Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi Se oggi è il 25 dicembre, allora oggi è Nataleè Natale

Oggi è il 25 dicembreOggi è il 25 dicembre

Dunque oggi è Natale.Dunque oggi è Natale.

Alcune ipotesi riguardo al sorite:Alcune ipotesi riguardo al sorite:

1) Si tratta di un argomento invalido1) Si tratta di un argomento invalido

2) L’argomento è valido, ma le premesse 2) L’argomento è valido, ma le premesse sono false (almeno una lo è)sono false (almeno una lo è)2a) E’ falsa la prima premessa2a) E’ falsa la prima premessa2b) Sono false le premesse a partire da 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2un numero k compreso tra 2 e n (2≤k≤n)≤k≤n)

3)3) L’argomento è valido, ma proprio ciò L’argomento è valido, ma proprio ciò mette in luce la non trattabilità delle mette in luce la non trattabilità delle nozioni vaghe nozioni vaghe

E’ un argomento invalido?E’ un argomento invalido?

Consta di una premessa categorica (la Consta di una premessa categorica (la prima) e di n premesse condizionali.prima) e di n premesse condizionali.

Possiamo vederlo come l’applicazione Possiamo vederlo come l’applicazione reiterata della regola:reiterata della regola:

ββ ββnota come nota come modus (ponendo) ponensmodus (ponendo) ponens o o

‘regola di separazione’;‘regola di separazione’;

1) Fa1) Fa11

2) Fa2) Fa11 Fa Fa22

FaFa22

[….][….]

99.99999.999)Fa)Fa99.99999.999

100.000100.000)Fa)Fa99.99999.999 Fa Fa100.000100.000

FaFa100.000100.000

A,AA,ABB/B /B B,BB,BC/CC/C C,CC,CD/DD/D

A/CA/C

Non sembra plausibile sostenere Non sembra plausibile sostenere che è un argomento invalidoche è un argomento invalido

Quindi rimane l’ipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso Quindi rimane l’ipotesi che sia valido. Si ha perciò o il caso 2) o il caso 3).2) o il caso 3).

Caso 2):Caso 2): è valido, ma con premesse false. è valido, ma con premesse false.

2a) E’ falsa la prima premessa2a) E’ falsa la prima premessa

2b) Sono false le premesse a partire da un numero k 2b) Sono false le premesse a partire da un numero k compreso tra 2 e n (2compreso tra 2 e n (2≤k≤n).≤k≤n).

Caso 3) E’ valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.Caso 3) E’ valido e ciò getta discredito sui predicati vaghi.

Caso 2a): è falsa la prima Caso 2a): è falsa la prima premessa.premessa.

Non possiamo concludere nulla circa la Non possiamo concludere nulla circa la verità o falsità della conclusione (da verità o falsità della conclusione (da premesse false può seguire una premesse false può seguire una conclusione vera).conclusione vera).

E’ questo il caso meno interessanteE’ questo il caso meno interessante

Possiamo tuttavia assumere che è falso Possiamo tuttavia assumere che è falso asserire “un chicco di grano non è un asserire “un chicco di grano non è un mucchio”, in quanto mucchio”, in quanto non esistononon esistono mucchi.mucchi.

A questo esito, noto in letteratura A questo esito, noto in letteratura come ‘nichilista’, porta anche come ‘nichilista’, porta anche l’ammissione che l’argomento l’ammissione che l’argomento soritico è soritico è validovalido e e correttocorretto, vale a , vale a diredire

tale chetale che è valido è valido e e ha premesse vereha premesse vere..

Esito ‘nichilista’: i mucchi non esistono.Esito ‘nichilista’: i mucchi non esistono.

Gli ‘oggetti’, le ‘cose’ cui facciamo Gli ‘oggetti’, le ‘cose’ cui facciamo riferimento nella vita ordinaria si dividono riferimento nella vita ordinaria si dividono in ‘reali’ e ‘convenzionali’.in ‘reali’ e ‘convenzionali’.

‘‘Mucchio’ è nome di un ‘oggetto costruito’ Mucchio’ è nome di un ‘oggetto costruito’ o convenzionale: non è nome di un o convenzionale: non è nome di un oggetto reale.oggetto reale.

Caso 2b): è falsa almeno una Caso 2b): è falsa almeno una premessa successiva alla primapremessa successiva alla prima..

Ciò implica che almeno uno dei Ciò implica che almeno uno dei condizionali della forma:condizionali della forma:

FaFakk Fa Fak+1 k+1

è falso!è falso!

Quindi l’antecedente di tale Quindi l’antecedente di tale condizionale è vero e il conseguente condizionale è vero e il conseguente falso. falso.

Ovvero:Ovvero:

Esiste un insieme Esiste un insieme kk di grani che di grani che NONNON è un è un mucchio, mentre l’insieme mucchio, mentre l’insieme k+1k+1 èè un un mucchio.mucchio.

Esiste un confine preciso tra Esiste un confine preciso tra non esser non esser mucchiomucchio e e esser mucchioesser mucchio

In termini generali: esiste un confine In termini generali: esiste un confine preciso tra il predicato preciso tra il predicato FF e il predicato e il predicato non-non-F.F.

Digressione Digressione sulla sulla logica logica classicaclassica

Digressione Digressione sulla sulla logica logica classicaclassica

Logica classicaLogica classica

A) I connettivi logici (‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se…A) I connettivi logici (‘e’, ‘o’, ‘non’, ‘se…allora…’), sono allora…’), sono vero-funzionalivero-funzionali

B) Vale il principio di B) Vale il principio di bivalenzabivalenza: ogni : ogni enunciato assume uno e uno solo dei due enunciato assume uno e uno solo dei due valori valori verovero (‘1’) e (‘1’) e falsofalso (‘0’) (‘0’)

C) Tra le C) Tra le leggi logicheleggi logiche principali, figurano i principali, figurano i princìpi di:princìpi di:

non-contraddizione; terzo escluso. non-contraddizione; terzo escluso.

Principio di non-contraddizione:Principio di non-contraddizione: Non(Non( e non- e non-): ): ~(~( & ~ & ~))

Principio del terzo escluso:Principio del terzo escluso: (( o non- o non-): (): ( ~ ~))

[‘[‘’ è un enunciato qualunque] ’ è un enunciato qualunque]

Semantica dei predicati.Semantica dei predicati.

Interpretazione delle espressioni che Interpretazione delle espressioni che fungono da predicati nel linguaggio L fungono da predicati nel linguaggio L di riferimento.di riferimento.

Simboli per predicati: P, Q…Simboli per predicati: P, Q…

Un linguaggio Un linguaggio LL viene interpretato viene interpretato su un dominio su un dominio DD di ‘oggetti’ di ‘oggetti’

Linguaggio L Dominio D di ‘oggetti’ Nome di proprietà ‘P’ Oggetti d che sono P (gialli, per esempio)

Nella logica classica, Nella logica classica, l’interpretazione di un predicato P sul l’interpretazione di un predicato P sul dominio D è un sottoinsieme di D dominio D è un sottoinsieme di D perfettamente definito.perfettamente definito.

PP

Nel caso di predicati vaghi, tuttavia, Nel caso di predicati vaghi, tuttavia, l’estensione del predicato ‘P’ non l’estensione del predicato ‘P’ non

ha confini ben definitiha confini ben definiti

P

3 possibili soluzioni al problema del 3 possibili soluzioni al problema del sorite sorite (escludendo il nichilismo)(escludendo il nichilismo)::

A) Soluzione epistemica;A) Soluzione epistemica;

B) Supervalutazioni;B) Supervalutazioni;

C) Logica a infiniti valori.C) Logica a infiniti valori.

A) Soluzione epistemica: la A) Soluzione epistemica: la vaghezza riguarda ‘noi’, non la vaghezza riguarda ‘noi’, non la

‘realtà’.‘realtà’. Mantiene la logica classica.Mantiene la logica classica.

Perciò, accetta che ai termini vaghi Perciò, accetta che ai termini vaghi corrispondano effettivamente corrispondano effettivamente proprietà perfettamente definite.proprietà perfettamente definite.

Ammette che vi siano punti di Ammette che vi siano punti di confine (aspetto contro-intuitivo).confine (aspetto contro-intuitivo).

B) SupervalutazioniB) Supervalutazioni

Mantiene molta parte della Mantiene molta parte della logica logica classicaclassica;;

Fa ricorso alla procedura dei Fa ricorso alla procedura dei raffinamentiraffinamenti;;

Non è classica a livello Non è classica a livello metalogicometalogico: : viola il principio di bivalenza.viola il principio di bivalenza.

Mucchio Mucchio*Mucchio Mucchio* Non-mucchio Non-mucchio*Non-mucchio Non-mucchio*

PenombraPenombra

Mucchio Mucchio*Mucchio Mucchio*

Enunciati Enunciati superverisuperveri: veri sotto tutti i : veri sotto tutti i raffinamentiraffinamenti

Enunciati Enunciati superfalsisuperfalsi: falsi sotto tutti i : falsi sotto tutti i raffinamentiraffinamenti

Enunciati veri sotto certi raffinamenti Enunciati veri sotto certi raffinamenti e falsi sotto altri.e falsi sotto altri.

GirinoGirino

1, 2, 3, 4, 5…….k1, 2, 3, 4, 5…….k

PenombraPenombra (k+1)(k+1)

(k+2)(k+2)

(k+3)(k+3)

[….][….]

RanaRana (k+m)………n.(k+m)………n.

GirinoGirino 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1)1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1)

GirinoGirino 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1), 1, 2, 3, 4, 5…….k , (k +1),

(k+2)(k+2)

RanaRana (k+3)(k+3)

[….][….]

(k+m)………n.(k+m)………n.

RanaRana

(k+2)(k+2)

(k+3)(k+3)

[….][….]

(k+m)………n.(k+m)………n.

Rimane valido il principio del terzo Rimane valido il principio del terzo escluso: escluso: ~~

k è un girino oppure k non è un k è un girino oppure k non è un girino;girino;

““k è un girino” non è né (super-)vero k è un girino” non è né (super-)vero né (super-)falso, se k si trova nella né (super-)falso, se k si trova nella penombra. Quindi:penombra. Quindi:

Viene meno il principio di bivalenzaViene meno il principio di bivalenza

Ci sono enunciati che non sono né veri né Ci sono enunciati che non sono né veri né falsi.falsi.

Inoltre:Inoltre: l’asserzione: “esiste un punto in cui k è l’asserzione: “esiste un punto in cui k è

una rana” è vera, senza però che sia una rana” è vera, senza però che sia possibile specificare quale sia tale punto possibile specificare quale sia tale punto (varia infatti con ciascun raffinamento).(varia infatti con ciascun raffinamento).

Di conseguenza:Di conseguenza:

Un enunciato esistenziale, del tipo: Un enunciato esistenziale, del tipo: x(Px) sarà super-vero, senza che ‘Pa’, x(Px) sarà super-vero, senza che ‘Pa’,

‘Pb’, ecc. lo siano.‘Pb’, ecc. lo siano.

Se infatti a, b, c … appartengono alla Se infatti a, b, c … appartengono alla ‘penombra’, le asserzioni “Pa”, “Pb”, ‘penombra’, le asserzioni “Pa”, “Pb”, “Pc” saranno ora vere ora false, a “Pc” saranno ora vere ora false, a seconda dei raffinamenti, ma mai seconda dei raffinamenti, ma mai vere in tutti i raffinamenti.vere in tutti i raffinamenti.

Il predicato ‘P’ ha così un’estensione Il predicato ‘P’ ha così un’estensione classica, perfettamente definita, classica, perfettamente definita, in in ciascun raffinamentociascun raffinamento, ma non in , ma non in tutti, presi collettivamente (se così si tutti, presi collettivamente (se così si può dire).può dire).

Se prendiamo i due enunciati Se prendiamo i due enunciati ‘penumbrali’ ‘‘penumbrali’ ‘’ e ‘’ e ‘~~’, e formiamo la ’, e formiamo la loro congiunzione:loro congiunzione:

““ &&~~””

otteniamo un enunciato ‘superfalso’ – otteniamo un enunciato ‘superfalso’ – propriamente una contraddizione.propriamente una contraddizione.

Tuttavia:Tuttavia:

Ciascuno dei due enunciati non è né Ciascuno dei due enunciati non è né vero né falso.vero né falso.

Dualità con “Dualità con “ ~~” che è invece ” che è invece sempre vero (supervero).sempre vero (supervero).

C) Logica a infiniti valoriC) Logica a infiniti valori Nella logica classica sono coinvolti i due soli Nella logica classica sono coinvolti i due soli

valori: vero (0) e falso (1).valori: vero (0) e falso (1).

Nelle supervalutazioni ci sono enunciati Nelle supervalutazioni ci sono enunciati superverisuperveri; enunciati ; enunciati superfalsisuperfalsi ed enunciati ed enunciati talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della talvolta veri e talvolta falsi. (Gli enunciati della ‘penombra’ possono essere considerati privi di un ‘penombra’ possono essere considerati privi di un valore di verità definito).valore di verità definito).

Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun Nella logica a infiniti valori, i valori di ciascun enunciato variano nell’intervallo chiuso [0,1]. enunciato variano nell’intervallo chiuso [0,1].

1) Fa1) Fa11

2) Fa2) Fa11 Fa Fa22

.. .. ..

100.000100.000) Fa) Fa99.99999.999 Fa Fa100.000100.000

FaFa100.000100.000

Nel passaggio dalla prima premessa alle Nel passaggio dalla prima premessa alle successive, la verità di ciascun enunciato successive, la verità di ciascun enunciato diminuisce impercettibilmente, fino a diminuisce impercettibilmente, fino a trasformarsi in modo progressivo in una trasformarsi in modo progressivo in una falsità.falsità.

E’ come se ciascun premessa, E’ come se ciascun premessa, approssimandosi alla conclusione, approssimandosi alla conclusione, erodesse un pezzetto di verità, fino a erodesse un pezzetto di verità, fino a rendere palesemente falsa la conclusione.rendere palesemente falsa la conclusione.

Problema della vaghezza affrontato Problema della vaghezza affrontato da B. Russell (1922-23).da B. Russell (1922-23).

Supervalutazioni: B. C. van Fraassen Supervalutazioni: B. C. van Fraassen (1969); K. Fine (1975).(1969); K. Fine (1975).

Logiche a più valori: Logiche a più valori: Łukasiewicz Łukasiewicz (1920).(1920).

Problemi filosofici:Problemi filosofici: A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a A) Quali sono le opzioni ontologiche legate a

ciascuna delle soluzioni considerate?ciascuna delle soluzioni considerate?

B) Ci sono motivi per preferire la logica classica?B) Ci sono motivi per preferire la logica classica?

C) Il ‘pluralismo’ in logica non apre la strada al C) Il ‘pluralismo’ in logica non apre la strada al relativismo?relativismo?

D) Le soluzioni del sorite che abbiamo D) Le soluzioni del sorite che abbiamo considerato sono le sole possibili o ve ne sono considerato sono le sole possibili o ve ne sono altre a disposizione?altre a disposizione?

Esempio:Esempio:

Supponiamo che ‘Fa’ e ‘Supponiamo che ‘Fa’ e ‘~Fa’ abbiano ~Fa’ abbiano il medesimo grado di verità. il medesimo grado di verità.

““Fa & Fa” ha il medesimo grado di Fa & Fa” ha il medesimo grado di verità di “Fa & ~Fa”.verità di “Fa & ~Fa”.

[Confrontare con l’approccio delle [Confrontare con l’approccio delle superval.] superval.]

Letteratura di riferimento:Letteratura di riferimento:

Rosanna Keefe & Peter Smith, Rosanna Keefe & Peter Smith, Vagueness: A ReaderVagueness: A Reader, Cambridge, , Cambridge, The MIT Press, 1999 [Paperback; The MIT Press, 1999 [Paperback; 1997]1997]

Timothy Williamson, Timothy Williamson, VaguenessVagueness, , London-New York, Routledge, 1994.London-New York, Routledge, 1994.