Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media

Lastre: • superficie media piana (piano medio)• carichi applicati giacenti sul piano medio

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media

Piastre: • superficie media piana (piano medio)• carichi applicati ortogonalmente al piano medio

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Corpi bidimensionali: corpi in cui due dimensioni prevalgono sulla terza (spessore).Superficie media: luogo dei punti dello spazio che si trovano a metà dello spessore. Classificazione in dipendenza di:• forma della superficie media• direzione rispetto dei carichi rispetto alla superficie media

Gusci: • superficie media curva • carichi applicati sia sul piano medio

che ortogonalmente ad esso

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

R h

rθ

z

Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.

Ipotesi semplificative generali per le piastre:• spostamenti verticali del piano medio della piastra sotto carico molto minori

dello spessore della piastra stessa• punti dello spessore che, prima della deformazione, giacevano su di una retta

ortogonale al piano medio, dopo la deformazion continuano a formare una retta ortogonale al piano medio deformato (ipotesi di Kirchoff)

• tensioni normali agenti ortogonalmente al piano medio della piastra trascurabili (stato piano di tensione).

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

R h

rθ

z

Piastre Circolari caricate in modo Assialsimmetrico.

Assunzioni semplificative specifiche:• la componente di spostamento in direzione circonferenziale è nulla per simmetria• la componente di spostamento in senso radiale si assume trascurabile in base

all'ipotesi di piccole deflessioni della piastra• la componente di spostamento verticale w, la sola significativa, risulta, per

simmetria, funzione della sola coordinata radiale, r.• il piano medio non varia le sue dimensioni con la deformazione (esattamente come

la fibra media di una trave inflessa)

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

w

r

θ

Sistema di riferimento cilindrico con asse «z» coincidente con asse di simmetria ed origine sul piano medio

R h

rθ

z

Deformata della piastra definita dalla sola funzione w(r).

drdw

−=θ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r drBA z

Componenti di deformazione/1

Elemento di piastraSegmento AB alla quota «z»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r drBA z

θ

O

Componenti di deformazione/2

dopo l'inflessione:• il segmento AB assume la posizione A'B‘• Il segmento dr appartenente al piano

medio (lunghezza immutata) può essere approssimato con un arco di circonferenza di centro O e raggio:

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r drBA z

θ

Oθθρ dzdrdzBA ⋅+=+= )(''

Componenti di deformazione/3

Lunghezza di AB:

Deformazione radiale:

( )drdz

drdrdzdr

rrθθε ⋅=

−⋅+=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r drBA z

θ

Oθ⋅≈ zu

Componenti di deformazione/4

Il punto A subisce uno spostamento radiale :

La circonferenza per A, di lunghezza iniziale:

( )r

zr

rzr θπ

πθπεθθ =⋅

⋅−⋅+=

222

u

r⋅π2

dopo la deformazione assume lunghezza:

( )ur +⋅π2

Producendo una deformazione circonferenziale:

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Componenti di deformazione/4

Stato piano di tensione:

Invertendo:

EE

EErr

rrrr

σνσε

σνσε

θθθθ

θθ

−=

−=

( )

( )rr

rrrr

E

E

νεεν

σ

νεεν

σ

θθθθ

θθ

+−

=

+−

=

2

2

1

1

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazioni costitutive

Stato piano di tensione:

Invertendo:

EE

EErr

rrrr

σνσε

σνσε

θθθθ

θθ

−=

−=

( )

( )rr

rrrr

E

E

νεεν

σ

νεεν

σ

θθθθ

θθ

+−

=

+−

=

2

2

1

1

rz

drdzrr

θε

θε

θθ =

⋅=

+

−⋅

=

+

−⋅

=

drd

rzE

rdrdzE

rr

θνθν

σ

θνθν

σ

θθ 2

2

1

1

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

z

σθθ

τ

dϕ

drσrr

dz

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/1

Si considera un elemento di volume della piastra, ottenuto con tre incrementi delle coordinate.Tensioni agenti (simmetria ed ipotesi di «plane stress»):

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

z

σθθ

τ

dϕ

drσrr

dz

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/2

Dato che le tensioni normali dipendono linearmente da «z», per le relative risultanti si ha:

0

0

2

2

2

2

=⋅=

=⋅=

∫

∫

−

−

h

h

h

h rrrr

dzN

dzN

θθθθ σ

σ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

z

σθθ

τ

dϕ

drσrr

dz

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/3

Per i momenti risultanti, invece si ottiene:

( )2

3

3

2

2

2

22

2

2

112

121

1

ν

θνθθνθν

θνθν

σ

−⋅

=

+=

+

−=

=⋅

+

−⋅

=⋅⋅= ∫∫ −−

hED

rdrdDh

rdrdE

dzzrdr

dzEdzzMh

h

h

h rrrr

r

h

dϕ

dr

rrM

Mθθ

Mθθ

Rigidezza flessionale della piastra

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

z

σθθ

τ

dϕ

drσrr

dz

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/4

Per i momenti risultanti, invece si ottiene:

( )2

3

3

2

2

2

22

2

2

112

121

1

ν

θνθθνθν

θνθν

σ

−⋅

=

+=

+

−=

=⋅

+

−⋅

=⋅⋅= ∫∫ −−

hED

rdrdDh

rdrdE

dzzrdr

dzEdzzMh

h

h

h rrrr

r

h

dϕ

dr

rrM

Mθθ

Mθθ

Rigidezza flessionale della piastra

+=

drd

rDM θνθ

θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

z

σθθ

τ

dϕ

drσrr

dz

Caratteristiche di sollecitazione generalizzate/5

Si pone infine:

∫− ⋅= 2

2

h

h dzQ τ

r

h

dϕ

dr

Q

Osservazioni

• i momenti sono denominati in base alle tensioni che producono, invece che all'asse cui si riferiscono

• i momenti Mrr ed Mθθ e la forza di taglio Q sono calcolati per unità di lunghezza in direzione circonferenziale; essi si misurano rispettivamente in N*m/m ed in N/m e sono detti Caratteristiche di sollecitazione generalizzate.

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazione tra tensioni normali e momenti/1

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

+

−⋅

=

+

−⋅

=

drd

rzE

rdrdzE

rr

θνθν

σ

θνθν

σ

θθ 2

2

1

1

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazione tra tensioni normali e momenti/2

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

+

−⋅

=

+

−⋅

=

drd

rzE

rdrdzE

rr

θνθν

σ

θνθν

σ

θθ 2

2

1

1

DMzED

MzE rrrr

θθθθ ν

σ

νσ

2

2

1

1

−⋅

=

−⋅

=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazione tra tensioni normali e momenti/3

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

+

−⋅

=

+

−⋅

=

drd

rzE

rdrdzE

rr

θνθν

σ

θνθν

σ

θθ 2

2

1

1

( )2

3

112 ν−⋅

=hED

DMzED

MzE rrrr

θθθθ ν

σ

νσ

2

2

1

1

−⋅

=

−⋅

=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazione tra tensioni normali e momenti/4

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

+

−⋅

=

+

−⋅

=

drd

rzE

rdrdzE

rr

θνθν

σ

θνθν

σ

θθ 2

2

1

1

( )2

3

112 ν−⋅

=hED

DMzED

MzE rrrr

θθθθ ν

σ

νσ

2

2

1

1

−⋅

=

−⋅

=

zhM

zhM rr

rr

3

3

12

12

θθθθσ

σ

=

=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Relazione tra tensioni normali e momenti/5

I valori massimi di tensione si verificano alle superfici inferiore e superiore dello spessore (z=±h/2). In valore assoluto i valori massimi di tensione sono :

2max_

2max_

6

6

hMhM rr

rr

θθθθσ

σ

=

=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/1

Forze e momenti applicati all’elemento di volume:

Equazioni di equilibrio identicamente soddisfatte:• Traslazione in direzione radiale e circonferenziale• Rotazione attorno alla direzione radiale e assiale

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

02 =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕϕϕ ddrrpdrQddrdrdQddrQddrr

drdQdrQ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

02 =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕϕϕ ddrrpdrQddrdrdQddrQddrr

drdQdrQ

Semplificando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

02 =⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕ ddrrpddrdrdQddrQddrr

drdQ

Trascurando i termini di ordine superiore

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

0=⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕ ddrrpddrQddrrdrdQ

Dividendo per il fattore comune

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

0=⋅−+⋅ rpQrdrdQ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/2

Equilibrio in direzione «z» (assiale):

( ) 0=⋅⋅⋅−⋅⋅−+

+ ϕϕϕ ddrrpdrQddrrdr

drdQQ

0=⋅−+⋅ rpQrdrdQ

( ) rpdr

rQd⋅=

⋅

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

rdϕ

ϕϕθθθθ ddrMddrM ⋅⋅≈⋅⋅ )

2sin(2

Mθθ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

drψ

dϕ/2Mθθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

02

2322

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr

drdQddrrQ

drMddrdr

dMddrMddrrdr

dMdrM rrrr

rrrr

rr

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

02

2322

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕ

θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr

drdQddrrQ

drMddrdr

dMddrMddrrdr

dMdrM rrrr

rrrr

rr

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Semplificando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

02

2322

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅+⋅⋅

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕ

θθ ddrMddrrpddrdrdQddrQddrr

drdQddrrQ

ddrdr

dMddrMddrrdr

dM rrrr

rr

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Trascurando i termini di ordine superiore

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

0=⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅ ϕϕϕϕ θθ ddrMddrrQddrMddrrdr

dMrr

rr

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Dividendo per il fattore comune

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

0=−⋅++ θθMrQMrdr

dMrr

rr

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

0=−⋅++ θθMrQMrdr

dMrr

rr

r

h

dϕ

dr

r

h

dϕ

dr

drdrdQQ +

Q

p

drdr

dMM rrrr +

Mrr

Mθθ

Mθθ

ψ

Equazioni di equilibrio/3

Rotazione attorno all’asse circonferenziale «ϕ»:

( ) ( ) 02

2

=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅+

++⋅⋅−+

+ ϕϕϕϕϕ θθ ddrMddrrpdrddrrdr

drdQQdrMddrrdr

drdMM rr

rrrr

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

rQrdrd

drdD

drd

rD ⋅=

+−

+ νθθθνθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

rQrdrd

drdD

drd

rD ⋅=

+−

+ νθθθνθ

DrQ

drd

drdr

drd

drd

r

DrQr

drd

drd

drd

r⋅

=−−−+

⋅=

+−

+

θνθθθνθ

νθθθνθ

2

2

Semplificando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

rQrdrd

drdD

drd

rD ⋅=

+−

+ νθθθνθ

DrQ

rdrdr

drd

DrQ

drd

drdr

drd

drd

r

DrQr

drd

drd

drd

r

⋅−=−+

⋅=−−−+

⋅=

+−

+

θθθ

θνθθθνθ

νθθθνθ

2

2

2

2

Dividendo per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

rQrdrd

drdD

drd

rD ⋅=

+−

+ νθθθνθ

DQ

rdrd

rdrd

DrQ

rdrdr

drd

DrQ

drd

drdr

drd

drd

r

DrQr

drd

drd

drd

r

−=−+

⋅−=−+

⋅=−−−+

⋅=

+−

+

22

2

2

2

2

2

1 θθθ

θθθ

θνθθθνθ

νθθθνθ

La relazione può essere scritta come segue

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/1

( ) rQdr

rMdM rr ⋅=⋅

−θθ

+=

+=

drd

rDM

rdrdDM rr

θνθ

θνθ

θθ

rQrdrd

drdD

drd

rD ⋅=

+−

+ νθθθνθ

DQ

rdrd

rdrd

DrQ

rdrdr

drd

DrQ

drd

drdr

drd

drd

r

DrQr

drd

drd

drd

r

−=−+

⋅−=−+

⋅=−−−+

⋅=

+−

+

22

2

2

2

2

2

1 θθθ

θθθ

θνθθθνθ

νθθθνθ

( )DQr

drd

rdrd

−=

⋅θ1 Relazione 1

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno

( )DQr

drd

rdrd

−=

⋅θ1 Moltiplicando per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno

( )

( )D

rQrdrd

rdrdr

DQr

drd

rdrd

⋅−=

⋅

−=

⋅

θ

θ

1

1

Derivando rispetto a «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno

( )

( )

( ) ( )dr

rQdD

rdrd

rdrdr

drd

DrQr

drd

rdrdr

DQr

drd

rdrd

⋅−=

⋅

⋅−=

⋅

−=

⋅

11

1

1

θ

θ

θ

1° equazione di equilibrio( ) rpdr

rQd⋅=

⋅

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/2Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno

( )

( )

( ) ( )dr

rQdD

rdrd

rdrdr

drd

DrQr

drd

rdrdr

DQr

drd

rdrd

⋅−=

⋅

⋅−=

⋅

−=

⋅

11

1

1

θ

θ

θ

1° equazione di equilibrio( ) rpdr

rQd⋅=

⋅

( )D

rprdrd

rdrdr

drd ⋅

−=

⋅θ1

Relazione 2

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Equazioni risolventi/3Volendo una relazione nella quale compaia esplicitamente il carico esterno

( )D

rprdrd

rdrdr

drd ⋅

−=

⋅θ1

Relazione 2

( )DQr

drd

rdrd

−=

⋅θ1

Relazione 1

drdw

−=θ

DQ

drdwr

drd

rdrd

=

1

Drp

drdwr

drd

rdrdr

drd ⋅

=

1

Equazioni risolvente 1

Equazioni risolvente 2

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Momenti e tensioni in funzione della w(r)

+−=

+=

+−=

+=

2

2

2

2

1

1

drwd

drdw

rD

drd

rDM

drdw

rdrwdD

rdrdDM rr

νθνθ

νθνθ

θθ

+

−⋅

−=

+

−⋅

=

+

−⋅

−=

+

−⋅

=

2

2

22

2

2

22

111

111

drwd

drdw

rzE

drd

rzE

drdw

rdrwdzE

rdrdzE

rr

νν

θνθν

σ

νν

θνθν

σ

θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

11 C

drdwr

drd

r=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

rCdrdwr

drd

Cdrdwr

drd

r

⋅=

=

1

11

Moltiplicando per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

2

2

1

1

1

2

1

CrCdrdwr

rCdrdwr

drd

Cdrdwr

drd

r

+⋅=

⋅=

=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

rCrC

drdw

CrCdrdwr

rCdrdwr

drd

Cdrdwr

drd

r

21

2

2

1

1

1

2

2

1

+⋅=

+⋅=

⋅=

=

Dividendo per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

( ) 32

2

1

21

2

2

1

1

1

ln4

2

2

1

CRrCrCrw

rCrC

drdw

CrCdrdwr

rCdrdwr

drd

Cdrdwr

drd

r

+

+⋅=

+⋅=

+⋅=

⋅=

=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/1Le principali condizioni che possono verificarsi in pratica sono:• piastra libera da carichi• piastra soggetta a pressione uniforme p0• piastra soggetta a carico costante P0

Piastra libera da carichi01

=

drdwr

drd

rdrdEquazioni risolvente 1 0=Q

( ) 32

2

1

21

2

2

1

1

1

ln4

2

2

1

CRrCrCrw

rCrC

drdw

CrCdrdwr

rCdrdwr

drd

Cdrdwr

drd

r

+

+⋅=

+⋅=

+⋅=

⋅=

=

( )

( )

( )22

12

2

21

32

2

1

2

ln4

rCC

drrwd

rCrC

drrdw

CRrCrCrw

−=

+⋅=

+

+⋅=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

2

2

0

20

rpQ

rprQ⋅

=

⋅⋅=⋅⋅ ππ

Q

r

p

Equazioni risolvente 1Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

1

20

41 C

Drp

drdwr

drd

r+=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

rCDrp

drdwr

drd

CDrp

drdwr

drd

r

1

30

1

20

4

41

+=

+=

Moltiplicando per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

2

2

1

40

1

30

1

20

216

4

41

CrCDrp

drdwr

rCDrp

drdwr

drd

CDrp

drdwr

drd

r

++=

+=

+=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

rCrC

Drp

drdw

CrCDrp

drdwr

rCDrp

drdwr

drd

CDrp

drdwr

drd

r

21

30

2

2

1

40

1

30

1

20

216

216

4

41

++=

++=

+=

+=

Dividendo per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

( ) 32

2

1

40

21

30

2

2

1

40

1

30

1

20

ln464

216

216

4

41

CRrCrC

Drprw

rCrC

Drp

drdw

CrCDrp

drdwr

rCDrp

drdwr

drd

CDrp

drdwr

drd

r

+

++=

++=

++=

+=

+=

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/2

Piastra soggetta a pressione uniforme p0

( )

( )

( )221

20

2

2

21

30

32

2

1

40

2163

216

ln464

rCC

Drp

drrwd

rCrC

Drp

drrdw

CRrCrC

Drprw

−+=

+⋅+=

+

+⋅+=

Drp

drdwr

drd

rdrd

21 0=

( ) 32

2

1

40

21

30

2

2

1

40

1

30

1

20

ln464

216

216

4

41

CRrCrC

Drprw

rCrC

Drp

drdw

CrCDrp

drdwr

rCDrp

drdwr

drd

CDrp

drdwr

drd

r

+

++=

++=

++=

+=

+=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3

Piastra soggetta a carico costante P0

Q

rRisultante = P0

rPQ

PrQ

⋅=

=⋅⋅

π

π

2

2

0

0

Equazioni risolvente 1rD

Pdrdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

10 ln

21 C

Rr

DP

drdwr

drd

r+

=

π

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

⋅+

=

+

=

10

10

ln2

ln2

1

π

πMoltiplicando per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

2

2

12020

10

10

216ln

4

ln2

ln2

1

CrCrD

PRrr

DP

drdwr

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

+⋅+−

=

⋅+

=

+

=

ππ

π

π

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

rCrCr

DP

Rrr

DP

drdw

CrCrD

PRrr

DP

drdwr

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

21

00

2

2

12020

10

10

216ln

4

216ln

4

ln2

ln2

1

+⋅+−

=

+⋅+−

=

⋅+

=

+

=

ππ

ππ

π

π

Dividendo per «r»

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

( ) 32

2

1202020

21

00

2

2

12020

10

10

ln43232

ln8

216ln

4

216ln

4

ln2

ln2

1

CRrCrCr

DPr

DP

Rrr

DPrw

rCrCr

DP

Rrr

DP

drdw

CrCrD

PRrr

DP

drdwr

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

+

+⋅+−−

=

+⋅+−

=

+⋅+−

=

⋅+

=

+

=

πππ

ππ

ππ

π

π

Integrando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

( )

( ) 32

2

12020

32

2

1202020

21

00

2

2

12020

10

10

ln416

ln8

ln43232

ln8

216ln

4

216ln

4

ln2

ln2

1

CRrCrCr

DP

Rrr

DPrw

CRrCrCr

DPr

DP

Rrr

DPrw

rCrCr

DP

Rrr

DP

drdw

CrCrD

PRrr

DP

drdwr

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

+

+⋅+−

=

+

+⋅+−−

=

+⋅+−

=

+⋅+−

=

⋅+

=

+

=

ππ

πππ

ππ

ππ

π

π

Semplificando

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3 - Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

( )

( ) 32

2

12020

32

2

1202020

21

00

2

2

12020

10

10

ln416

ln8

ln43232

ln8

216ln

4

216ln

4

ln2

ln2

1

CRrCrCr

DP

Rrr

DPrw

CRrCrCr

DPr

DP

Rrr

DPrw

rCrCr

DP

Rrr

DP

drdw

CrCrD

PRrr

DP

drdwr

rCRrr

DP

drdwr

drd

CRr

DP

drdwr

drd

r

+

+⋅+−

=

+

+⋅+−−

=

+⋅+−

=

+⋅+−

=

⋅+

=

+

=

ππ

πππ

ππ

ππ

π

π

Conglobando in C1

( ) 32

2

120 ln

4ln

8C

RrCrC

Rrr

DPrw +

+⋅+

=

π

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Integrali generali/3

Piastra soggetta a carico costante P0

rDP

drdwr

drd

rdrd

⋅=

π21 0

( )

( )

( )22100

2

2

21

00

32

2

120

283ln

4

28ln

4

ln4

ln8

rCC

DP

Rr

DP

drrwd

rCrCr

DP

Rrr

DP

drrdw

CRrCrC

Rrr

DPrw

−++

=

+⋅++

=

+

+⋅+

=

ππ

ππ

π

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Condizioni al contorno/1

Tipiche CC

R0

R0

(a)

(b)

(c)

0)(0)(

0

=

=

=Rrdrrdw

Rw

Incastro

Appoggio 0)()(

0)(

0

2

2

0

=

+

=

=Rrdrrdw

rdrrwd

Rw

ν

Asse simmetria 0)(

0

=

=rdrrdw

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Condizioni al contorno/2

Tipiche CC

Estremo libero al raggio R0

R0

R01

2

(d)

(e)

Confine tra piastre diverse al raggio R0

( ) ( )00

21

0201 )()(

RrRr drrdw

drrdw

RwRw

==

=

=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1

R

p ( )

( )

( )

=

=

=

=

=

0

0

0

0r

Rr

rrdw

rrdw

Rw

CC

( )

( )r

CrCDrp

drrdw

CRrCrC

Drprw

21

30

32

2

1

40

216

ln464

+⋅+=

+

+⋅+=

=

=

−=

→

=

=+⋅+

=+⋅+

DRpC

C

DRpC

CR

CRCDRp

CRCDRp

CC

64

0

8

00

0216

0464

40

3

2

20

1

2

21

30

3

2

1

40

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2

R

p

( )

( ) ( )

DRpww

rRD

prw

DRpr

DRp

Drprw

64)0(

64

643264

40

max

2220

402

20

40

==

−=

+−=

3.02100001515005.1 0

=====

νMPaEmmhPapmR

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/2

R

p

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )8

16100

1631

1611

163

1611

16163

1616

20

max

20

20

20

2

2

20

20

2

2

20

20

2

2

20

30

RpRMM

RpMM

rpRpdr

wddrdw

rDM

rpRpdrdw

rdrwdDM

DRp

Drp

drwd

rDRp

Drp

drdw

rr

rr

rr

==

+==

+−

+=

+−=

+−

+=

+−=

−=

−=

ν

ννν

ννν

θθ

θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/3

R

p

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

20

max_

max_max_

2max_

2max_

43

,max

6

6

hRp

rh

rMr

hrMr

id

rrid

rrrr

⋅=

=

=

=

σ

σσσ

σ

σ

θθ

θθθθ

Valori massimi sullo spessore

Valore massimo sull’intera piastra

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1

RM0 ( )

( )

( )

=

=

=

=

0

0

0

0

r

rr

rrdw

MRM

Rw

CC

( )

( )

+=

=

+−=

→

=

=

+⋅+−−

=+⋅

DRMC

C

DMC

C

MRCC

RCCD

CRC

CC

ν

ν

νν

12

0

12

00

22

04

20

3

2

01

2

0221

221

3

2

1

( )

( )

( )221

2

2

21

32

2

1

2

2

ln4

rCC

drrwd

rCrC

drrdw

CRrCrCrw

−=

+⋅=

+

+⋅=

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1

RM0

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )DRMw

rRD

MRD

MrD

Mrw

ν

ννν

+=

−+

=+

++

−=

12

121212

20

max

2202020

mmNMMPaE

mmhPapmR⋅

===

===

1503.0210000

1515005.1

0

0

ν

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata e caricata con momento radiale M0 al bordo esterno/1

RM0

( )

( )

( ) ( )

02

2

000

2

2

02

2

0

1

111

1

1

Mdr

wddrdw

rDM

MMMdrdw

rdrwdDM

DM

drwd

rD

Mdrdw

rr

=

+−=

=

+

++

=

+−=

+−=

+−=

ν

νν

νν

ν

ν

θθ

Momenti (e tensioni) costanti su tutta la piastra

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1

R

p

Rp

R(p∙R2)/8

(p∙R2)/8

=

+

Sovrapposizione di due problemi di cui si conosce la soluzione

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp

( ) ( )2220

64rR

Dprw −= ( ) ( ) ( )22

20

116rR

DRprw −+

=ν

( ) ( ) ( ) ( )222

02220

11664rR

DRprR

Dprw −

++−=

ν

( ) ( )

( ) ( )816

3116

1

8163

161

20

20

20

20

20

20

RprpRpM

RprpRpM rr

+

+−

+=

+

+−

+=

νν

νν

θθ

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare appoggiata al bordo soggetta a pressione uniforme p0/1Rp

07.415

15

64

40

max

=

++

++

=

νν

νν

DRpw

65.12

32

34

32

20

max_

=

+

+

⋅=

ν

νσhRp

id

+

=2

38

20

max_ν

θθRpM

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a carico P0/1

R

P0

R0

( )

( )

( )

=

=

=

=

=

0

0

0

0Rr

Rr

rrdw

rrdw

Rw

CC

=+⋅++

=+⋅+

=+⋅

028

ln4

028

04

0

2010

000

0

21

0

3

2

1

RCRCR

DP

RRR

DP

RCRCR

DP

CRC

CC

ππ

π

( )

( )r

CrCrD

PRrr

DP

drrdw

CRrCrC

Rrr

DPrw

21

00

32

2

120

28ln

4

ln4

ln8

+⋅++

=

+

+⋅+

=

ππ

π

Co

rso

di

“Co

stru

zio

ne

di

Ap

par

ecch

iatu

re C

him

ich

e”A

nn

o a

cacd

emic

o2

01

3-1

4Lezioni sull’analisi di piastre circolari assialsimmetriche

Piastra circolare incastrata al bordo con rinforzo centrale rigido soggetto a carico P0/1

R

P0

R0

⋅−

−−

−=

⋅−

−−

−−=

⋅−

−−

=

RR

RRR

RRRR

DPC

RR

RRR

RRRR

DP

DRPC

RR

RRR

RRR

DPC

020

20

2

220

2200

3

020

20

2

220

20

20

20

2

020

20

2

220

200

1

ln216

ln288

ln24

π

ππ

π