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7/30/2019 Lezione Algebra Lineare
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Elementi di Algebra Lineare
SW, appendice 18.1
Johnston, cap. 4 (5.1-5.3)
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Elementi di Algebra Matriciale(richiami)
definizione di matrice
matrice quadrata, diagonale, identit,triangolare, simmetrica
matrice trasposta
principali operazioni su matrici e vettori:somma, sottrazione, prodotto
determinante e matrice inversa rango di una matrice
forme quadratiche e matrici definite positive
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DEFINIZIONE DI MATRICE
Matrice: insieme composto da elementi ordinati in m righe
e n colonne
A =(m x n)
aij= elemento genericodella matrice
Ogni elemento aij individuato
dallindice di riga ie dallindicedi colonnaj.
i = 1, 2, mj = 1, 2, n
La matriceA = A(m x n)= [aij] di dimensioni m, numero di
righe, per n, numero di colonne.
Nellindicare lordine di una matrice, il numero delle righe precede
sempre il numero delle colonne
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
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vettore RIGA semplicemente una matrice con solo una
rigam = 1
A= [a11, a12, , a1n](1 x n)
DUE CASI LIMITE
vettore COLONNA semplicemente una matrice con solouna colonnan = 1
a11
a21A=
(m x 1)
am1
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MATRICE QUADRATA
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
A =(n x n)
M = N
per i = j gli elementi aii (per i = 1, 2, . . . , n) si diconoelementi diagonali o appartenenti alla diagonale principale diA
per i j gli elementi aij si dicono elementi extradiagonale
una matrice con un uguale numero di righe e di colonne
In questo caso,Asi dice quadrata di ordine N.
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MATRICE DIAGONALE
a11 0 ... 0
0 a22 ... 0... ... ... ...
0 0 ... ann
A =(n x n)
per i = j aii 0 per i = 1, 2, . . . , n
per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n
una matrice quadrata con gli elementi diagonali diversi da
zero e gli elementi extradiagonali nulli
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MATRICE IDENTITA o UNITA
1 0 ... 0
0 1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 1
I =(n x n)
per i = j aii = 1 per i = 1, 2, . . . , n
per i j aij = 0 per i,j = 1, 2, . . . , n
una matrice quadrata , generalmente indicata con la
letteraI, con gli elementi diagonali uguali a 1 e gli elementiextradiagonali nulli.
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MATRICE TRIANGOLARE
a11 a12 ... a1n
0 a22 ... a2n
... ... ... ...
0 0 ... annU =(n x n)
una matrice quadrata con gli elementi della diagonale
principale e quelli sopra/sotto la diagonale non nulli
L =(n x n)
a11 0 ... 0
a21 a22 ... 0
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
U si dice
triangolare superiore
L si dicetriangolare inferiore
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MATRICE SIMMETRICA
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
an1 an2 ... ann
A =(n x n)
aij= aji per i, j = 1, 2, , n
una matrice quadrata con gli elementi simmetrici
rispetto alla diagonale principale uguali
Ogni matrice diagonale simmetrica, in quanto tutti glielementi all'esterno della diagonale principale sono nulli.
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MATRICE TRASPOSTA
A =(m x n)
Data una matrice A, la matrice B = A (o AT) i cui
elementi sono bij = aji per i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n si
dice matrice trasposta della matrice A
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
... ... ... ...
... ... ... ...
am1 am2 ... amn
B =(n x m)
a11 a21 ... am1
a12 a22 ... am2
... ... ... ...
... ... ... ...
a1n a2n ... amn
si dice trasposta di una matrice, la matrice ottenuta
scambiando ordinatamente le righe con le colonne.
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PROPRIETA DELLOPERAZIONE DI
TRASPOZIONE
loperazione di trasposizione applicabile qualsiasi siano ledimensioni della matrice (sia rettangolare che quadrata)
seAha dimensioni 1 x n alloraA n x 1il trasposto diun vettore riga un vettore colonna (e viceversa)
seA una matrice simmetrica A =A la trasposta di una matrice trasposta uguale alla matrice
originaria (A) =A
trasposta di una somma di matrici (A + B) =A + B
trasposta di un prodotto di matrici (AB) = BA e, per
estensione, (ABC) = CBA
per qualsiasiA,A=AA=AA
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UGUAGLIANZA DI DUE MATRICI
Due matrici,Ae B, si dicono UGUALI se
aij= bij per ogni i = 1, 2, , m ej = 1, 2, , n.
Quindi loperazione di uguaglianza tra due matrici
richiede che esse siano delle stesso ordine, in altri
termini che abbiano le stesse dimensioni, m x n.
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LOPERAZIONE DI ADDIZIONE
La somma di due o pi matrici definita se e solo se tutte
le matrici hanno lo stesso ordine devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.
a11 a12
a21 a22
b11 b21
b12 b22
Definiamo due matrici (quadrate, ma non necessario),
Ae B entrambe di dimensioni 2 x 2, e calcoliamo lamatrice C sommandoAe B
C = A + B = + =
c11=a11+b11 c12=a12+b12
c21=a21+b21 c22=a22+b22
La matrice C ottenuta semplicemente sommando glielementi corrispondentidelle matriciAe B
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PROPRIETA DELLOPERATORE
ADDIZIONE
1. proprietASSOCIATIVAA + B + C = (A + B) + C = A + (B + C)
2. propriet COMMUTATIVA
A + B = B + A
3. esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto allasomma data la matriceA, esiste una matrice 0 dellestesse dimensioni diA, detta matrice nulla, tale che
A + 0 = A
4. esistenza dellOPPOSTO per ogni matriceA,esiste una matrice -A, detta matrice opposta, talecheA + (-A) = 0. La matrice -Asi ottiene cambiandoordinatamente di segno gli elementi diA.
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LOPERAZIONE DI SOTTRAZIONE
La sottrazione di due o pi matrici definita se e solo se tutte
le matrici hanno lo stesso ordine
devono avere lo stessonumero di righe, m, e lo stesso numero di colonne, n.
a11 a12
a21 a22
b11 b12
b21 b22
Utilizziamo le matrici definite nella slide precedente,Ae B di
dimensioni 2 x 2, e otteniamo la matrice D sottraendo B adA
D = A - B = - =d11=a11-b11 d12=a12-b12
d21=a21-b21 d22=a22-b22
Come per la somma, la matrice D ottenuta semplicementesottraendo agli elementi diAgli elementi corrispondentidi B
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PRODOTTO TRA VETTORI / 1
PRODOTTO INTERNO o SCALARE:
dati due vettori colonnaAe B entrambi(n x 1), si definisceprodotto interno o scalare, che si indica conA B, il prodotto
Il risultato del prodotto interno quindi uno scalare.
Il prodotto interno o scalare gode della propriet
commutativa: nel nostro esempio,A B = B A
A B a11 a12 ... a1N
b11
b12
...
bN1
a11b11 a12b12 ...a1NbN1
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PRODOTTO TRA VETTORI / 2
PRODOTTO ESTERNO:
dati due vettori colonnaAe B entrambi(N x 1), si definisceprodotto esterno, che si indica conA B, il prodotto
Il risultato del prodotto esterno quindi una matrice.
Il prodotto esterno nongode della propriet commutativa:
nel nostro esempio,A B B A
A B
a11
a21
...
aN1
b11
b12
... b1N
a11
b11
a11
b12
... a11
b1N
a21b11 a21b12 ... a21b1N
... ... ... ...
aN1b11 aN1b12 ... aN1b1N
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PRODOTTO DI UNA MATRICE PER UNOSCALARE
Dato un numero reale k (detto scalare) ed una matriceA,
si definisce prodotto della matriceAper lo scalare k
la matrice B = k Ail cui generico elemento k aij
B kAka11
a12
a21
a22
b11
k a11
b12
k a12
b21
k a21
b22
k a22
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PROPRIETA DEL PRODOTTO DI UNA
MATRICE PER UNO SCALARE
(k + h) A = k A + h A
k (A + B) = k A + k B
(kh) A = k (h A)
1 A = A
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PRODOTTO TRA MATRICI / 1
SiaAuna matrice m x ne B una matrice n x k, si definisceprodotto tra le matriciAe B la matrice C = A B che ha
tante righe quante sono le righe diAm tante colonne quante sono le colonne di B k
la matrice prodotto C = A B una matrice m x k
IMPORTANTE: per calcolare il prodotto tra due matrici
esse devono avere gli indici di dimensione interniuguali[m xn] e [n x k]
In questo caso, le due matrici si dicono CONFORMI o
DI ORDINE APPROPRIATO
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Il generico elemento della matrice prodotto C,cij, ottenutodalla somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di
Aper i corrispondenti elementi dellaj-esima colonna di B
PRODOTTO TRA MATRICI / 2
lelemento di posizione ijdi C uguale al prodotto interno
della riga idella matriceAe della colonnajdella matrice B
Il prodotto tra matrici detto anche prodotto riga per colonna
cij aikbkjk1
N
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ESEMPIO DI PRODOTTO TRA MATRICI
ESEMPIO NUMERICO
23
2232123132
2222122122
2212121112
2132113131
2122112121
2112111111
22
2221
1211
23
32
22
12
31
21
11
babac
babac
babac
babac
babac
babac
bb
bb
a
a
a
a
a
a
22
23
32
126115104968574
123112101938271
12
11
10
9
8
7
654
321
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PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA MATRICI
il prodotto tra matrici non gode della propriet commutativalordine nel quale le matrici sono moltiplicate importanteA B B A
A B indica cheApost-moltiplicata per B oequivalentemente che B pre-moltiplicata perA
nel casoAsia m x n e B n x k il prodottoA B esiste,
mentre B Aesiste solo se k = m
anche nel caso in cui k = m, A B B A
se due matrici sono quadrate e dello stesso ordine si pu
eseguire sia il prodottoA B che il prodotto B Aottenendo
una matrice quadrata dello stesso ordine (anche in questo
caso per il prodotto non in generale commutativo).
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PROPRIETA DEL PRODOTTO TRA
MATRICI QUADRATE
proprietASSOCIATIVA: A (B C) = (A B) C
propriet DISTRIBUTIVA: A (B + C) = (A B) + (A C)
esistenza dellELEMENTO NEUTRO rispetto al prodotto
A I = I A = A dove I la matrice identit
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PRODOTTO DI KRONECKER
Siano date due matriciAdi ordine (n x m) e B di ordine (p x q)
il prodotto di Kronecker definito come
Ogni elemento della matrice A moltiplicato per tutti glielementi della matrice B la matrice risultante hadimensioni (np x mq)
BaBa
BaBa
BA
NMN
M
1
111
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PROPRIETA DEL PRODOTTO DI KRONECKER
1. proprietASSOCIATIVA
A (B + C) =AB +AC (se B e C sonoconformabili alla somma)
(k A)B =A (kB) = k (AB) con k scalare
(AB)C =A (BC)
2. PRODOTTO MISTO: se A, B, C e D sono matrici tali
che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e
tra B e D esiste anche (AB) (CD) e vale che
(AB) (CD) = (A C) (B D)
3. INVERSIONE:AB invertibile se e solo se lo sono
anche A e B e linversa data da (AB)-1 = A-1B-1
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POTENZA DI UNA MATRICE
Definizione: Ar = AAA A (r volte)
Propriet:
1. A0 = I
2. Ar+s = Ar + As
3. (A r)s = Ars
Matrice IDEMPOTENTE A2 = A
Matrice IDEMPOTENTE di ORDINE r Ar = A
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TRACCIA DI UNA MATRICE
Data una matrice quadrataAdi dimensioni n x n, si
definisce traccia la somma dei suoi elementi diagonali
tr(A) = a11 + a22 + a33+ + ann
Propriet:
1. data una matrice A tr(A) = tr(A)
2. date due matrici A e B quadrate dello stesso ordine e due
scalari h e k tr(hA+kB) = htr(A)+ktr(B)3. date due matriciA(n x m) e B (m x n)
tr(AB) = tr(BA)
tr(AA) = tr(AA)
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DETERMINANTE / 1
Ad ogni matrice quadrata n x n si associa uno scalare detto
determinante, indicato generalmente con det(A) o |A|.
Nel caso pi semplice di una matrice quadrataA(2 x 2) il
determinante dato da
det(A) = a11a22 a12a21
cio dalla differenza tra il prodotto degli elementi sulladiagonale principale e quello degli elementi sulla diagonale
secondaria.
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DETERMINANTE / 2
Nel caso di matrici di ordine superiore, il determinante si
ottiene sommando i prodotti degli elementi di una riga o diuna colonna qualsiasi della matrice per i rispettivi cofattori
nel caso di una matrice di ordine (3 x 3), considerando la
prima riga della matrice si ha
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13
dove Cij = (-1)i+j Mij detto cofattore o minore segnato
Mij il determinante (chiamato minore)della sottomatrice
ottenuta dalla matriceAeliminando la riga i-esima e la
colonnaj-esima.
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DETERMINANTE / 3
data
A a11 a12 a13a21 a22 a23
a31
a32
a33
detA a11C11 a12C12 a13C13
C11
1 11 deta22 a23
a32 a33
a22a33 a32a23
C12
1 12deta21 a23a31
a33
a22a33 a32a23
C13
1 13deta21 a22a31 a32
a21a32 a31a22
detA a11 a22a33 a32a23 a12 a22a33 a32a23 a13 a21a32 a31a22
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DETERMINANTE / 4: REGOLA DI SARRUS
Data una matrice quadrataA(3 x 3)
il suo determinante pu essere calcolato facilmente ricorrendo
alla regola di Sarrus (dal nome del matematico francese PierreFrederic Sarrus)
Il det(A) la somma deglielementi sulle 3 diagonali
principali meno la sommadegli elementi sulle 3diagonali secondarie
A
a11
a12
a13
a21 a22 a23
a31
a32
a33
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DETERMINANTE / 5
In generale, considerando la riga i-esima il deterimante
det(A) = jaij Cij
Se il determinante di una matrice non nullo,
la matrice detta non singolare
Se il determinante di una matrice nullo,la matrice detta singolare
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PROPRIETA DEL DETERMINANTE
1. il determinante di una matrice triangolare superiore,
inferiore o diagonale pari al prodotto degli elementi sulla
diagonale principale
2. il determinante di una matrice identit pari a 1
3. data una matriceA, det(A) = det(A)
4. se una matrice ha una riga/colonna di elementi tutti nulli, il
determinante sar nullo
5. se si scambiano due righe/colonne inA, cambia il segno del
determinante diA
6. moltiplicando per una costante k ogni elemento di una
riga/colonna diA, il det(A) che ne risulta pari a kdet(A)7. data una matriceAe uno scalare k, det(kA) = kndet(A)
8. date due matriciAe B, det(A+B) det(A) + det(B)
9. date due matriciAe B, det(AB) = det(A) det(B)
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MATRICE INVERSA
Linversa di una matrice quadrataA una matriceA-1 chepre- o post-moltiplicata perAproduce la matrice identit
AA-1 = A-1A = I
Condizione necessaria e sufficiente perch la matriceA
abbia linversa cheAsia non singolare, ossia che
det(A) 0
Linversa diAsi ottiene da:
dove adj(A) la matrice aggiunta della matriceA
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MATRICE AGGIUNTA
La matrice aggiunta della matriceA la matrice trasposta
della matrice dei cofattori.
dove Cij = (-1)i+j Mij rappresenta il cofattore definito
qualche lucido fa
NNNN
N
N
T
NNNN
N
N
CCC
CCC
CCC
CCC
CCC
CCC
Aadj
21
22212
12111
21
22221
11211
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MATRICE INVERSA: ESEMPIO NUMERICO
Data la matrice quadrataA(2 x 2)
calcoliamo i quattro cofattori
quindi laggiunta diA
ed infine linversa,A-1
A 1 2
3 4
C11 4; C12 3; C21 2; C22 1
adj A 4 32 1
T
4 2
3 1
A1
1
46
4 2
3 1
0,54 2
3 1
2 1
1,5 0,5
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LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2)
Data una matriceA(2 x 2) come nella slide precedente,
linversa pu essere calcolata con pochi semplici passaggi:
1. calcolo del determinante (differenza tra il prodotto degli
elementi sulla diagonale principale e quelli sulla
diagonale secondaria)
2. inversione di posto tra gli elementi sulla diagonale
principale, a11 e a22
3. cambio di segno degli elementi sulla diagonale
secondaria, a12 e a21
4. divisione di ogni elemento per il determinante
Attenzione: questa procedura per il calcolo dellamatrice inversa valida solo per le matrici (2 x 2)
LINVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /
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L INVERSA DI UNA MATRICE (2 x 2) /Esempio
a11
a12
a21 a22
1
1
a11a22 a12a21
a22
a12
a21 a11
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PROPRIETA DELLINVERSA
se esiste,A-1 unica
(AB)-1 = B-1A-1
(A-1)-1 = A
(A)-1 = (A-1)
det(A-1) = 1/det(A)
seA una matrice ortogonale (ovveroAA = I) allora
A= A-1
seA una matrice diagonale,A-1 una matricediagonale di elementi aii
-1, per ogni i =1, 2, , N
seA una matrice simmetrica, lo anche la sua inversa
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DIPENDENZA e INDIPENDENZA LINEARE
Dati due vettori X1 e X2, essi si dicono linearmente indipendenti
se e solo se lunica soluzione di
data da1 =2 = 0. Non possibile quindi esprimere
nessuno dei duevettori come combinazione lineare dellaltro
In generale, datip vettori, si dice che essi sono linearmentedipendentise possibile determinarep costanti non tuttenulle tali che
In tal caso, almeno uno dei vettoriXi combinazione lineare
degli altri.
1X1 2X2 0
02211
ppXXX
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RANGO DI UNA MATRICE / 1
DEFINIZIONE #1
data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango di
colonna il numero massimo di vettori colonna linearmente
indipendenti contenuti nella matrice
analogamente, si definisce rango di riga il numeromassimo di vettori riga linearmente indipendenti
il rango di riga e il rango di colonna coincidono
Si ha quindi che 0 rango(A) min(n,p)
Se: rango(A) = n si dice cheAha rango pieno di riga
rango(A) =p si dice cheAha rango pieno di colonna
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RANGO DI UNA MATRICE / 2
DEFINIZIONE #2
data una matriceAdi ordine (n x p) si definisce rango
della matrice lordine massimo dei minori non nulli
in altre parole, il rango di una matriceA lordine
massimo delle sottomatrici inAcontenute a determinante
non nullo
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PROPRIETA DEL RANGO
1. rango(A) = rango(A)
2. rango(AA) = rango(A)
3. seA una matrice quadrata e non singolare
rango(A) = rango(A-1
)4. seAha rango pieno di colonna e B ha rango pieno di riga
rango(AB) = min (rango(A), rango(B))
5. rango(A+B) rango(A) + rango(B)6. se una matrice quadrataAdi ordineN idempotente
(ovvero,A2 = A) rango(IN A) =N rango(A)
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FORME QUADRATICHE
Se: A una matrice quadrata di ordine (N x N) e
X un vettore colonna (N x 1)
il prodotto XAX prende il nome di forma quadratica
Possiamo distinguere 4 diversi casi:
1. se XAX > 0 A definita positiva
2. se XAX 0 A semidefinita positiva
3. se XAX < 0 A definita negativa
4. se XAX 0 A semidefinita negativa
Alcuni esempi importanti
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Supponiamo che e
In questo caso,
Il vettore
ha dimensione K.
46
iKiii
xxx 21
x
p p
Kbbb 21b
x
ib
b1 b2xi2 ...
bKxiKcon
xi1 1
N
iiiK
N
iii
N
iii
N
iii
yx
yx
yx
y
1
1
2
1
1
1
xyX
L t i i t i
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La matrice simmetrica
ha dimensione KK e contiene somme di quadrati e47
N
iiK
N
iiKi
N
iiKi
N
iiiK
N
ii
N
iii
N
iiiK
N
iii
N
ii
iKii
N
i
iK
i
i
N
iii
xxxxx
xxxxx
xxxxx
xxx
x
x
x
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
2
1
21
11
112
1
2
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