LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Un campo di forze si dice CONSERVATIVO

se il lavoro fatto dal campo è indipendente dal percorso ma

dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Il fatto che il campo elettrico sia conservativo è fondamentale per la definizione di potenziale elettrico

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Infatti la differenza di potenziale tra

due punti è definita come il lavoro fatto dal campo quando la carica unitaria è

spostata da un punto all’altro

A

B

Q

LVV ABBA

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Se il lavoro dipendesse anche

dal percorso dovremmo pure

specificare il percorso e quindi non avremmo una buona definizione

A

B

Q

LVV ABBA

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

TEOREMA: In un campo

conservativo il lavoro fatto su un percorso chiuso è

uguale a zero, qualsiasi sia il

percorso

L=0

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Infatti, ogni percorso chiuso

può essere diviso in due parti, 1 e 2,

aventi entrambe come

estremi due punti A e B

A

B

2

1

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Il lavoro totale è la somma di

quello compiuto nei due tratti

A

B

2

121BAAB LLL

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Ma invertendo il verso di

percorrenza il lavoro cambia

segno (infatti se prima forza e spostamento

erano concordi ora sono discordi

o viceversa)

A

B

2

1

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Quindi possiamo dire che il lavoro fatto da B ad A su

percorso 2 è uguale a meno il lavoro da A a B

sullo stesso percorso

A

B

2

1

22ABBA LL

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Sostituendo nella formula del

lavoro:

Si ottiene:

A

B

2

1

21ABAB LLL

21BAAB LLL

22ABBA LL

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Ma il campo è conservativo per ipotesi, quindi il

lavoro è indipendente dal

percorso:

A

B

2

1

21ABAB LL

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Quindi, sostituendo:

Otteniamo:

Che era la tesi

A

B

2

1

21ABAB LL 21ABAB LLL

011 ABAB LLL

L=0

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Possiamo quindi dire che un campo di forze conservativo è un campo in

cui:

• Il lavoro è indipendente dal percorso

• Il lavoro fatto su un percorso chiuso è nullo

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Il lavoro è definito dalla formula:

Ma questa vale solo se il percorso

è rettilineo e il campo uniforme

cos SFLα

F

S

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Nel caso generale possiamo dividere il percorso in tanti piccoli pezzi quasi

rettilinei e calcolare il lavoro

su ciascuno di questi pezzi

12

3

4

5

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Il lavoro sull’i-esimo pezzettino

sarà:

12

3

4

Si

iiii SFL cos

Fi

αi

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Il lavoro totale sarà la somma di tutti questi piccoli

pezzi

12

3

4

Si

n

iiii SFL

1

cosFi

αi

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

In realtà il calcolo è solo approssimato; diventa esatto facendo tendere all’infinito il

numero dei pezzettini

n

iiii

nSFLimL

1

cos

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

In realtà il calcolo è solo approssimato; diventa esatto facendo tendere all’infinito il

numero dei pezzettini

n

iiii

nSFLimL

1

cos

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Invece del lavoro, con lo stesso procedimento si può calcolare la

differenza di potenziale (che è lavoro per unità di carica): basta prendere la forza per unità di carica, cioè il campo

elettrico

n

iiii

nBA SELimVV

1

cos

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Questa operazione non è necessariamente legata al campo

elettrico; per ogni campo vettoriale W noi possiamo calcolare in modo

matematico il limite

n

iiii

nSWLim

1

cos

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

In particolare, se il percorso è una linea chiusa, il

risultato dell’operazione

prende il nome di CIRCUITAZIONE del

vettore W

l

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

In simboli:

l

n

iiii

nSWLimWC

1

cos)(

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Nel caso del campo elettrico, però, la circuitazione non è una pura

operazione matematica, ma indica il lavoro per unità di carica sul percorso

chiuso L

n

iiii

nSELimEC

1

cos)(

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

E siccome il campo elettrico è conservativo, questo lavoro deve

essere nullo.Possiamo dunque esprimere in questo

modo la conservatività del campo elettrico 0)( EC

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Questa diventa, insieme col teorema di Gauss, una delle leggi fondamentali

dell’elettrostatica.A queste possiamo aggiungere la

relazione che lega campo elettrico a forza elettrica

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

0)( EC

n

kk

osc QE

1

1)(

EqF