LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE Un campo di forze si dice CONSERVATIVO se il lavoro fatto dal campo è...

LEGGE DELLA CIRCUITAZIONE

Un campo di forze si dice CONSERVATIVO

se il lavoro fatto dal campo è indipendente dal percorso ma

dipende solo dal punto iniziale e dal punto finale


Il fatto che il campo elettrico sia conservativo è fondamentale per la definizione di potenziale elettrico


Infatti la differenza di potenziale tra

due punti è definita come il lavoro fatto dal campo quando la carica unitaria è

spostata da un punto all’altro

A

B

Q

LVV ABBA


Se il lavoro dipendesse anche

dal percorso dovremmo pure

specificare il percorso e quindi non avremmo una buona definizione

A

B

Q

LVV ABBA


TEOREMA: In un campo

conservativo il lavoro fatto su un percorso chiuso è

uguale a zero, qualsiasi sia il

percorso

L=0


Infatti, ogni percorso chiuso

può essere diviso in due parti, 1 e 2,

aventi entrambe come

estremi due punti A e B

A

B

2

1


Il lavoro totale è la somma di

quello compiuto nei due tratti

A

B

2

121BAAB LLL


Ma invertendo il verso di

percorrenza il lavoro cambia

segno (infatti se prima forza e spostamento

erano concordi ora sono discordi

o viceversa)

A

B

2

1


Quindi possiamo dire che il lavoro fatto da B ad A su

percorso 2 è uguale a meno il lavoro da A a B

sullo stesso percorso

A

B

2

1

22ABBA LL


Sostituendo nella formula del

lavoro:

Si ottiene:

A

B

2

1

21ABAB LLL

21BAAB LLL

22ABBA LL


Ma il campo è conservativo per ipotesi, quindi il

lavoro è indipendente dal

percorso:

A

B

2

1

21ABAB LL


Quindi, sostituendo:

Otteniamo:

Che era la tesi

A

B

2

1

21ABAB LL 21ABAB LLL

011 ABAB LLL

L=0


Possiamo quindi dire che un campo di forze conservativo è un campo in

cui:

• Il lavoro è indipendente dal percorso

• Il lavoro fatto su un percorso chiuso è nullo


Il lavoro è definito dalla formula:

Ma questa vale solo se il percorso

è rettilineo e il campo uniforme

cos SFLα

F

S


Nel caso generale possiamo dividere il percorso in tanti piccoli pezzi quasi

rettilinei e calcolare il lavoro

su ciascuno di questi pezzi

12

3

4

5


Il lavoro sull’i-esimo pezzettino

sarà:

12

3

4

Si

iiii SFL cos

Fi

αi


Il lavoro totale sarà la somma di tutti questi piccoli

pezzi

12

3

4

Si

n

iiii SFL

1

cosFi

αi


In realtà il calcolo è solo approssimato; diventa esatto facendo tendere all’infinito il

numero dei pezzettini

n

iiii

nSFLimL

1

cos


Invece del lavoro, con lo stesso procedimento si può calcolare la

differenza di potenziale (che è lavoro per unità di carica): basta prendere la forza per unità di carica, cioè il campo

elettrico

n

iiii

nBA SELimVV

1

cos


Questa operazione non è necessariamente legata al campo

elettrico; per ogni campo vettoriale W noi possiamo calcolare in modo

matematico il limite

n

iiii

nSWLim

1

cos


In particolare, se il percorso è una linea chiusa, il

risultato dell’operazione

prende il nome di CIRCUITAZIONE del

vettore W

l


In simboli:

l

n

iiii

nSWLimWC

1

cos)(


Nel caso del campo elettrico, però, la circuitazione non è una pura

operazione matematica, ma indica il lavoro per unità di carica sul percorso

chiuso L

n

iiii

nSELimEC

1

cos)(


E siccome il campo elettrico è conservativo, questo lavoro deve

essere nullo.Possiamo dunque esprimere in questo

modo la conservatività del campo elettrico 0)( EC


Questa diventa, insieme col teorema di Gauss, una delle leggi fondamentali

dell’elettrostatica.A queste possiamo aggiungere la

relazione che lega campo elettrico a forza elettrica


0)( EC

n

kk

osc QE

1

1)(

EqF

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