Laboratorio di Matematica con SageMathUNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO 3...

UNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNOUNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO

Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea triennale in Ingegneria Informatica

Tesi di Laurea in Calcolo e Algebra Lineare

Laboratorio di Matematica con SageMath

Relatore: Prof. Domenico Finco Laureando: Agatino Grillo

Anno Accademico: 2018/19

Roma, 20/11/2019

UNIVERSITÀ TELEMATICA INTERNAZIONALE UNINETTUNO

Indice

• Introduzione

• Cos’è SageMath?

• Laboratorio SageMath

– Calcolo

– Algebra Lineare

– Metodi matematici

• ConclusioniSpirale di Archimede

Introduzione

• Scopo della tesi:

– presentare SageMath , un programma software CAS (Computer Algebra System), capace di rappresentare e risolvere espressioni matematiche in forma simbolica e numerica

– usare SageMath per esercitazioni di:

• Calcolo

• Algebra Lineare

• Metodi Matematici

http://www.sagemath.org/

Laboratorio di

Matematica

• Caratteristiche di SageMath:– gratuito ed open source

– facile da usare• https://sagecell.sagemath.org/

– creato e gestito in primis da docenti e ricercatori universitari• SageDays https://wiki.sagemath.org/Workshops

– interfaccia unica che integra anche altri programmi e pacchetti open source e commerciali

• R,

• Maxima,

• Scypy,

• Numpy,

• Mathematica

• …

Cos’è SageMath?

var('t')

x(a,t) = 2*a*(1+cos(t))*cos(t)

y(a,t) = 2*a*(1+cos(t))*sin(t)

cardioides = parametric_plot((x(0.5,t), y(0.5,t)),

(t,0,2*pi), color='#8A4B08', legend_label='a=1/2')

cardioides += parametric_plot((x(1,t), y(1,t)),

(t,0,2*pi), color='#B45F04', legend_label='a=1')

(t,0,2*pi), color='#FF8000', legend_label='a=2')

(t,0,2*pi), color='#FE9A2E', legend_label='a=4')

cardioides.set_legend_options(loc=(1,0.8))

show(cardioides, aspect_ratio=1)

Type some Sage code below and press Evaluate.

Cos’è SageMathFacile da

https://sagecell.sagemath.org/

Equazioni parametriche

Cos’è SageMath

@interact

def tangent_line(f =

input_box(default=sin(x

)), xbegin =

slider(0,10,1/10,0),

xend =

slider(0,10,1/10,10),

x0 = slider(0, 1,

1/100, 1/2)):

prange[1])[0]

show(fplot +

tanplot, xmin =

prange[0], xmax =

prange[1], ymax = fmax,

ymin = fmin)

Interattivo

https://bit.ly/2KaA56O /

print ("l'integrale della

funzione"), sin(log(x)), (" è: ")

show ((sin(log(x))).integral(x))

Cos’è SageMath?

l'integrale della funzione sin(log(x)) è:

f = sin(log(x))

f.integral(x,0,pi)

table([

["il risultato di", r'$\int_{0}^{\pi}

sin(x)$', "è", f.integral(x,0,pi)],])

Tipografico

Latexcompatibile

https://bit.ly/2Q66b7k

https://bit.ly/36UFHfg

Cos’è SageMath?

• algebra, analisi matematica, analisi numerica, calcolo combinatorio, geometria, teoria dei numeri

Teoria dei grafi

Calcolo vettoriale matrici

traiettorie

Analisi

Aree di specializza

• Esempio tratto dalla classe interattiva di “Calcolo e Algebra Lineare” del 13 novembre 2018

Laboratorio di matematica

show(limit (f, x=1, dir='+'))

Testo esercitazione

Si studi la funzione

tracciandone il grafico

Calcolo

• Studio di una funzione – approccio metodologico

• Campo di esistenza• Intersezione con gli assi• Studio del segno• Limiti ai bordi del campo di esistenza• Derivata prima• Derivata seconda• Grafico della funzione

Laboratorio di matematicaCalcolo

Testoesercitazione

Imponiamo che il denominatore siadiverso da zero:

CodiceSageMath

solve((abs(3*x-2)-1)== 0, x, to_poly_solve=True)

Risultato [x == (1/3), x == 1]

• Campo di esistenza: si tratta di una funzione fratta per cui il denominatore non può assumere valore zero

Testoesercitazione

Si deve risolvere:

CodiceSageMath

f=arctan(1)show(f)

Risultato

• Intersezione con gli assi

1arctan

0|1|arctan

1|203|

0|102|arctan

Testoesercitazione

Si deve risolvere:

CodiceSageMath

eq1= (abs(2*x+1)-x) >= 0eq2= x >= -1/2show(solve([eq1,eq2],x))

Risultato

• Studio del segno

01|23|

• Limiti ai bordi del campo di esistenza

Limite per x che tende a 1 di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1, dir='+'))

Testo Codice SageMath Risultato

Limite per x che tende a 1 di f(x) da sinistra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1, dir=‘-'))

Limite per x che tende a 1/3 di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=1/3, dir='+'))

Limite per x che tende a ∞ di f(x) da destra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=+oo))

• Limiti ai bordi del campo di esistenza:

Limite per x che tende a ∞ di f(x) da sinistra

f=arctan((abs(2*x+1)-x)/ (abs(3*x-2)-1))show(limit (f, x=-oo))

abbiamo 2 asintoti orizzontali e nessun asintoto verticale

• Derivata prima

Testoesercitazione

Per calcolare la derivata primaapriamo il modulo

f1=arctan((x+1)/(3*x-3))show(simplify((derivative (f1))))

Codice SageMath Risultato

• Derivata prima

f3=arctan((3*x+1)/(-3*x+1))show(simplify((derivative (f3))))

f2=arctan((x+1)/(-3*x+1))show(simplify((derivative (f2))))

Nella 1° regione la funzione è sempre decrescente, nella 2° regione è sempre crescente, nella 3° sempre decrescente.

In x=2/3 e x=1/2 ci sono dei “punti angolosi” cioè la derivata prima ha limiti finiti a destra e sinistra ma diversi tra loro

• Derivata seconda

f1=arctan((x+1)/(3*x-3))fp=derivative (f1,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)

f2=arctan((x+1)/(-3*x+1))fp=derivative (f2,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)

f3=arctan((3*x+1)/(-3*x+1))fp=derivative (f3,x)fpp=derivative (fp,x)show(fpp)

• Derivata seconda

Fatte le opportune semplificazioni otteniamo:

La derivata seconda è positiva quindi la funzione è convessa per x> 2 e per x compreso tra -1/2 e 0 e ci sono dei flessi per x=-1/2 e x=2/3

• Grafico della funzione

pt1 = point((1/3, 0), rgbcolor='red', pointsize=50, faceted=True)tex1=text("(1/3, 0)", (1/3, 0.1))

g.show(xmin=-2, xmax=2, ymin=-1.5, ymax=1.5)

https://bit.ly/2q2Mbb3

Laboratorio di matematicaAlgebraLineare

• Fonte: “aula virtuale n. 50.4 Diagonalizzazione di Matrici”

Data la matrice

Se ne discuta la diagonalizzabilità e se ne determino autovalori e autovettori

A=matrix(2,2,[3,4,4,3])show(A)

x^2 - 6*x – 7

Costruisco la matrice

Calcolo il determinante della nuova matrice

cioè il polinomio caratteristico è

Le radici del polinomio caratteristico sono:

A=matrix(2,2,[3,4,4,3])

A.characteristic_polynomial()

x^2 - 6*x – 7

A.eigenvalues() x^2 - 6*x – 7[7, -1]

x^2 - 6*x – 7## In SageMath posso calcolare ## immediatamente gli autovettori## (eigenvectors in inglese)

show(A.eigenvectors_right())

che indica che in corrispondenza dell’autovalore 7 abbiamo l’autovettore (1,1) di molteplicità 1 e che in corrispondenza dell’autovalore -1 abbiamo l’autovettore (1,-1) di molteplicità 1

Quindi abbiamo una base di auto vettori e la matrice è diagonalizzabile e con questa base la matrice diventa 2

Laboratorio di matematicaMetodi

Matematici

• Fonte: aula virtuale di “Metodi matematici” di gennaio 2017

Data la funzione

Valutare massimi e minimi assoluti e relativi all’interno di un dominio scelto ecioè il dominio A formato da

mentre la è definita su tutto

Testo esercitazione

𝑓 𝑥, 𝑦

• Massimi e minimi di 2 variabili – approccio metodologico

• Calcolo del gradiente• Calcolo dei punti stazionari• Calcolo della matrice Hessiana • Studio del segno delle matrici Hf

Laboratorio di matematicaMetodi

Matematici

1. Calcolo del gradiente

Calcoliamo il gradiente della funzione cioè le 2 derivate parziali prime rispetto a x

e y che poi poniamo uguale a 0 per calcolare le soluzioni del sistema.

SageMath permette di calcolare direttamente il gradiente di una funzione di 2 variabilicon il comando gradient

var('y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)show(f.gradient());

Metodi Matematici

2. Calcolo dei punti stazionari

Calcoliamo i punti che annullano il gradiente per ottenere i punti stazionari imponendo lacondizione:

var ('x','y')eq1= 2*x - 1eq2= 2*y -1show(solve([eq1,eq2],x,y))

che equivale a risolvere il sistema di 2 equazioni in 2 incognite

Il risultato è che il punto in cui il gradiente si annulla è

Metodi Matematici

Laboratorio di matematica3. Calcolo della matrice Hessiana

Calcoliamo la matrice Hessiana di f Hf definita come la matrice delle derivate parziali secondedi f

var('y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)show(f.hessian())

Il risultato è che il punto in cui il gradiente si annulla è

Metodi Matematici

dove indica la derivata parziale rispetto a ydella derivata parziale rispetto a x

Laboratorio di matematica4. Studio del segno delle matrici Hf

Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana e il segno della stessa matrice

var('y')#f(x,y)=3*sin(x)-2*cos(y)-x*yf(x,y)=x^2+y^2-(x+y)#show(f.gradient()); show(det(f.hessian()))#f.diff(x,y)

Calcolo il determinante hessiano nel punto (1/2, 1/2)

Metodi Matematici

f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)H = f.hessian()H(x,y)det(H)

Il determinate è positivo e il 1° elemento a sinistra della matrice è anch’esso positivo

quindi (1/2,1/2) è un punto di minimo relativo.

Nel dominio dato la funzione è sempre differenziabile. Il contorno si può

rappresentare con i seguenti segmenti

Metodi Matematici

Su ogni segmento studiamo il comportamento dei massimi e dei minimi. Ad esempio per il segmento S1 si procede come segue. Se “fisso” la x e studio la y, la funzione da studiare è

Laboratorio di matematicaOttengo minimo in y=1/2 e massimo in y=-1

plot(x^2-x)

Metodi Matematici

I valori che assume questa funzione sono:minimo m1=-1/4massimo M1=2

Procedo analogamente per gli altri segmenti

var('x','y')f(x,y)=x^2+y^2-(x+y)plot3d(f(x,y),(x,-1,1),(y,-1,1))

Metodi Matematici

Il minimo assoluto sul contorno è assunto su (1,1/2),(1/2,1) e vale: -1/2

Disegno il grafico della funzione:

https://bit.ly/2Q62oaf

Conclusioni

• Perché un laboratorio di matematica?

• Perché SageMath?

Conclusioni

• Perché un laboratorio di matematica?

• facilita il “learning by doing”

• “manipolare” limiti, integrali e derivate rafforza l’efficacia dell’insegnamento

• evita lo studio puramente mnemonico

• limita il rischio che lo studente si trasformi in un semplice “risolutore meccanico di problemi”.

Conclusioni

• gratuito, integrazione di terze parti, diffusione, completezza, gratuità, supporto accademico

• mette inoltre un ambiente di ricerca virtuale -basato anche su prodotti terzi open source e commerciali - che permette di gestire in maniera integrata l’intero ciclo di vita di un progetto di ricerca di matematica

Conclusioni

• CoCal è la versione cloud di SageMath con funzionalità aggiuntive

• la versione “base” di CoCalc è gratuita ma è possibile avere una serie di servizi aggiuntivi –principalmente in termini di affidabilità e velocità del servizio – pagando un canone

https://cocalc.com/

Conclusioni

• CoCalc può essere usato dai docenti per erogare corsi online e verificare come gli studenti rispondono alle esercitazioni e prove previste

• il principale vantaggio rispetto a SageMathCell è la possibilità di condividere in tempo reale il codice e la documentazione con altri utilizzatori nonché la gestione tecnica centralizzata dell’intero ambiente tecnologico in maniera trasparente

Corsi online basati su SageMath/CoCalc

• Math 241 - Calculus 1 Lab

• Math 242 - Calculus 2 Lab

• Introduction to Data Science, 2019 - A Computational, Mathematical and Statistical Approach

• Math 157 - Intro to Mathematical Software

• GCB 535 - Introduction to Bioinformatics

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