Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Luca D’Acci

Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi

Equazioni ricorsive

1 ( )t tx f x 100 )( xxfx

211 )( xxfx

322 )( xxfx

nnn xxfx )( 11

.

.

.

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Rappresentazione grafica

x

y

)(xfy 0x

0x

)( 0xf 1x

)( 0xf

1x)( 0xf

1x1 ( )t tx f x

Se è un’equazione ricorsiva:

)( 1xf

)( 1xf 2x

1x

2x

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x

y

0x

)( 0xf

x

y x=y

0x

)( 0xf

1x

Generica funzione

Retta bistettrice x=y

Parto da un valore iniziale 0x

Calcolo la )( 0xfReitero la nuova 1x

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x

y

0x

)( 0xf

x

y x=y

0x

)( 0xf

1x

Che graficamente equivale a

1x

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x

y

0x

0( )f x1x

1( )f x2x

)( 2xf

3x

Percorso curva–bisettrice

curva f(x)bisettrice

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y = rx(1-x)

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la scriviamo come

y = rx-rx2y = rx(1-x)

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y = rx-rx2y = rx-rx2parabola…

y = rx-rx2… verso il basso

che graficamente è una:

y = rx-rx2di h r

x

y

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y = rx (1-x)

tasso di crescitaxt+1

x = popolazione al tempo t

termine correttivoxt+1=rxt(1-xt)

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La popolazione non può essere negativa

xt+1=rxt (1-xt)

0 ≤ x ≤ 1

xt+1=rxt (1-xt)

0 ≤ x0 ≤ r ≤ 4

xt+1=rxt (1-xt)xt+1=rxt (1-xt)

se r=4 quando xt=0.5

si avrebbe: xt+1= 4 ∙ 0.5 (1-0.5) = 1

quando r > 4 → xt+1 >1

xt+1=rxt(1-xt)

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xt

xt+1

10

1

r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7

xt+1=rxt(1-xt)

r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7

r7=4

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0 ≤ r ≤ 4

0 ≤ x ≤ 1

I valori ammessi sono quindi:

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per xt=0 → xt+1=0

Indipendentemente dal valore di r si ha :

xt+1=rxt(1-xt)=r0(1-0)=0

per xt=1 → xt+1=0xt+1=rxt(1-xt)=r1(1-1)=0

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Come si comporta la funzione al variare di r

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Proviamo con…

r=2

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F(x)=rx (1-x)

r=2 ; partiamo ad esempio da x0=1/3

x1= F(x0)=2∙1/3(1-1/3)=4/9

x2= F(x1)=2∙4/9(1-4/9)=40/81

x3= F(x2)=2∙40/81(1-40/81)=3280/6561.

.

.

xn= F(xn-1)=1/2

.

.

.

0,4444….

0,5

0,5

Punto fisso

xn+1= F(xn)= 2∙1/2(1-1/2)= 1/2

0,4938….

0,4999….

0,5

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Se r=2

2/10 nxx

partendo da qualunque valore iniziale si ha lo stesso risultato

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x

F(x)

x0

x0

)( 0xFx1

x1

)( 1xFx2

x2

x1

…

x2

r = 2

x = y

xn=1/2

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x

F(x)

x0

r = 2

x = y

xn=1/2

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Quindi per r=2

½ è un punto fisso

attraente2/10 nxx

Tranne, come detto, per x0=0 e per x0=1

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10 rPer

00 nxx

Quindi per 10 r

0 è un punto fisso attraente

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x

F(x)

x0

x = y

10 r

xn=0

x0

xn=0

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r

xn

1 20 40

1

1/2

31

dominio di xdominio di r

→ xn = 010 r

31 r → xn =r

r 1

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0 e ½ sono attrattori di

Periodo 1Perché se parto da x0 dopo

una iterazione torno ad x0

x0 x0F(x0)

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0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0,5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=0.1

a=0.5

a=0.9

a=1

r

xn

0 1

0 < r < 1

x

iterazione

r=0.1

0

r=0.5

r=0.1r=0.5r=0.9r=1

Un attrattore di periodo 1 stabilizza (dopo n

iterazioni) il valore di x su un solo valore

(il punto fisso xn)

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0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=1.5

a=2

a=2.5

a=2.9

a=3

r=1,5r=2 r=2,5r=2,9r=3

r

xn

0 1 2 3

0,5

r

rxr n

131

iterazione

x

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r

xn

1 20 40

1

1/2

31

xn = 0

10 r 31 r

r

rxn

1

3r 3 4

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In r=3 nasce un nuovo attrattore di

Periodo 2

x0 x1F(x0) F(x1) x0

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si ottengono i due valori che si alternano infinitamente ad ogni iterazione quando si raggiunge il nuovo attrattore di periodo 2

r

rrrx

2

321 2

2,1

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r

xn

1

0

1

3 4

0.5

2

r

rrrx

2

321 2

1

+

r

rrrx

2

321 2

2

_

x1 x2F(x1) F(x2) x1

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Un attrattore di periodo 2 stabilizza

(dopo n iterazioni) il valore di x su due valori

(due punti periodici xn)

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1.3r

r

xn

0 1 3

x1

x2

x1

)( 1xFx2

)( 2xFx1

)( 1xFx2

)( 2xFx1

)( 1xFx2 …∞

x

F(x)

2 valori di xn

x1

x2

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r

xn

0 1 3 4

1

1/2

0

2

3

133

1nn xr

r

rx

6

369133

2

321 2

nn xrr

rrrx

3

2

3

2r

rrrxn 2

321 2

0

2 soluzioni: 2 punti periodici

xn,1

xn,2

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r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

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r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

DA PUNTO FISSO ATTRAENTE

DIVENTA

PUNTO FISSO REPELLENTE

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Quando r raggiunge il valore

44949.361 si ha un nuovo sdoppiamento

dell’attrattore

r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

61

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r

xn

0 1 3 4

1

1/2

02

61

Abbiamo ora 4 valori che si alternano infinitamente su cui la x

si stabilizza dopo n iterazioni

Xn,1

Xn,2

Xn,3

Xn,4

Attrattore di periodo 4

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F(x)

x1

x2

x3

x4

5.3r r

xnx1x3

4 valori di xnx4x2

x1)( 1xF x2

)( 2xF x3)( 3xF x4

)( 4xF x1)( 1xF x2…

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Successive biforcazioni insorgono secondo lo stesso meccanismo per valori di r via via

crescenti ma sempre più vicini tra loro

r

r1 r2 r3 r4 …

La successione delle rn ha come limite un

n.irrazionale r∞≈3.569934

r∞

rr

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rrQualunque valore iniziale dà luogo a

traiettorie aperiodiche

nessun punto fisso

“attrattore” con periodo infinito

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0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

a=3

a=3.25

a=3.5

a=3.75

a=4

iterazione

x

r=3 r=3.25 r=3.5 r=3.75r=4

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r

xn

r∞

un unico stato finalepiù stati

finali∞ stati finali

Per r>r∞ non si hanno più attrattori, un punto dovrebbe attendere un tempo infinito prima di tornare su se stesso

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128 iterazioni

256 iterazioni

8192 iterazioni

1024 iterazioni

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Il futuro del sistema è noto a priori indipendentemente dalle

condizioni iniziali: EQUILIBRIO STABILE

L’evoluzione del sistema è caoticamente imprevedibile: CAOS DETERMINISTICO

Il futuro del sistema dipende dal valore del parametro; piccole variazioni di r determinano notevoli riassestamenti

della configurazione finale: COMPLESSITA’

Variazioni del parametro non mutano la soluzione di equilibrio

asintotico data dalla: (r-1)/r

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La dinamica esposta non è peculiare della sola mappa logistica, ma è generale per

un’ampia classe di mappe unidimensionali:

tutte le funzioni continue e derivabili nell’intervallo considerato, unimodali, con un massimo di tipo quadratico.

Dinamiche simili possono sussistere in modelli differenti

in apparenza ma non nella sostanza matematica.

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L’ EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO

dipende da un insieme di parametri di controllo

Parametri di controllo

stabilità complessità caos

La dinamica di un comportamento complesso è caratterizzata da traiettorie sensibili alle

perturbazioni (variazioni del parametro di controllo)

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Esempi di applicazione della mappa logistica

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k

ck

cJ

ij ik

ij

eW

eWP

Modelli di interazione spaziale

Zona i

Zona j

ijc = costi di trasferimento

JW = attrattività della zona j

iW = attrattività della zona i

= sensibilità dell’utente a ijc

= probabilità di trasferimento dalla zona i alla zona j

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k

ck

cJ

ij ik

ij

eW

eWP

Assumendo per semplicità che: 1kW

Indicando con uj l’utilità della zona j

La si può trasformare nella probabilità che j riceva popolazione indipendentemente

dalla zona i di origine

k

u

u

j k

j

e

eP

Chiamando αj la duj /dt e assumendola costante (assumiamo

cioè che la uj cresca linearmente con il tempo)

jk

kkjjjjj PPPPP )1( discretizzando

tjtjj uu ,1,

jk

tkktjtjtjjtjtj PPPPPP .,,,,1, )1(

jk

tkktjtjjtjjtj PPPPP ,,2,,1, )1(

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Attrattore di Lorenz (1963)

bzxydt

dz

yxzrxdt

dy

x)σ(ydt

dxx)σ(y

dt

dx

yxzrxdt

dy

bzxydt

dz

Rimescolamento fluido

dT orrizzontale

dT verticale

Parametri relativi alla dinamica

atmosferica

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dtbzyxzz

dtyzxrxyy

)dtxσ(yxx

nnnnn

nnnnnn

nnnn

)(

)(

1

1

1

bzxydt

dz

yxzrxdt

dy

x)σ(ydt

dx

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Iterazione 500

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Iterazione 5.000

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Iterazione 50.000