Matematica nel campo complesso

Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di IngegneriaUniversita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universitadegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta diIngegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi GrecoDipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degliStudi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di IngegneriaUniversita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 LuigiGreco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universitadegli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematicae Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “FedericoII” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “RenatoCaccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di IngegneriaUniversita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento diMatematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli“Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni“Renato Caccioppoli” Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” AnnoAccademico 2008-2009 Luigi Greco Dipartimento di Matematica e Applicazioni “Renato Caccioppoli”Facolta di Ingegneria Universita degli Studi di Napoli “Federico II” Anno Accademico 2008-2009 Luigi

2. GENERALITA SUI SEGNALI 115

che equivalentemente si scrivono

(1.18) ak = ck + c!k , bk = j (ck ! c!k) .

L’ortogonalita del sistema esponenziale e immediata:

( ej k !0 t, ej h !0 t) =! "

0ej k !0 t ej h !0 t dt

=! "

0ej k !0 t e!j h !0 t dt =

! "

0ej (k!h) !0 t dt

e l’ultimo integrale e nullo per la periodicita dell’esponenziale, se k "= h.

2. Generalita sui segnali

Un segnale e una funzione di variabile reale

x : t # E $ R %& x(t) # C .

In molte questioni, e comodo considerare segnali definiti q.o. Definiamo va-rie operazioni sui segnali; le illustrazioni grafiche saranno date supponendo isegnali reali.

Dato t0 # R, il segnale t %& x(t ! t0) si dice traslato del segnale x(t):ritardato di t0 se t0 > 0, anticipato di !t0 se t0 < 0; esso e definito pert ! t0 # E. Si dice riflesso nel tempo il segnale t %& x(!t); e definito per!t # E. Il segnale t %& !x(t) si dice ribaltato; e definito in E.

x(t) x(t! t0)

t0

x(!t) !x(t)

Dato a > 0, il segnale t %& x(a t) si dice riscalato di fattore a: compressoo dilatato a seconda che sia a > 1 o 0 < a < 1; e definito per a t # E.


116 VII. ELEMENTI DI ANALISI FUNZIONALE

sin t sin 2 tsin t2

4 !

ESERCIZIO 2.1. Disegnare il diagramma di xn(t) = arctan n t, t # R, alvariare di n # N. Disegnare il diagramma del limite puntuale della successione(xn)n.

Ricordiamo che u(t) indica il gradino unitario, definito q.o. in R ponendo

u(t) =

"1 , se t > 00 , se t < 0

Dunque, per a, b # R

u(t! a) =

"1 , se t > a

0 , se t < au(b! t) =

"1 , se b > t

0 , se b < t

e, se a < b,

u(t! a)! u(t! b) =

"1 , se a < t < b

0 , se t < a e se t > b

u(t! a)

a

1

u(b! t)

b

1

Il segnale u(t!a)!u(t! b) si chiama impulso unitario rettangolare o finestrarettangolare di durata b! a e centrato in a+b

2 .

u(t! a)! u(t! b)

a b

a+b2 {

b! a

1



Il simbolo !(t) indica la finestra di durata 1 centrata in 0:

!(t) = u(t + 1/2)! u(t! 1/2) =

"1 , se ! 1/2 < t < 1/20 , se t < !1/2 e se t > 1/2

ESERCIZIO 2.2. Per a, b # R con a < b, mostrare l’uguaglianza

u(t! a)! u(t! b) = !

#

$ t! a + b2

b! a

%

& .

Osserviamo che la moltiplicazione di un segnale per u(t ! a) ha l’e"ettodi azzerarne i valori per t < a, la moltiplicazione per u(b ! t) azzera i valoriper t > b, mentre la moltiplicazione per la finestra u(t! a)! u(t! b) azzerai valori per t non appartenente all’intervallo (a, b). Ad esempio, per s # Rfissato, risulta

(2.1) !(t) !(t! s) =

'()

(*

0 , se s < !1 , o s > 1 ,

u(t + 1/2)! u(t! s! 1/2) , se ! 1 < s < 0 ,

u(t! s + 1/2)! u(t! 1/2) , se 0 < s < 1 .

t

!(t)

! 12

12

!(t! s)

s < !1

ss! 12 s+ 1

2

1

t

!(t)

! 12

12

!(t! s)

0 < s < 1

ts! 12 s+ 1

2

1

t

!(t)

! 12

12

!(t! s)

!1 < s < 0

ss! 12 s+ 1

2

1

t

!(t)

! 12

12

!(t! s)

s > 1

ss! 12 s+ 1

2

1

Un segnale x definito q.o. in R si dice periodico di periodo ! > 0 se risulta

x(t + !) = x(t) , per q.o. t # R .

E chiaro che risulta pure x(t+k !) = x(t), per q.o. t # R, 'k # Z. Il reciprocodel periodo f = 1

" si dice frequenza ed il numero " = 2#" = 2 # f si dice

frequenza angolare o pulsazione. Se x e periodico di periodo ! , lo e anche diperiodo n ! , 'n # N; il segnale riscalato x(a t) ha periodo "

a .Un segnale x definito nell’intervallo (0, !) puo essere sempre visto come

la restrizione a tale intervallo di un segnale periodico di periodo ! ; in altritermini, x puo essere prolungato a R per periodicita con tale periodo.

Un segnale periodico puo essere visto come sovrapposizione di trasla-ti. Dato x, definiamo x0(t) = x(t) [u(t) ! u(t ! !)], che coincide con x



nell’intervallo (0, !) ed e nullo fuori di questo. Se x ha periodo ! , risultaq.o.

(2.2) x(t) =+"+

k=!"x0(t! k !) .

Notiamo che e possibile considerare in luogo di u(t)!u(t!!) qualsiasi finestrau(t! a)! u(t! a! !), a # R, di durata pari al periodo ! , cioe posto xa(t) =x(t) [u(t! a)! u(t! a! !)], risulta pure

x(t) =+"+

k=!"xa(t! k !) .

Inversamente, assegnato x0 q.o. su R, non necessariamente nullo fuori dell’in-tervallo (0, !), se la serie in (2.2) converge, il segnale x e periodico di periodo! : esso si chiama replica periodica di periodo ! di x0. La serie converge certa-mente se x0 e nullo fuori di un intervallo limitato (non necessariamente (0, !)),poiche in tal caso essa e in ogni punto t una somma finita, o anche se x0(t) einfinitesimo per t & () di ordine abbastanza grande.

ESEMPIO 2.3. Consideriamo la finestra triangolare (centrata in 0, didurata 2) #(t) rappresentata in figura:

!1 1

1

Troviamone un’espressione analitica. Evidentemente

#(t) =

'()

(*

0 , se t < !1 o t > 11 + t , se ! 1 * t < 01! t , se 0 * t < 1

!1 1

1

1 + t 1! t

Quindi possiamo scrivere

#(t) = (1+t) [u(t+1)!u(t)]+(1!t) [u(t)!u(t!1)] = (1!|t|) [u(t+1)!u(t!1)] .

Tracciamo i diagrammi delle repliche periodiche di # di periodi 2 e 1; inparticolare, quest’ultima e la funzione costante uguale a 1:



!1 1

1

!2!3 2 3

!1 1

1

!2!3 2 3

y(t)

Osserviamo che risulta

(2.3) #(t) = ! +!(t) .

Invero, essendo ! pari, abbiamo

! +!(t) =! +"

!"!(s) !(t! s) ds =

! +"

!"!(s) !(s! t) ds

e da (2.1) (scambiando il ruolo di s e t) ricaviamo

! +!(t) =

'()

(*

0 , se t < !1 , o t > 1 ,

1 + t , se ! 1 < t < 0 ,

1! t , se 0 < t < 1 .

ESEMPIO 2.4. Trasformiamo #(t) nel segnale x(t) rappresentato infigura:

!!2

32!

!2

x(t)

Abbiamo x(t) =#

2#

,t! #

#/2

-. Graficamente

1

!2!!

2

!!

t!/2

"

!

1

!2

32!

!!

t!!!/2

"

!!2

32!

t! !2

!2

!t + 32!!

2 !!

t!!!/2

"



ESERCIZIO 2.5. Dati i segnali x(t) = (1 ! t2) [u(t + 1) ! u(t ! 1)] ey(t) = (t2 ! t) [u(t)! u(t! 1)], verificare che risulta

y(t) = !14

x(2 t! 1) .

!1 1x(t)

1

!1 1! 1

4 x(t)

! 12

12

! 14 x(2t)

1

y(t)

Piu in generale, dato il trinomio a t2 + b t + c a coe$cienti reali e % =b2 ! 4 a c > 0 e detti t1 < t2 gli zeri, verificare che per il segnale

y(t) = (a t2 + b t + c).u(t! t1)! u(t! t2)

/

vale l’uguaglianza

y(t) = ! %4 a

x

,2 a t + b,

%

-.

ESEMPIO 2.6. Siano sin+ t e sin! t la parte non-negativa e la partenon-positiva di sin t, cfr. (VI.1.5).

sin+ t

! 2 ! 3 ! 4 !!!!2 !

sin! t

! 2 ! 3 ! 4 !!!!2 !

Osserviamo chesin! t = ! sin+(t! #) .

Inoltre sin+ t si ottiene come replica periodica di periodo 2 # di

(2.4) sin t.u(t)! u(t! #)

/,



sin t!u(t)! u(t! !)

"! 2 ! 3 ! 4 !!!!2 !

mentre la replica periodica di periodo # del segnale (2.4) e | sin t|.

| sin t|! 2 ! 3 ! 4 !!!!2 !

Notiamo che | sin t| si puo ottenere anche, ad esempio, come replica periodicadi periodo # di

| sin t|.u(t + #/2)! u(t! #/2)

/.

| sin t|! 2 ! 3 ! 4 !!!!2 ! !!

2!2

ESEMPIO 2.7. Fissato ! > 0, calcoliamo la replica periodica x diperiodo ! di e!|t|. Per 0 * t < ! , risulta

x(t) =+"+

k=!"e!|t!k " | =

0+

k=!"e!t+k " +

+"+

k=1

et!k "

=e!t

1! e!"+ et

,1

1! e!"! 1

-=

e!t + et!"

1! e!"

=cosh(!/2! t)

sinh !/2.

In figura e rappresentata la replica con ! = 2#.

!! ! 2 ! 3 !

1tanh !

ESERCIZIO 2.8. Sia x periodico di periodo ! , x # L1(0, !). Sotto qualeipotesi la funzione integrale F (t) =

0 t0 x(s) ds e periodica di periodo !?

Sia x un segnale positivo. Da !1 * cos t * 1 segue !x(t) * x(t) cos t *x(t), quindi il diagramma del segnale x(t) cos t e compreso tra quelli di x e delsegnale ribaltato !x: graficamente, il fattore x(t) modifica l’ampiezza delleoscillazioni di cos t. Questa operazione si chiama modulazione del segnaleportante cos t per mezzo del segnale modulante x(t). Piu in generale di cos t,si puo considerare cos("t! $), o sin("t! $).



3. Serie di Fourier

Si dice polinomio trigonometrico di ordine (minore o uguale a) n # N0

un’espressione del tipo

(3.1) pn(t) = a0 +n+

k=1

(ak cos k "0 t + bk sin k "0 t) =n+

k=!n

ck ej k !0 t ,

essendo c0 = a0 e i coe$cienti ck e c!k legati ad ak e bk dalle (1.17), ovvero(1.18), per k # N. Calcoliamo l’energia di pn; ricordando l’ortogonalita delsistema trigonometrico e del sistema esponenziale, per il teorema di Pitagoraabbiamo

-pn-22 = ! |a0|2 +!

2

n+

k=1

1|ak|2 + |bk|2

2= !

n+

k=!n

|ck|2 .

Assegnato x # L2(0, !), cerchiamo la migliore approssimazione nel sensodell’energia mediante polinomi trigonometrici. In altri termini, cerchiamo pn

in modo da minimizzare l’energia -x! pn-22.

LEMMA 3.1. L’energia e minima se e solo se i coe!cienti sono definitidalle formule

(3.2)

a0 =1!

! "

0x(t) dt ,

ak =2!

! "

0x(t) cos k "0 t dt , bk =

2!

! "

0x(t) sin k "0 t dt ,

k = 1, . . . , n, ovvero

(3.3) ck =1!

! "

0x(t) e!j k !0 t dt ,

|k| * n.Con tale scelta dei coe!cienti, x ! pn e ortogonale ad ogni elemento

ej h !0 t del sistema esponenziale, se |h| * n. Inoltre risulta

(3.4) -x! pn-22 = -x-22 ! !n+

k=!n

|ck|2 .

Dim. Sia pn il polinomio trigonometrico definito in (3.1), con i coe!cienti (3.3) e mostriamola proprieta di ortogonalita. In e"etti, usando l’ortogonalita del sistema esponenziale ericordando che gli elementi hanno tutti energia pari a ! , abbiamo

(x! pn, ej h !0 t) = (x, ej h !0 t)! ch ( ej h !0 t, ej h !0 t) = ! ch ! ! ch = 0 .

Sia ora q(t) =Pn

k=!n dk ej k !0 t un arbitrario polinomio trigonometrico di ordine n emostriamo che risulta

"x! pn"2 # "x! q"2 .


3. SERIE DI FOURIER 123

Essendo anche pn ! q un polinomio trigonometrico di ordine n, per quanto visto esso eortogonale a x! pn. Per il teorema di Pitagora, abbiamo

(3.5) "x! q"2 = "x! pn"2 + "pn ! q"2 = "x! pn"2 + !nX

k=!n

|ck ! dk|2 .

Il primo termine nell’ultimo membro non dipende dalla scelta di q. Il secondo termine echiaramente non-negativo e nullo se e solo se q = pn, mostrando evidentemente che pne l’unico polinomio che rende minima l’energia. Infine, scegliendo invece q = 0 in (3.5)otteniamo la (3.4):

"x"22 = "x! pn"22 + !nX

k=!n

|ck|2 .

Notiamo che i coe$cienti definiti in (3.2) e (3.3) non dipendono da n.Consideriamo le serie

(3.6) a0 ++"+

k=1

(ak cos k "0 t + bk sin k "0 t) =+"+

k=!"ck ej k !0 t ,

che si dicono serie trigonometrica e serie esponenziale di Fourier di x. Ilpolinomio trigonometrico pn e la somma parziale n-sima. La minimalita dipn consente di ottenere il seguente risultato.

TEOREMA 3.2. Ogni x # L2(0, !) e somma della sua serie di Fouriernel senso dell’energia:

(3.7) x(t) = a0 ++"+

k=1

(ak cos k "0 t + bk sin k "0 t) =+"+

k=!"ck ej k !0 t .

Esplicitamente, la convergenza delle serie vuol dire che risulta

(3.8) limn-x! pn-2 = 0 .

Noi ci limitiamo ad osservare che, se per x # L2(0, !) vale la (3.7) per certicoe$cienti ak, bk e ck, questi sono dati necessariamente dalle (3.2) e (3.3). Ine"etti, ad esempio, dall’uguaglianza

x(t) =+"+

k=!"ck ej k !0 t

nel senso dell’energia, moltiplicando scalarmente ambo i membri per ej h !0 t,con h # Z fissato, per la continuita del prodotto scalare e l’ortogonalita delsistema esponenziale, abbiamo

(x, ej h !0 t) =

3+"+

k=!"ck ej k !0 t, ej h !0 t

4=

+"+

k=!"ck( ej k !0 t, ej h !0 t) = ch !

e quindi otteniamo la (3.3) con h in luogo di k.



Da (3.4) e (3.8) segue

(3.9) -x-22 = ! |a0|2 +!

2

+"+

k=1

1|ak|2 + |bk|2

2= !

+"+

k=!"|ck|2 ,

che prende il nome di uguaglianza di Parseval. Essa implica che

(3.10) limk#+"

ak = limk#+"

bk = limk#$"

ck = 0 .

L’uguaglianza di Parseval (3.9) si generalizza come segue. Se oltre alla (3.7)vale la seguente

y(t) =+"+

k=!"dk ej k !0 t

nel senso dell’energia, risulta

(3.11) (x, y) = !+"+

k=!"ck dk .

3.1. Osservazioni. Ricordiamo che L2(0, !) . L1(0, !), essendo l’in-tervallo limitato. Le formule (3.2) e (3.3) hanno significato anche per x #L1(0, !), poiche i fattori per cui e moltiplicato x nei rispettivi integrandi sonolimitati. Se x "# L2(0, !), viene meno la convergenza nel senso dell’energia delteorema 3.2. Dato x # L1(0, !), si usa la notazione

x / a0 ++"+

k=1

(ak cos k"0t + bk sin k"0t)

per indicare che la serie a destra e la serie trigonometrica di Fourier di x, cioei coe$cienti sono definiti dalle (3.2); non e supposto alcun tipo di convergenzaper la serie.

Sia x # L1(0, !) un segnale periodico di periodo ! ; in questo paragrafofacciamo alcune osservazioni sui coe$cienti della serie di Fourier. Se saranecessario far riferimento esplicito al segnale, indicheremo i coe$cienti conak[x], bk[x], ck[x].

(1) Per la periodicita, possiamo sostituire nelle formule (3.2) e (3.3) all’in-tervallo (0, !) un qualsiasi intervallo (a, a + !) di ampiezza pari a ! , cioe



risulta

a0 =1!

! a+"

ax(t) dt ,

ak =2!

! a+"

ax(t) cos k "0 t dt , bk =

2!

! a+"

ax(t) sin k "0 t dt , k # N ,

ck =1!

! a+"

ax(t) e!j k !0 t dt , k # Z .

(2) In particolare, possiamo scegliere l’intervallo (!!/2, !/2). E chiaro allorache, se x e pari, sono nulli tutti i coe$cienti bk e la serie di Fourier e in solicoseni, cioe si riduce a

a0 ++"+

k=1

ak cos k "0 t ;

se x e dispari, sono nulli tutti i coe$cienti ak e la serie di Fourier e in soliseni, cioe si riduce a

+"+

k=1

bk sin k "0 t .

(3) I coe$cienti dipendono linearmente da x, cioe, se x e y sono due segnalisommabili su (0, !) e % e & sono due costanti, risulta 'k # Z

ck[% x + & y] = % ck[x] + & ck[y] .

(4) I coe$cienti sono infinitesimi, cioe valgono le (3.10). Se x "# L2(0, !),queste non seguono come prima, non valendo l’uguaglianza di Parseval, masono conseguenza del

TEOREMA 3.3 (di Riemann-Lebesgue). Se x # L1(a, b), con (a, b)intervallo limitato o non limitato di R, risulta

(3.12) lim!#$"

! b

ax(t) ej ! t dt = 0 .

Chiaramente in (3.12) e " # R.(5) Se x e assolutamente continuo su [0, ! ], per la periodicita troviamo a0[x%] =c0[x%] = 0 e per k "= 0, calcolando per parti gli integrali (3.2) e (3.3),

ak[x%] = k"0 bk[x] , bk[x%] = !k"0 ak[x] , ck[x%] = jk"0 ck[x] ,

ovvero

x% /+"+

k=1

(!k"0 ak sin k"0t + k"0 bk cos k"0t)



che mostra che la serie di Fourier puo essere derivata termine a termine. Perk "= 0 possiamo anche scrivere

(3.13) ck[x] =ck[x%]j k "0

.

In particolare, essendo x% # L1(0, !), ck[x%] e infinitesimo e quindi ck[x] =o(1/k). Le considerazioni precedenti si iterano; ad esempio, se x e di classeCn!1(R) con x(n!1) assolutamente continua, risulta ck[x] = o(k!n).(6) Siano a e b numeri reali, non entrambi nulli: esiste quindi $ # R tale che

cos $ =a,

a2 + b2, sin$ =

b,a2 + b2

.

Dunque, per % # R,

a cos % + b sin% =5

a2 + b2 (cos $ cos % + sin$ sin%) =5

a2 + b2 cos(%! $) .

E chiaro che questa uguaglianza vale ('$ # R) se a = b = 0.Sia x un segnale reale. Procediamo in questo modo con ciascun termine

della serie trigonometrica di Fourier. Posto A0 = a0 e Ak =5

a2k + b2

k, k # N,possiamo pertanto scrivere la serie come segue

+"+

k=0

Ak cos(k "0 t! $k) .

(7) Se la serie numerica+"+

k=1

1|ak| + |bk|

2

converge, la serie trigonometrica converge totalmente, la sua somma e conti-nua in R e coincide con x(t) per q.o. t # R.

3.2. Convergenza puntuale della serie di Fourier. Il teorema 3.2mostra la convergenza della serie di Fourier nel senso dell’energia. Per quantoriguarda la convergenza puntuale, ci limitiamo ad enunciare il seguente

TEOREMA 3.4. Sia x periodico e C1 a tratti in R. La serie di Fourierdi x converge in ogni punto t0 # R, la somma essendo

(3.14)x(t0!) + x(t0+)

2.

In particolare, la somma e x(t0) se t0 e un punto di continuita.

Il segnale C1 a tratti x si dice regolarizzato, se x(t0) uguaglia la quantitain (3.14), 't0 # R. In tal caso, in ogni punto la somma della serie di Fouriercoincide con il valore del segnale.



3.3. Esempi.

ESEMPIO 3.5. Scriviamo la serie di Fourier del segnale x periodico diperiodo 2 # tale che

(3.15) x(t) =

"1 , se 0 < t < #

!1 , se # < t < 2 #

!! ! 2 ! 3 !

1

!1

Essendo il segnale dispari, risulta

ak = 0 , 'k # N0 ,

mentre

bk =1#

! #

0sin k t dt! 1

#

! 2 #

#sin k t dt =

')

*0 , per k pari,4

k #, per k dispari.

Inoltre, 'k # Z,

ck =

')

*0 , per k pari,

2j k #

, per k dispari.

Pertanto

x(t) =4#

+"+

k=1

12 k ! 1

sin(2 k ! 1) t =2

j #

+"+

k=!"

12 k ! 1

ej (2 k!1) t .

Questa uguaglianza vale nel senso dell’energia. Se

x(k #) = 0 =x(k #!) + x(k #+)

2, 'k # Z ,

l’uguaglianza vale anche in senso puntuale, 't # R. Riportiamo qui di seguitoi diagrammi dei primi polinomi trigonometrici di Fourier xn di x:

!! ! 2 ! 3 !

x1(t) =4!

sin t

!! ! 2 ! 3 !

x5(t) =4!

sin t +4

3 !sin 3 t +

45 !

sin 5 t

!! ! 2 ! 3 !

x9(t) =4!

sin t +4

3 !sin 3 t +

45 !

sin 5 t +4

7 !sin 7 t +

49 !

sin 9 t

!! ! 2 ! 3 !

x3(t) =4!

sin t +4

3 !sin 3 t

!! ! 2 ! 3 !

x7(t) =4!

sin t +4

3 !sin 3 t +

45 !

sin 5 t +4

7 !sin 7 t

!! ! 2 ! 3 !

x11(t) =4!

sin t +4

3 !sin 3 t +

45 !

sin 5 t +4

7 !sin 7 t +

49 !

sin 9 t +4

11 !sin 11 t



ESEMPIO 3.6. Scriviamo la serie di Fourier del segnale periodico diperiodo ! tale che

(3.16) x(t) = t , 0 < t < ! .

Il diagramma di x(t) e tracciato in figura (dente di sega):

! 2! 3!!!

!

Valutiamo esplicitamente gli integrali (3.2) con x(t) = t, per 0 < t < ! :

a0 =1!

! "

0t dt =

!

2( =

1!0 area triangolo) .

Per k # N abbiamo

ak =2!

! "

0t cos k "0 t dt =

!

2 #2

! 2#

0s cos k s ds

con la sostituzione "0 t = s. Inoltre, integrando per parti! 2#

0s cos k s ds =

1k

.s sin k s

/2#

0! 1

k

! 2#

0sin k s ds = 0

e quindi ak = 0. Con analoghi calcoli, troviamo

bk =!

2 #2

! 2#

0s sin k s ds = !1

k

.s cos k s

/2#

0

!

2 #2= ! !

k #.

Pertanto, nel senso dell’energia (cioe in L2(0, !)), risulta

(3.17) x(t) =!

2!

+"+

k=1

!

k #sin k "0 t .

Notiamo che l’uguaglianza ak = 0, per k # N, segue facilmente se osserviamoche il segnale x(t)! !/2 e dispari e la sua serie trigonometrica di Fourier (chee quindi di soli seni) di"erisce solo per il termine costante da quella di x:

ak[x(t)! !/2] = ak[x(t)]! ak[!/2] = ak[x(t)]! 0 , k # N .

Riportiamo qui di seguito i diagrammi dei primi polinomi trigonometrici diFourier xn di x, cioe le somme parziali della serie (3.17):

Matematica nel campo complesso

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