Chimica fisica superiore

Modulo 1

Recupero di matematica

Sergio Brutti

Numeri complessi

Un numero complesso è una espressione matematica

costituita da 3 elementi (2 numeri reali a,b e l’unità

immaginaria i:

definizione

12

i

ibaz

bzaz ImRe

Algebra di base

Dati due numeri complessi:

idcvibaz

Somma o sottrazione:

dbicaidcibavz

Prodotto:

bccdibdac

bdiibcicdacidcibavz

2

Complesso coniugato

Dato un numero complesso

ibaz Il suo complesso coniugato è:

zz

zzibaibaz

ImIm

ReRe

Che gode delle seguenti proprietà:

222

2

2

zbazz

ibzz

azz

Rapporto tra numeri complessi

Dati due numeri complessi:

idcvibaz

Il rapporto tra i due è pari a:

2222 dc

adbcibdac

dc

idciba

v

z

idc

idc

idc

iba

idc

iba

v

z

Diagramma di Argand

E’ utile rappresentare un numero complesso z come un

punto su un piano bidimensionale detto di Argand

nel quale l‘asse x riporta Re(z) e l’asse y Im(z)

ibaz

Im(z

)

Re(z)

θ

b

a

Diagramma di Argand

Dato il numero complesso z rappresentato su un

diagramma di Argand si definiscono:

r modulo, ampiezza o

magnitudine del numero

complesso

θ argomento o fase del

numero complesso

ab

bar

rb

ra1

222

tansin

cos

Esponenziale immaginario

L’esponenziale dell’unità immaginaria è possibile

esprimerlo come:

sincos iei Le definzioni trigonometriche dell’ampiezza e della fase

di un numero immaginario consentono di scrivere:

ieriribaz sincos

Che implica:

*11

*

11

2*

11

*

11

2

1

2

12121

;*11

2121

rrrerrzz

er

r

z

zerrzz

i

ii

Teorema di De Moivre

Utilizzando utili funzioni trigonometriche è possibile

dimostrare che

mimi

eeziez

m

immimi

sincossincos

sincos

Considerando il complesso coniugato di z:

È possibile scrivere:

sincos* iez i

2cos

2sin

iiii ee

i

ee

Numeri complessi

ESERCIZI

x

y

z

O

Equazione di un vettore

Vettore

Dato un qualunque punto di uno spazio vettoriale cartesiano (con

versiori x,y,z) definito da una terna di coordinate (a,b,c) si definisce

vettore applicato all’origine (O) il segmento orientato che congiunge

O a (a,b,c).

b

a

c

Vettore

Equazione di un vettore

Modulo di un vettore

zcybxav

222 cbav

Distanza tra l’origine e il

vertice del vettore

Vettori come matrici

Vettore-riga (o vettore colonna)

Una matrice definita da una sola riga (o colonna) ovvero di

dimensione 1xN (o Nx1) viene detta vettore-riga o vettore-colonna. I

vettori del campo dei numeri reali definiti da uno spazio vettoriale

cartesiano vengono rappresentati come vettori-colonna

Equazione di un vettore

Descrizione con un vettore-colonna

zcybxav

c

b

a

Somma tra vettori

Dati due vettori u e v di equazione

Descritti dai seguenti vettori-colonna

Si definisce somma tra vettori la seguente operazione elementare:

zcybxav

c

b

a

v

zcybxau

c

b

a

u

cc

bb

aa

zccybbxaavuw

Il risultato è un nuovo vettore w con un diverso modulo, direzione

e verso.

Prodotto di uno scalare per un vettore

Dato un vettori v e uno scalare l

Il prodotto dello scalare per il vettore definisce un nuovo vettore k

dato da:

zcybxav

c

b

a

v

l

l

l

lllll

c

b

a

c

b

a

zcybxavk

Prodotto scalare tra vettori

Dati due vettori u e v di equazione

Descritti dai seguenti vettori-colonna

Il prodotto scalare tra i due vettori è dato da:

zcybxav

c

b

a

v

zcybxau

c

b

a

u

vuvuvug

ccbbaavug

,cos

Le due operazioni sono equivalenti e il risultato è lo scalare g.

Vettori

ESERCIZI

Determinanti: metodo dei minori

Data una matrice n x n con elementi xij

Il suo determinante sarà dato dalla somma dei determinanti di tutti i suoi

minori (n-1) x (n-1) ottenuti cancellando ciascun elemento x1j’ della riga

1 (e la corrispondente colonna j’) e moltiplicati per (-1)1+j’x1j’

nnnn

n

n

xxx

xxx

xxx

A

21

22221

11211

Con i numero di riga e j

numero di colonna

11

1221

1

1

1

221

12

21

2

222

11

11det1det1det1det

nnn

n

n

n

nnn

n

nnn

n

xx

xx

x

xx

xx

x

xx

xx

xA

Matrici e determinanti

Data una matrice 2x2

Il suo determinante sarà dato dal prodotto a croce tra i suoi elementi

2221

1211

xx

xxB

211222112112

21

2211

1111det xxxxxxxxB

Nel caso di una matrice 3x3:

yxyxzzxzxyzyzyx

yx

yxz

zx

zxy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

det1det1det1det312111

Matrice trasposta

Data una matrice 2x2

La sua matrice trasposta si otterrà scambiando le righe con le colonne

dc

ba

db

ca

Nel caso di una matrice 3x3 il meccanismo è lo stesso:

zzz

yyy

xxx

zyx

zyx

zyx

trasposta

Matrice identità – definizione e proprietà

Si definisce matrice identità una matrice n x n i cui elementi sono

tutti nulli tranne quelli giacenti sulla diagonale principale. Questi

ultimi sono tutti unitari.

La matrice identità gode di alcune proprietà particolari:

10

01

0110

01det

Il suo determinante

è unitario

100

010

001

100

010

001

trasposta

100

010

001

La sua matrice trasposta è

sempre pari alla matrice identità

Prodotto vettoriale tra vettori

Dati due vettori u e v di equazione

Descritti dai seguenti vettori-colonna

Il prodotto vettoriale tra i due vettori è dato dal determinante della seguente

matrice 3x3:

zcybxav

c

b

a

v

zcybxau

c

b

a

u

cba

cba

zyx

vuw

det

Il risultato è un nuovo vettore che non appartiene allo spazio

vettoriale di partenza

Prodotto vettoriale tra vettori

Dati due vettori nello spazio cartesiano

Di norma (modulo) pari a:

Il modulo del vettore ottenuto dal prodotto vettoriale dei due vettori è dato da

zcybxav zcybxau

vuw

In cui a è l’angolo formato dalle due direzioni/versi di applicazione

dei due vettori.

222 cbav 222 cbau

asenvuw

Similmente a quanto accade per il prodotto scalare anche nel caso del

prodotto vettoriale le due formule che consentono di ricavarne il risultato

consentono di ottenere indirettamente l’angolo tra i 2 vettori.

Matrici

ESERCIZI 1

Prodotto tra matrici

Date 2 matrici 2x2

Il prodotto delle due matrici produce una nuova matrice con un numero

di righe pari al numero di righe della matrice 1 e numero di colonne pari

al numero di colonne della matrice 2.

Il prodotto tra matrici è possibile solo se il numero di colonne della

matrice 1 corrisponde al numero di righe della matrice 2.

dc

ba

hdfcgdec

hbfagbea

hg

fe

Ciò che si fa è una somma di prodotti riga-colonna

.........

......'

...''''

'''

'''

'

'

'

edbd

eaadeaad

eee

ddd

cc

bb

aa

Prodotto tra matrici

Date 2 matrici non quadrate in cui il numero delle righe della matrice 1

corrisponde al numero delle colonne della matrice 2.

cc

bb

aa

eee

ddd

'

'Il prodotto delle due matrici è

ecdceccdeacd

ebdbebbdebbd

eadaeaadeaad

'''''

'''''

'''''

La matrice finale è una matrice quadrata (sempre) che ha come numero

di righe e colonne il numero di righe della matrice 1 (o il numero di

colonne della matrice 2)

Matrice inversa

Si definisce matrice inversa di una matrice quadrata n x n, una

diversa matrice quadrata di dimensioni n x n che moltiplicata

per la matrice di partenza produce come matrice risultante la

matrice identità

ac

bd

AA

dc

baA

det

11

100

010

001

'''

'''

'''

'''

'''

'''

fff

eee

ddd

ccc

bbb

aaa

In generale non esiste un algoritmo semplice che consente di

calcolare quando esiste l’inversa di una data matrice.

Esistono algoritmi non banali come quello dei “cofattori” o il

“Gauss-Jordan”.

Secondo il metodo dei cofattori per le matrici 2x2 (e solo per esse)

vale:

Matrice inversa – metodo dei cofattori

Data una matrice quadrata i x j

ji,A,minordet1, , ji

jixAcof

jii

j

xx

xx

A

,1,

,11,1

La sua matrice inversa è data da:

T

jii

j

xAcofxAcof

xAcofxAcof

AA

,1,

,11,1

1

,,

,,

det

1

In cui det(A) è il determinante della matrice A, T indica l’operazione di

trasposizione e cof(A,xi,j) è definito dalla seguente relazione:

det(minor(A,i,j)) è il determinante del minore della matrice A

ottenuto cancellando la riga i e la colonna j.

Matrici

ESERCIZI 2

Serie di Fourier

Una qualunque funzione f(x) può essere rappresentata in

espansione di Taylor purchè la funzione f(x) sia differenziabile n-

volte :

!

.....)(

0

2

02010

n

xfa

xxaxxaaxf

n

n

Nel caso in cui f(x)=g(x) sia una funzione periodica l’espansione

di Taylor non è adeguata a rappresentarla. In questo caso è

preferibile sfruttare l’espansione in serie di Fourier:

....2sinsin........

.....2coscos2

)(

21

210

xbxb

xaxaa

xg

Serie di Fourier

La funzione g(x) di periodo 2π/ω è quindi rappresentabile da un

somma di termini in seno e coseno (armoniche) a meno delle

costanti an, bn e ω.

E’ possibile dimostrare che i coefficienti dell’espansione in serie di

Fourier possono essere determinati mediante le seguenti

equazioni:

N

n

n

N

n

n xnbxnaa

xg11

0 sincos2

)(

2

0

2

0

sincos dxxnxfbdxxnxfa nn

Da cui si deduce che una funzione è espandibile in serie di

Fourier se è integrabile e continua entro il periodo.

Serie di Fourier

La forma più compatta con cui viene indicata l’espansione in serie

di Fourer incorpora la descrizione delle funzioni seno e coseno

mediante l’esponenziale immaginario:

I cui coefficienti sono legati all’espansione in armoniche mediante:

n

xin

necxg )(

Il vantaggio dell’espansione esponenziale è che essa consente

una generalizzazione dell’espansione di Fourier per funzioni non

periodiche continue. Per esse infatti:

nnnnnn ccibcca

deFxf xi)(

Trasformata di Fourier

Data un’espansione di Fourier nel suo limite al continuo descritta

da:

deFxf xi)(

La funzione dei coefficienti F(x) è data da:

dxexfF xi

2

1)(

La funzione F(x) è definita la TRASFORMATA DI FOURIER di

f(x).

Al contrario f(x) è l’anti-trasformata (o trasformata inversa) di

Fourier di F(x).

Trasformata di Fourier: esempio

Consideriamo quale è la trasformata di fourier di una costante

dxekdxekdxexfF xixixi

2

1

2

1

2

1)(

L’integrale di un esponenziale immaginario è una quantità nota:

badxe ba

xbai

,2

1

Pari alla funzione delta di Dirac per (a-b) che è sempre nulla

tranne per a=b valore per il quale vale 1. Dalla precende:

,2

1

2

1)( kk

kix

k

xi

e

kdxe

e

kdxekF

Trasformata di Fourier: esempio

In termini cartesiani:

kxf ,)( kke

kF

f(x

)

x

k

F(x

)

ω k

k/ek

Trasformata di Fourier: esempio

Consideriamo quale è la trasformata di fourier della funzione

cos(x)

dxeaxdxeaxdxexfF xixixi cos

2

1cos

2

1

2

1)(

Ricordando le formule di Eulero:

Da cui:

dxe

eedxeaxF xi

iaxiaxxi

22

1cos

2

1)(

,,2

1

4

1)( aa

aixaix dxeeF

Trasformata di Fourier: esempio

In termini cartesiani:

axxf cos

f(x

)

x

F(x

)

ω a/2

,,2

1)( aaF

-a/2

a

4π/a

La trasformata di Fourier è una sorta di “spettro” dell’oscillazione

periodica di f(x).