NUMERI COMPLESSI

E DINTORNI

NUMERI REALI

• L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma, la differenza, il prodotto e il quoziente di 2 numeri reali è un numero reale.Non vale il viceversa!

2

NUMERI COMPLESSI

• Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo.

• Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

3

1xx

12 i

NUMERI COMPLESSI

• Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo:

• L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.

4

biaz

NUMERI COMPLESSI• Siano dati due numeri complessi

• SOMMA:

• DIFFERENZA:

• PRODOTTO:

5

biaz dicv

idbcaidcibavz )()()()(

idbcaidcibavz )()()()(

icbdadbca

idbicbidacaidcibavz

)()(

)()( 2

NUMERI COMPLESSI

Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero:

• Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):

6

dicv v

v

vdcdicdicvv 22)()(

NUMERI COMPLESSI• QUOZIENTE:

7

iv

dacb

v

dbca

idc

dacb

dc

dbca

idc

idc

idc

ibaidcibavz

2222

)()(

COORDINATE POLARI• P ha coordinate cartesiane (1, 1)

Le coordinate polari di P sono:

Nell’esempio:

8

O

P

1P

2P

x 1Px

1Py

4

2

y

)4

,2(,

OP POxasse ˆ

COORDINATE POLARI

• Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto:

• si osservi che:

9

cosx siny

22 yx

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

• Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.

10

O

P

1P

2P

x axP

y

byP

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

• Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:

11

)sin(cossincos iiibaz

O

P

1P

2P

x axP

y

byP

RICORDI DI TRIGONOMETRIA

• Formule di somma e sottrazione:

sincoscossinsin

sincoscossinsin

sinsincoscoscos

sinsincoscoscos

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

• Dato il numero complesso z:

e il numero complesso v :

Il prodotto tra z e v è:

13

)sin(cossincos iiibaz

)sin(cossincos iiidcv

)sin()cos(

sincoscossinsinsincoscos

)sin(cos)sin(cos

i

i

iivz

COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI

• In particolare se z=v si ottiene:

e in generale:

Sono util le Formule di De Moivre:

14

2sin2cos22 iz

ninz nn sincos

tite

titeti

ti

sincos

sincos