1 I NUMERI IMMAGINARI I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per...

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I NUMERI IMMAGINARI

I numeri immaginari sono un'estensione dei numeri reali nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle equazioni polinomiali. Ad esempio, l'equazione

X2 + 1 = 0

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

X2 + 1 = 0

X2 = -1

2

L’unità immaginaria (in matematica)

Si definisce:

i = unità immaginaria,

(è un nuovo numero!!)

è il numero che non esisteva tra i numeri REALI e che permette di calcolare le radici quadrate dei numeri negativi!!

.

1 - i

i2 = -1

3

L’unità immaginaria (in elettrotecnica)

Si definisce:

j = unità immaginaria

j2 = -1

1 - j

4

I NUMERI COMPLESSI

a = parte realeb = coefficiente parte

immaginaria( x = parte realey = coefficiente parte

immaginaria)• a, b, x, y sono tutti

numeri reali!!

I numeri complessi sono formati da due parti, una

parte reale ed una

parte immaginaria, e sono rappresentati dalla seguente espressione:

a + j b oppure

x + j y

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RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICA

NUMERI COMPLESSI • diagramma di Argand – Gauss

• I due numeri

Sono chiamati complessi coniugati.

Cambia solo il segno della parte immaginaria!!

zz ,

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DIAGRAMMA DI GAUSSSIGNIFICATO DEI SIMBOLI

z = numero complesso

x = parte reale (ascissa di z)

y = parte immaginaria (ordinata di z)

r =z = modulo di z (è la lunghezza del vettore che parte dall’origine e arriva a z)

angolo formato tra il vettore “r” e il verso positivo delle ascisse (è chiamato “fase” o “argomento”)

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RELAZIONI TRA I SIMBOLI DI UN NUMERO COMPLESSO

x = r cos ()

y = r sen ()

r2 = x2 + y2

yxr 22

)()cos()(

)cos()(

tgsen

rsenr

xy

)(xy

arctg

8

ESEMPI DI CALCOLO

Passaggio da numero complesso a modulo e fase

z = x + jy = 3 + j 4Modulo:

r2 = x2 + y2 = 9 + 16 =25

r = 5

Fase: = arctg (y/x) = arctg (4/3) = arctg(1,25)

= 51,34 °

9

ESEMPI DI CALCOLO

Passaggio da numero complesso a modulo e fase (complesso coniugato)

= x - jy = 3 - j 4Modulo:

r2 = x2 + y2 = (3)2 +(- 4)2 =25; r = 5

Fase: = arctg (y/x) = arctg (- 4/3) = arctg(- 1,25)

= - 51,34 °

Nota: cambia solo la fase

z

10

ESEMPI DI CALCOLO: 2° quadrante

z = - 3 + j 10Modulo:

r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (10)2

r2 = 9 + 100 = 109

r = 10,44

Fase: = arctg (y/x)

= arctg [10/(- 3)] = arctg(- 3,33)

= - 73,28°

= 180° - = 180° - 73,28°

= 106,72°Re

Im

+ j 10

- 3

z

r

-

11

ESEMPI DI CALCOLO : 4° quadrante

z = 3 - j 10Modulo:

r2 = x2 + y2 = (3)2 + (-10)2

r2 = 9 + 100 = 109

r = 10,44

Fase: = arctg (y/x)

= arctg [(-10)/ 3] = arctg(- 3,33)

= - 73,28°

Nota: negli ultimi due esempi cambia solo la fase ( si calcola sempre con il verso positivo dell’asse reale)

Re

Im

- j 10

3

z

r

12

ESEMPI DI CALCOLO : 3° quadrante

z = - 3 - j 10Modulo:

r2 = x2 + y2 = (-3)2 + (-10)2

r2 = 9 + 100 = 109

r = 10,44

Fase: = arctg (y/x) = arctg [(-10)/(- 3)] = arctg( 3,33)

= 73,28° = - (180° - ) = - 180° + 73,28° = - 106,72°

Re

Im

- j 10

- 3

z

r

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LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSI

SOMMA

z1 = x1+jy1

z2 = x2+jy2

z1+ z2 = (x1+jy1)+(x2+jy2)

z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2)

Per effettuare la somma di due numeri complessi, come z1 e

z2, si sommano tra loro le parti reali (x1+x2) e le parti immaginarie (y1+y2)

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LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIsignificato geometrico della somma

x

y

z1

z2

z1+z2

x1 x2x1+x2

y1

y2

y1+y2

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Per effettuare la differenza di due numeri complessi, come z1 e z2, si sottraggono tra loro le parti reali (x1-x2) e le parti immaginarie (y1-y2)

DIFFERENZA

z1 = x1+jy1

z2 = x2+jy2

z1- z2 = (x1+jy1)-(x2+jy2)

z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2)

16

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIsignificato geometrico della differenza

y z1

z2

z1- z2

xx1- x2

y1- y2

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SOMMA

z1 = x1+jy1= 2 + j 5

z2 = x2+jy2= 8 + j 2

z1+ z2 =(x1+x2) + j(y1+y2)

z1+ z2 =(2+8)+j(5+2)

z1+ z2 = 10+j7

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIEsercizi

DIFFERENZA

z1 = x1+jy1= 2 + j 5

z2 = x2+jy2= 8 + j 2

z1- z2 =(x1-x2) + j(y1-y2)

z1- z2 =(2-8) + j(5-2)

z1- z2 = - 6 + j3

18

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIgrafici degli esercizi precedenti

SOMMA

x

y

z1

z2

z1+z2

2 8 10

j 5

j 2

j 7

19

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIgrafici degli esercizi precedenti

DIFFERENZA

Im

z1

z2

z1- z2

8- 6 2

j 5

j 2j 3

- z2

Re

20


PRODOTTO

z1 = x1+jy1; z2 = x2+jy2

z1 * z2 = ( x1 + jy1 ) * ( x2 + jy2 )

z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + jy1*jy2)

z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + j2 y1*y2)

z1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 + (-1)* y1*y2)

Continua /….

21


PRODOTTOz1 * z2 = (x1*x2 + x1*jy2 + jy1*x2 - y1*y2)

z1 * z2 = (x1*x2 - y1*y2) + j (x1*y2 +y1*x2)

Esempio:

z1 = x1+ j y1 = -3+j4; z2 = x2+ j y2 = 5 – j 7

z1 * z2 = (-3+j4)*(5 – j 7) =

=(-3)*5+(-3)*(- j7)+j4*5+j4*(-j7)= -15+j21+j20+28=

= -15+28+j(21+20)=13+j41

Parte reale Parte immaginaria

22


DIVISIONE O FRAZIONE

Il risultato della divisione tra due numeri complessi è un altro numero complesso,

quindi con una parte reale ed una immaginaria.

Per ottenere questo risultato occorre effettuare una operazione chiamata

“razionalizzazione”.

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z1 = x1+jy1; z2 = x2+jy2

L’operazione di razionalizzazione consiste nel moltiplicare e dividere per una stessa quantità la frazione da calcolare. Tale quantità è uguale al denominatore della frazione con il segno della

parte immaginaria cambiata

yjx

yjxyjx

yjxyjx

yjxzz

22

22

22

11

22

11

2

1

24



yjx

yjxyjx

yjxyjx

yjxzz

22

22

22

11

22

11

2

1

)()(

)()(yjxyjx

yjxyjxyjx

yjx

zz

2222

2211

22

11

2

1

)]()([

)]()(yjyjxyjyjxxx

yjyjxyjyjxxx

zz

22222222

21212121

2

1

25


)(

])(yyxx

yxxyjyyxx

zz

2222

21212121

2

1

)(

)()(22

22

21212121

2

1

yx

yxxyjyyxx

zz


)(

)(

)(

)(22

22

212122

22

2121

2

1

yx

yxxyj

yx

yyxxzz

Parte reale Parte immaginaria

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LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIESERCIZI


10

7

10

11

20

14

20

2220

206

20

1012

20

1020612416

25452343

24

24

24

53

24

53

24

53

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

jjzz

jjj

zz

jjjj

zz

jj

jj

jj

zz

jz

jz

)()()()()()(

)()(

)()(

;

;

27

LE OPERAZIONI CON I NUMERI COMPLESSIESERCIZIO IMPORTANTE !!!!!

jj

da

jj

jj

jj

j

j

j

jjzz

jzz

jz

z

1

1

11

1

1

22

1

2

1

2

1

!!ricordare!

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