Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi Luca DAcci.
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Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Luca D’Acci
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Equazioni ricorsive
1 ( )t tx f x 100 )( xxfx
211 )( xxfx
322 )( xxfx
nnn xxfx )( 11
.
.
.
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Rappresentazione grafica
x
y
)(xfy 0x
0x
)( 0xf 1x
)( 0xf
1x)( 0xf
1x1 ( )t tx f x
Se è un’equazione ricorsiva:
)( 1xf
)( 1xf 2x
1x
2x
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
y
0x
)( 0xf
x
y x=y
0x
)( 0xf
1x
Generica funzione
Retta bistettrice x=y
Parto da un valore iniziale 0x
Calcolo la )( 0xfReitero la nuova 1x
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
y
0x
)( 0xf
x
y x=y
0x
)( 0xf
1x
Che graficamente equivale a
1x
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
y
0x
0( )f x1x
1( )f x2x
)( 2xf
3x
Percorso curva–bisettrice
curva f(x)bisettrice
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
y = rx(1-x)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
la scriviamo come
y = rx-rx2y = rx(1-x)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
y = rx-rx2y = rx-rx2parabola…
y = rx-rx2… verso il basso
che graficamente è una:
y = rx-rx2di h r
x
y
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
y = rx (1-x)
tasso di crescitaxt+1
x = popolazione al tempo t
termine correttivoxt+1=rxt(1-xt)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
La popolazione non può essere negativa
xt+1=rxt (1-xt)
0 ≤ x ≤ 1
xt+1=rxt (1-xt)
0 ≤ x0 ≤ r ≤ 4
xt+1=rxt (1-xt)xt+1=rxt (1-xt)
se r=4 quando xt=0.5
si avrebbe: xt+1= 4 ∙ 0.5 (1-0.5) = 1
quando r > 4 → xt+1 >1
xt+1=rxt(1-xt)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
xt
xt+1
10
1
r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7
xt+1=rxt(1-xt)
r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7r1 < r2 < r3 < r4 < r5 < r6 < r7
r7=4
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
0 ≤ r ≤ 4
0 ≤ x ≤ 1
I valori ammessi sono quindi:
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
per xt=0 → xt+1=0
Indipendentemente dal valore di r si ha :
xt+1=rxt(1-xt)=r0(1-0)=0
per xt=1 → xt+1=0xt+1=rxt(1-xt)=r1(1-1)=0
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Come si comporta la funzione al variare di r
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Proviamo con…
r=2
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
F(x)=rx (1-x)
r=2 ; partiamo ad esempio da x0=1/3
x1= F(x0)=2∙1/3(1-1/3)=4/9
x2= F(x1)=2∙4/9(1-4/9)=40/81
x3= F(x2)=2∙40/81(1-40/81)=3280/6561.
.
.
xn= F(xn-1)=1/2
.
.
.
0,4444….
0,5
0,5
Punto fisso
xn+1= F(xn)= 2∙1/2(1-1/2)= 1/2
0,4938….
0,4999….
0,5
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Se r=2
2/10 nxx
partendo da qualunque valore iniziale si ha lo stesso risultato
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
F(x)
x0
x0
)( 0xFx1
x1
)( 1xFx2
x2
x1
…
x2
r = 2
x = y
xn=1/2
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
F(x)
x0
r = 2
x = y
xn=1/2
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Quindi per r=2
½ è un punto fisso
attraente2/10 nxx
Tranne, come detto, per x0=0 e per x0=1
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
10 rPer
00 nxx
Quindi per 10 r
0 è un punto fisso attraente
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
x
F(x)
x0
x = y
10 r
xn=0
x0
xn=0
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
1 20 40
1
1/2
31
dominio di xdominio di r
→ xn = 010 r
31 r → xn =r
r 1
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
0 e ½ sono attrattori di
Periodo 1Perché se parto da x0 dopo
una iterazione torno ad x0
x0 x0F(x0)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
a=0.1
a=0.5
a=0.9
a=1
r
xn
0 1
0 < r < 1
x
iterazione
r=0.1
0
r=0.5
r=0.1r=0.5r=0.9r=1
Un attrattore di periodo 1 stabilizza (dopo n
iterazioni) il valore di x su un solo valore
(il punto fisso xn)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
a=1.5
a=2
a=2.5
a=2.9
a=3
r=1,5r=2 r=2,5r=2,9r=3
r
xn
0 1 2 3
0,5
r
rxr n
131
iterazione
x
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
1 20 40
1
1/2
31
xn = 0
10 r 31 r
r
rxn
1
3r 3 4
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In r=3 nasce un nuovo attrattore di
Periodo 2
x0 x1F(x0) F(x1) x0
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
si ottengono i due valori che si alternano infinitamente ad ogni iterazione quando si raggiunge il nuovo attrattore di periodo 2
r
rrrx
2
321 2
2,1
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
1
0
1
3 4
0.5
2
r
rrrx
2
321 2
1
+
r
rrrx
2
321 2
2
_
x1 x2F(x1) F(x2) x1
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Un attrattore di periodo 2 stabilizza
(dopo n iterazioni) il valore di x su due valori
(due punti periodici xn)
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
1.3r
r
xn
0 1 3
x1
x2
x1
)( 1xFx2
)( 2xFx1
)( 1xFx2
)( 2xFx1
)( 1xFx2 …∞
x
F(x)
2 valori di xn
x1
x2
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
0 1 3 4
1
1/2
0
2
3
133
1nn xr
r
rx
6
369133
2
321 2
nn xrr
rrrx
3
2
3
2r
rrrxn 2
321 2
0
2 soluzioni: 2 punti periodici
xn,1
xn,2
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
0 1 3 4
1
1/2
02
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
0 1 3 4
1
1/2
02
DA PUNTO FISSO ATTRAENTE
DIVENTA
PUNTO FISSO REPELLENTE
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Quando r raggiunge il valore
44949.361 si ha un nuovo sdoppiamento
dell’attrattore
r
xn
0 1 3 4
1
1/2
02
61
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r
xn
0 1 3 4
1
1/2
02
61
Abbiamo ora 4 valori che si alternano infinitamente su cui la x
si stabilizza dopo n iterazioni
Xn,1
Xn,2
Xn,3
Xn,4
Attrattore di periodo 4
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemix
F(x)
x1
x2
x3
x4
5.3r r
xnx1x3
4 valori di xnx4x2
x1)( 1xF x2
)( 2xF x3)( 3xF x4
)( 4xF x1)( 1xF x2…
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Successive biforcazioni insorgono secondo lo stesso meccanismo per valori di r via via
crescenti ma sempre più vicini tra loro
r
r1 r2 r3 r4 …
La successione delle rn ha come limite un
n.irrazionale r∞≈3.569934
r∞
rr
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rrQualunque valore iniziale dà luogo a
traiettorie aperiodiche
nessun punto fisso
“attrattore” con periodo infinito
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
a=3
a=3.25
a=3.5
a=3.75
a=4
iterazione
x
r=3 r=3.25 r=3.5 r=3.75r=4
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
r
xn
r∞
un unico stato finalepiù stati
finali∞ stati finali
Per r>r∞ non si hanno più attrattori, un punto dovrebbe attendere un tempo infinito prima di tornare su se stesso
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
128 iterazioni
256 iterazioni
8192 iterazioni
1024 iterazioni
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Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
Il futuro del sistema è noto a priori indipendentemente dalle
condizioni iniziali: EQUILIBRIO STABILE
L’evoluzione del sistema è caoticamente imprevedibile: CAOS DETERMINISTICO
Il futuro del sistema dipende dal valore del parametro; piccole variazioni di r determinano notevoli riassestamenti
della configurazione finale: COMPLESSITA’
Variazioni del parametro non mutano la soluzione di equilibrio
asintotico data dalla: (r-1)/r
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La dinamica esposta non è peculiare della sola mappa logistica, ma è generale per
un’ampia classe di mappe unidimensionali:
tutte le funzioni continue e derivabili nell’intervallo considerato, unimodali, con un massimo di tipo quadratico.
Dinamiche simili possono sussistere in modelli differenti
in apparenza ma non nella sostanza matematica.
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
L’ EVOLUZIONE DI UN SISTEMA DINAMICO
dipende da un insieme di parametri di controllo
Parametri di controllo
stabilità complessità caos
La dinamica di un comportamento complesso è caratterizzata da traiettorie sensibili alle
perturbazioni (variazioni del parametro di controllo)
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Esempi di applicazione della mappa logistica
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
k
ck
cJ
ij ik
ij
eW
eWP
Modelli di interazione spaziale
Zona i
Zona j
ijc = costi di trasferimento
JW = attrattività della zona j
iW = attrattività della zona i
= sensibilità dell’utente a ijc
= probabilità di trasferimento dalla zona i alla zona j
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
k
ck
cJ
ij ik
ij
eW
eWP
Assumendo per semplicità che: 1kW
Indicando con uj l’utilità della zona j
La si può trasformare nella probabilità che j riceva popolazione indipendentemente
dalla zona i di origine
k
u
u
j k
j
e
eP
Chiamando αj la duj /dt e assumendola costante (assumiamo
cioè che la uj cresca linearmente con il tempo)
jk
kkjjjjj PPPPP )1( discretizzando
tjtjj uu ,1,
jk
tkktjtjtjjtjtj PPPPPP .,,,,1, )1(
jk
tkktjtjjtjjtj PPPPP ,,2,,1, )1(
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Attrattore di Lorenz (1963)
bzxydt
dz
yxzrxdt
dy
x)σ(ydt
dxx)σ(y
dt
dx
yxzrxdt
dy
bzxydt
dz
Rimescolamento fluido
dT orrizzontale
dT verticale
Parametri relativi alla dinamica
atmosferica
Luca D'Acci -Introduzione al comportamento complesso e caotico dei sistemi
dtbzyxzz
dtyzxrxyy
)dtxσ(yxx
nnnnn
nnnnnn
nnnn
)(
)(
1
1
1
bzxydt
dz
yxzrxdt
dy
x)σ(ydt
dx
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Iterazione 500
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Iterazione 5.000
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Iterazione 50.000