Il nostro caotico sistema solare: dai pianeti ai detriti spaziali · 2019-02-25 · La gravità...

Dipartimento di MatematicaDipartimento di Eccellenza 2018-2022

Università degli Studi di Roma “Tor Vergata”

Il nostro caotico sistema solare: dai pianeti ai detriti spaziali

Alessandra Celletti

1. Sistema Solare 2. Meccanica Celeste3. Caos4. La stabilità dei pianeti5. Autostrade interplanetarie6. Detriti spaziali[Asteroidi pericolosi]

Il nostro caotico Sistema Solare

- Sole - Pianeti rocciosi- Pianeti gassosi- Pianeti nani- Satelliti- Asteroidi e comete

Immagine: NASA

Sistema Solare

Mercurio, Venere, Terra, MartePiccoli, rocciosi, nessuno o pochi satelliti

Immagine: NASA

Pianeti interni

Hanno dimensioni e forme irregolare, qualcuno ha satelliti, formano una fascia tra Marte e Giovehttp://www.youtube.com/watch?v=ONUSP23cmAE&annotation_id=annotation_79355&src_vid=S_d-gs0WoUw&feature=iv

790.000 oggetti catalogati

Immagini: NASA, NEAR Project, Galileo Project

Asteroidi

http://apod.nasa.gov/apod/image/9803/asteroids3_neargal_big.jpg

Giove, Saturno, Urano, NettunoGrandi, gassosi, con tanti satelliti e con anelli

Immagini: NASA/JPL/University of Arizona, NASA/JPL/Space Science Institute, PD-USGOV-NASA, NASA

Pianeti esterni

Centinaia (migliaia?) di oggetti rocciosi eghiacciati (tra cui Plutone), ai confini delsistema solare esternoImmagini: NASA

Fascia di Kuiper

- Tra 30,000 e 100,000 UA- Miliardi di oggetti ghiacciatiSerbatoio di comete a lungoperiodo, lanciate nel sistemasolare da forti perturbazioni: avvicinamento ad una

stella passaggio del Sole

attraverso una nubemolecolare gigante.

1 UA = distanza Sole-Terra = 150 milioni km.

Nube di Oort

• La MECCANICA CELESTE studia la dinamica deglioggetti del sistema solare: pianeti, satelliti, asteroidi, ecc.

• La MECCANICA CELESTE studia anche la dinamicadei pianeti extrasolari (n. 3989 al 20 Febbraio 2019)

• La DINAMICA DEL VOLO SPAZIALE studia il moto deisatelliti artificiali e delle sonde interplanetarie (primamissione spaziale: Sputnik 1 il 4 Ottobre 1957)

Meccanica Celeste

• Modello semplificato che considera solo l’interazione tra2 oggetti

• Legge di Newton

• Leggi di Keplero: I. i pianeti si muovono su ellissi con il Sole in un fuoco; II. i pianeti spazzano aree uguali in tempi uguali (sono piùveloci vicino al Sole); III. il periodo cresce con la distanza.

Il problema dei 2 corpi

Credit: Wikipedia

I legge di Keplero:i pianeti si muovono su ellissi di cui il Sole occupa uno dei

due fuochi

Video: http://heasarc.nasa.gov/docs/heasarc/videos/education.html

II legge di Keplero:i pianeti spazzano aree uguali in tempi uguali


III legge di Keplero:il quadrato del periodo di rivoluzione è

proporzionale al cubo del semiasse maggiore


III legge di Keplero• Il quadrato del periodo P è proporzionale al cubo del

semiasse maggiore a

• Conseguenza: il periodo aumenta con la distanza dalSole (Mercurio: 88 giorni, Nettuno: 164 giorni)

• Assumendo come unità: 1 UA, 1 anno terrestre:P (anni)2 = a (UA)3

ovvero

a (UA) = P (anni)2/3

• Esempio: per Marte P=1.88 anni implicaa = P2/3 = (1.88)2/3 = 1.52 UA (NASA: a=1.52371034 UA)

Distanze planetarie calcolate con la III Legge di Keplero

Periodo(in anni)

a = P2/3

in UAa (NASA) in UA

Mercurio 0.241 0.3870 0.38709927

Venere 0.615 0.7233 0.72333566

Terra 1 1 1

Marte 1.8808 1.5237 1.52371034

Giove 11.8626 5.2014 5.20288700

Saturno 29.4475 9.5360 9.53667594

Urano 84.0168 19.1827 19.18916464

Nettuno 164.7913 30.0577 30.06992276

• Fasi della missione: lancio, trasferimento, immissione in orbita, mantenimento orbitale, rientro (se previsto)

• Terra e Marte su orbite circolari di raggi r1, r2• Aspettare la congiunzione Terra-Marte e andare in linea retta! La gravità curva le traiettorie l’orbita di Marte viene raggiunta perpendicolarmente il Sole influenza gravitazionalmente il satellite.

Come NON andare su Marte

• Walter Hohmann (1880-1945), ingegnere tedesco

• Si interessò al problema di minimizzare il carburante delle missioni spaziali

• Nel 1925 pubblicò “Die Erreichbarkeit der Himmelskörper” ovvero “La raggiungibilità dei corpi celesti”

• Le orbite di trasferimento di Hohmann vennero utilizzate nel programma Apollo

• Sono attualmente usate per andare sulla Luna e per i viaggi interplanetari

Orbite di Hohmann

• 1 = orbita iniziale• 2 = orbita di trasferimento di

Hohmann• 3 = orbita bersaglio

• Orbita 2 ha perielio su orbita 1 e afelio su orbita 3

• Trasferimento con minore consumo di carburante

Come andare su Marte

• All’inizio bisogna accendere i motori per immettere il satellite in orbita 2; alla fine bisogna decelerare per immettersi nell’orbita 3 (Δv)

• Δv misura il consumo di carburante = costo della missione

• La finestra di lancio(launch window) è l’intervallo di tempo utile affinché il satellite possa raggiungere Marte

• Unità di misura: TERRA: PTerra=1 anno, aTerra=1 UA

• aMarte = 1.52 UA• Distanza complessiva:

R = 1+ 1.52 = 2.52 UA = 2 atr• atr = 1.26 UA• III legge di Keplero: P2/a3 = 1• atr

3 = 2.00 = P2

• P = 1.41 anni • P/2 = 0.707 anni = 8.5 mesi

Mercurio: 3.5 mesi, Nettuno: 30.61 anni, Luna: 5 giorni

Durata del volo

• Cosa accade quando consideriamo 3 corpi, esempio:Sole-Terra-Giove?• Le leggi di Keplero sono soltanto un’approssimazione e ilproblema dei 3 corpi non può essere risolto esattamente!• Teoria delle perturbazioni: consente di calcolareapprossimazioni successive della soluzione del problemadei 3 corpi

• Sole-Terra-Giove: massa(Giove) = massa(Sole) / 1000

2-corpi Sole-Terra +

piccola perturbazione dovuta a Giove

Il problema dei 3 corpi

Ellisse Kepleriana: approssimazione di base

Prima approssimazione (curva rossa)

Seconda approssimazione (curva verde)

Terza approssimazione (curva blu)

• La teoria delle perturbazioni consente di determinareuna soluzione approssimata delle equazioni del moto(Laplace, Lagrange, Delaunay, Leverrier, ecc., XVIII-XIX century).

• Charles Delaunay (1816-1872) determina una soluzionemolto precisa del moto della Luna, basata sulla teoriadelle perturbazioni.

Credit: Wikipedia

“Theorie du Mouvement de la Lune”C. Delaunay

Calcoli preliminari

La funzione inizia a pagina 33 … … continua a p. 34, 35, 36, 37 ...

… ancora a pagina 38, 39, 40, 41 … … stop a pagina 54!

• Nettuno viene scoperto da Leverrier (1811-1877)usando la teoria delle perturbazioni, grazie alleanomalie osservate nel moto di Urano.

Images: PD-USGOV-NASA, NASA

• Problema più realistico: 3 corpi, e.g. Sole-Terra-Giove.

• Henri Poincarè (1854-1912): dimostra matematicamente che non è esattamente risolubile come i 2 corpi e scopre il

caos!

Caos

Poincarè dimostra che alcune traiettorie del problema dei 3 corpi hanno un comportamento caotico: piccole variazioni delle condizioni iniziali, portano a traiettorie divergenti!

Moto regolare

Moto caotico

Immagine: Wikipedia

• Nel 1972 il MetereologoEdward Lorenz intitola unaconferenza: “Predicibilità: può ilbattito d’ali di una farfalla inBrasile scatenare un tornado inTexas?”,

Nasce l’“effetto farfalla”,sinonimo di sensibilità allecondizioni iniziali e quindi dicaos.

• J. Laskar: la Terra è CAOTICA! • Errore di 15 metri sulla posizione iniziale della Terra: errore 150 m dopo 10 milioni di anni, errore 150 milioni di km dopo 100 milioni di anni, impedendo ulteriori predizioni!

La stabilità dei pianeti

La stabilità dei pianeti• J. Laskar: la Terra è CAOTICA! • Errore di 15 metri sulla posizione iniziale della Terra: errore 150 m dopo 10 milioni di anni, errore 150 milioni di km dopo 100 milioni di anni, impedendo ulteriori predizioni!

Simulazioni al computer (J. Laskar) mostrano che:

Mercurio e Marte decisamente caotici

Venere e Terra moderatamente caotici

I pianeti esterni sono regolari

Plutone è molto caotico

La stabilità dei pianeti

• Punti di Eulero-Lagrange collineari (L1, L2, L3 - instabili) etriangolari (L4, L5 - stabili).

Autostrade interplanetarie

J.-L. Lagrange: “Cette recherche n'est à la vèritè que de pure curiositè”

• Il matematico C. Conley dimostra nel 1968 che sfruttando l’instabilità e il caos del punto collineare L1, si possono avere viaggi low-cost Terra-Luna.


“Unfortunately, orbits such as these require long time to complete a cycle (e.g.,6 months, though a modification of the notion might improve that). On theother hand, one cannot predict how knowledge will be applied – only that itoften is” (SIAM J. Appl. Math.16, n. 4, 1968)

• Disegno di orbite Terra-Luna low-energy con i seguenti requisiti:

i. Minimo costo di carburanteii. Facilità di controllo e stabilità iii. Flessibilità R


International Sun/Earth Explorer 3 (1978): campo magneticoterrestre e vento solare

SOHO (1995) = Solar and heliospheric observatory missionWMAP (2001) = Wilkinson Microwave Anisotropy Probe GENESIS (2001) = alla ricerca delle origini HERSCHEL-PLANCK (2009) = formazione di galassie e stelle.

Missioni spaziali• Ingredienti autostrade interplanetarie: caos, puntiLagrangiani collineari - tempi più lunghi, ma meno carburante!

• Spazzatura spaziale (space debris) = oggetti che orbitano attorno alla Terra, abbandonati dall'uomo nello spazio.

Immagini: NASA

Detriti spaziali

Detriti spaziali

• Stadi di razzi• Frammenti• Bulloni• Scaglie di vernici• Polveri• Guanto perduto da

Edward White durante la prima passeggiata extraveicolare

• Macchine fotografiche• Chiave inglese• Pinze• Cassetta attrezzi

• 16,000 oggetti > 10 cm 6% satelliti operativi 24% satelliti non

operativi 17% parti di razzi 53% detriti e frammenti

di missioni. • 350,000 oggetti > 1 cm,

di cui 300,000 sonosotto 2,000 km (la ISS orbita a 300-400 km).

• 300,000,000 oggetti > 1 mm.

Immagini: NASA

Detriti spaziali

• 10 febbraio 2009: Cosmos 2251 (950 kg, militare) e Iridium33 (560 kg, commerciale) si sono scontrati a 789 km di altezza a 11.7 km/sec. La collisione ha prodotto almeno 1700 detriti, di cui circa 1000 pezzi maggiori di 10 cm.

Collisione Cosmos-Iridium

collisione dopo 20 min dopo 50 min

• “La quantità di detriti aumenterà nei prossimi anni e lecollisioni tra detriti provocheranno molta altraspazzatura, fino al momento in cui la Terra saràavviluppata da una densa coltre di detriti che nonconsentirà di svolgere ulteriori attività spaziali permolte generazioni future”.

(Donald J. Kessler, consulente NASA)

• L’avventura dell’uomo nello spazio potrebbe fermarsi!

Sindrome di Kessler

• Strategie possibili per l’eliminazione di resti di satellite: de-orbiting per provocare il rientro in atmosfera e

disintegrazione; re-orbiting per spostare i detriti in orbite cimitero; rientro controllato (es. in mare aperto).

Strategie di mitigazione

• Molto pericolosi se collidono con satelliti attivi o durantepasseggiate extraveicolari: velocità di impatto molto alta!

• ISS: per 3 volte è stato richiesto all’equipaggio dirifugiarsi nella capsula Soyuz fino a quando fossepassato il pericolo di una collisione con detriti.

Tiangong-1 Aprile 2018

Il caos dei detriti spazialiSTARDUST-R:modellimatematiciper ladinamicadei detritispaziali.

• Obiettivo: usare la teoria del caos per spostare idetriti in zone non pericolose. Ingredientimatematici: caos e teoria perturbativa.

La matematica è per definizioneinnovazione, basta saper aspettareche venga correttamente usata.

• La legge di NewtonM m

F= - G ------d2

stabilisce che l’attrazione tra 2 corpi è maggiore quantopiù grandi sono le masse e diminuisce con l’aumentaredella distanza.

- Per d=0 i due corpi collidono e si ha una singolarità.- Pianeti e satelliti presentano molti crateri, che sono la

prova di collisioni nelle prime fasi di formazione delsistema solare.

Singolarità

• Asteroidi: oggetti rocciosi di dimensioni piuttosto piccole (daqualche decina a centinaia di chilometri) che orbitano traMarte e Giove; possono arrivare a minacciare la Terra,perché possono essere immessi nel sistema solare interno acausa di meccanismi collegati alle risonanze orbitali oppureper forti deflessioni causate dall'azione gravitazionale diGiove.

• Comete: oggetti relativamente piccoli, compostiprevalentemente di ghiaccio che evapora in prossimità delSole, dando luogo ad un coda di gas e polveri. Le orbitepossono essere ellittiche, paraboliche o iperboliche. Esse sidividono in comete a lungo periodo (> 200 anni) e a cortoperiodo (< 200 anni).

• Oggetti della fascia di Kuiper: corpi ghiacciati e rocciosi inorbita trans-nettuniana con diametri da centinaia a migliaia dikm; orbitano tra 25 e 50 UA. Eventuali perturbazioni inquesta regione possono causare l'immissione di oggettiverso l'interno.

Oggetti pericolosi

• Meteoroidi: piccole particelle in orbita attorno al Sole;derivano da cometa o asteroide.

• Meteore: fenomeni luminosi per l’interazione di unaparticella con l'atmosfera della Terra (stelle cadenti).

• Meteoriti: corpi sufficientemente grandi dasopravvivere all'impatto con l'atmosfera della Terra edatterrare sulla superficie del nostro pianeta.

Oggetti pericolosi

• Circa un centinaio di tonnellate di materia interplanetariacolpisce quotidianamente la Terra; sono particelle moltosottili di polvere.

• Corpi di dimensioni maggiori raggiungonofrequentemente la Terra, anche se spesso vengonosepolti nelle profondità oceaniche. In alcuni casi gliimpatti lasciano tracce, come il Meteor Crater (nordArizona, corpo di circa 30 m, 50000 anni fa); il cratere èlargo 1.2 km e profondo 170 m.

• Altri esempi: - Wolf Creek, Australia, d=850 m, scoperto nel 1947- Henbury, Australia, d=200x110m, scoperto nel 1931- Odessa, Texas, d=170 m, scoperto nel 1921- Waqar, Arabia, d=100 m, scoperto nel 1932

Oggetti pericolosi

Maggiori meteoritiNome Luogo

dellascoperta

Peso in tonnellate

Hoba West Africa 61Ahnighito Groenlandia 30.9Bacuberito Messico 27.4Mbosi Tanganica 26.4Agpalik Groenlandia 20.4Armanty Mongolia 20Willamette USA 14Chupaderos Messico 14Campo del Cielo Argentina 13

Incontro sonda NEAR con asteroide ErosImmagine: NASA/JHUAPL

Incontro sonda Hayabusa con asteroide Itokawa Immagine: ISAS, JAXA

Cratere lunare KorolevImmagine: NASA

Meteor crater (Arizona)Immagine: NASA

Goat Paddock (Australia)Immagine: NASA/Space Shuttle

Crateri terrestriNome Diametro (m) Anno della

scopertaMeteor Crater (Arizona)

1265 1891

Wolf Creek, Australia

850 1947

Henbury, Asutralia 200 x 110 1931Box Hole, Australia 175 1937Odessa, Texas 170 1921Waqar, Arabia 100 1932Oesel, Estonia 100 1927Campo del Cielo, Argentina

75 1933

Dalgaranga, Australia

70 1928

• Si congettura che circa 65 milioni di anni fa la scomparsa dei dinosauri venne causata dall'impatto di un oggetto di ~ 12 km di diametro. Le immagini dello shuttle Endeavour mostrano un cratere di ~ 180 km, Chicxulub(la coda del diavolo). Tale impatto provocò uno Tsunami di proporzioni planetarie con un conseguente abbassamento della temperatura e la trasformazione della vegetazione, provocando l'estinzione di circa il 65-75 % di tutte le specie viventi.

Immagine: Don Davis/NASA

Collisioni celebri

• 30 Giugno 1908, ore 7:17: un'enorme palla di fuoco attraversò il cielo di Tunguska in Siberia, distruggendo circa 2000 km2 di foresta e provocando un terremoto avvertito a 800 km. L'onda d'urto arrivò in Inghilterra dopo 5 ore e completò il giro della Terra in 24 ore.

• Prove indirette: asteroide roccioso di circa 60 metri di diametro, che si disintegrò nell'atmosfera a 5-10 km dalla superficie terrestre.

Potente come 1000 volte laBomba atomica che distrusse Hiroshima, l’asteroide di Tunguska abbatte’ gli alberi per 40 km.

Immagine: Leonid Kulik Expedition, Wikipedia

• Il 15 Febbraio 2013 alle 9:20, una meteora cadde a55,000 km/h sugli Urali, esplodendo sopra Čeljabinsk adun’altezza di 25-30 km, provocando un momentaneoflash, brillante come il Sole, visibile anche a 100 km didistanza (15 metri di diametro, 10000 tonnellate).

• L’esplosione generò un’onda d’urto, che mandò infrantumi diversi vetri e oggetti, provocando circa 1100feriti.

• La caduta della meteora non era stata prevista. • Era invece stato previsto l’avvicinamento dell’asteroide

DA14, che avvenne lo stesso giorno, ma senza esserecollegato alla meteora di Čeljabinsk!

Boato Luminosità

• Nel Luglio 1994 la cometa Shoemaker-Levy 9 collisecon Giove. Prima della collisione la cometa siframmentò in diversi pezzi a causa dell'attrazionegravitazionale del pianeta gigante.

Immagine: NASA, ESA, and H. Weaver and E. Smith (STScI), Hubble Space Telescope Comet Team and NASA

Distruzione della cometa e impatto Su Giove.

Collisioni con Giove

• L'asteroide 2004 MN4 Apophis, il distruttore, ha dimensioni di 325 metri e una massa di 4 x 1010 kg.

• Nel Dicembre 2004 le osservazioni indicavano una probabilità d’impatto pari al 2.7% il 13 Aprile 2029.

• Osservazioni successive hanno escluso l’impatto nel 2029, in cui effettuerà solo un incontro ravvicinato con la Terra, ma hanno predetto una collisione il 13 Aprile 2036.

• Per questo motivo è stato classificato al grado 1 della scala di Torino.

• Grazie ad osservazioni successive, il 6 Maggio 2013 la probabilità di una collisione con la Terra nel 2036 è stata eliminata completamente.

• A causa del possibile effetto catastrofico sul nostro pianeta, sono state ideate delle missioni spaziali, come la missione ESA Don Quijote allo scopo di deflettere l’asteroide.

Collisioni possibili

Nome Data incontro

Distanza(km)

Apophis 13/4/2029 37,500

1999 AN10 7/8/2027 398,100

2001WN5 26/6/2028 250,000

1998OX4 22/1/2148 300,000

Incontri ravvicinati di PHA con la Terra

• La frequenza di impatto diminuisce in funzione del diametro d del corpo collidente.

d (km) Frequenza(anni)

d>10 50,000,000

1<d<10 500,000

0.1<d<1 5,000

0.03<d<0.1

500

Probabilità di impatto

• Keplero usò le osservazioni di Brahe per determinare l’orbita ellittica di Marte.

• Nel 1770 Anders Johan Lexell calcolò l’orbita di una cometa (che prese il suo nome), sulla base delle interazioni con Giove, prima di essere espulsa dal sistema solare.

• La notte del capodanno del 1801 l’astronomo Padre Giuseppe Piazzi osservò un nuovo corpo celeste. Proseguì le osservazioni per 24 volte fino all’11 Febbraio 1801, poi si ammalò e ne perse le tracce.

• Riteneva si trattasse di una cometa, ma lo lasciava perplesso il suo movimento lento e uniforme.

• Carl Friedrich Gauss (allora di 24 anni) sviluppò in poche settimane un metodo per calcolare l’orbita di Cerere.

• Il 31 Dicembre 1801 gli astronomi Franz von Zach e Heinrich Olbers rintracciarono Cerere.

Determinazione orbitale

• Il metodo di Gauss si basa sulla seguente strategia: date 3 osservazioni di un oggetto celeste (ad esempio le coordinate ascensione retta e declinazione) è possibile calcolare i 6 elementi orbitali che descrivono l’orbita (semiasse maggiore, eccentricità, inclinazione e 3 angoli).

• Se sono disponibili più di 3 osservazioni, si applica un metodo ai minimi quadrati.

• Il metodo di Gauss è usato ancora adesso per determinare le orbite di asteroidi pericolosi.

• Si veda il sito NEODyS dell’Università di Pisa: http://newton.dm.unipi.it/neodys/

• Il metodo è stato opportunamente esteso per tenere conto di casi concreti di NEO, ad esempio quando si hanno osservazioni molto ravvicinate nel tempo oppure quando si deve capire se osservazioni diverse si riferiscono allo stesso oggetto.

http://newton.dm.unipi.it/neodys/

● Invio di missili nucleari per frammentare e deviare.● Installazione sulla superficie di un sistema propulsivo

per deviare la traiettoria. ● Riscaldamento della superficie tramite un potente laser

per provocare la fuoriuscita di getti naturali di gas e polveri che agiscano come un sistema propulsivo.

● Modifica delle proprietà riflettenti con il posizionamento di specchi per rafforzare le perturbazioni orbitali.

● Invio di una sonda “suicida” con massa e velocità sufficienti da deflettere la traiettoria.

● Sfruttamento dell’attrazione gravitazionale da parte di una sonda sufficientemente massiva da riuscire a spostare lentamente l’asteroide dalla sua traiettoria di collisione (“trattore gravitazionale”).

Strategie di mitigazione

• La missione Rosetta si propone uno studio dettagliato della cometa 67P/Churyumov-Gerasimenko.

• Rosetta è stata lanciata il 2 Marzo 2004 ed è stata la prima sonda ad orbitare una cometa.

• La missione prende il nome dalla stele di Rosetta, una pietra con tre differenti grafie, che consentì l’interpretazione dei gereoglifici.

• Tramite un campionamento del terreno, la missione Rosetta ci potrà dare informazioni utili per lo sviluppo della vita sulla Terra.

• Il 12 Novembre 2014 il landing Philae è atterrato con successo sulla cometa.

Missioni robotiche su asteroidi

• Tracce di collisioni con la Terra sono evidenti dai crateri rinvenuti in diversi continenti.

• Le tecniche di determinazione orbitale risalgono al XIX secolo, ma non è sempre facile calcolare l’orbita di un oggetto che si avvicina alla Terra e predire cosa farà nel futuro.

• Le collisioni con la Terra possono essere piccole e insignificanti oppure importanti come quella che provocò la scomparsa dei dinosauri.

• Da pochi anni si sta pensando ad alcune strategie di mitigazione per evitare o limitare il rischio di eventuali collisioni.

Conclusioni

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